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文档简介
2022-2023学年内蒙古乌兰浩特市高一下学期第三次月考数学试题
一、单选题
1.己知集合4={一|,一1,1,3},8={乂汰+>2<0},则AB=()
A.{1}B.{-1,1}C.D-
【答案】C
【分析】解一元二次不等式化简集合B,然后利用交集概念运算即可.
【详解】因为B={x|X2+X-2<0}={X|-2<X<1},
又A=—|,T,1,3},所以“8=}|,一11.
故选:C.
2.下列说法错误的是().
A.向量CO与向量0c长度相等B.起点相同的单位向量,终点必相同
C.向量的模可以比较大小D.任一非零向量都可以平行移动
【答案】B
【分析】根据向量的定义,相反向量,单位向量,模的定义,判断选项.
【详解】CO和OC长度相等,方向相反,故A正确;
单位向量的方向不确定,故起点相同时,终点不一定相同,故B错误:
向量的长度可以比较大小,即模长可以比较大小,故C正确;
向量只与长度和方向有关,与位置无关,故任一非零向量都可以平行移动,故D正确.
故选:B
3.设:;为单位向量,日|=2,当的夹角为?时,:在或上的投影向量为()
ARTc—D也T
f2ee2ee
【答案】B
【分析】直接利用向量的投影向量的公式求解.
【详解】解:由题意,:在[上的投影向量为141cosme=e.
故选:B.
4.cosl65°=()
A\/2—A/6R>/6+\fl「>/6-5/2口瓜+立
4444
【答案】D
【分析】根据题意,由cosl65o=cos(90o+75o)=-sin75。,然后结合正弦的和差角公式代入计算,
即可得到结果.
[详解】因为8sl65°=cos(900+75°)=-sin750,
则sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos450+cos30°sin45°
1V2V3V2V2+V6
—X--+---X---=-------
22224
cos165°=-sin75°=
4
故选:D.
5.已知事函数的图像过点(2,;),贝ij()
A./(x)为减函数B./(x)的值域为(0,+8)
C./(x)为奇函数D./(X)的定义域为R
【答案】B
【分析】先求出基函数的解析式,再根据幕函数的性质判断即可.
【详解】解:设人幻=/,将(2,力代入,得2〃=;,解得夕=-2,
故/(x)=/2,易知/(x)在(7,0)上单调递增,在(0,一)上单调递减,且值域为(0,+8),故A选项
错误,B选项正确;
/(X)=X4的定义域为(T»,0)(0,+0O),且/(_》)=(_幻-2=r2=f(x),为偶函数,
C,D选项错误;
故选:B.
6.如图,飞机飞行的航线A8和地面目标C在同一铅直平面内,在A处测得目标C的俯角为30。,
飞行10千米到达8处,测得目标C的俯角为75。,这时B处与地面目标C的距离为().
A.5千米B.5近千米C.4千米D.40千米
【答案】B
【分析】将题意转化为解三角形问题,利用正弦定理计算即可.
【详解】根据题意可知AB=10,C=75°-30°=45°.
10x-
ABBC,即BC=—j^=5y/2.
在..ABC中,由正弦定理得
sinCsin/BAC
T
故选:B
(时<]
A>0,w>0,的图象如图所示,则/(0)=()
C.百D.3
【答案】B
【分析】根据图象求得/(x)的解析式,由此求得/(0).
【详解】由图可知,4=6,
T_2TC71=兀,7=4兀=生,。=1,
7-TCD2
所以〃x)=V^sin
2兀71
由于/=>/3sin=下>,
“兀兀兀兀5兀
所以==g
j2o
所以/(X)=6Sin(2x+,
所以/(0)=V3sin—=—.
62
故选:B
8.在.ABC中,内角A,B,C的对边分别为mb,c,若〃c=6,sinB+2sinCcosA=0,贝九ABC
面积的最大值为()
A.—B.-C.同
224
【答案】B
【分析】ABC中,由正弦定理可得b+2ccosA=0,利用余弦定理可得:2b2=a2-c2.再利用余弦
定理及其基本不等式的性质可得cosB的最小值,可得sinB的最大值,即可得出三角形面积的最大
值.
