2023届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三年级上册10月月考数学试题

2023届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三上学期10月月

考数学试题

一、单选题

1.已知z=（4+3i）（2+i）,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】由复数运算，化简复数z,即可得到结果.

【详解】因为z=（4+3i）（2+i）=5+10i,所以z在复平面内对应的点位于第一象限.

故选:A.

2.设等差数列｛〃“｝的前”项和为S,,,若。6+%+4+49+40=20,则岳5=（）

A.150B.120C.75D.60

【答案】D

【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.

【详解】由等差数列的性质可知%+%+/+%+«,（>=5/=2（）,

所以6=4,

*=考验=的产|54=60.

故选：D

3.已知集合人=56?4|-l<x<lnA:｝共有8个子集，则实数上的取值范围为（）

A.（0,3]B.（e,e3]C.（e2,e3]D.（e\e4]

【答案】C

【分析】先判断出集合A的元素的个数，由此列不等式来求得k的取值范围.

【详解】由于集合A有8个子集，所以集合A有3个元素，即4=｛0,1,2｝,

所以2<In%43,EPIne2<In/:<Ine\e2<k<e3.

所以k的取值范围是（e?,e]

故选：C

4.某铁球在0℃时，半径为1dm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发

生变化，且当温度为/℃时铁球的半径为（l+"）dm,其中。为常数，则在f=0时，铁球体积对温度

4

的瞬时变化率为()(参考公式：喝=］球3)

4

A.0B.4兀C.4冗〃D.—707

3

【答案】C

【分析】先求得铁球体积关于温度f的表达式，再对其求导，进而即可求得在f=0时，铁球体积对

温度的瞬时变化率.

44

【详解】/=1兀内=(1+皿)3,

贝|JL=-7cx3(l+6tr)2xa=4jia(\+at)

贝ij匕求L=4T“如l+axO)?=4兀〃,

即在1=0时，铁球体积对温度的瞬时变化率为4w

故选：C

-什/兀、crmsma/、

5.右tan(二一。)=-2,5JIJ—-------------------=()

4sin~acos«4-3cosa

5n_5-1

A.—B.2C.—D.—

222

【答案】c

【分析】根据两角差的正切公式求得tanc=-3,将「一场j_L化简为.「an：,根

sin~6ZCOS6Z+3COSasin-a+3cosa

据齐次式的计算求得sin,c+3cos2a,即可求得答案.

【详解】由tan(«—a)=—2可得必吧=-2,，tana=-3,

41+tana

-sinasinatana

故—---------------=--------2--------2—=—2-------；—2

sin?acosa+3cos③acos«(sin6^+3cosa)sin«+3cosa

sin?a+3cos*atan2a+3_6

而sin2a+3cos2a=

siira+cos~atan2cr+15

tana_-3_5

故sin?a+3cos2a62,

5

即，sina一「5

sin-acosa+3cosa2

故选：C

6.“基函数/(x)=(加+m-1卜”在(0,+e)上为增函数”是“函数g(x)=2'-nr-Tx为奇函数”的()

条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】要使函数〃X)=(1+机-1)/是基函数，且在(0,w)上为增函数，求出相=1,可得函数g(x)

为奇函数，即充分性成立；函数g(x)=2'-2T为奇函数，求出,〃=±1,故必要性不成立，可得

答案.

【详解】要使函数“*)=(川是累函数，且在(0,一)上为增函数，

则/〃+”,解得：^=1,当机=1时，g(x)=2x-2~x,xeR,

m>0

则g(-x)=2-，—2，=-(2，-2T)=-g(x),所以函数g(x)为奇函数，即充分性成立;

“函数g(x)=2X-nr-2T为奇函数”,

则g(x)="(r),即2'-m2-2T=_(2-*—疗•2")=疗•2'-2T,

解得：加=±1,故必要性不成立,

故选：A.

7.已知函数/(x)=sin2g^+gsin3x-；3>0),xeR.若/(刈在区间(兀,2兀)内有零点，则刃的取

【答案】D

【分析】应用降基、辅助角公式得了。)=孝5m(5-?)，由正弦型函数的性质及f(x)在(兀,2兀)有零

点可得]+；<公<攵+；，keZ,即可求参数范围.

