2023-2024学年江苏省苏州市常熟市高二（上）暑期调查数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市常熟市高二（上）暑期调查数学试

卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合S={s\s=2几+l/nGZ},T=（t\t=4n+l,n6Z],则Sn71=（）

A.0B.SC.TD.Z

2.己知命题p：Vx<0,x2>0,则p的否定是（）

A.Vx<0,x2<0B.Vx<0,x2<0

C.Bx<0,x2<0D.3%<0,x2<0

3.在空间中，Z,6是不重合的直线，a,£是不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A.若1uQ,mc/?,a〃£,则〃/m

B.若l〃m,mu/3,则〃〃

C.若a10,an/3=mf11m,贝〃J,夕

D.若1_La,l//m,a]",则m_L£

4.函数y=（2"-2-"）s沅%在[一兀,利的图象大致为（）

A.^AB-^ADB.^AD-^ABC.-|ADD.

6.己知sin(a+1)=I，ae(一曙)，则sina的值为()

A3-4UB3+4/3c3-2CD3+2C

--lb---io-_io--10―

7.古代数学家刘徽编撰的逆差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基

础.现根据刘徽的健差》测量一个球体建筑物的高度，已知点4是球体建筑物与水平地面的

接触点(切点)，地面上B,C两点与点4在同一条直线上，且在点4的同侧.若在B,C处分别测

得球体建筑物的最大仰角为60。和20。，且BC=100m,则该球体建筑物的高度约为()

____________2产T、-c

AB

A25o50C25c50

A•而加B•丽加C•诉MD•标”

8.在四面体48C0中，已知二面角4-BD-C为直二面角，/.BAD=90°,乙CBD=45°,AB=

AD=g设AC=t(t>0).若满足条件的四面体ABC。有两个，则t的取值范围是()

3

A.(0,V-3)B.(0,1)C.(<3,3)D.(|,凡

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是()

A.i+i2+i3+i4=0

B.3+i>1—i

若z=(l+2i)2,则复数z对应的点位于第四象限

D.已知复数z满足：|z—2i|=3,则z在复平面内对应的点的轨迹为圆

10.袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地依次

随机摸出2个球，甲表示事件”第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件”第一次取出的球

的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的

球的数字之和为6"，则()

A.甲与乙是对立事件B.甲与乙是互斥事件C.丙与丁相互独立

D.甲与丁相互独立

11.若定义在R上的奇函数/(X)满足/(x)=f(2-x),且当X6(0,1］时，/(x)=x,则()

A.y=f(x+1)为偶函数B./0)在(3,5)上单调递增

C.八》)在(—3,—1)上单调递增D./'(x)的最小正周期T=4

12.如图，若正方体力口^^一久为如久的棱长为2,点M是正方

体在侧面8CC1B1上的一个动点(含边界)，点P是44］的中点，则

下列结论正确的是()

A.三棱锥P-DAM的体积为定值

B.四棱锥P-BDQBi外接球的半径为卑

4

C.若1DP,则41M的最大值为247

D.若D1MJ.DP,则41M的最小值为誓

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

1+,05

13.计算：，0。312+2^-log34=.

14.若圆锥侧面展开图是圆心角为与，半径为2的扇形，则这个圆锥表面积为.

15.请写出一个定义域不是R,但值域为R的奇函数：/(x)=.

16.在锐角三角形4BC中，已知25勿244-sin2B=2sin2C,则tanCtanA=，ItanA+

ItanB+ItcmC的最小值是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

己知复数z=(m-1)+(771+l)i(mG/?).

(1)若z在复平面内的对应点位于第二象限，求小的取值范围；

(2)若z为纯虚数，设z3,z2-z在复平面上对应的点分别为4,B,求向量而在向量旗上的投

影向量的坐标.

18.(本小题12.0分)

某企业为了深入学习贯彻党的二十大精神，组织全体120位党员开展“学习二十大，争当领

学人”党史知识竞赛，所有党员的成绩均在［75,100］内，成绩分成5组，按照下面分组进行统

计分析：第1组［75,80),第2组［80,85),第3组［85,90),第4组［90,95),第5组［95,100］,并绘

制成频率分布直方图如图所示，按比例分配的分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人作为

企业“二十大精神”的宣传使者.

(1)根据频率分布直方图，估计党员成绩的样本数据的第80百分位数；

(2)若从6位宣传使者中随机选取两人参加宣传活动，求第3组中至多有一人被选中的概率.

