2022-2023学年北京市昌平区高三年级上册期末质量检测数学试题

昌平区2022〜2023学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷

本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在

试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.

1,已知集合4={RT<X<2},B={X|x〉0},则集合AB=()

A.(-2)B.[-1,+00)

C.(0,2)D.H，2)

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(a,1),且满足(l—i)-z=2,则。=()

A.1B.-1C.：2D.-2

3.下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是()

1

A.尸一B.y=-x3

X

C.y=MXD.

2

4.若d>6>0,c>d>0,则一定有()

ahabahah

A.—>—B.—<—C.—>—D.—<—

cdcddcdc

已知二项式+的展开式中:的系数是10,

5.则实数a=()

A.-1B.1C.-2D.2

4

6.若sin(兀-a)=-1，cosa>0,贝！Jtana=()

334_4

A.-B.--C.D.-

4433

7.在平面直角坐标系中，角。与角夕均以Z为始边，则“角。与角£的终边关于〉轴

对称”是“sina=sin/的()

A充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开圆柱形小木钉，小木钉之间留有适

当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到

小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器

中从顶部下落，则小球落入。区的路线数有()

A.16B.18C.20D.22

9.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为/，准线为/.斜率为6的直线经过焦点F，交抛

物线。于点A,交准线/于点8(A8在x轴的两侧).若|A@=6,则抛物线的方程为()

A.y2-2xB.y2=3x

C.y2-4xD.y2=6x

10.已知向量a,4c满足忖=JI忸卜l,(a,司=£,(c—a)。)=0,则口的最大值是()

卜Qi*47B”

V5+1

D.及+T

2

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题每小题5分，共25

分.

11.已知数列｛。"｝中，4=2,a“+1—2%=0(“eN*),则数列｛a“｝的通项公式为

12.已知双曲线工—工=1的焦点为点P在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程

45

为；若归耳|=4,贝||「用=.

13.在一ABC中，«=8,c=7,cosA=—,则Z?=，NC=.

7

14.若直线丁=辰+2与圆(x—l)2+y2=〃有公共点，则a的最小值为.

15,已知正三棱锥P—ABC的六条棱长均为。,。是底面的中心，用一个平行于底面

的平面截三棱锥，分别交尸APB,PC于4,g,G点(不与顶点p,AB,C重合).

给出下列四个结论：

①三棱锥。-AAG为正三棱锥；

②三棱锥P-ABC的高为逅4；

3

③三棱锥0-A4G的体积既有最大值，又有最小值；

④当空=2时，k-=±

一PA3VP_ABC27

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/（x）=6sin2yx-cos20x（O<0<2）,再从条件①、条件②、条件③中选择

一—个作为已知，

（1）求“X）解析式；

（2）当xe时，关于x的不等式“X）4”恒成立，求实数机的取值范围.

条件①：函数/（X）的图象经过点2）；

条件②：函数/（X）的图象可由函数g（x）=2sin2x的图象平移得到；

条件③：函数/（x）图象相邻的两个对称中心之间的距离为

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.

17.不粘锅是家庭常用厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12

款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消

费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性、耐磨性、耐碱性

、手柄温度、温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性、耐

磨性”检测结果的数据如下：

检测结果

序号品牌名称不粘性耐磨性

1品牌1I级I级

2品牌2n级I级

3品牌3I级I级

4品牌4n级□级

5品牌5I级I级

6品牌6n级I级

7品牌7I级I级

8品牌8I级I级

9品牌9n级口级

10品牌10n级□级

11品牌11n级□级

12品牌12n级口级

（I级代表性能优秀，II级代表性能较好）

（I）从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能

都是I级的概率;

（2）从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是I级的品牌个数，求随机变

量X的分布列和数学期望；

（3）从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设y为性能都是I级的品牌个数，比较随

机变量x和随机变量y的数学期望的大小（结论不要求证明）.

18.如图，在多面体ABC-中，侧面为矩形，C4,平面ABgA，CC,±

平面ABC，M=AC=4,CG=2,A5=3.

(1)求证：CG〃平面ABB|A；

(2)求直线AG与平面所成角的正弦值；

(3)求直线A圈到平面ABG的距离.

19.已知椭圆C：二+工=1(。>人>0)过点(2,0),且离心率是也.

