2023-2024学年九年级数学中考培优训练第11讲阿氏圆最值模型（解析版）

中考数学几何模型11:阿氏圆最值模型

名师点睛------------------------------------------------拨开云雾开门见山

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为

圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.

【模型来源】

“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（脖1）,则满足条

件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

【模型建立】

2

如图1所示，的半径为R,点A、B都在。0外，P为。0上一动点，已知R=：OB,

5

2

连接PA、PB,则当“PA+二PB”的值最小时，P点的位置如何确定？

5

22

解决办法：如图2,在线段0B上截取0C使OC=gR,则可说明△BPO与APCO相似，则有^PB=PC。

2

故本题求“PA+mPB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、

P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。

【技巧总结】

计算B4+晨的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点P使得+k.P5的值最小，解决步骤具体如下:

1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB

2.计算出这两条线段的长度比"=左

OCPC

3.在OB上取一点C,使得——=k,即构造△P0MS/\B0P,则一=k,PC=k-PB

OPPB

4.则K4+匕？当A、P、C三点共线时可得最小值

典题探究启迪思维探究重点

例题1.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心，2为半径作圆C,分别交AC、BC

于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则!上4+尸3的最小值为.

【分析】这个问题最大的难点在于转化工PA,此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2,CA=4,

2

连接CP,构造包含线段AP的ACPA,在CA边上取点M使得CM=2,

连接PM,可得ACPAs^CMP,故PA：PM=2:1,gpPM=lpA.

2

问题转化为PM+PB2BM最小值，故当B,P,M三点共线时得最小值，直接连BM即可得

变式练习>>>

1.如图1,在RT/XABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点P为圆上一动点，连接ARBP,

求①②2AP+BP,③!4尸+3尸，④AP+33P的最小值.

［答案］:®=V37；②=2屈，③=3畀，④=2月.

解答：如图2,连接CP,因为CP=2,AC=6,BC=4,简单推算得?=；，g=而题

rp

目中是求UAP+-1BPn其中的“k1J”,故舍弃在“'上取点，应用“"=1!”，所以在

22CB2

rnCPPD1

C8上取点D,使8=1,则有：<=*二=上=上，无论尸如何移动，，APCD与4BCP

CPCBBP2

始终相似，故PD=、BP始终成立,^\^AP+-BP=AP+PD,其中4、。为定点，故4、P、

22

。三点共线时最小，AP+LBP=AP+PD=AD=4AC?+3=历(思考：若求如+%/1呢？)

23

例题2.如图，点C坐标为(2,5),点A的坐标为(7,0),OC的半径为M，点B在。C上一动点，OB+gAB

的最小值为.

［答案］:5.

变式练习>>>

2.如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-l),M(4,4),以M为圆心，2a为半径画圆，。为原点，P是。

M上一动点，则PO+2PA的最小值为.

例题3.如图，半圆的半径为为直径,4。、2。为切线，—，2。=2,尸为立上一动点，求返PC+PD

2

的最小值.

【解答】解：如图当A、P、。共线时，返PC+P。最小.理由:

2

连接PB、CO,AD与CO交于点M,

"：AB=BD=4,8〃是切线，AZABD=90°,ZBAD=ZD=45°,

'：AB是直径，ZAPS=90°,

：.ZPAB=ZPBA=45°,：.PA=PB,POLAB,

'：AC=PO=2,AC//PO,四边形AOPC是平行四边形,

：.OA^OP,/AOP=90°,四边形AOPC是正方形,

:.PM="^PC,：.^PC+PD^PM+PD^DM,

22

此时返PC+Z）「最小=4。-AM=2料-返=宣2.

'：DM±CO,

222

变式练习>>>

3.如图，四边形A8CD为边长为4的正方形，的半径为2,P是上一动点，贝UPD+LPC的最小值

2

为5；扬D+4PC的最小值为10亚.

【解答】解：①如图，连接尸8、在BC上取一点E,使得BE=1.

VPB2=4,BE・BC=4,：.PB~=BE'BC,.•.里=里,:NPBE=/CBE,

BCPB

:APBEs^CBE,PE=PB_=J^,；.PD+LPC=PD+PE,

PCBC22

"：PE+PD<DE,在RtADCE中，DE=J^2~^2=5,

.•.PD+1_PC的最小值为5.

2

②连接。8,PB,在8。上取一点E,使得BE=返,连接EC,作£F_LBC于?

2

\"PB2=4,BE-BD=y-^-x4\J2=4,：.BP~=BE-BD,

2

.•里=里VZPBE=ZPBD,:.△PBEs^DBP,

BDBP

.•.上岂=里=返，；.PE=^-PD,

PDBD44

：.y[2PD+4PC=4(返PO+PC)=4(PE+PC),

4

FC4，EC=平,

'：PE+PC>EC,在RtAEBC中，

...扬D+4PC的最小值为10圾.故答案为5,10&.

