安徽省颍上六十铺中学2023-2024学年数学九年级上册期末联考模拟试题含解析

安徽省颍上六十铺中学2023-2024学年数学九上期末联考模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列事件属于随机事件的是（）

A.抛出的篮球会下落

B.两枚骰子向上一面的点数之和大于1

C.买彩票中奖

D.口袋中只装有10个白球，从中摸出一个黑球

2.关于x的一元二次方程4-4*+1=0有实数根，则整数a的最大值是（）

A.1B.-4C.3D.4

3.如图，已知。。的半径为4,四边形ABCD为。O的内接四边形，且AB=46,AD=4近，则NBCD的度数为

（）

A.105°B.115°C.120°D.135°

4.下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是（）

A.y=-x+l

B.y=x2-1

c=l

yX

D.y=-x2+1

5.反比例函数V=-9的图象位于（）

X

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第二、三象限D.第一、二象限

6.如图，直角坐标平面内有一点。（2,4）,那么OP与x轴正半轴的夹角a的余切值为（）

丄「V5

B.v•----D.75

25

7.如图，在线段AB上有一点C,在AB的同侧作等腰4ACD和等腰△ECB,且AC=AD,EC=EB,NDAC=NCEB,直线

BD与线段AE,线段CE分别交于点F,G•对于下列结论：①△DCGs4BEG；（2）AACE^ADCB；③GF-GB=GCGE；

④若NDAC=NCEB=9()O,JI(J2AD2=DF-DG.其中正确的是()

8.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

9.一元二次方程（x+2）（x-1）=4的解是（）

A.xi=O,X2=-3B.XI=2,X2=-3

C.X1=1,X2=2D.Xj=-1,X2=-2

10.某班同学要测量学校升国旗的旗杆的高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.6,〃，影长为1m,旗杆的影长

为7.5m,则旗杆的高度是（）

A.9mB.l（）/nC.WinD.12/n

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.在A8C中，NC=60°,如图①，点M从A3C的顶点A出发，沿AfCf3的路线以每秒1个单位长度

的速度匀速运动到点8,在运动过程中，线段BM的长度y随时间x变化的关系图象如图②所示，则AB的长为

713

图②^

12.一个圆锥的侧面展开图是半径为6,圆心角为120。的扇形，那么这个圆锥的底面圆的半径为

14.如图，A8C的中线A。、CE交于点G,点尸在边AC上，GFBC,那么；的值是.

15.某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元.若该校这两年购买的实验器材的投资年

平均增长率为x,则可列方程为.

16.如图，在AABC中，NA=30。，ZB=45°,BC=Rcm,则4B的长为.

17.若代数式4好一2*—5与2必+1的值互为相反数，则x的值是.

18.如图，在直角坐标系中，点厶(2,0),点3(0,1),过点A的直线/垂直于线段AB,点尸是直线/上在第一象限内

的一动点，过点P作PC丄x轴，垂足为C,把△ACP沿AP翻折180。，使点。落在点。处，若以A,D,P为顶

点的三角形与AABP相似，则满足此条件的点。的坐标为.

<ACx

三、解答题(共66分)

19.(10分)定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为''友好四边形”.

(1)如图1,在4x4的正方形网格中，有一个网格心AABC和两个网格四边形ABCO与4BCE,其中是被AC分

割成的“友好四边形”的是；

(2)如图2,将A4BC绕点。逆时针旋转得到AA'B'C,点夕落在边AC,过点A作">//49交C4'的延长线

于点O,求证：四边形ABCD是“友好四边形”；

(3)如图3,在AABC中，AB于BC,ZABC=60.AABC的面积为6百，点。是NA8C的平分线上一点，连

接AZ),CD.若四边形ABC。是被30分割成的“友好四边形”，求亜的长.

20.(6分)将一副三角尺(在RtAABC中，ZACB=90°,ZB=60°；在RtADEF中，ZEDF=90°,ZE=45°)如图1

摆放，点D为AB边的中点，DE交AC于点P,DF经过点C,且BC=2.

(1)求证：AADC^AAPD；

(2)求AAPD的面积;

(3)如图2,将ADEF绕点D顺时针方向旋转角a(0°<a<60°),此时的等腰直角三角尺记为△口£，口,DE，交AC于

点M,DF，交BC于点N,试判断.的值是否随着a的变化而变化？如果不变，请求出..的值；反之，请说明理由.