。一力~2

(1)求椭圆。的方程和短轴长；

(2)已知点尸(1,0),直线/过点(0,3)且与椭圆C有两个不同的交点AB,问：是否存在

直线/,使得.a仍是以点P为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线/的方程；若不存在,

说明理由.

20.已知函数/(x)=ex+meTx+(m-l)x,m<0.

(1)当机=0时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)讨论函数/(x)的单调性；

(3)当时，证明：对任意的X€((),+OO),/(X)»-2恒成立.

,、*f2a„,a„<12,/、

21.已知数列{q,}满足：eN,ax<24,且％+]=<j,(n=l,2,).记集

合M={qj〃eN''}.

(1)若q=2,写出集合M的所有元素；

(2)若集合〃存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；

(3)求集合M的元素个数的最大值.

昌平区2022〜2023学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷

本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在

试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.

1,已知集合4=(况一1"工<2},8={乂％>0},则集合AB=()

A.(―co,2^B.[—l,+oo)

C.(0,2)D.[-1,2)

【答案】c

【解析】

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】依题意AcB={x[0<x<2}.

故选：C

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(a,1),且满足(l—i)-z=2,则。=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求得z=l+i,结合复数的几何意义可得z=a+i,由此求得

答案.

详解】由(1—i)-z=2得2=占=也»=1+"

又复数z对应的点的坐标是(a,1),即z=a+i=1+i,a=1,

故选：A

3.下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是()

A.y=—B.y=_%3

x

c.发布D.尸嘎「

【答案】B

【解析】

【分析】根据反例或基本初等函数的性质可得正确的选项.

【详解】对于A,设/(x)=g,则=⑴=1,/(一1)</■⑴，

故/(x)=J在定义域内不是减函数，故A错误.

对于B,设g(x)=-V,其定义域为R且g(r)=_(—x)3=x3=_g(x),

故g(x)=f?为奇函数，而y=/为R上的增函数，

故g(x)=f：3为R上的减函数，故B正确.

对于C设〃(»=布|,因为。)=1<4=〃⑵,故〃(x)=x|乂在定义域内不是减函数,

故C错误.

对于D,尸噢「的定义域为(0,+8),故该函数不是奇函数，故D错误.

故选：B

4.若a>6>0,c>d>Of则一定有()

ahahabab

A.—>-B.-<-C.—>-D.一<一

cdcddcdc

【答案】C

【解析】

【分析】利用特例法，判断选项即可.

【详解】解：不妨令。=3,6=l,c=l,d=1，则"=3,2=3,；.A、B不正确；-=9,—=1,

3cddc

，D不正确，C正确.

故选：C.

【点睛】本题考查不等式比较大小，特值法有效，是基础题.

5.已知二项式［》+色］的展开式中3的系数是10,则实数。=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】二项式(x+区)的展开式为=".仁/5-2「，

令5—2r=—1,解得r=3,

所以/.仁=10/=］0,。=1

故选：B

6.若sin（兀-a）=-g,cosa>0,则tanc=（）

3344

A.-B.一一C.-D.一一

4433

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

4

【详解】sin（n-a）=sina=--,cosa>0,

________3

所以cosa=Jl-sin2a=-,

,sina4

所以tana=----=——.

cosa3

故选：D

7.在平面直角坐标系xOy中，角a与角/均以Z为始边，则“角a与角6的终边关于y轴

对称‘'是"sina=sin£”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】判断命题“角a与角£的终边关于轴对称”和“Sine=sin£”之间的逻辑推理关

系，可得答案.

【详解】由题意知，角a与角夕的终边关于V轴对称时，则。+£=兀+2航次eZ,

故a=it—B+2kn,kwZ,则sina=sin（兀一£+2E）=sin/7,AeZ,即sina=sin/?；

当a=Q+2E«eZ时，此时sina=sin£,角a与角夕的终边不关于y轴对称，

即“sina=sin/?”成立不能得出“角a与角夕的终边关于y轴对称”成立，

故“角a与角/的终边关于，轴对称”是“sina=sin£”的充分而不必要条件，

故选：A

8.图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适

当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到

小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器

中从顶部下落，则小球落入。区的路线数有()

A.16B.18C.20D.22

【答案】C

【解析】

【分析】由上而下依次归纳小球到每一层相邻两球空隙处的线路数后可正确的选项.