例题4.如图，已知正方ABCD的边长为6,圆B的半径为3,点P是圆B上的一个动点，则尸。_!尸。的

2

最大值为.

【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3,根据题意要求构造,在BC上取M使得此时PM=-,

22

则在点P运动的任意时刻，均有PM=』PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值.连接PD,对于APDM,

2

PD-PM<DM,故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值一.

2

变式练习>>>

4.(1)如图1,已知正方形A2CZ)的边长为9,圆2的半径为6,点尸是圆2上的一个动点，那么PD+-1pC

的最小值为PD-2pc的最大值为_近瓦

--------3--------

(2)如图2,已知菱形ABC。的边长为4,NB=60。，圆B的半径为2,点尸是圆8上的一个动点，那么

【解答】解：(1)如图3中，在2c上取一点G,使得BG=4.

PB-6_3BC_9_3

BG42PB62

里="'：ZPBG^ZPBC,

BGPB

△PBGsACBP,

PG=BG=2•pr一2

PCPB33

PD2PC=DP+PG,

3

DP+PG>DG,

♦.当。、G、P共线时，PO+ZPC的值最小，最小值为。G=

3

：PD-2PC=PD-PG<DG,

3

当点尸在DG的延长线上时，PO-Uc的值最大，最大值为。6=万后.

2

故答案为｛106,V106

(2)如图4中，在BC上取一点G,使得BG=1,作。尸_LBC于E

••PB—2—QBC—4—Q

BG1PB2

APB=BC；vZPBG=ZPBC,

BGPB

:.APBGSACBP,

•••PG一_BG_1—,

PCPB2

:.PG^LPC,

2

：.PD+LPC=DP+PG,

2

•：DP+PG>DG,当。、G、尸共线时，尸。+工尸。的值最小，最小值为。G,

2

在RtACDF中，Z£)CF=60°,C£>=4,

.•.■DF=CZ>sin60°=2V5：CF=2,________

在R3GO尸中，DG=q(2沉)2+⑸2=师

,:PD-LPC=PD-PG<DG,

2-

当点尸在。G的延长线上时，PO-Uc的值最大(如图2中)，最大值为DG=J所.

2

故答案为《而，V37.

例题5.如图，抛物线y=-x2+bx-K：与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点，直线AC：y=-；x-6

交y轴于点C.点E是直线AB上的动点，过点E作EF，x轴交AC于点F,交抛物线于点G.

(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；

(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为顶点的四边形是

矩形？求出此时点E,H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为。E上一动

点，求一AM+CM它的最小值.

2

【解答】解：(1)：点人(-4,-4),B(0,4)在抛物线y=-x2+bx+c上,

C-16-4b+c=-4(b=-2

,Ac=4,.•.(c=4,...抛物线的解析式为丫=_*2-2*+4；

(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A,B,

fn=4(k=2

...〔-4k+n=-4,...1n=4,...直线AB的解析式为y=2x+4,

设E(m,2m+4),G(m,-m2-2m+4),

四边形GEOB是平行四边形，EG=OB=4,

-m2-2m+4-2m-4=4,m=-2,；.G(-2,4)；

(3)①如图1,

由(2)知，直线AB的解析式为y=2x+4,.•.设E(a,2a+4),

;直线AC：y=--x-6,/.F(a,--6),设H(0,p)，

22

•..以点A,E,F,H为顶点的四边形是矩形，

•.•直线AB的解析式为y=2x+4,直线AC：y=-；x-6,

；.AB_LAC,；.EF为对角线，

一(-4+0)=—(a+a),—(-4+p)=—(2a+4~—a-6),

22222

；.a=-2,P=-1,；.E(-2,0).H(0,-1)；

②如图2,

由①知，E(-2,0),H(0,-1),A(-4,-4),

；.EH=J^,AE=26,设AE交。E于G,取EG的中点P,，PE=^,

2

连接PC交。E于M,连接EM,，EM=EH=\/^,

,PET_1..MEJ51,PEME1

ME也2'AEI252,,ME~AE~2

PEME1

VZPEM=ZMEA,.,.△PEM^AMEA,••------------

MEAE2

1

；.PM=—AM,/.-AM+CM的最小值=PC,设点P(p,2p+4),

2

VE(-2,0),；.PE2=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2,

V55

VPE=.--，A5(p+2)2一“

24

5、3

•*-p=---或p=——(由于E(-2,0),所以舍去),Z.P-1),

222

(-》+(-1+6)25百

15出

VC(0,-6),：.PC=-i2即Rn：一AM+CM=----.

