高中数学人教版必修五第二章等差数列（二）导学案

第二章数列

§2.2等差数列（二）

J

.学习目标.1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质

解决有关问题.

H问题导学--------------------------

知识点一等差数列通项公式的推广

思考1已知等差数列｛&｝的首项必和公差”能表示出通项4=a+（〃-1）&如果已知第加

项&和公差d,又如何表示通项an?

答案设等差数列的首项为国，则a=国+（勿-1）4

变形得a\=aw—（/zr-1）d,

则4=功+（77-1）d=（/»—1）d+（zj—l）d

=&+（〃一血d.

思考2由思考1可得"=也可，"=之二你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几

〃一1n—m

何意义吗？

答案等差数列通项公式可变形为a广曲+（以一中，其图象为一条直线上孤立的一系列点，

（1,a）,（〃，a）,5,a”）都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点（1,日）,（〃，a„）

连线的斜率总之二?.当两点为（〃，a）,5,a）时，有d=七牝

梳理等差数列｛a｝中，若公差为4则a,,=a"+（〃一〃）d,当〃Wr时，"=包二空

n-m

知识点二等差数列的性质

思考还记得高斯怎么计算1+2+3+…+100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜

想？

答案利用1+100=2+99=i.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等

于首项与末项的和.即团+2,=鱼+&~|=@3+2〃-2=….

梳理在等差数列｛&｝中，若/+〃=0+0（），n,p,0CN"）,则a“+包=。〃+劣.特别地，若

m+n—2p,则a〃+a"=2ap.

知识点三由等差数列衍生的新数列

思考若｛a｝是公差为d的等差数列，那么｛&+a什2｝是等差数列吗？若是，公差是多少？

答案♦.•（a+1+a„+3）—（a〃+a„+2）

—（a”+i-a„）+（3„+j-a„+2）

—d+d=2d.

；.｛a+&/是公差为2d的等差数列.

梳理若｛&｝,｛4｝分别是公差为d,d'的等差数列，则有

数列结论

{c+a}公差为d的等差数列（c为任一常数）

{c•a,}公差为cd的等差数列（C为任一常数）

{4+&+*}公差为2d的等差数列（〃为常数，AWN"）

{pan+协}公差为pd+qd'的等差数列①，°为常数）

2题型探究

类型一等差数列推广通项公式的应用

例1在等差数列｛a｝中，已知az=5,a=17,求数列的公差及通项公式.

解因为a=例+（8—2）4所以17=5+6d,解得d=2.

又因为a„=a2+（n—2）d,所以a〃=5+（〃-2）X2=2/?+l.

反思与感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.

跟踪训练1数列｛a｝的首项为3,｛&｝为等差数列，且乩=a“+i-a“（”GN*）,若友=-2,

乐=12,则a等于（）

A.OB.3C.8D.11

答案B

解析•♦•｛4｝为等差数列，设其公差为4

l,仇。一公12—（-2）

则h1l"一行石一，=2,

.,.&,=&+（〃-3）d=2〃-8.

58=（色一今）+（信一戊）+（戊―&）+（戊―&）+（国一例）+（曲—/）+（生—功）+功

=打+公+~+%+@

=也+bj+（廉+b）+（&+bi）+bi+a\

=7打+8=7乂0+3=3.

类型二等差数列与一次函数的关系

例2已知数列｛&｝的通项公式为=s+g,其中口4为常数，那么这个数列一定是等差数

列吗？若是，首项和公差分别是多少？

解取数列｛a｝中任意相邻两项&和&,

求差得a„—a„-\=(pn+q)—

—pn+q—(pn—p+q)—p.

它是一个与〃无关的常数，所以｛a,,｝是等差数列.

由于a„—pn+q—q+p+(/?—1)p,

所以首项a=p+q,公差d=p.

反思与感悟本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等

差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，这种解答方式的转变，同学们要在

学习中体会，在体会中升华.

跟踪训练2某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等

方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不

调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？

解由题意可知，设第1年获利为团，第〃年获利为a,则&-@1=-20(〃22,〃GN*),

每年获利构成等差数列｛&｝,且首项国=200,公差d=-20.

所以a“=ai+(/?-1)d=200+(/?—1)X(—20)

=-20/7+220.

若a“<0,则该公司经销这一产品将亏损，

由a=一20〃+220<0,解得

即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.

类型三等差数列性质的应用

例3已知等差数列｛a｝中，a+a,+&=15，刈&&=45,求此数列的通项公式.

