第5讲 整式的除法 七年级数学下册同步讲义

第5讲整式的除法

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1.会进行单项式除以单项式的计算.

2.会进行多项式除以单项式的计算.

3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方等较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；

册知识精讲

知识点

一、单项式除以单项式法则

单项式相除，把系数与同底数基分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数

作为商的一个因式.

要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除：②同底数幕相除；③只在被除式里出现的字母，连同它

的指数作为商的一个因式.

（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数哥的除法的组合，单项式除以单项式的结果

仍为单项式.

二、多项式除以单项式法则

多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即

{am+bm+ctτi）÷m-am÷m+bm÷m+cm÷m-a+b+c

要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多

个单项式除以单项式.

（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.

【知识拓展11整式的除法

1.（2021秋•东莞市期末）（9/-66?）÷30=.

2.（2021秋•长春期末）计算：（14∕-7α）÷7α=.

3.（2021秋•乐昌市期末）计算：6m6÷（-2∕n2）3=.

4.（2021秋•静安区期末）计算x÷2x2的结果是（）

A.2B.-Lc.ɪD.Ix

X2x2

5.（2021秋•长春期末）已知长方形面积为6），4-3χ2）,3+∕y2,它的一边长为3y2,则这个长方形另外一边长

为.

6.（2021秋•铁西区期末）长方形的面积为--2孙+x,其中一边长是x,则另一边长是

7.（2021秋•海淀区期末）化简：［（x+3y）（X-3y）-√J÷9γ.

【知识拓展2】整式的混合运算

8.（2021秋•甘南县期末）下列运算中正确的是（）

A.(-1)'1=1B.(X+2)2=X2÷4

21532

C.(苏)=abD.4ab÷(-2ab)=-2a

9.（2021秋•上蔡县期末）下列计算正确的是（）

A.(x+l)(X-2)=X2-2B.(α+Z?)2=α2+⅛2

C.(2x-3y)2=4/-6xy+9√D.(1-ʃ)(-1-y)=j2-1

10.（2021秋•越秀区期末）下列计算，正确的是（）

A.。3・〃4=〃12

B.(-α1⅛3)2=-α2⅛6

C.6aβ÷2a3=3a2

D.(a-b)(a2^+ab+b2)=a3-P

11.（2021春•江都区期中）如图，大正方形与小正方形的面积之差是30,则阴影部分的面积是（

A.15B.10C.30D.20

12.（2021秋•洪山区期末）计算:

(1)(a3)2÷a-ci2*a3i(2)(X-2y)2+(X+y)(X-y).

13.(2021秋•海珠区期末)计算:

(1)(25∕n2-15w3n)÷5nz2;(2)8<z2∙(a4-1)-(2α2)3

14.(2021秋•大石桥市期末)计算题

(1)(2x+3)C2x-3)-4x(χ-l)+(X2)2；

(2)[(m+n)(∕n-ri')+(w-n)2-4机m-n)]÷2m.

【知识拓展3】整式的混合运算一化简求值

15.（2021秋•长沙期末）先化简再求值：（X-2）（X+2）-6x（%-3）+5x2,其中Y=Λ

3

16.(2021秋•江夏区期末)已知4y1+my+9是完全平方式，求(6m4-8"尸)÷(-2∕n2)+3∏r的值是()

类型二、多项式除以单项式

例2、计算：

(1)[(x+2>,)(x-2y)÷4(x-y)2]÷6x；

(2)f2(α+Z?)5—3(Q+/?)4+(—ci-Z?)3]÷[2(α+人)。].

【变式】先化简，再求值.

(1)f(x+2γ2)2-(%+/)(x-/)-5/]÷2y,其中x=—2,y=-；

4

(2)己知2x—y=10,求KX2+V)-(X-y>+2y(χ-y)]÷4y的值.

例3、已知一个多项式除以多项式〃+4。一3所得的商式是2α+l,余式是20+8,求这个多项式.