【详解】第一层只有一个小球，其左右各有一个空隙，小球到这两个空隙处的线路数均为1;

第二层有两个小球，共有三个空隙，小球到这三个空隙处的线路数从左到右依次为：1,2,1,

第三层有三个小球，共有4个空隙，小球到这四个空隙处的线路数从左到右依次为：

1,1+2,2+1,1即为1,3,3,1,

第四层有四个小球，共有5个空隙，小球到这五个空隙处的线路数从左到右依次为：

1,1+3,3+3,3+1,1即为1,4,6,4,1,

第五层有五个小球，共有6个空隙，小球到这六个空隙处的线路数从左到右依次为：

1,1+4,4+6,6+4,4+1,1即为1,5,10,10,5,1,

第六层有六个小球，共有7个空隙，小球到这七个空隙处的线路数从左到右依次为：

1,1+5,5+10,10+10,10+5,5+1,1即为1,6,15,20,15,6,1,

故小球落入。区的路线数有20条.

故选：C.

9.设抛物线。:丫2=22武0>0)的焦点为/，准线为/•斜率为6的直线经过焦点产，交抛

物线。于点A,交准线/于点8(48在工轴的两侧).若|A@=6,则抛物线的方程为()

A.y1-2xB.y2=3x

C.y2-4xD.y2=6x

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线A3的斜率以及|AB|=6求得P,从而求得抛物线的方程.

【详解】直线A8的斜率为石，倾斜角为三，

过A作AH_L/,垂足为H,连接印、

由于|AH|=|AF|,ZHAF=1,所以三角形AHF是等边三角形，

所以I“同=|A”|=g|AB|=3,

jr1多

由于/"/8=一，所以夕=一阳尸|=一，

622

所以抛物线方程为V=3x.

故选：B

10.已知向量a,4c,满足忖=逝,忖=1,卜»=£,卜—。卜卜叫=0,则口的最大值是()

A.V2-1B.

2

c.粤D.V2+1

【答案】C

【解析】

【分析】把。力平移到共起点以人的起点为原点，匕所在的直线为x轴，/,的方向为*轴的

正方向，求出a,b的坐标，则根据卜―a)―(c—b)=0得0的终点得轨迹，根据，的意义求

解最大值.

【详解】把。1平移到共起点，以匕的起点为原点，b所在的直线为x轴，/,的方向为*轴

的正方向，见下图，设OB=》,OA=a,OC=c,则c-a=AC,c—。=3C

又•(c—4卜叫=0则点C的轨迹为以AB为直径的圆，又因为

W="W=1,«®=(,所以30,0)4(1,1)故以A3为直径的圆为

所以卜|的最大值就是以AB为直径的圆上的点到原点距离的最大

值，所以最大值为+(gj+[=浮1

故选：C

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25

分.

11.已知数列｛4｝中，q=2,a“+i—勿“=O（”eN*）,则数列｛4｝的通项公式为

【答案】4=2"

【解析】

【分析】判断数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得答案.

【详解】数列｛4｝中，4=2,4加-2«„=0（〃eN*）

则否则与q=2矛盾，

故午=2,即数列｛%｝为首项为2,公比为2的等比数列，

所以4,=2",

故答案为：4=2"

22

12.已知双曲线乙―二=1的焦点为£,居，点P在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程

45

为；若|尸耳|=4,则归用=.

【答案】①.y=土立x②.8

2

【解析】

【分析】求得。力，由此求得双曲线的渐近线方程，根据双曲线的定义求得归6|

【详解】依题意。=21=石，所以双曲线的渐近线方程为y=土手x，

由于俨国=4=2。，所以P在双曲线的左支，所以归国=2。+归周=8.

故答案为：y=+^^-x；8

2

13.在中，a=S,c=7,cosA=—,则。=，ZC=.

7

【答案】5②.（##60°

【解析】

【分析】根据余弦定理可求〃，再根据余弦定理看可求/C.

【详解】由余弦定理可得64=〃+49—2x6x7x』=b2—26+49,

7

故加-2A-15=0，故人=一3（舍）或。=5,

故cosNC=°64+2°5-491而，C为三角形内角，故NC=%71.