【详解】由正弦定理得:b+2ccosA=0
»o
由余弦定理得:b+2c-'~a'=0,BP2b2=a2-c2
2bc
22/
a2+c2-h2a+。-——42+3,22上ac上
cosBD=-------------=------------------=---------->--------=——
2aclac4ac4ac2
当且仅当〃=时,即/=2J5,h2=2A/3,/=6G时取等号,
Be\0,—sinB<—
I6/2
11133
则SoBc=3acsinB43x6x:=;,所以48c面积的最大值三.
故选:B
二、多选题
9.在一ABC中,角A,B,C所对的边分别为。,b,c,且6=2,A=q.若jlBC有唯一解,则。
的值可以是()
A.1B.73C.夜D.75
【答案】BD
【分析】根据正弦定理三角形有唯一解,得到。=0sinA或“2"即可求出参数a的取值范围,从而
得解;
【详解】解:因为b=2,A=5,因为ABC有唯一解,所以a=6sinA=6或。2匕=2,即
”{g[2,+oo),
故选:BD
10.tan(a+/?)=0的充要条件可以是()
A.a+P-kn(keZ)B.a+0=;lat(kcZ)
C.sin(a+£)=0D,tana+tan#=0
【答案】AC
【分析】利用正切函数知识及同角三角函数关系,结合充要条件的概念分析判断即可.
【详解】对于A,因为tan(a+/?)=O,所以a+/7=E(AwZ),故a+=wZ)是tan(a+£)=O的
充要条件;
对于B,当%=2〃(〃£Z)时,a+/7=mr(〃£Z),则tan(a+/7)=O,
当%=2〃+1(〃@2)时,a+/7=mu+;(〃七Z),则tan(a+〃)无意义,
所以a+〃=gE(ZeZ)是tan(a+/)=O的必要不充分条件;
sin(a+〃)
对于C,因为tan(a+/7)=O,所以=0,即sin(a+/?)=O,故sin(a+0=O是tan(a+0=O
cos(a+y?)
的充要条件;
对于D,由tanc+tan;g=0可得tan(a+p)=:=0,取二=,=m,可得tan(a+£)=0,
但tana+tan/?无意义,所以tana+tan4=0是tan(a+6)=0的充分不必要条件.
故选:AC.
11.如图所示,在A8C中,点。在边8C上,且C£>=2Z>8,点E在AO上,且AO=3AE,则()
A.AD=-AC+-ABB.CE=-AD-AC
333
282Q
C.CE=-AB+-ACD.CE=-AB——AC
9999
【答案】ABD
【分析】本题考查平面向量得线性运算,尤其是向量减法时注意:由减向量的终点指向被减向量的
终点.
【详解】•・・8=2。3,点E在AD上,AD=3A£,
AD=AC+CD=AC^r-CB=AC+-AC\=-AC+-AB,
33、733
ii77Q
CE=AE-AC=-AD-AC=-AC+-AB-AC=-AB--AC.
39999
故选:ABD.
12.设函数/⑴的定义域为R,7(x—1)为奇函数,〃x+l)为偶函数,当彳目―1』时,〃耳=一幺+1,
则下列结论正确的是()
B./(x+7)为奇函数
C./(x)在(6,8)上为减函数
D.方程f(x)+lgr=O仅有6个实数解
【答案】BD
【分析】根据/(x-l)为奇函数,/(x+1)为偶函数,推出函数/(x)的一个周期为8、/*)的图象关
于点(-1,0)对称、关于直线x=l对称,再根据这些性质可判断A错误,B正确,C错误;作出/(x)
与y=-lgr的大致图象,结合图像可判断D正确.
【详解】因为/(x+1)为偶函数,所以/(x+l)=/(—x+1),
所以/(x-1+1)=/(-(x-l)+l),即/(%)=/(-%+2),
因为f(xT)为奇函数,所以〃=
所以f(33-1)-+3)T),g|J/(—x+2)=-f(x-4),
所以f(x)=-fix-4),所以f(x-4)=-f{x_4_4)=(x—8),
所以/(x)=/(x-8),所以/(x+8)=/(x),即函数f(x)的一个周期为8.
