2023-2024学年北京重点大学附中九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京重点大学附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)

一、选择题(本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.抛物线丫=(%-3)2+1的顶点坐标是()

A.(-3,1)B.(3,1)C.(-3,-1)D.(3,-1)

2.用配方法解一元二次方程/-6X+4=0,配方正确的是()

A.(x+3)2=13B.(x+3/=5C.(%-3)2=13D.(x-3)2=5

3.将抛物线y=3/先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为()

A.y=3(%—I)2+2B.y=3(%+l)2—2

C.y=3(%+1¥+2D.y=3(%-l)2-2

4.如图，平面直角坐标系%Oy中，>1(-4,0),8(0,3),点P为线段48的中点，则线段0P的长为()

B.2

。C-2

D.5

5.已知%1，%2是一元二次方程/一2%-1=0的两根，则+%2-,%2的值是()

A.1B.3C.-1D.-3

6.关于》的一元二次方程(Q—5)/一4%-1=0有实数根，则a满足()

A.a>1B.a>1且aw5C.a>1且Q=5D.a。5

7.已知点4(—3,yi),8(1,%)，。(4,为)在抛物线3/=—(％—2)2+5上，则y2,y?的大小关系是()

A.%<y2V为B.yi<y3<力C.y3<y2<%D.y3<7i<力

8.函数y=ax2+b%+c(aH0)中y与自变量工的部分对应值如下表：

X-10123

y830-10

则当y>8时，％的取值范围是()

A.-1<x<5B.0<%<3C.x<—1或%>5D.%<0或%>3

9.二次函数y=%2-/?%+b的图象可能是()

10.在平面直角坐标系xOy中，抛物线、=6。-3)2+k与％轴交于(@,0),(40)两点，其中Q<A将此抛物

线向上平移，与％轴交于(c,0),(d,0)两点，其中c<d,下面结论正确的是()

A.当m>0时，a+b=c+d,b—a>d—c

B.当m>0时，a+b>c+d,b—a=d-c

C.当m<0时，Q+b=c+d,b—a>d—c

D.当m<0时，a+b>c+d,b—a<d-c

二、填空题(本大题共8小题，共16.0分)

11.若关于％的函数y=(a+l)x2-2x+3是二次函数，则。的取值范围是

12.若x=2是一元二次方程%2+3%+k=。的一个根，则A的值为.

13.请你写出一个二次函数满足以下条件:

①开口向下；

②与y轴交于点(0,-3).

14.如图，直线y=mx+九与抛物线y=/+"+。交于B两点，其中点

4(2,—3),点8(5,0),不等式/+力％+。vmx+n的解集为.

15.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点0,且40CD=90°,若E卜

是BC边的中点，AC=10,BD=26,则OE的长为______.//

pk£7c

16.为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国.今

年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率.设6月份到8月份盈利的

月平均增长率为X,根据题意，可列方程为.

17.已知抛物线y=kx2-2(fc-l)x+fc+l,若抛物线关于y轴对称，则k=,此时抛物线关于支轴

对称的图象解析式为.

18.已知某函数的图象过4(2,-1),8(4,1)两点，下面有四个推断：

①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过(0,-3)；

②若此函数的图象为抛物线，且经过(1,-0.5),则该抛物线开口向下；

③若此函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a力0),且经过原点，则0<h<1；

④若此函数的解析式为y=a(x—九)2+k(aK0),开口向下，且2<h<4,则a的范围是。<一/

所有合理推断的序号是.

三、解答题(本大题共9小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题8.0分)

选择合适的方法解方程：

(l)x2—4=0；

(2)X2-6X+8=0.

20.体小题6.0分)

已知二次函数y=x2-6x+5.

(1)求二次函数图象的顶点坐标；

(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；

(3)当l<x<4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围.

21.(本小题6.0分)

如图，在平面直角坐标系无0y中，抛物线丫=<1/+2刀+。的部分图象经过点4(0,-3),5(1,0).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)结合函数图象，直接写出y<0时，x的取值范围;

(3)将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与％轴只有一个公共点.

22.(本小题6.0分)

关于x的一元二次方程/+3x+m=0.