19.(本小题12.0分)

1

已知函数/'(x)=l^sin(3x+w)+1-2cos2(笑(3>0,0<<乃)为奇函数，且/'(%)图

象的相邻两对称轴间的距离为宏

(1)求/(X)的解析式及单调减区间；

(2)将函数“为的图象向右平移着个单位长度，再把横坐标缩小为原来的白纵坐标不变)，得到

函数y=g(x)的图象，当x6|—2今时，求方程g2(x)+3，与-g(x)+6=0的所有根之和.

20.(本小题12.0分)

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知AABC面积为「，。为BC的中点，且

AD=1.

⑴若乙4CC=求tanB；

(2)若炉+c?=8,求b,c.

21.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，PAl.WABCD,AD//BC,AD1CD,B.AD=CD=2,BC=4,

PA=

(1)求证：AB1PC；

(2)已知M为线段P。上一点，若与平面4BC。所成角的正切值为攀，试确定M点位置；并

求此时二面角M-AC-。的大小.

22.(本小题12.0分)

已知函数y=-l(a>0,QH1)过定点4,且点/在函数f(x)=ln(x+t)(tGR)的图象上,

g(x)=x2—2e，(”).

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)若定义在区间(1,2)上的函数y=/(%)+ln(2x-k)有零点，求整数k的值；

(3)设m>0,若对于任意Xe[^m],都有g(x)<-ln(m-1),求m的取值范围.

答案和解析

I.【答案】c

【解析】【分析】

本题考查集合的包含关系，以及交集运算，属于基础题.

首先判断集合T中任意元素都是集合S的元素，从而得出集合T是集合S的子集，然后即可求它们的

交集.

【解答】

解：因为当neZ时，集合7中任意元素t=4n+1=2,(2n)+16S

所以7些S,于是snr=T.

故答案选：C.

2.【答案】D

【解析】解：因为命题p：Vx<0,x2>0,所以p的否定是mx<0,%2<0.

故选：D.

根据含有量词的命题否定方法来求解.

本题考查含有量词的命题否定，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：若，ua,mu0,a/悻,贝弘〃m或I与zn异面，故A错误；

若〃/m,mu4则，〃/?或故B错误；

若a18,aCt/S-m,11m,则/u口或，〃0或，与£相交，相交也不一定垂直，故C错误；

若11a,l//m,则m_La,又a〃B,则ml。，故。正确.

故选：D.

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思

维能力，是基础题.

4.【答案】4

【解析】解：/(—x)=(2~x—2x)sin(—%)=(2X—2~x')sinx=f(x),

则/'(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B,

当0<尤<?1■时，f(无)>0,排除D,

当OCX〈卵寸，/(x)为增函数，排除C,

故选：A.

判断函数的奇偶性，对称性以及单调性，利用排除法进行求解即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和单调性，利用排除法是解决本题的关

键.难度中等.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了向量的运算，考查了平面向量的基本定理，属于基础题.

由图利用平面向量的基本定理表示出向量前，利用向量的线性运算，求解即可.

【解答】

解：在平行四边形4BC。中，力E=/D,G为EF的中点，

DG=DF+FG=."+杆E=办8+*尸D+DE)=办8+*一〃8+/E-4D)=冢8+

-AD}=^AB-^AD,

故选：A.

6.【答案】A

【解析】解：因为sin(a+》=|,a£(—与电，

所以cos(a+与)=/，

mil.•,1717T、1./7T、y/~3/I7T、1、，3>T3、,43-4x/-3

Lisina=sin(a+---)=-sm(a+-)--cos(a4--)=-x--—x-=———•

。。乙。乙。乙DX\J

故选：A.

结合同角平方关系先求出cos(a+9=£然后结合两角差的正弦公式可求.

本题主要考查了同角基本关系及两角差的正弦公式的应用，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：如图所示：设球的半径为R，贝露8=£加60。/?=/可R，

Ar_R_R

~tan(|zC)一£即10°'

R-100_100sinl0°

BC=-------?-CR=100=>/?

tan101coslO0—y[~3sinl00

tan10

100sinl0°

2s讥(30°-10°)

50sinl0025

-2sinl0°cosl0°-cosl0°

所以2R=能・

根据圆的切线性质，结合正弦的二倍角公式、辅助角公式进行求解即可.

本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，是中档题.

8.【答案】D

【解析】解：由二面角A-BD-C是直二面角，乙BAD=90°,/.CBD=45°,

AB=AD,取BD的中点M,连接AM,

过M作MNJLBC,连接AN.