【详解】/(x)=g(sincox-coscox)-sin(5-?),

令/(x)=0,可得=Z兀且AeZ,则工=工(也+:],keZ,

4coy4j

又69>0,/(X)在(兀,2九)有零点，则兀<：(祈+：)<2兀，kwZ,即+kwZ,

1155991313

所以4=0时一<&<一；攵=1时一<ty<一；&=2时一<G<—；2=3时一<co<一；...

84848484

故选：D

8.己知函数,/•(x)=^(x+l)—lnx,若f(x)40有且只有两个整数解，则&的取值范围是()

In5In2In5In2

可而而而

In2In3In2In3

7o-,ir而，7T

【答案】c

【分析】将问题化为Z(x+1)4In%x有且只有两个整数解，利用导数研究g(x)="In2x,的性质，并画出

g(x)与y=k(x+l)的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求女的范围.

【详解】由题设，定义域为(0,xo),则〃x)40可得心X+1)4?，

人/、Inxe“、1-lnx

令g⑶、‘贝"二丁

所以0cx<e时g'(x)>0,即g(x)递增，值域为(-8,-)；

e

x>e时g，(x)<0,即g(x)递减，值域为(Oj)；

而y=Z(x+l)恒过(―1,0),函数图象如下：

要使k(x+l)4也In有r且只有两个整数解，则y=Z(x+l)与g(x)必有两个交点,

若交点的横坐标为玉<々，则1<占42<34%<4,

故选：C

Inx

【点睛】关键点点睛：首先转化为-X+D4也有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用

InX

数形结合法判断g(x)=—、y=%(x+i)交点横坐标范围，即可求参数范围.

二、多选题

9.己知〃x)=；sin2x,关于该函数有下面四个说法，正确的是()

A./(x)的最小正周期为万

TT7T

B.f(x)在一丁，丁上单调递增

_44_

C.当一1，[时，/(X)的取值范围为一半，:

_63」42

D.Ax)的图象可由g(x)=]Isin(2x+7?T)的图象向左平移彳7T个单位长度得到

【答案】ABC

【分析】根据正弦函数的性质一一分析即可；

【详解】解：对于/(x)=g1sin2x,它的最小正周期T=^27r="，故A正确；

在2xJ-g,g],又丫=《皿在上单调递增，所以函数/(X)在l-U]上单

L44J\_22][_22]L44_

调递增，故B正确；

当XG时，2xe-1，耳，所以sin2xw-坐,1,则/(x)的取值范围为,故C

_63」1.33」242

正确；

小)的图象可由g(x)=gsin(2x+?)的图象向右平移器个单位长度得到，故D错误；

故选：ABC.

10.已知函数f(x)=a(gj+b的图象经过原点，且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交，则

下列说法正确的是()

A.a+b=0B.若/(x)=f(y),且x*y,则x+y=0

C.若x<y<o,则D.“X)的值域为[0,2)

【答案】ABD

【分析】根据题意，由指数函数的性质分析。=-2、6=2的值，即可得函数的解析式，根据函数的

奇偶性以及单调性即可对选项逐一求解.

【详解】函数./1⑴〜彳严+8的图像过原点，:.a+b=0,即)=-“，f(x)=a-(^)M-a,

且/")的图像无限接近直线y=2,但又不与该直线相交，.•.6=2,a=-2,/(x)=-2.(l)w+2,故A

确；

由于/(X)为偶函数，故若f(x)=f(y),且xwy,则即x+y=0,故B确，

由于在(-8,0)上，小)=2-22单调递减，故若x<y<o,则/(x)>f(y),故C错误，

由于(])“'{(0,<1,/(x)=-2•(―)ul+2e[0,2),故D确；

故选：ABD

11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”(下

图所示的是一个4层的三角跺).“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，

设第〃层有％个球，从上往下〃层球的球的总数为S.，则()

A.=n+l(/i>2)B.S,=84

c98x9911114044

C«98=-----1---1F…d=-----

qa2a3-----a2(n22023

【答案】BCD

【分析】根据题意求得外生、生，进而可得4-a“T=〃，利用累加法求出对即可判断选项A、C；

计算前7项的和即可判断B；利用裂项相消求和法即可判断D.