(1)若该方程无实数根，求沉的取值范围；

(2)给m取一个适当的值，使该方程有两个不同的实数根，并求出方程的两个根.

23.(本小题8.0分)

已知抛物线y=/+bx+c与y轴交于点C(0,3),顶点为T,与直线y=kx-1交于A,B两点，其中点4坐标

为(1,0).

(1)求抛物线和直线解析式;

(2)直接写出抛物线y=x2+bx+c关于x=-1对称的抛物线的解析式;

(3)求△4BT的面积.

24.(本小题7.0分)

如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置04,0A=^m,从4处向外喷出的水流在各个

方向上沿形状相同的抛物线路径落下.王丽芳同学根据题意在图中建立如图所示的坐标系，水流喷出的高度

y(m)与水平距离之间的关系式是y=ax2+bx+c(x>0),己知水流的最高点到。4的水平距离是:

最高点离水面是27n.

ID

(1)求二次函数表达式；

(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？

25.(本小题7.0分)

已知二次函数y—ax2—2ax—2(a>0).

(1)求该二次函数图象的对称轴；

(2)当一1WXW5时，函数图象的最高点为M,最低点为N,点M的纵坐标为:，求点M和点N的坐标；

(3)对于该二次函数图象上的两点B[x2,y2),当1+1</</：+2"+3<&<1+4时,均有力消

y2,请结合图象，直接写出t的取值范围.

26.(本小题8.0分)

如图，在△ABC中，AC=BC,乙4cB=90。，点。在BC边上(不与点B,C重合)，将线段40绕点4顺时针旋

转90。，得到线段AE,连接DE.

(1)根据题意补全图形，并证明：/-EAC=^ADC；

(2)取DE的中点尸，连接CF,用等式表示线段CF与BD之间的数量关系，并证明.

A

27.(本小题80分)

对于平面图形Gi，G2和直线y=kx+b(这里鼠b均为常数)，若它们同时满足以下两个条件：

a.对上任意一点(p,m),均有m<kp+b；

6.对G2上任意一点(q,n),均有+

则称直线丫=履+匕是图形。1，G2的“分界线”.

回答以下问题.

(1)如图1所示，在平面直角坐标系中有正方形4BC0和三角形EFG.例如：直线y=-X是正方形ABCD和三角

形EFG的一条“分界线”.

⑴在下列直线中，可以作为正方形力BCD和三角形EFG的“分界线”的是(填选项的标号)；

①y=0：

②y=x；

③y=3x；

(4)y=­x—1.

(ii)若直线y=kx+l是正方形4BCD和三角形EFG的“分界线”，结合图形，求k的取值范围.

(2)如图2所示，在平面直角坐标系中有抛物线M：)/=-(>一。2+2和正方形，///<,正方形H〃K的顶点”的

坐标为(t+2,0).若直线丫=-2》-2是抛物线"和正方形”〃长的“分界线”，直接写出t的取值范围.

y

y5

1

玲

^

—

佐

—

十

；

1

^iL5

4_r__

-—

JI-

L_-

__-_-

—!-

_-

r-

丁_-_-

I_-

L-

--_

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为y=(x-3)2+1是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，的顶点坐标是(3,1).

故选：8.

已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的特点直接写出顶点坐标.

此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a(x-h)2+k顶点坐标是S，k).

2.【答案】D

【解析】解：:/一6x+4=0,

•••x2—6%=-4,

x2-6x4-9=-4+9,

3尸=5.

故选：D.

先移项得到/-6x=-4,再把方程两边加上9,然后把方程左边用完全平方形式表示即可.

本题考查了解一元二次方程-配方法.配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

3.【答案】B

【解析】解：将抛物线y=3M先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：y=3(x+

I)2-2.

故选：B.

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：B(0,3),

・•・OA=4,OB=3,

v"OB=90°,

，AB=5,

・・•点P为线段ZB的中点，

OP=^AB=2.5.

故选：C.

根据坐标求线段的长，利用勾股定理求解.

本题考查了坐标和图形的性质，及直角三角形的性质，结合勾股定理求解是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：「Xi，小是一元二次方程/一2%-1=0的两根，

・••%1+%2=2；%!%2=-1.