•P

1,

21.(6分)如图，抛物线y=—]x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且OA=2,OC=L

⑴求抛物线的解析式.

⑵若点D(2,2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P,使得ABDP的周长最小，若存在，请

求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

注：二次函数y=ax2+bx+c(aRO)的对称轴是直线*=——.

22.（8分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余都相同），其中黄球2个，蓝

球1个.若从中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是丄.

4

（1）求口袋里红球的个数；

（2）第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球恰

是一黄一蓝的概率.

23.（8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，经调査表明，这种台灯的售

价每上涨1元，其销量就减少10个，市场规定此台灯售价不得超过60元.

（1）为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？

（2）若商场要获得最大利润，则应上涨多少元？

24.（8分）解方程：2X2=4X-1

25.（10分）在直角坐标平面内，某二次函数图象的顶点为A（0,T）,且经过点8（3,0）.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）求直线y=-x-l与该二次函数图象的交点坐标.

26.（10分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间的关系如下

表.

X（元/件）15182022・・・

J（件）250220200180・・・

（1）直接写出：y与x之间的函数关系；

（2）按照这样的销售规律，设每天销售利润为w（元）即（销售单价-成本价）x每天销售量；求出w（元）与销售

单价x（元/件）之间的函数关系；

（3）销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、C

【解析】根据随机事件,必然事件,不可能事件概念解题即可.

【详解】解：A.抛出的篮球会下落，是必然事件，所以错误，

B.两枚骰子向上一面的点数之和大于1,是不可能事件，所以错误，

C.买彩票中奖.是随机事件，正确，

D.口袋中只装有10个白球，从中摸出一个黑球，，是不可能事件，所以错误，

故选C.

【点睛】

本题考査了随机事件的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.

2、D

【分析】根据根的判别式即可求出答案.

【详解】由题意可知：A=16-且

a<4且a邦，

所以。的最大值为4,

故选：D.

【点睛】

本题考査一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法.

3、A

【分析】作。E丄A3于E,。/丄AO于凡连接04,如图，利用垂径定理和解直角三角形的知识分别在RtAAOE和

RSAO厂中分别求出NOAE和NOAF1的度数，进而可得NEA尸的度数，然后利用圆内接四边形的性质即可求得结果.

【详解】解：作OE丄A6于E,。尸丄AO于尸，连接如图，则4后=；48=26，AF=^AD=2y/2,

在R3AOE中，'：cosZOAE=—=,：.ZOAE=30°,

0A42

在RtAAO尸中，VcosZOAF=—==—,:.ZOAF=45°,

0A42

:.NEAF=300+45°=75°,

•••四边形ABCD为。。的内接四边形，

.,.ZC=1800-ZBAC=180°-75°=105°.

故选：A.

【点睛】

本题考查了垂径定理、解直角三角形和圆内接四边形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的

关键.

4、B

【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断

【详解】解：A、y=-x+l,一次函数，kVO,故y随着x增大而减小，错误；

B、y=x2-l(x>0),故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大，正确；

C、y=丄，k=l>0,分别在一、.三象限里，y随x的增大而减小，错误；

X

D、y=-x2+l(x>0),故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小，错误.

故选B.

【点睛】

本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键.

5、B

【解析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k>0,位于一、三象限，k<0,位于二、四象限.

【详解】解：•••反比例函数的比例系数-6<0,.•.函数图象过二、四象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查的知识点是反比例函数的图象及其性质，熟记比例系数与图象位置的关系是解此题的关键.

6、B

【分析】作PA丄x轴于点A,构造直角三角形，根据三角函数的定义求解.

【详解】

・卜A

o]A

过P作x轴的垂线，交x轴于点A,

VP(2,4),

；.OA=2,AP=4,.

,AP4c

••tanci————=2

OA2

1

cot«=—

2

故选B.

【点睛】

本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题关键是熟记三角函数的定义.

7、A

【解析】利用三角形的内角和定理及两组角分别相等证明①正确；根据两组边成比例夹角相等判断②正确；利用③的

相似三角形证得NAEC=NDBC,又对顶角相等，证得③正确；根据△ACEs^DCB证得F、E、B、C四点共圆，由此推出

△DCF-ADGC,列比例线段即可证得④正确.