由4MlBD,可得4MJ•平面BCD,AN1BC,

则cos“BDcosWBC=翳.器=翳=cos乙4BC,

即有cosNABC=cos45°cos45°=1

设BC=a(a>0),在△4BC中，由余弦定理可知/=a2+3-<^a,即a?—+3-t?=o,

满足条件的四面体ABC。有两个,

所以a有两个正根,

所以篁京+。44。，所以te（|,q）.

故选：D.

由面面垂直的性质，推得N4BC=60°,再由三角形的余弦定理，结合条件和二次方程实根的分布,

解不等式可得所求取值范围.

本题考查面面垂直的性质和三角形的余弦定理，以及二次方程的根的个数，考查转化思想和运算

能力，属于中档题.

9.【答案】AD

【解析】解：对于41+12+户+产=2—i—t+i=0,故A正确；

对于B,两个虚数不能比较大小，故8错误；

对于C,z=(1+2i)2=-3+4i,

则复数z对应的点(-3,4)位于第二象限，故C错误；

对于D,设z=a+bi,(a,beR),

v|z-2i|=3,

二a?+(b-2)2=9,表示以(0,2)为圆心，3为半径的圆，故。正确.

故选：AD.

对于A，结合复数的四则运算，即可求解；

对于8,结合虚数不能比较大小，即可求解；

对于C,D,结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：设甲、乙、丙、丁事件分别对应4,B,C,D,则P(4)=|,P(F)=I，P(C)=1x|=去，

丁包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),

则P(D)=羡=4p(e)=£=4p©)=短=4

对于4、B,显然甲乙事件不能同时发生，又PQ4)+P(B)="1,则A错误，B正确，

对于C,尸(CD)=嘏,P(C)-P(。)=羡则P(CD)#P(C)・P(D),则C错误，

对于D,PQW)=*,P(4).P(D)=£则P(4D)=P(4)・P(D),故。正确.

故选：BD.

先求出事件对应的概率，再由互斥事件的概念及概率和是否为1判断人B选项，再由独立事件的

概率公式判断C、。选项即可.

本题主要考查互斥事件、对立事件的定义，以及相互独立事件的概率公式，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：由f(x)=/(2—x)得函数/(为的图象关于x=1对称，

函数-X+1)的图象是由函数/(x)的图象向左平移一个单位长度得到的，

所以函数f(x+l)的图像关于y轴对称，所以函数f(x+l)是偶函数，故A正确：

由f(x)=/(2-x)得f(r)=/(2+x)=-/(X),

所以/(4+x)=f(x),f(x)的最小正周期为4,故以正确;

当xe(0,1]时，/(%)=x,因为/(x)是定义在R上的奇函数，

所以当Xe[—1,0)时,/(X)=X,且f(o)=o,

所以f(x)在(-1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

因为f(x)的最小正周期T=4,

所以“X)在(3,5)上单调递增，在(一3,-1)上单调递减，故B正确，C错误.

故选：ABD.

由"%)=/(2-％)可得函数图象关于尤=1对称，通过图象的平移判断选项4正确；由函数为奇函

数结合/(X)=/(2—x),可得函数的周期为4,判断选项力正确；由x6(0,1]时，/(%)=%,结合

函数的奇偶性和对称性，可得函数的单调性，判断出8正确，C错误.

本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性与周期性，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：

对于4,三棱

锥P-

的体

积为

V三棱锥P-OD1M

因为点P是24的中点，所以△PDQ的面积是定值，且点M到平面POD1的距离是正方体的棱长，

所以三棱锥P-OD1M的体积为定值，选项A正确；

对于8,过点P作PQ1平面8。5名，交平面于点Q,

则四棱锥P-BDDiBi外接圆的圆心0在直线PQ上，且Q为矩形8。。1品的交点，

22

设外接球的半径为R，则BDi=J22+(2C=2/3,D[Q=C，PD1=V2+l=V-5-

所以PQ=J(<5)2-(V-3)2=yj~2>

△OQDi中，0Q2+QO；=。步，即(R_q)2+(q)2=R2,解得R=I%=手，选项8正

确；

对于C,过点P作PK_LBBi，则点K是BBi的中点，连接KC,取BC的中点N,

连接NCrAM4G，

则KC〃PD,GN1KC,DiG，平面BBiGC,所以D】G1KC,

又DiGn5M=Dr,所以KC_L平面DiG“，所以KC1GM,

所以点M的轨迹是线段QN,

22

在中，41G=2。，C、N=JNC2+CC：=底,ArN=yjAA^+AB+BN=3-

所以的最大值为3,选项C错误；

对于D,在AaiCiM中，cos4&NCi=笠华与手工=?，

所以sin乙4/Ci=J1-（一/=手，

所以点4到C】N的距离为d=ArN-sinz/V=3x=巧三

所以的最小值为修，选项。正确.