则%1+因—X1X2=2—(-1)=3.

故选：B,

直接根据根与系数的关系得出％1+冷、％1外的值，再代入计算即可.

本题考查了一元二次方程@/+"+。=09。0)的根与系数的关系，关键是掌握X],孙是一元二次方程

Q%2+bx+C=0(QH0)的两根时，久1+%2=-务X1X2=

6.【答案】C

【解析】解：由已知得：[(：4)^4x(a-5)x(-l)>0'

解得：a>1且a*5.

故选：C.

由方程有实数根可知根的判别式从-4ac20,结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，

解不等式组即可得出结论.

本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组.本题属于基础题，难度不大，解决

该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键.

7.【答案】B

【解析】解：在二次函数y=—(x-2)2+5,对称轴刀=2,

在图象上的三点4(一3,月)，8(1,y2),C(4,y3)点4(一3,丫1)离对称轴的距离最远，B(l,y?)离对称轴的距离最

近，

丫2>丫3>，

故选：B.

对二次函数y=-(x-2)2+5,对称轴x=2,在对称轴两侧时;则三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标

越大，由此判断y2'丫3的大小.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小.

8.【答案】C

【解析】解：•.•抛物线经过点(1,0),(3,0),

•••抛物线的对称轴为直线x=2,

二当％——1或x-5时，y=8,

抛物线的顶点坐标为(2,-1),

二抛物线开口向上，

二当x<-1或x>5时，y>8.

故选：C.

利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2,则当％=-1或x=5时，y=8,再利用抛物线的顶

点坐标为(2,-1)可判断抛物线开口向上，然后根据二次函数的性质可判断当或x>5时，y>8.

本题考查了二次函数的性质：抛物线y=a(x-九/+匕a>0,抛物线开口向上，x<八时，y随x的增大而

减小；x>/i时，y随x的增大而增大；x=九时，y取得最小值k；当a<0时，抛物线的开口向下，x<八时，

y随x的增大而增大；刀>八时，y随x的增大而减小；x=/i时，y取得最大值k.

9.【答案】B

【解析】【分析】

此题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

根据题意，点(1,1)在二次函数的图象上，可知符合题意的选项.

【解答】

解：当x=l时，y=l2—b+b=l,

.•.点(1,1)在二次函数的图象上，

故选：B.

10.【答案】A

【解析】解：当m>0时,如图所示:

••a+b=c+d=6,且b—a>d—d

•••抛物线的对称轴为直线x=3,

•'•a+b=c+d=6,且b—a<d—c.

故选：A.

分m>0和m<0两种情况，根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质结合函数图象解答即可.

本题考查抛物线与x轴的交点，平移的性质以及函数的图象，解题关键是利用数形结合的思想进行解答.

11.【答案】

【解析】解：•.•函数了=（。+1）/-2%+3是关于4的二次函数，

•••a+1芋0,

解得aK-1.

故答案为：a#—l.

根据二次函数的定义列不等式求解即可.

本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如丫=。/+以+式£1、从（:是常数，a40）的函数，叫做二次

函数是解题的关键.

12.【答案】-10

【解析】解：•••x=2是一元二次方程/+3x+k=0的一个根，

，4+6+k=0,

解得，k=-10,

故答案为：—10.

根据X=2是一元二次方程/+3%+卜=0的一个根，可以求得％的值，本题得以解决.

本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出k的值.

13.【答案】y=-/一3（答案不唯一）

【解析】解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,

•••抛物线开口向下，

可取a--1,

丫与y轴交于点（0,-3）,

c=-3,

••・满足条件的函数解析式可以是y=-x2-3（答案不唯一）.

故答案为：y=---3（答案不唯一）.

由抛物线开口方向可确定二次项系数，由与y轴交于点（0,-3）,可得c=-3,则可求得答案.

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与a的符号与关、与y轴的交点与c有关是解题的关

键.

14.【答案】2<尤<5

【解析】解：由图象可得，在点4,B之间的抛物线在直线下方，

2<x<5时，x2+bx+c<mx+n,

故答案为：2<x<5.