【详解】①正确；在等腰AACD和等腰AECB中AC=AD,EC=EB,NDAC=NCEB,

二ZACD=ZADC=ZBCE=ZBEC,

AZDCG=180°-ZACD-ZBCE=ZBEC,

VZDGC=ZBGE,

:DCG(^ABEG;

②正确；VZACD+ZDCG=ZBCE+ZDCG,

二ZACE=ZDCB,

<tACDC

•~EC~~BC'

.*.△ACE<^ADCB；

③正确；VAACE^ADCB,

...ZAEC=ZDBC,

VNFGE=NCGB,

.,.△FGE^ACGB,

.••GFGB=GCGE；

④正确；如图，连接CF,

由②可得厶ACE^>ADCB,

:.ZAEC=ZDBC,

••.F、E、B、C四点共圆，

.*.ZCFB=ZCEB=90°,

VZACD=ZECB=45°,

.".ZDCE=90°,

/.△DCF^ADGC

•DF_DC

"~DC~~DG'

:.DC2=DF7DG,

,:DC=41AD,

.,.2AD2=DF-DG.

故选：A.

【点睛】

此题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，③的证明可通过②的相似推出所需要的条件继而得到证明；

④是本题的难点，需要重新画图，并根据条件判定DF、DG所在的三角形相似，由此可判断连接CF,由此证明F、E、

B、C四点共圆，得到NCFB=NCEB=90。是解本题关键.

8、C

【分析】根据三角形的中位线定理，得新四边形各边都等于原四边形的对角线的一半，进而可得连接对角线相等的四

边形各边中点得到的四边形是菱形.

【详解】解：如图，矩形ABQ9中，

AC=BD,

区£G,”分别为四边的中点，

EF//BD,EF=LBD,GH//BD,GH=LBD,FG=1AC,

222

：.EF//GH,EF=GH,

四边形ABC。是平行四边形，

AC=BD,EF=LBD,FG=LAC,

22

EF=FG,

，四边形EFG”是菱形.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定，以及三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定.

9、B

【解析】解决本题可通过代入验证的办法或者解方程.

【详解】原方程整理得：x'+x-6=0

(x+3)(x-1)=0

.♦.x+3=0或x-l=0

•*.xi=-3»xi=l.

故选B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法.把方程整理成一元二次方程的一般形式是解决本题的关键.

10、D

【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的比值等于旗

杆的高与其影子长的比值.

【详解】设旗杆的高度为X,

16x

根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：—=—,

17.5

解得：x=1.6x7.5=12(m),

二旗杆的高度是12m.

故选：D.

【点睛】

本题考查相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解题的关键.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、国

【分析】由图象，推得AD=7,DC+BC=6,经过解直角三角形求得BC、DC及BD.再由勾股定理求AB.

【详解】过点B作BD丄AC于点D

由图象可知，BM最小时，点M到达D点.

贝！］AD=7

点M从点D到B路程为13-7=6

在ADBC中，ZC=60°

.*.CD=2,BC=4

则BD=2百

AB=+4庁=J(2G)2+72=屈

故答案为：VbT

【点睛】

本题是动点问题的函数图象探究题，考查了解直角三角形的相关知识，数形结合时解题关键.

12、2

【详解】试题分析：设此圆锥的底面半径为r,根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得,

120)x6小出

27rL------------，解得r=2cm.

180

考点：圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系.

【解析】根据分式的性质即可解答.

fa+bb5

【详解】•••——=1+-=-,

aa2

h3

•*•一—

a2

a2

••—

h3

【点睛】

此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的运算性质.

1

14、-

3

【分析】根据三角形的重心和平行线分线段成比例解答即可.

【详解】..•△ABC的中线AD、CE交于点G,

...G是AABC的重心，

.AG2

GD1

VGF/7BC,

.GFAG2

**DCAD-3，

1

VDC=-BC,

2

.GF_1

**BC-3，

故答案为：—.

3

【点睛】

此题考查三角形重心问题以及平行线分线段成比例，解题关键是根据三角形的重心得出比例关系.

15、2(l+x)+2(l+x)2=l.

【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量x(1+增长率)，如果该校这两年购买的实验器材的投资

年平均增长率为x,根据题意可得出的方程.

【详解】设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x,

今年的投资金额为：2(1+x),

明年的投资金额为：2(1+x)2,

所以根据题意可得出的方程：2(1+x)+2(1+x)2=1.

故答案为：2(1+x)+2(1+x)2=1.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a(l+x)2=b,a为起始时间的有关数量，b为

终止时间的有关数量.