解方法一因为&+8=2&,ai+ai+a=3ai=15,

所以3|-5.

又因为a2aia=45,所以a2a6=9,

即(&-2"(a,+2c/)=9,(,5-2d)(5+2中=9,

解得d=±2.

右d=2,a“=ai+(z?-4)d=2〃-3；

若d=-2,&=&+(〃-4)d=13—2”.

方法二设等差数列的公差为d,

则由ai+ai+ar=15,得

ai+ai+3d+ai+6d=15,

即团+34=5,①

由全aa6^45.

得(&+加(ai+3o!)(0+5t=45,

将①代入上式，得

("+中X5X(5+2中=45,

即(a+由X(5+2中=9,②

解①，②组成的方程组，

得功=-1,d=2或功=11,d=-2,

即Qn——1+2(/?—1)=2〃-3

或a=11—2(〃-1)=—2〃+13.

引申探究

1.在例3中，不难验证&+国+为=己2+包+条，那么，在等差数列｛a｝中，若m+n+p=q

+_r+s,以，n,p,q,r,s£N",是否有&+&+&=8+/十殳？

解设公差为必则&=d+5—1)",

a?=a+(/?—1)d,

aP=ai+(p-1)d,

aq=a\+(g—1)d,

ar=ai+(r—1)d,

as=a\+(s—1)d,

；・a+&+/=3a+(m+n+p—3)d,

&+且+&=34+(q+r+s—3)d,

m+n+p=q+r+s,

/•见+&+ap=&+&+as.

2.在等差数列｛a｝中，已知43+戊=10,则3戊+e=.

答案20

解析•；&+庆=10,，&+a3+a+a=20.

73+3+8+8=5+5+5+7,

/.第+4+全+%=晶+的+全+与,

即3法+8=2(企+分)=20.

反思与感悟解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列｛aJ的性质；二是

利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之.这些

方法都运用了整体代换与方程的思想.

跟踪训练3在等差数列｛8?｝中，已知a+&+&=39,52+55+^=33,求a+a+&9的值.

解方法一：(我+全+徐)一(a+a+a?)=34

(次+与+麴)—(&+次+a)=3",

ai+ai+57,a+8+/，全十及+曲成等差数列.

••・&+呆+4=2(义2+或+曲)一(4+囱+功)

=2X33-39=27.

方法二Vai+ai+57=5i+3+3中+(4+6中

=3a+9Q39,

，&+3d=13,①

*.•52+35+^8=(打+4+(a+4而+(6?i+7d)

=3a+l2d=33.

，&+4d=11,②

&+3"=13,d=-2,

由①②联立•得

a+4d=11,a=19.

.,・钠+&)+麴=(4+2h+(功+5中+(a1+8d)

=3a+15d=3X19+15X(-2)=27.

3当堂训练

1.在等差数列｛a｝中，已知续=10,徐=-20,则公差d等于()

A.3B.-6C.4D.-3

答案B

解析由等差数列的性质得及_氏=(8-3)d=5d,

-20-10

所以d=6.

5

2.在等差数列｛a｝中，己知&=2,a=14,则国$等于()

A.32B.-32

C.35D.-35

答案C

解析由全一品=(8—4)d=4d,得d=3,

所以45=a+(15-8)4=14+7X3=35.

3.等差数列｛a｝中，a.i+a>=15,a7=12,则我等于()

A.3B.-3

33

C.-D.--

答案A

解析由数列的性质，得H1+a=/+生，

所以13Z=15—12=3.

规律与方法区

1.等差数列｛a｝中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是

等差数列.

2.在等差数列｛4｝中，首项a与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果

条件与结论间的联系不明显，则均可根据外，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的

变形及整体计算，以减少计算量.

40分钟课时作业

一、选择题

1.已知等差数列｛4｝的公差为d(dWO),且劣+%十&0+a3=32,若&=8,则/〃的值为()

A.12B.8

C.6D.4

答案B

解析由等差数列的性质得，

勿+a+ao+&3=(a+&3)+(a+a。)

=2a+2改=4曲=32,

；・a=8,又拄0,

*,•勿=8.

2.设公差为一2的等差数列｛4｝,如果a+a+a7H---1~47=50,那么a3+a6+^)H----1~须

等于()

A.-182B.-78

C.-148D.-82

答案D

解析&+a+囱-|---1-49

=(m+2"+(国+2龙+(%+2d)+…+(痢+2中

=(a+&+…+而)+2:7X33

=50+2X(-2)X33

=-82.