故选：ABD.

三棱锥P-0D1M的体积为三棱锥M-PODi的体积，由底面积和高是定值判断选项4求出四棱

锥P-BDDiBi的外接球的半径即可判断选项B；过点P作PK1BBi，则点K是SB1的中点，连接KC,

取BC的中点N,连接NG，AiN,&G，由线面垂直的判定和性质得点M的轨迹是线段GN,解4

41G"，能求出的最大值和最小值，由此判断选项CD.

本题考查了命题真假的判断问题，也考查了点到平面的距离、线面垂直的判定和性质应用问题，

以及运算求解能力，是中档题.

13.【答案】11

1+,05,05

【解析】解：log312+2^-log34=log3^+2x2^=1+2x5=11.

故答案为：1L

根据给定条件，利用对数运算、指数运算求解作答.

本题考查的知识要点：对数的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

14.【答案】喀闻

9

【解析】解：根据题意，设圆锥底面半径为r,扇形的弧长为

因为/=|与|x2=与=2nrf所以r=|,

所以S侧=nrl=7Tx|x=等,

「「，287r247r8n2+4n

S圆锥=$侧+nr=—+y=-g-•

故答案为：卑物.

根据题意，设圆锥底面半径为r,扇形的弧长为/,利用弧长公式、圆锥的侧面积公式计算可得答

案.

本题考查圆锥的表面积计算，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题.

15.【答案】tan#(答案不唯一)

【解析】解：,."(X)=tanx的定义域为{x|xHk兀+eZ},不是R,值域为R,且满足/(-x)=

-/(x),即f(x)=tanx为奇函数,

符合题意，

故答案为：tanx(答案不唯一).

/(x)=tanx,分析其定义域与值域及其奇偶性，可得答案.

本题考查函数的奇偶性、定义域、值域等性质，属于基础题.

16.【答案】3132

【解析】解：因为2sin2a+siMB=ZsiMc,

所以由正弦定理得2a2+/=2c2,

又因为由余弦定理可得a2=/+-2bccosA,

可得3b=4ccosA,

再由正弦定理得3sinB=AsinCcosA,

则3(sinAcosC+cosAsinC)=4sinCcosA,可得=3,

所以tan8=—tan(A+C)=tanA+tanC_4tanA

tanAtanC-13tan2A-lJ

所以焉+焉+焉

1,3tan2A-1,1

tanA4tanA3tanA

313

=-rtanA+

412tanA

313

4X12

手，当且仅当tanA=3时取等号.

所以高+焉+熹的最小值为手.

故答案为：3；空

由己知条件结合正弦定理和余弦定理即可求出鬻=3,再利用两角和的正切三角函数公式求出

tanB,然后利用基本不等式即可求出答案.

本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及基本不等式在解三角形中的应用，考查

了转化思想，属于中档题.

17.【答案】解：(l)z在复平面内的对应点为(小一1,巾+1),

因为点(机一1,巾+1)位于第二象限，所以｛：；；；,解得一1<粗<1，

所以m的取值范围为(—1,1)；

(2)因为z为纯虚数，所以解得血=1，

所以z=21,所以炉=(2i)3=-83z2=(2i)2=—4,z2—z=-4—2i,

由复数几何意义知：OA=(0,-8)，OB=(-4,-2)，

所以|瓯cos画，画.赢=常赤=9(-4,_2)=(一披，一台,

即向量方?在向量方上的投影向量的坐标为(-号

【解析】(1)根据z在复平面内的对应点位于第二象限的特征进行求解即可；

(2)根据纯虚数的定义，结合复数的乘方运算法则、投影向量的定义进行求解即可.

本题考查复数及其几何意义，复数的基本运算，投影向量的概念，属于基础题.