16、3+6

【分析】根据题意过点C作CD丄AB,根据NB=45。，得CD=BD,根据勾股定理和BC=逐得出BD,再根据/A

=30。，得出AD,进而分析计算得出AB即可.

【详解】解；过点C作CD丄AB,交AB于D.

,.,ZB=45°,

.,.CD=BD,

VBC=V6»

.•.BD=5

VZA=30°,

,CD

••tan30o=

AD9

CD-

；.AD=----------=J3=3,

tan300込

3

二AB=AD+BD=3+6.

故答案为：3+6.

【点睛】

本题考査解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键.

17、1或一2

3

2

【解析】由题意得：4x2—2x—5+2^?+1=0,解得：x=l或

2

故答案为：1或

18、(1',1］或(4,4)

【分析】求出直线I的解析式，证出AAOBs^PCA,得出变=4G=丄，设AC=m(m>0),则PC=2m,根据

AOPC2

„,ADAC1„.ggADBA1

△PCA^APDA,得出——=—=一，当APADs/A\PBA时，根据——=—=一，

PDPC2PDPA2

AP=2底向+(2mY=(2下丫,得出m=2,从而求出P点的坐标为(4,4)、(0,-4),若APADs^BPA,得出

PAAD_1求出PA=¥，从而得出川+(2〃?)2=［曰］,求出〃z=g,即可得出P点的坐标为

~BA~~PD~2

【详解】1•点A(2,0),点B(0,1),

二直线AB的解析式为y=-1x+l

•.•直线1过点A(4,0),且1丄AB,

直线1的解析式为；y=2x-4,ZBAO+ZPAC=90°,

TPC丄x轴，

.•.ZPAC+ZAPC=90°,

.,.ZBAO=ZAPC,

VZAOB=ZACP,

/.△AOB^APCA,

.BOAO

"'~CA~~PC'

.BOAC

,•布一拓―2'

设AC=m(m>0),则PC=2m,

,/△PCA^APDA,

/.AC=AD,PC=PD,

.ADAC1

如图1:当APADsaPBA时，

ADBA1

则nI一=—=-

PDPA2

:.AP=2亚,

...优？+（2加）2=（2宕尸，

Am=±2,（负失去）

:.m=2,

当m=2时，PC=4,OC=4,P点的坐标为（4,4）,

，m=土!，（负舍去）

2

1

:.m=—

29

当m=丄时，PC=1,OC=-,

22

.♦.p点的坐标为(2,1),

2

故答案为：P(4,4),P(-,1).

2

【点睛】

此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质、勾股定理、一次函数等，关键

是根据题意画出图形，注意点P在第一象限有两个点.

三、解答题(共66分)

19、(1)四边形ABCE；(2)详见解析；(3)BD=2瓜

【分析】(1)根据三角形相似的判定定理，得AABC~AEAC,进而即可得到答案；

(2)由旋转的性质得，ZA'CB'=ZACB,ZCA'B'^ZCAB,结合AD//A'B',得NC45=N。，进而即可得到

结论；

(3)过点A作40丄BC于A/,nAM=^-AB,根据三角形的面积得3CxAB=24,结合AABDsAD8C,

2

即可得到答案.

【详解】(1)由题意得：A6=2,BC=1,AC=底AE=2亚,CE=5,

•.9-A--B=-B--C-=-A--C-=-y-/-5f

EAACEC5

.\AABC-AEAC,

...被AC分割成的“友好四边形”的是：四边形ABCE,

故答案是：四边形ABCE；

(2)根据旋转的性质得，ZA'CB'^ZACB,ZCA'B'=ZCAB,

VADHA'B',

：.ZCA'B=ZD,

：.ZCAB=ZD,

AAABC^ADAC,

四边形ABC。是“友好四边形”；

(3)过点A作AA7丄3c于

...在中，AM=ABsm600=—AB,

2

•••AABC的面积为66，

△BCJIAB=6百，

22

BCxAB=24>

•••四边形ABC。是被80分割成的“友好四边形”，且

:.^ABDsADfiC，

.ABBD

••一,

BDBC

；•BD2=ABxBC=24.

；•BD=2瓜.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质定理以及三角函数的定义，掌握三角形相似的判定和性质，是解题的关键.