在f(x)=/(-x+2)中,令x=g,得/(3=/(]+2)=/(一|],
在小_1)=_〃*1)中,令…;,得0个一1)=寸,5
又《_£)=_;+1=(,所以,(£)=d-1)=-,卜£)=-上故A错误;
因为/(x+8)=/(x),所以〃x+7)=/(x—1),
所以〃T+7)=/(T—1)=-"x-l)=-"x—l+8)=—〃x+7),从而/(x+7)为奇函数,故B正确;
因为"X)=—X2+1在区间(-1,0)上是增函数,且/(x)的一个周期为8,
所以/(x)在(7,8)上单调递增,在(6,8)上不为减函数.故C错误;
因为为奇函数,所以/⑴的图象关于点(-1,0)对称,
因为/(x+1)为偶函数,所以/(幻的图象关于直线x=1对称,
又当xe[—1,1]时,/(x)=-x2+l,
作出〃引与旷=-怆》的大致图象,如图所示.
其中y=-Igx单调递减且-但12<-1,所以两函数图象有6个交点,
故方程f(x)+lgr=O仅有6个实数解,故D正确.
故选:BD.
三、填空题
13.已知。>0,则上1的最小值为.
a
【答案】4
【分析】直接展开得上9="+&,利用基本不等式即可求出最值.
aa
【详解】s>0,.>.a=a+—>2.1a--=4,a=2时取等号,
aa\a
故答案为:4.
14.函数N=cosx在区间[-兀,句上为增函数,则。的取值范围是.
【答案】(-兀,0]
【分析】根据余弦函数的单调性分析求解.
【详解】因为y=cosx在[-兀,0]上是增函数,在[0,可上是减函数,
所以只有-兀<〃40时满足条件,故〃e(F,0].
即。的取值范围为(-兀,0],
故答案为:(-71,0]
15.如图,在二旗C中,点。在线段BC上,HBD=2DC,若4)=/lA8+〃AC,贝L=
-1212
【分析】根据题意,利用向量的线性运算法则得到A3=]A8+§AC,得到/l=3,〃=§,即可求解.
【详解】因为在一A8C中,点。在线段8c上,且即=2£>C,
由向量的线性运算法则,
2212
可得AO=AB+8O=48+,8。=48+3(47-48)=]48+丁。,
1721
又因为AO=/IA6+/MC,所以2=3,M=§,所以7
故答案为:y.
16.在jABC中,角A,B,C的对边分别为小b,c,若力=6,c=9,A=2B,则sinA=.
【答案】晅
4
【分析】由A=28可得sinA=2sinBcosb,由正弦定理可得。=2Z?cos8,再利用余弦定理可求出〃,
进而求出cosA,得出所求.
【详解】因为A=23,所以sinA=sin23=2sin3cos反
由正弦定理可得a=2Z?cosB.
因为人=6,c=9,
〃2।Q2_z:2
所以。=2Z?cos5=2x6----------,所以3/=2/+90.
2a9
81+36—90£
所以a2=90»故COSAJ+"〃
2hc2x6x94
因为4£(0,1),所以sinA=
故答案为:誓
四、解答题
17.在一ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=7,b=5,且吗==.
sinB5
(1)求c;
(2)求角A的大小.
【答案】(1)3.(2)120°
【解析】Q)根据力=5,且吗=。,由正弦定理得到:=警=]求解.
smB5bsinB5
c2+〃2
(2)根据。=7,h=5和(1)的结论,由余弦定理cosA=求解.
2-c-b
【详解】⑴由正弦定理,得熹
sinC
.csinC3
则ri一二----=-,
bsinB5
所以c=T^=3.
/个、r+t小.金ifflAd+b—-cr9+25-491
(2)由余弦定理,得cosA=---------=----------=一一
2cb2x3x52
又因为0°<A<180。,
所以NA=120。.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
18.已知"=2,忖=3,=求:
⑵卜+“
【答案】(1)5
⑵后
【分析】(1)由|24-闿=石两边平方,根据向量数量积的运算性质进行计算即可;
(2)根据向量长度与向量数量积的关系进行转化即可.