【详解】由题意得，

q=l,生一4=2,a3-a2=3,,an-an_x=n,

以上〃个式子累加可得

<-〃(九+1)/、-、

=1+2++〃=——―-(H>2),

又4=1满足上式，所以为=凶#,故A错误;

则CI-)—3,。鼻=6,=1。，=15，。6=21,ci-j—28,

得S7=q+%++%=1+3+6+10+15+21+28=84,故B正确;

98x99

有。98=,故C正确;

2

2=2(1—1-),

由an(n+1)

nn〃+1

111“111”2。-上嚼

得丁丁+^=2(1~2+2-3++

20222023

故D正确.

故选：BCD.

12.下列说法不正确的是()

A.若a=8,c=10,3=60。，则符合条件的ABC有两个

B.己知向量a=(l,l),b=(-3,x),若x<3,则«出)为钝角.

为必48AC

C.-BC=0,且则；ABC是等边三角形

[\AB\\AC\)\AB\"\AC\2

D.在ABC中，“AC>0”是“ABC为锐角三角形的充要条件

【答案】ABD

【分析】由余弦定理求得人=商，可判定A错误;根据向量的夹角公式，可得判定B不正确；设/84C

的平分线为A£>,根据题意得到ABC为等腰三角形，且(AB,AC)=(,可判定C正确；根据向量

的夹角公式，得到AG(O,]),得到充分性不成立，可判定D错误.

【详解】对于A中，因为a=8,c=10,3=60。，

由余弦定理得层=a2+/-2accosB=64+100-2x8x10x3=84,可得匕=疯，

所以符合条件的ABC只有一个，所以A错误；

对于B中，由向量a=(l,l)*=(-3,x),可得cos(a,)=/：：+x?，

当x<3时，cos(词<0,所以卜,小专,乃]为钝角，所以B不正确；

ARAC

对于C中，如图所示，设NB4C的平分线为AO,则AD=；l('空+」3),

\AB\\AC\

又由广西+)°，可得，所以为等腰三角形，

|A8|B\AC\/C=AOL5CABC

又因为色•匹="可得cos(A8,AC)=1,

|AB|\AC\2'/2

由(4B,AC)e[0,;r],所以(A8,AC)=q,所以此时ABC为等边三角形,所以C正确；

对于D中，在中，由AB-AC>0,可得(AB,4C1(0,9，即Awg,1),

但,/1SC不一定为钝角三角形，所以充分性不成立，所以D错误.

故选：ABD.

三、填空题

13.己知函数/(x)=3x+4sinx-l,若/'(-。)=5,则/(4)=.

【答案】-7

【分析】由题意函数f(x)=3x+4sinx-l,由/'(-“)=5,求得3a+4sina=进而可求得的

值.

【详解】由题意函数/(x)=3x+4sinx-l,

因为/(-a)=5,则/(-a)=-3a+4sin(—a)—1=一(3a+4sina)-1=5,则3a+4sina=-6,

则/(a)=3a+4sina—1=-6—1=-7.

【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值问题，其中解答中利用函数的奇偶性性和

/(-4)=5,求得3a+sina的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

*2

Y~x<a

14.设函数/%)=,若/(x)有最小值，则〃的取值范围是______.

x+2,x>a

【答案】［-1,^0)

【分析】根据一、二次函数的性质，分析即可得答案.

【详解】因为一次函数y=x+2在3,田)无最小值，二次函数y=/在对称轴x=0处或x=a有最小

值，

令彳2=》+2，解得x=-l或42,

所以要使/(x)有最小值，则

所以a的取值范围是［-1,+°°)

故答案为：［T，—)

15.若数列仅〃｝满足4=0，4+1=4,+1+2J1+4,则“〃=

【答案】»2-1

【分析】将递推公式两边加1,开方构造出g+1=历行+1,求出等差数列的通项公式后，可求

an.

【详解】%+i=4+1+2J1+4("e"),

两边加1得5+i+1=。“+1+2Jl+an+1=(yjan+1+1)2,

两边开方得，“用+1=疯百+1,

所以数列｛7^币｝为等差数列，公差为1,首项历T=I,

数列｛Ja“+1｝的通项公式为+1=1+(n-1)x1=n.