20、（1）见解析;（2）：；（3）不会随着a的变化而变化

a

【解析】（1）先判断出ABCD是等边三角形，进而求出NADP=NACD,即可得出结论；

（2）求出PH,最后用三角形的面积公式即可得出结论；

（3）只要证明ADPM和ADCN相似，再根据相似三角形对应边成比例即可证明.

【详解】（1）证明：•.'△ABC是直角三角形，点。是A5的中点，

：.AD=BD=CD,

,:在△BC。中，BC=BDJ@LZB=60°,

.,.△8C。是等边三角形，

:.ZBCZ）=ZBDC=60,

二ZACD=90-ZBCD=30°,

ZADE=180°-ZBDC-ZEDF=30\

在A/WC与AAP。中，N4=NA,ZACD=ZADP,

：.AADCs丛APD.

（2）由（1）已得ABC。是等边三角形，.•.8D=8C=AZ）=2,

过点P作尸//丄AO于点H,

图①

VNA。尸=30=90—NB=NA,

,,.AH=DH=1,tanA=,

，

—R=一、

4/r*

:.AAPD的面积=ADPH=

•-二、y

-x2x.二-=

（3）的值不会随着a的变化而变化.

古

•:ZMPD=ZA+ZADE=30+30=60°,:.NMPZ）=NBCD=60°,

在AMP。与ANC。中，NMPD=NNCD=60”,NPDM=NCDN=a,

：AMPDSANCD,：,,

--=一戸口

c«co

由（1）知AO=CD,•9

二:££

or-w

由（2）可知PD=2AH,：.PD=-

-P-M=-戸-。=--丁-=-3

682.3

•••的值不会随着a的变化而变化.

【点睛】

属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形的面积等，综合性比较强，对学生

综合能力要求较高.

21>(2)y=--x2+-x+3(2)P(-,-)

2224

【详解】解：(2)VOA=2,OC=2,

AA(-2,0),C(0,2).

1,

将C(0,2)代入y=——xrbx+c得c=2.

2

112

将A(-2,0)代入y=-]x2+bx+3得，0=---(-2)'+(-2)b+3,

解得b=—,

2

1,1

2

...抛物线的解析式为y=--x+-x+3;

(2)如图：连接AD,与对称轴相交于P,

由于点A和点B关于对称轴对称，贝!|BP+DP=AP+DP,当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小.

设直线AD的解析式为y=kx+b,

-2k+b=0：k=-：

将A(-2,0),D(2,2)分别代入解析式得，,c，解得，12，

2k+b=2匚，

i[b=1

J.直线AD解析式为y=1x+2.

丄

21

•••二次函数的对称轴为X=-----/一R,

2X-2

、„1q115

.,.当x=一时，y=—X—+2=—.

2224

22、（1）1；（2）见解析，-

3

【分析】（D设红球有x个，根据题意得：-1—=丄；（2）列表，共有12种等可能性的结果，其中两次摸到的球

2+1+x4

恰是一黄一蓝的情况有4种.

【详解】解：（1）设红球有x个，

根据题意得：J—=丄，

2+1+x4

解得：x=l,

经检验x=l是原方程的根.

则口袋中红球有1个

（2）列表如下:

红黄黄蓝

红—（黄，红）（黄，红）（蓝，红）

黄（红，黄）—（黄，黄）（蓝，黄）

黄（红，黄）（黄，黄）一（蓝，黄）

蓝（红，蓝）（黄，蓝）（黄，蓝）—

由上表可知，共有12种等可能性的结果，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有4种，

r,41

则P=TT=^

123

【点睛】

考核知识点：用列举法求概率.列表是关键.

23、（1）50元；（2）涨20元.

【分析】（1）设这种台灯上涨了x元，台灯将少售出10x,那么利润为（40+X-30）（600-lOx）=10000,解方程即可;

（2）根据销售利润=每个台灯的利润x销售量，每个台灯的利润=售价-进价，列出二次函数解析式，根据二次函数的性

质即可求最大利润.

【详解】解：（D设这种台灯上涨了x元，依题意得：

（40+x—30）（600-1Ox）=10000,

化简得：%2-50%+400=0.

解得：x=40（不合题意，舍去）或x=10,

售价：40+10=50（元）

答：这种台灯的售价应定为50元.

（2）设台灯上涨了f元，利润为y元，依题意：

^=（40+r-30）（600-10r）

y=—10r+500z+6000

对称轴7=25,在对称轴的左侧〉'随着/的增大而增大，

•.•单