根据图象及点4,B坐标求解.

本题考查二次函数与不等式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，结合图象求解.

15.【答案】6

【解析】解：AB1AC,

^BAC=90°,

"AC=10,BC=26,

•■AB=VBC2-AC2=12.

•••四边形4BCD是平行四边形，

.••点。为AC的中点，

又：点E为BC边的中点，

•1.0E为△ABC的中位线,

•••OE=^AB=6,

故答案为：6.

先利用勾股定理求出2B=6,再证明0E为△ABC的中位线，则0E="AB=6.

本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，证明。E为AABC的中位线是解题的关

键.

16.【答案】12000(1+x)2=27000

【解析】解：依题意得12000(1+x)2=27000,

故答案为：12000(1+X)2=27000.

利用今年8月份的盈利=今年6月份的盈利X(1+6月份到8月份盈利的月平均增长率)2,即可得出关于万的一

元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

17.【答案】1y=-/一2

【解析】解：•.・抛物线关于y轴对称，

二对称轴为y轴，

.-2(D_0,

"2k~U'

k=1；

此时抛物线关于x轴对称的图象解析式为—y=/+2,即y=—/一2,

故答案为：1,y=-x2-2.

抛物线关于y轴对称，则对称轴为y轴，-2(fc-l)=0,解得k=l,根据关于支轴对称的点的特点是横坐标

不变，纵坐标互为相反数写出抛物线关于x轴对称的图象解析式.

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质是解题

的关键.

18.【答案】①④

【解析】解：设过4(2,—1),B(4,l)两点的直线为y=kx+b,

｛蠹行;1,解得:仁=工,

(4/c4-0=13=—3

二直线48为：y=x—3,

当x—0时，y=—3,

••・函数经过(0,-3),故①符合题意；

此函数的图象为抛物线丫=a/+bx+c,且经过(1,一0.5),4(2,—1),5(4,1),

(a+h+c=—0.5a=1

则ka+2b+c=-l,解得｛b=—2，

(16a+4b+c=l„_-i

VC-L

二抛物线为：y=^x2-2x+1,

••・抛物线的开口向上，故②不符合题意；

当函数的解析式为y=a(x-/i)2+k(a力0),且经过(0,0),4(2,-1),8(4,1),

同理设抛物线y=ax2+bx+c,

(c=0(a=l

则4a+2b+c=—l,解得：＜.5,

(16a+4b+c=1(4

5=0

・,・抛物线为：y=1x2-

J84

5

-

4

--=

3

2X-

8

而1，，故③不符合题意，

二次函数、=a/+匕工+c过4(2,-1),8(4,1),

则窿解得:F=厂6：,

116a+4b+c=1<c=8a—3

所以抛物线为：y—ax2+(1-6d)x+8a-3,

•・•开口向下，且2V九V4,而九=一与些=合。=3—4

2a2a2a

,1,2<3-/<4,而a<0,

即一1<£<0,

即"一看故④符合题意；

故答案为：①④.

对于①②③都利用待定系数法先求解函数的解析式，再利用一次函数与二次函数的性质可判断，对于④先

利用函数过4(2,-1),8(4,1)可得函数解析式为y=ax2+(1-6a)x+8a—3,再结合题意建立不等式组模

型即可解决问题.

本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意建立方程或

不等式组模型解题是关键.

19.【答案】解：(1)：刀2-4=0,

(x—2)(%+2)=0,

*,•久]=2,%2=-2；

(2)•••x2-6x+8=0,

•••(x-2)(x+4)=0.

*'•X]=2,%2=-4.

【解析】(1)(2)利用因式分解法解方程.

此题主要看了一元二次方程的解法，解题的关键是结合方程的特点选择适合的方法.

20.【答案】解：(1)y=x2-6%+5

=(x2—6x+9)—4

=(x-3)2-4,

二二次函数图象的顶点坐标为(3,—4)；

(2)解:列表如下：

X•••i2345•・・

y0-3—4-30

描点、连线，如图所示

yi

(3)由函数图象可知，当l<x<4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围一4Wy<0.