两边平方得〃〃+1=",所以所=/-1.

故答案为：/-1.

【点睛】本题考查了由递推关系进行数列通项求解的问题，考查了等差数列的判定及变形构造，转

化、计算能力.

16.若函数〃x)=e'(cosx-a)在区间［0,句上单调递减，则实数。的取值范围是.

【答案】口,户)

【分析】由题意可知r(x)=-e'及sin(x-£|+a40在区间［0,句上恒成立，即可得

-a40sin(x-?)在区间［0,句上恒成立，再根据正弦函数的性质即可求出&sin(x-()的最小值,

由此即可求出结果.

【详解】因为/(x)=ev(cosx-a),所以/'(x)=e'(cosx-a-sinx)=-e'[&sin(x-

因为函数/（工）=已‘（8$工-4）在区间[0,句上单调递减,

71

所以/'（x）40在区间[0,句上恒成立，即40sinX--在区间[0,句上恒成立,

冗冗3乃.（71

又句时，

xe[0,x--e~9—，所以sin[xG

e[-l,V2],所以—。4一1,即。之1.

故答案为：[1,+°°）.

四、解答题

Yr

17.已知。=（L扬,sin^,cos—，函数/（幻=（4+力）山.

（1）求/W的最小正周期;

（2）已知.ABC的内角A、B、。所对的边分别为。、b、c,若从=ac,且/（B）=3,请判断:的

形状.

【答案】（1）7=4兀

（2）J1BC为等边三角形

【分析】（1）利用向量的加法及数量积的坐标表示，结合辅助角公式及三角函数的周期公式即可求

解;

（2）根据（1）的结论及已知条件，利用特殊值对应特殊角及角的范围，结合余弦定理及三角形边

角的特点即可求解.

XX

【详解】⑴因为〃幻=（。+〃）小=1+sin}6+COSysin—,cos—

T=—=4TI

所以1

2

X71

(2)由(1)可知,/(x)=2sin+1,因为/(5)=3,

23

B71B兀

所以/(B)=2sin+1=3,所以sin=1

2323

因为。＜8〈兀，所以彳＜彳+彳＜2-

3236

所以3+]=；，解得B=；，

■rr

由余弦定理可得。*=a?+c2-2ac-cos—=a2+c2-ac,

又因为〃=ac,所以/+C?-ac=ac,BPa2+c2-2ac=(a-c)2=0,

所以a=c,

所以ABC为等边三角形.

18.在等差数列｛。“｝中,%=3,4=7.

⑴求｛七｝的通项公式；

⑵若论,-%｝是公比为2的等比数列，4=3,求数列｛4｝的前〃项和S”.

【答案】⑴a,=2〃-l

（2）S“=2"“-2+/

【分析】（1）设公差为d,根据已知求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；

（2）根据等差数列的通项求出数列也,-4｝的通项，即可得出数列｛4｝的通项，再利用分组求和法

即可得解.

【详解】（1）解：设公差为d,

则％-%=2d=4,解得d=2,

则%=q+2=3,所以q=1,

所以aa=2〃-1；

（2）解：4-a尸2,

因为圾-4｝是公比为2的等比数列，

所以。-4=2",

所以2=2"+（2〃-1）,

所以=（2+2?++2"）+口+3+5++（2n-l）］

=止4（1+21）〃》_2+小

1-22

19.在①S=乎（“2+从-c?）,②acosB+6cosA=2ccosC,请在这两个条件中任选一个，补充到下

面问题中，并完成解答.

在一ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为一ABC的面积，满足（填

写序号即可）.

⑴求角C的大小；

⑵若c=3,求ABC周长的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(i)c=q

⑵9

【分析】⑴若选①，由面积公式及余弦定理得到L6sinC=X^2HcosC,即可求出tanC,从而

24

得解；若选②，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；

(2)利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.

【详解】⑴解：若选①，因为5邛面+〃-2),

所以,出?5m。=且・2。。<：05。，

24

所以sinC=GcosC,

所以tanC=G，

因为OvC<乃，

所以C=q.