2x5x823

故答案为：5,y.

14.若直线丁="+2与圆（x—l）2+y2=a有公共点，则〃的最小值为.

【答案】5

【解析】

【分析】求出直线丁=依+2所过的定点，当点（0,2）在圆上或圆内时，直线丁=丘+2与

圆（X-1）2+>2=。总有公共点,列出不等式，即可求得答案.

【详解】由题意知左eR,直线了=日+2过定点（0,2）,

当点（0,2）在圆上或圆内时，直线丁=代+2与圆（彳一1）2+>2=4“>0总有公共点，

即（0-l）2+22<«,/.a>5,

即”的最小值为5,

故答案为：5

15.已知正三棱锥P—ABC的六条棱长均为a。是底面.A8C的中心，用一个平行于底面

的平面截三棱锥，分别交于A，g，G点（不与顶点P，A6,C重合）.

给出下列四个结论：

①三棱锥。-A4G为正三棱锥：

②三棱锥P—ABC的高为迈a；

3

③三棱锥。-4月£的体积既有最大值，又有最小值;

④当d=2时，=±

一PA3VP_ABC27

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】建立正四面体模型，数形结合分析.

【详解】如图所示

•••用一个平行于底面的平面截三棱锥，

且尸一ABC为正三棱锥，。是底面一的中心

，三棱锥。-AAG为正三棱锥，故①正确；

•.•正三棱锥P—A3C的六条棱长均为“，。是底面_A8C的中心，

三棱锥P-ABC的高为P。，

的高为CO,且C£＞=@a,oc=2。=

233

•••PO=J/—（且a]=凡，故②正确

N（313

,•••A，B|，G点不与顶点P,A8,C重合，

----U-hr-

.•.A4=xw（O,a）,设0—A用G的高为〃，则?=号=—,得h=Ra—x），

——a

3

2

/（x）=%-ABq=；S1c6=；，；，炉-sin^-^-（x-a）=^-x（a-x）＞

JJJ1

/^x）=———ax-^-x2-——^-x（2a-3x）»在（0,学）上/'（x）＞0,（当,a）上/'（尤）＜（），

641233

所以/（X）在（0,停）上递增，（称,a）上递减，故在（0,。）上有最大值，无最小值，故③错误;

PA2

当徐=工时，点A，稣G分别为线段PAPB,PC的三等分点,

r/13

221

=a

A[Bl=—AB~，且期二]既

.jc"小心哙卜呜_4

"-AB。JS.ABChP2人p“-sin-"

故④正确；

故答案为：①②④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数〃x)=Gsin20x—cos2s(0<o<2),再从条件①、条件②、条件③中选择

一个作为已知，

(1)求“X)的解析式：

(2)当xe时，关于x的不等式"》)〈根恒成立，求实数用的取值范围.

条件①：函数"X)的图象经过点(%2)；

条件②：函数“X)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到；

条件③：函数/(X)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.

jr

【答案】(1)/(x)=2sin(2x一一);

6

(2)[2,+00).

【解析】

【分析】⑴化简/(力=2而(28-3，若选①，将点[三；]代入求得0=1,可得答

案；选②，根据三角函数图象的平移变化规律可得。=1,可得答案：选②，由函数的最小

正周期可确定0=1,可得答案；

(2)由x/0,外确定2x-$e[-3学1，从而求得“X)的范围，根据不等式恒成立即可

_2」666

确定实数山的取值范围.

【小问1详解】

/(x)=6sin26yx-cos26yx=2sin(2<yx--)；

选①：函数/(X)的图象经过点2),则2sin(2oxg—2)=2,

7T7TJT

所以2Gx----=—+2lai,kGZ,则口=1+3%,女EZ,

362

由0＜。＜2,可得0=1,则/(x)=2sin(2x—巴)；

6

选②：函数/(X)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到，

即/(x)=2sin(2ox-*的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象平移得到，

冗

则0=1,则〃x)=2sin(2x---).

6

选③：函数/(x)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为y,

2兀

则函数的最小正周期为兀，故2。=—=2,r.0=1,

71

故/(x)=2sin(2x—..

【小问2详解】

当xe0,—时,w[—,则sin(2x—:)w[—,1]»

L2J66662

7T

故〃x)=2sin(2x--)e[-l,2],

6

又当xe0假时，关于x的不等式〃》)＜加恒成立，故加？2,

即实数〃，的取值范围为[2,+QO).