3.下面是关于公差是力＞0的等差数列｛&｝的四个命题：

加数列｛a｝是递增数列；A：数列｛〃&｝是递增数列;

加数列根是递增数列；

P，：数列｛a+3〃协是递增数列.

其中的真命题为()

A•。，RB.pstPA

C.R,piD.pi,p\

答案D

解析对于0：an=ai+(/?—1)d,力>0,

...a—afl-i=d>09则pi正确;

对于p矣nan=na\+n(/?—1)d,

/.nan—(〃-1)3"T=a+2(〃-1)d与0的大小关系和国的取值情况有关.

故数列｛4&｝不一定递增，则R不正确；

.&-1-a+d

nn—\z?(z?—1)!

当d—a\>Q,

即心国时，数列｛，是递增数列，

但力>功不一定成立，则R不正确；

对于A：设

则bn+1—bi,—3n+1-a+3d=40.

・,・数歹|」｛&+3〃切是递增数列，外正确.

综上，正确的命题为",Pi.

4.在等差数列｛4｝中，若82+<31+/+a+&0=80,则2—万冬的值为()

A.4B.6

C.8D.10

答案C

解析Va2+a.i+a+^+aio=5^=8O,

・'・条=16,

11..

工日-5a=万(24-国)

=^(条+企-企)

1

=~a=8.

5.若a,8,c成等差数列，则二次函数尸a/-26x+c的图象与x轴的交点的个数为()

A.0B.1

C.2D.1或2

答案D

解析Va,b,c成等差数列，

C.2b=a+c,

/.4=4〃-4ac=(a+c)?—4ac=(a—c)2^0.

・••二次函数尸/一2"+。的图象与x轴的交点个数为1或2.

6.在等差数列｛4｝中，若&+a+全+a+&=450,则a+企的值等于(

A.45B.75

C.180D.300

答案C

解析:④+包+全+余+6

=(a+生)+(a+a)+念=58=450,

**•^5=90.

4+a=28=180.

7.已知数列｛a｝为等差数列且科+与+科3=4兀，则tan(4+囱，的值为()

A.小B.±73

C.一乎D.—^3

答案D

解析由等差数列的性质得a+4+&3=3a=4n,

4n

•♦Qi-3.

8n2nf-

tan(a+ai2)=tan(2的)=tan--z-=tan-"\3.

2oo

二、填空题

8.设｛aj是公差为正数的等差数列，若&+az+&=15,以aa=80,则a“+ai2+团3=

答案105

解析,.,@1+刈+3)=3@2=15,

••5.

V513253=(ai—d)a2(,a2+d)

=5(25—d)=80,

又d为正数，

d=3.

au+ai2+a”=3ai2=3(检+10中=3(5+30)=105.

9.若三个数成等差数列，它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为.

答案一21

解析设这三个数为a—d,a,a+d,

Ja-d+a+a+d=9,

^\{a—d）2+a+（a+d）2=59,

a=3,

解得

d=4

a=3,

或

rf=—4.

・•・这三个数为一1,3,7或7,3,-1.

・••这三个数的积为-21.

10.在等差数列｛a｝中，已知a=〃，an=m,则a+〃的值为

答案0

解析方法一设等差数列的公差为&

从而即〃=&+（〃+〃一%）"=〃+〃•（-1）=0.

方法二设等差数列的通项公式为a=m?+8(a,。为常数)，则一

an=an-\-b=m,

得a=—l,b=/n+n.

所以&+〃=d(勿+〃)+6=0.

三、解答题

11.成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.

解设这四个数为己一3aa—d,a+d,a+3d,则由题设得

(a—3d)+(a—d)+(5+d)+(a+33=26,

\a~d)(a+d)=40,

J4a=26,

1才-d=40.

13

a=~2

或

・•・这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.

12.正项数列｛&｝中，51=1,an+1=a„+y[an.

(1)数歹心以｝是否为等差数列？说明理由；

⑵求为.

解(1),.・4+1—4&+]=3n~\~yj~^nf

4+i—a=d&+i+y[ant

/••Zaz=y1an+i+y[anf

・・・｛&｝是正项数列,

・•・｛/｝是等差数列，公差为1.

⑵由⑴知｛信｝是等差数列,且d=L

.\y[an=y[a\+(〃—1)Xd=l+(n—1)X1=〃,

:・an=f.

13.下表给出一个“等差数阵”:

47()()()aij

712()