若选②，因为acos8+〃cosA=2ccosC,

由正弦定理得sinAcosB+sinSeosA=2sinCcosC,

所以sin(A+B)=2sinCeosC,即sinC=2sinCeosC,

0<C</r,...sinCxO,cosC=-,

X0<C<^,:.C=~.

(2)解：由余弦定理得知=储+从一2—8SC,

因此9="2+/-ab=(a+b)2-3ab>(a+b)2-3-(^^-)2,

:.a+b<6,当且仅当a=6=3时等号成立，

所以二相。的周长5.=。+°+。=。+力+346+3=9.

因此ABC的周长的最大值为9.

20.已知函数/(x)=xlnx-or+2(。为实数)

(1)若a=2,求在［l,e1的最值;

(2)若/(x)NO恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)最小值为2-e,最大值为2;(2)(fo,l+ln2].

【分析】(1)首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，再求出区

间端点的函数值，即可求出函数在区间上的最大值：

(2)首先求出函数的定义域，参变分离，即可得到In恒成立，令g(x)=lnx+：,利用导

数研究函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；

【详解】(1)当a=2时，/(x)=xlnx-2x+2,/(x)=lnx-l

由_f(x)<0得0<x<e,由用x)>0得x>e,

所以f(x)在(O,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增，

且7(e)=elne-2e+2=2-e,f(1)=llnl-2+2=0,f(e2)=e2]ne2-2e2+2=2

则函数〃x)在区间[I"?]上的最小值为2-e,最大值为2.

(2)由题得函数的定义域为(0,+8),若“X)对恒成立，则xlnx-or+2*0,

2

即Inx+—2〃怛成立，

x

令g(x)=lnx+2,则g<x)=[一马=^^,

当0<x<2时，g'(x)<0；

当x>2时，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+功上单调递增，

则g(x)min=g(2)=l+ln2,所以a41+ln2,

故。的取值范围为(F,l+ln2].

9c

21.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，满足：_/=a.+l(〃eN)

⑴求证：数列｛%｝为等差数列；

⑵若见=5,令仇，=>，数列出｝的前"项和为1,若不等式45亿用-7；,)4加一5%对任意〃eN.恒

成立，求实数，”的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2)/ne(^=0,-2]a[7,+<»).

【分析】⑴利用%，S“关系可得(〃-2)4=(〃-1)%-1,即有5-1)1=〃4-1,将两式相减并整

理有4向+4-=2«„,即可证结论.

(2)由(1)结论及题设可得〃=丁二，令3=—“、c„+l=T2n+J-T„4],应用作差法比较它们

4〃一3

的大小，即可确定出“+「1｝的单调性并求其最大值，结合恒成立求〃?的取值范围.

【详解】(1)由题设，5“="("”，则5,1=("-1)7+1)(〃々2),

所以%=S"-S,-=〃(丁)一("-嗖+1)=%-(〃；)%+1,整理得(/J_2)a“=(〃_1应,「1,则

(“-1)。向=%-1，

所以(〃-l)a“+i--2)an=na„-l-(n-l)a„,,+1,即("-1)(《用+%)=2(〃-l)a„,n-1^0,

所以。向+/t=24,故数列｛《,｝为等差数列，得证.

(2)由2sl=q+l,可得q=l,又见=5,结合(1)结论知：公差一4=4,

.11111

所以q=4〃-3,^b=-=--则[:”向一北二:；~~~

na„4n-34〃+14〃+58〃+1

1++1+

所以c,+i=^„+3-^1+i=-----+A-O1o---10，且〃eN",

4〃+54〃+98〃+1on+58”+9

一，I1140〃+31八

所以党“一加—8〃+5+8〃+9-4〃+1—-(4〃+1)(8〃+5)(8〃+9)<'即

1114

所以，在〃以1,+8)且〃eN*上耳M-1,递减，则应向-7XX=54=M+§=行，

22

要使45(7^n+1-Tn)<m-5m对任意〃eN*恒成立,BPm-5m-l4=(m-l)(m+2)>0,

所以e(-oo,-2]u[7,+oo).

22.已知函数f(x)=alnx+x-l(其中a为参数).

⑴求函数〃x)的单调区间：

(2)若对Vx