17.不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了12

款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测.本次选取了食物接触材料安全项目中与消

费者使用密切相关的6项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性、耐磨性、耐碱性

、手柄温度、温度均匀性和使用体验等6个指标.其中消费者关注最多的两个指标“不沾性、耐

磨性''检测结果的数据如下：

检测结果

序号品牌名称不粘性耐磨性

1品牌1I级I级

2品牌2n级I级

3品牌3I级I级

4品牌4n级□级

5品牌5I级I级

6品牌6n级I级

7品牌7I级I级

8品牌8I级I级

9品牌9n级口级

10品牌10n级□级

11品牌11n级□级

12品牌12n级口级

（I级代表性能优秀，II级代表性能较好）

（1）从这12个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能

都是I级的概率；

（2）从前六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设为性能都是I级的品牌个数，求随机变

量X的分布列和数学期望；

（3）从后六个品牌中随机选取两个品牌的数据，设y为性能都是I级的品牌个数，比较随

机变量x和随机变量y的数学期望的大小（结论不要求证明）.

【答案】（I）—

(2)

X012

131

P

555

(3)E(y)<E(X)

【解析】

【分析】(1)直接计算事件发生概率；

(2)X可能取值为0,1,2,分别计算出概率，再列分布列，计算期望值;

(3y可能取值为0,1,2,分别计算出概率，计算期望值，再比较大小.

【小问1详解】

“不粘性”性能都是I级的品牌有5个，

记事件A为两个品牌的“不粘性”性能都是I级，

2

则P⑷晦C得5

【小问2详解】

前六个品牌中性能都是I级的品牌有3个，X可能取值为0,1,2,

C21

P(x=o)=方.

P(X=1)=罟V

C21

P(X=2)W=j

；.x分布列为

X012

]_3

P

555

【小问3详解】

后六个品牌性能都是I级的品有2个，y可能取值为0,1,2,

C22

叩=。)=丁于

p(y=i)窄］

y1,

r2i

P(y=2)=与」;

l1屐15

・・.y数学期望为

18.如图，在多面体ABC-A4G中，侧面ABgA为矩形，C4_L平面A8g4，CC,±

平面ABC,AA,=AC=4,CC,=2,AB=3.

（1）求证:CC;〃平面ABB1/；

（2）求直线AG与平面A8G所成角的正弦值；

（3）求直线A3到平面ABC,的距离.

【答案】（1）证明见解析；

（2）y；

⑶叵

5

【解析】

【分析】（1）先证明平面A8C,进而证明AA〃CG，从而根据线面平行的判定定

理证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标和相关向量坐标，求出平面A8G的法向量，

根据空间向量的夹角公式即可求得直线4G与平面A8G所成角的正弦值；

（3）结合（2）的结果，利用空间距离的向量求法，先求点A到平面A8G的距离，即可

求得直线到平面的距离.

44ABC1

【小问1详解】

证明：由题意C4_L平面A3与4，C4u平面A8C,故平面A8C1平面45片4，

又侧面ABgA为矩形，故

而4Au平面ABB/平面ABCc平面=A8,

所以4A，平面ASC，又CG，平面ABC,

所以AA〃CC|，而AAu平面平面A8B4,

故CG〃平面ABB4.

【小问2详解】

因为C4,平面ABu平面A844,故C4_L43，

而AA,平面ABC,

故以A为坐标原点，分别以A8,AC,A4的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系，

因为AA,=AC=4,CC,—2,AB-3,

则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,4,0),C,(0,4,2),A,(0,0,4),

则A3=(3,0,0),AC；=(0,4,2),AG=(0,4,—2)

n-AB=0

设平面ABC1的法向量为〃=(x,y,z),则｛,

n-AC]-0

[3x=0

即,cn-令y=l，则〃=(0』,一2),

4y+2z=0

TT

设直线AG与平面ABG所成角为夕。e[0,1],

则sine=1cos〈〃,4G〉1="4GI=__/_=1.