高分层提分

题组A基础过关练

一.选择题（共5小题）

1.（2020秋•朝阳区期末）下列计算正确的是（）

A.a2∙ai-a5B.（α3）2-a5

C.（2"2）3=6〃3心D.3∕÷4q2=冤

4

2.（2020秋•孟村县期末）下列计算结果为/的是（）

A.x3∙x2B.（-x2）3∙x

42324

C.（丁）÷xD.（-x√）÷y

3.（2020秋•沙坪坝区期末）一个长方形操场，面积为3∕6+64,其中一边长为3m则另一边长为（)

A.ab+2B.ab+2aC.a+2D.a2b+a

4.计算（总mnb÷n2的结果是（）

A.--A√nB.-ImC.--mnD.L加

2222

5.（2021秋•思明区校级期中）计算4α÷24的结果是（〉

A.2B.20C.8“D.8α2

二.填空题（共6小题）

6.（2021秋•东莞市期末）（9/-6H）÷3α=.

7.（2021秋•长春期末）计算：（14tz2-7α）÷7α=.

8.（2021秋•乐昌市期末）计算：Gm6÷（-2m2'）3=.

9.（2021秋•徐闻县期末）（3/-6帅）÷3α=.

10.（2021秋•科左中旗期末）在有理数的原有运算法则中，我们定义新运算“@”如下：a回b=ab+序,

根据这个新规定可知2x@（-3x）=.

11.（2021秋•望花区期末）边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积

三.解答题(共6小题)

12.(2021秋•香坊区期末)计算下列各题：

(1)(-2x2y)2∙(-2xy)；(2)4(x+l)2-(2x+5)(Zr-5).

13.(2021秋•荔湾区期末)计算：(2α+b)(⅛-2«)-(203⅛+4α⅛3)÷2ab.

14.（2021秋•长沙期末）化简求值（X+2）2(X-I)(x+l),其中X=-1.

15.（2021秋•绿园区期末）先化简，再求值：（χ-3）2-χ（2χ+l）+?,其中》=工.

7

16.(2021秋•克东县期末)先化简，再求值：

[(-Ar3y4)3+(--Xry2)2∙3x>,2]÷(--xy1)3,其中X=-2,y=L

2622

17.(2021秋•桐柏县月考)计算下列各题：

(1)(-303)2∙a3+(-4«)2∙07-(2«3)3；

(2)先化简，再求值：(2+a)(2-“)+cι(α-5ft)+3α5⅛3÷(-α2⅛)2>其中4Z?=-1.

2

题组B能力提升练

一.选择题（共5小题）

I.（2021秋•洪洞县期中）下列计算正确的是（）

A.（-x）2∙%3≈x6B.28%4y2÷（-7Λ3J）=4Λ>∙2

236λl

C.（-‰⅛）3=--la⅛D.（-x+y）2=-χ+2χy+y

28

2.（2021秋•香坊区校级期中）下列计算正确的是（）

236i262

A.a∙β=aB.Qab1=ab

C.3a6÷α2=303D.（x-y）2=-（y-x）2

3.（2021秋•海淀区校级期中）已知长方形ABCQ可以按图示方式分成九部分，在m。变化的过程中，下

面说法正确的有（）

①长方形ABCD的长宽之比可能为2；

②图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长;

③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形;

④当长方形ABCo的周长为60时，它的面积可能为10（）.

C.②③④D.①③④

4.（2021春•潍坊期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1,已知点，为AE的中

点，连结FH.将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为6,图2的阴影

)

C.10D.11

2

5.(2021春•乐清市期末)将正方形BEFG和正方形Q”MN按如图所示放入长方形ABCQ中，AB=10,BC

=13,若两个正方形的重叠部分长方形甲的周长为10,则下列无法确定的选项为(

A.乙的周长B.丙的周长C.甲的面积D.乙的面积

二.填空题(共4小题)

6.(2021春•南涪区期末)我们知道，同底数幕的乘法法则为‘严•/=""+"(其中。#0,“为正整数),

类似地我们规定关于任意正整数"人"的一种新运算：h(m+n)—hCm')*h(«)；比如〃(2)=5,则/?

(4)=h(2+2)=5X5=25,若h(3)=k(Ar≠0),贝∣Jh(3⅛)∙Λ(27)(其中b为正整数)的结果

是.

7.(2021春•姜堰区期末)如图，AB=5,C为线段48上一点(AC<BC),分别以AC、BC为边向上作正

方形ACDE和正方形BCFG,S^BEF-S^AEC——,贝!jSABEC=.