222

变式练习>>>

5.如图1,抛物线丫=加+(。+3)x+3(G#0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点8,在x轴上有一

动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点尸作

于点M.

(1)求。的值和直线的函数表达式；

c

(2)设的周长为Ci,AAEN的周长为C2,若一1=旦，求机的值；

C25

(3)如图2,在(2)条件下，将线段OE绕点。逆时针旋转得到。月，旋转角为a((T<a<90。)，连

接FA、E'B,求的最小值.

【解答】解：(1)令y=0,贝|加+(〃+3)%+3=0,

(x+1)(QX+3)=0,.*.%=-1或-刍，

a

•・•抛物线>=加+(Q+3)X+3(存0)与x轴交于点A(4,0),

-上=4,：.a=-上.VA(4,0),B(0,3),

a4f/

设直线AB解析式为尸丘+b,则0=3,解得Jk=R,

l4k+b=0[b=3

/.直线AB解析式为y=-雪'+3.

4

(2)如图1中，'：PM±AB,PELOA,

:.NPMN=/AEN,'：ZPNM=ZANE,:.丛PNMs丛ANE,.•.m=@

AN5

'：NE//OB,/.AN=AE,：.AN=^-(4-m),

AB0A4

•••抛物线解析式为y=-当2+义什3,

44

/.PN=--^m2+-^-m+3-(-_5_m+3)=--5-m2+3m,

4444

32q

+3m

--------=—,解得根;2.

5

(3)如图2中，在y轴上取一点M使得。的=-1,连接AM',在AM上取一点£使得OE'=OE.

3

：0E'=2,OM'・OB=&x3=4,

3

•.OE'OM'OB,

\口E"=OB-•；/BOE'=ZM'OE',

OM'OE'

△M'OE'S/^E'OB,

•M'E'=0E'=2

，-BF-OBT

•.ME=2-BE,

3

AE'+^BE'=AE'+E'M'=AM',此时4匕+25£最小

33

(两点间线段最短，A、M'、£共线时)

达标检测领悟提升强化落实

1.如图，在RTAABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为0，点P为

6

圆B上的一动点，求AP+"PC的最小值.

2

［答案］:75.

2.如图，边长为4的正方形，内切圆记为。O,P是。。上一动点，则、历PA+PB的最小值为.

［答案］:2氐

3.如图，等边△ABC的边长为6,内切圆记为。0,P是。0上一动点，则2PB+PC的最小值为.

4.如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,CA=3,CB=4,。的半径为2,点P是上的一动点，则+

的最小值为?

P

图2

解答।如图2,连接“，口算?=马、g=?，故选择在C8上取点，构造“核武器”

CA3CB2

“母子型相似模型”，取点从使c〃=i,则有*CH=C芸PPH=1*所以无论。如何移动，

CPCBBP2

△PCH与△8CP始终相似，故PH=-BP始终成立，所以心+=AP+PH,其中从4为

22

定点，故〃、P、4三点共线时最小，AP+-PB=AP+PH=4CH2+AC2=V10.（思考：若求

2

8P+》尸呢？）

5.如图，在平面直角坐标系中，4（2,0）,B（0,2）,C（4,0）,D（3,2）,P是4AOB外部第一象限内的

一动点，且/BPA=135°,则2PD+PC的最小值是多少？

［答案］40

6.如图，RtAABC,ZACB=90°,AC=BC=2,以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、尸四个顶点按逆

时针方向排列）可以绕点C自由转动，且C£）=J2，连接AF,BD

（1）求证：ABDC0AAFC；

（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出返AD的值；

2

（3）直接写出正方形。）EF旋转过程中，的最小值.

24

图1

【解答】(1)证明：如图1中，

•・•四边形CDEF是正方形，

:・CF=CD,ZDCF=ZACB=90°,

：.NACF=/DCB,

9：AC=CB,

：./\FCA^/\DCB(SAS).

(2)解：①如图2中，当点。，石在A3边上时,

*：AC=BC=2,NACB=90。，

：.AB=2^

VCDXAB,

：・AD=BD=圾,

：.BD+返AD=6+1.

2

②如图3中，当点E,£在边AB上时.

BD=CF=V2»AZ)=JBD?+AB2=710,

/.BD+2Z1AD=V2+V5.

(3)如图4中.取AC的中点M.连接。M,BM.

,:CD=®,CAf=l,C4=2,

：.CD-=CM-CA,

；CD=CM；vZDCM=ZACD,

CACD

AZ)CM^AAC£),

•DM=CD=V2

"AD年~

：.DM^y^AD,

2

BD+HAD=BD+DM,

2

...当8,D,/共线时，返AD的值最小,

._2

最小值={CB2+CM2=A-

7.(1)如图1,在△ABC中，AB=AC,8。是AC边上的中线，