【解析】(1)根据配方法将二次函数一般式化为顶点式即可得出答案；

(2)根据描点法：列表、描点、连线即可得到二次函数图象；

(3)根据二次函数图象即可得到答案.

本题考查二次函数图象与性质，涉及将二次函数一般式化为顶点式、作二次函数图象及已知自变量范围，

利用二次函数图象求函数值等，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键.

21.【答案】4

【解析】解：⑴将4(0,-3),代入y=。源+2%+c得:

r-3=c

I。=a+2+c'

解得

y=x2+2x—3.

(2)令/+2%-3=0,

解得x=-3或x=1,

•••抛物线经过(―3,0),(1,0),

•••抛物线开口向上，

•••y<0时,一3<x<1；

(3)要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在工轴上，

由(1)得该抛物线的表达式为y=(x+I)2-4,

•••该抛物线的顶点为(一1,一4),

要使顶点在x轴上，

则顶点纵坐标应为0,

二将该抛物线向上平移4个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点.

故答案为：4.

(1)通过待定系数法求解.

(2)求出抛物线与x轴交点坐标，通过抛物线开口向上求解；

(3)求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到x轴上.

本题考查二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换

以及待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征以及平

移规律.

22.【答案】解：⑴・.,方程%2+3%+口=0没有实数根,

21=32—4m<0,

解得TH>2；

4

(2)当方程/+3%+M=0有两个不同的实数根时，

Azl=32—4m>0,

解得m<p

4

••.当m-0时，

二原方程为+3x=0,

解得：X]——3,x2-0.

【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式4<0,即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出血的

取值范围；

(2)由判别式/>0,得出小的取值范围，取一个m的值，将其代入原方程中再解方程即可.

本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当/<0时，方程没有实数根”；(2)

由?n的取值范围及?n为负整数确定m的值.

23.【答案】解：(I)、・抛物线过4、C两点

二代入抛物线解析式可得：[1+2+。=°,

9=3

解得：?=；4,

・•・抛物线解析式为y=%2-4%+3；

•・,直线y=kx-1过点4(1,0),

:・k—1=0,

・•・k=1,

・・•直线为y=%-1,

(2)vy=x2—4%+3=(%—2)2—1,

・,・抛物线的顶点7(2,-1),

・・・顶点7(2,-1)关于直线％=-1的对应点的坐标为(一4,一1),

・•・抛物线y=x2++c关于％=-1对称的抛物线的解析式为y=(%+4)2-1,

,解瞰：

⑶由d

・・・8(4,3),

•••抛物线的顶点7(2,-1),

・,・把％=2代入y=%—1,得y=1,

力BT的面积S=j(l+1)x(4-1)=3.

【解析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)先确定点(2,-1)关于直线x=-1的对应点的坐标，然后根据顶点式写出对称后的抛物线解析式：

(3)利用待定系数法求得直线解析式，解析式联立成方程组求得8点的坐标，然后利用三角形面积公式求得

即可.

本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，

二次函数的图象与几何变换，三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键.

24.【答案】解：(1)•.•水流的最高点到。4的水平距离是;山，最高点离水面是2m,OA=^m,

4loZ

抛物线的顶点坐标为@,抖，4(0鼻)

故设抛物线的解析式为y=a(x-》2+卷，

19

2

--矶+

2(o-

16

解得a=-l,

••・抛物线的解析式为y=-(x-，+

11

2

X+-X+-

•,・抛物线的解析式为y22

(2)令y=0得到一M+,%+2=o,

解得尤1=l,x2=—;(舍去),

故水池的半径至少为1米.

【解析】(1)根据抛物线的顶点式求解即可.

(2)令y=0得到-M+；%+g=0求得抛物线与x轴正半轴的交点坐标，其横坐标就是所求.

本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法和二次函数实际意义是解题

的关键.

25.【答案】解：(1)该二次函数图象的对称轴是直线％=-爱=1；

(2)•.•该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线％=1,-l<x<5,

.,.当％=5时，y的值最大，即M(5，¥).

把M(5,当代入y=ax2-2ax-2,解得Q=

・・.该二次函数的表达式为y=1x2-x-2.