18.【答案】解：(1)因为0.01X5+0.07X5+0.06X5=0.7<0.8,0.01x5+0.07X5+0.06x

5+0.04x5=0.9>0.8,

所以第80百分位数落在［90,95)内，设其为X,

则0.7+(x-90)x0.04=0.8,

解得久=92.5,

即第80百分位数为92.5；

(2)因为第3,4,5组的频率之比为3：2：1,

所以按比例分配的分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人作为企业“二十大精神”的宣传使者,

则第3组抽取3人，记为4,B,C,第4组抽取2人，记为1,2,第5组抽取1人，记为a,

从6位宣传使者中随机选取两人，所有基本事件为：

AB,AC,Al,A2,Aa,BC,Bl,B2,Ba,Cl,C2,Ca,12,la,2a,共15个，

其中第3组中至多有一人被选中的基本事件有：AB,AC,Al,A2,Aa,BC,Bl,B2,Ba,Cl,

C2,Ca,共12个,

所以所求概率为P=^|=今

【解析】(1)根据百分位数的定义求解；

(2)由分层抽样可知，第3组抽取3人，第4组抽取2人，第5组抽取1人，再利用古典概型的概率公

式求解.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

19.【答案】解：⑴由题意可知，函数/'(x)=，3sin(o)x+。)-cos(3X+R)=2sin(a)x4-(p一看)，

又因为函数/'(x)为奇函数，所以可得0-荽="，fceZ,

又3G(0,7T),解得0=

因为函数/'(为图象的相邻两对称轴间的距离为今

可得周期T=蔷=兀，由3>0可得3=2.

故函数/(%)=2sin2x.

令2卜江+<2%<2kn+.,kEZ,

可得单调减区间为出兀+不时+竽，k&Z.

(2)将函数f(x)的图象向右平移款单位长度，可得y=2sin(2x*)的图象，

再把横坐标缩小为原来的报得到函数y=g(x)=2sin(4x-今.

由方程g2(%)+3V~~3-g(%)+6=0得g(x)=或g(%)=-2，3,

BPsin(4x-f)=或sin(4x_,=一，3(舍)；

当XW［一睛］时，4x冶片］,

所以4%一号=一空或一号或等或券；

即方程有四个实数根，不妨设为%1，小，右，

口1*4日A兀,7i.7i27r/7T、47r57ro

口J得4与--+4X2一§+钛3一§+以4-§=—-+(一•+彳+彳=2兀.

所以%1+%2+%3+%4=也

故所有根之和为母.

6

【解析】(1)利用三角恒等变换将函数f(x)化简可得f(x)=2sin(3x+s-J再函数性质可求得

解析式，根据整体代换可求出单调递减区间；

(2)由三角函数平移规则可知g(x)=2sin(4x-^),再根据三角函数值域以及方程的根可求出方程

g2(x)+3V-3'g(x)+6=0的所有根之和为胡.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主

要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1))。为BC中点，SAABC=C，

则SZMCD=?，

过4作AEJ.BC,垂足为E,如图所示：

△力DE中，DE=^,4E=孕，S"CD=1孕C。=?，解得CC=2,

乙LLLL

・•・BD=2,BE=|,

故tcmB=等=子=?；

BE15

2

(2)4。=久48+/。)，

而2=+匕2+2bcCOSAy

AD=1,h24-c2=8,

则1=：(8+2bccos4),

・•・bccosA=­2①，

SAABC=^bcsinA=^VbcsinA=②'

由①②解得S7L4=—

A.=—27r,

・•・be=4,又b?4-c2=8,

-c-2.

【解析】（1）根据已知条件，推得邑ACO=U，过4作4E_LBC,垂足为E,依次求出4E,BE,即

可求解;

（2）根据已知条件，求得而=*四+前），两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解.

本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题.

21.【答案】（1）证明：AD〃BC,4D1CD,AD=

••・四边形ABC。是直角梯形，AC=2<7.

过点4作垂足为〃点，

则四边形4DCH为正方形.

:.AH=2,BH=BC-CH=2,

AB2=AH2+BH2=22+22=8,

故AS?+4。2=16=BC?,^ABA.AC.

乂24_L平面ABCD,ABu平面ABCD,二PALAB.

V.PAOAC=A,且PA,ACu平面PAC,4BJ_平面PAC,

又PCu平面PAC,AB1PC；

(2)解：过点M作MN14。于点N,连接8N,

•••PA!_平面ABC。，ADu平面力BCD,/.PAA.AD,

MN,尸4u平面PAD,MN//PA,

PALAB,■­■MNLAB,

又ABC40=4AB,4。u平面ABC。，

•••MN_L平面ABC。，

则NMBN为BM与平面4BCD所成的角.

设4N=x(0WxW2),则ND=2-工，M/V=^(2-x)>BN=V(2+x)2+4.

¥(2-X)

由tan/MBN=罂得Ip=

BN4。(2+X)2+4

解得x=1或x=当（舍去），于是M为P。的中点.

过点N作NG，4?于点G,连接MG,

•••MN1平面ABC。，4Cu平面/BCD,.-.MN1AC,

又MNCNG=N,MN,N