8.(2021春♦济南期中)我们定义：三角形芯——A=沙•/,五角星终弋=z∙(Λffl∙jrt),若

S^x

-4,则的值=

9.（2021春•西湖区校级期中）将两张边长分别为6和5的正方形纸片按图1和2的两种方式放置在长方形

ABC。内，长方形ABCQ内未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影面积为Si,

图2中的阴影面积为S2,当AQ-AB=4时，S2-Si的值是.

≡.解答题（共5小题）

10.（2021秋•白云区期末）先化简，再求值：（3x+2y）2-(3x+y)(3χ-y),其中X=JL,y=-I.

3

11.（2021秋•二道区期末）先化简.再求值：（2x-y）2-Ix（X-2y）,其中X=J万，y=∖.

2

12.（2021秋•平昌县期末）先化简，再求值：（3x+2y）（3χ-2y）-5x(X-ʃ)⑵-y）,其中乂二八，

x3

y=-2.

13.(2021秋•兰山区期末)先化简，再求值：[(χ-y)2+(x+y)(χ-y)]÷2x,其中x=3,y=-2.

14.（2020秋•通许县期末）先化简，再求值.

(1)(--iry)2*[xy(2x-y)+2x(xy-y2)],其中x--1.5»y—2.

(2)已知a1-Sa-3=0,求(α-1)(α-3)+(a-5)(«-7)的值.

题组C培优拔尖练

一.选择题（共1小题）

1.（2019•黑龙江模拟）下列计算正确的是（）

A.α5+α5=2αl°B.<r∕3∙2<z2=2α6

C.（«+1）2=/+1D.（-2ab）2-4a2b2

二.填空题（共7小题）

b

2.（2019春•资阳期中）若规定符号Fy的意义是:a

—ad-be,则当n?-2m-3=0时，mm-3的

Cd

I-2mm-2

值为•

3.（2019春•资阳期中）已知（α-4）（α-2）=3,则（α-4）2+（α-2）2的值为.

4.IaH叫做二阶行列式，它的算法是：ad-be,请你计算a+1a-2=_____________

Icdla-2a-l

5.（2020春•义乌市期末）如图，长方形ABCC的边BC=I3,E是边BC上的一点，且BE=BA=10∙F,

G分别是线段A8,C。上的动点，S.BF=DG,现以BE,BF为边作长方形BEHF,以OG为边作正方

形OG〃，点）/均在长方形ABCo内部.记图中的阴影部分面积分别为Si,52,长方形BEHF和正方

形DGlJ的重叠部分是四边形KILH,当四边形KILH的邻边比为3：4时,S+S的值为.

⅞∖2

XJD

BC

6.现规定一种运算：X㊉y=xy+χ-y,其中x,y为实数，贝IJX㊉y+（y-χ）㊉y=______________.

7.已知X=I999,贝∣J∣4∕-5x+"-4*+2x+2∣+3x+7=.

8.一块长方形铁皮，长为（5次+4序）加，宽为6√⅛,在它的四个角上都剪去一个长为&3%的小正方形，

2

然后折成一个无盖的盒子，这个无盖盒子的表面积是"闩

Ξ.解答题（共5小题）

9.（2021秋•沛县期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形

ABC。内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为51和52.已知小长方形纸片的长为“,

宽为6,且α>A

（1）当α=9,b=3,AO=30时，长方形ABCD的面积是630,Si-S2的值为63；

（2）当4。=40时，请用含°、匕的式子表示Si-52的值；

（3）若AB长度保持不变，AO变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCO

内，当。、6满足什么关系时，SLS2的值与AZ）的长度无关？

10.(2021春•永定区校级期末)4个数α,b,c,d排成2行、2歹∣J,两边各加一条竖直线记成F，，定义

|aj="d-Z>c,这个记号就叫做二阶行列式，例如:2,若'+Ix+2l=10,求X

=l×4-2×3=

χ-2x+l∣

的值.

11.(2021秋•兰考县期中)已知一个多项式除以多项式/+4“-3,所得商式是2α+l,余式为2“+8,求这

个多项式.

12.(2021春•中原区校级期中)如图①是一个长为4/宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块