【详解】⑴心-力卜石,
二平方得4/-4a电+/=5,即16-4〃/+9=5,
则a力=5.
(2)\a+b^=a2+2a-b+b2^4+\0+9=23,
则|。+切=后.
19.已知〃x)=3sin(2x+?)-l.
(1)求f(x)的图象是由y=sinx的图象如何变换而来?
(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x的集合.
【答案】Q)见解析;(2)兀;x=^-k/r+^,左©Z;2;xx=k7r+—,keZ
Zo8
【分析】(1)由条件根据函数y=Asin(ox+°)的图象平移伸缩的变换规律,可得结论.
2九
(2)根据题意,利用正弦函数的最小正周期7=向,结合正弦函数的图象和性质,即可求出/(x)的
对称轴、最大值.
【详解】解:(1)将函数),=sinx图象上每一点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的3倍,
得到函数y=3sinx的图象,
再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的g倍(纵坐标不变),
得到函数y=3sin2x的图象,
再把所得函数的图象向左平移g个单位长度,得到函数y=3sin(2x+f)的图象,
84
最后把所得函数的图象向下平移1个单位长度,得到函数/(x)=3sin(2x+f)-l的图象.
(2)对于函数f(x)=3sin(2x+?)-l,它的最小正周期为T=夸=乃,
由2*+?=&万+],求得x=乃+(,
可得函数的图象的对称轴方程为:x=:"kwZ,
2o
TT7T
由2XH—=2kjc4—,keZ,求得X=—,kGZ,
428
此时f(x)的最大值为3-1=2,即对应的x的集合为<x\x=k7v+—,keZ
II8
【点睛】本题考查函数y=Asin(s+0)的图象平移伸缩的变换规律,考查根据正弦函数的图象和性质
求正弦型函数的最小正周期、对称轴和最大值,属于基础题.
20.已知向量〃=(2,4),6=(-3㈤.
⑴若ab,求阵
⑵若a"a+2b),求实数k的值;
(3)若a与人的夹角是钝角,求实数/的取值范围.
【答案】(1)34;
⑵左=-1;
3
(3)左<5且Z/-6.
【分析】(1)根据共线向量的坐标表示公式,结合平面向量模的坐标表示公式进行求解即可;
(2)根据平面向量数量积的坐标表示公式,结合平面向量垂直的性质进行求解即可;
(3)根据平面向量夹角和共线的性质进行求解即可.
【详解】(1)因为向量方=(2,4),。=(一3㈤,且a”,
所以2x"4x(-3)=0,解得&=—6,
所以忖=+(-6)-=3石;
(2)由题意,得。+劝=(-4,4+2人),
因为a,(d+2b),所以2x(Y)+4x(4+2%)=0,解得女=一1;
(3)因为a与〃的夹角是钝角,则“功<0且a与人不共线.
即2x(-3)+4xZ<0且人工一6,所以且左/-6.
21.已知函数/(x)=a3+1为偶函数.
(1)求a的值,并证明/(x)在(0,xo)上单调递增;
⑵求满足/(lgx)<〃1)的x的取值范围.
【答案】(1)。=1:证明见解析
⑵(Q。)
【分析】(1)由偶函数的定义解方程可得。=1,再由单调性的定义,结合指数函数的单调性可得结
论;
(2)由偶函数的性质:/(x)=/(|x|),结合(1)的结论,原不等式化为归目<1,再由绝对值不等
式的解法可得所求解集.
【详解】(1)解:由题意函数/Q)=a3+[为偶函数,
3
A=f(x),即a.3-"+3'=a•3'+3T
(a-D(3*-3-*)=0对任意xcR恒成立,解得a=1.
f(x)=3'+5
任取0<々,则/(x,)-./(x2)=3』+$34
卜八333"1.八3"匹)
由0<%<3,可得3H—34<0,3"*
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