Inll^C,I2V5xV55

【小问3详解】

因为侧面A为矩形，所以A耳〃AB,

而A3u平面A8C，4B|平面ABC,故A£〃平面ABC,

则直线到平面ABC；的距离即为点4到平面ABC｝的距离，

AG=(0,4,—2),平面ABG的法向量为“=(0,1,—2),

故点A到平面ABC；的距离为〃=*?=2=竽，

即直线44到平面ABG的距离为拽.

5

19.已知椭圆C：5+与=1（。>。>0）过点（2,0）,且离心率是立.

ab2

（1）求椭圆。的方程和短轴长；

（2）已知点P（l,0）,直线/过点（0,3）且与椭圆C有两个不同的交点问：是否存在

直线/，使得LPAB是以点P为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线/的方程；若不存在,

说明理由.

22

【答案】（1）土■+匕=1,2A/2.

42

（2）存在，直线/:x=0.

【解析】

【分析】（1）由题意椭圆过点（2,0）可得a=2,根据离心率求得c,继而求得6,可得答案.

（2）假设存在直线/,使得RW是以点P为顶点的等腰三角形，讨论直线斜率是否存在

的情况，存在时设出直线方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，设A8的中点为点

根据题意可得3Bx女2=-1，化简计算，求得火的值，进行判断，可得结论.

【小问1详解】

由题意知椭圆C:三+营=｛（a>b>0）过点（2,0）,且离心率是乎，

则a=2,且£=c==2，

a2

22

故椭圆C的方程为三+汇=1,短轴长为26=2正.

42

【小问2详解】

假设存在直线/，使得，Q钻是以点P为顶点的等腰三角形，

由于直线/过点（0,3）,当直线斜率不存在时，直线/为x=0,

此时A8为椭圆的短轴上的两顶点，此时是以点尸为顶点的等腰三角形；

当直线/斜率存在时，设直线方程为y=6+3,

y=Ax+3

联立《%2y2,得（2/+1）*2+12履+14=0,

142

当直线丁="+3与椭圆。有两个不同的交点时,

7

该方程A=（12幻2一4、14（2公+1）＞。，整理得严〉一,

4

设4元1，%）,8（々,丁2）

12k14

则X,+x-

22FTT,%,X2=2Fn,

6

所以y+%=（何+3）+（5+3）=左（N+々）+6=

2公+1

设AB的中点为点。，则。（"殳,辽&）,

22

6k3

即巾赤T赤T）'则「“3

当一一驾6k=1时，PO斜率不存在，

2r+1

76k

此时AB的斜率％为0,不满足A:?〉一,故一一5—W1,

42F+1

3

由题意可知&"X&7）=T,即％x―2幺+1_=_],

6k

----;----1

2k12+1

1,71

解得％=—1或攵=一一，由于％2＞一，故左=一1或%=一一不适合题意,

242

综合以上，存在直线/:x=0,使得，A钻是以点尸为顶点的等腰三角形.

【点睛】关键点点睛：解决直线和椭圆的位置关系中是否存在的问题时，•般是先假设存在,

然后设直线方程，联立椭圆方程，结合根与系数的关系化简求值，解答的关键点是要能根据

题设即cQ钻是以点。为顶点的等腰三角形，设的中点为点。，得到旗8*即。=-1,

然后结合根与系数关系化简求值，即可解决问题.

20.已知函数/（x）=ev+/ne~v+（m-l）x,m＜0.

（1）当加=0时，求曲线y=/（x）在点（OJ（O））处的切线方程;

（2）讨论函数“X）的单调性；

(3)当一eWm<-l时，证明：对任意的xe(O,+8),/(x)2-2恒成立.

【答案】(1)y=(e-l)x+l

(2)答案详见解析(3)证明详见解析

【解析】

【分析】(1)利用切点和斜率求得切线方程.

(2)求得r(x),对加分类讨论，由此来求得/(X)的单调区间.

(3)结合(2)求得/(X)在区间(0,+纥)上的最小值，由此证得结论成立.

【小问1详解】

当加=0时，/(x)=e*=e'-1,

所以切线方程为y-l=(e-l)x,y=(e-l)x+l.

【小问2详解】

依题意，/(x)=e"+m&x+(zn-1)x,m<0,

m(e'-lUe'+m)

尸(x)=e'-me~x+(/w-l)=ev——-+=------々------，

当加=0时，/'(x)=e'-l=0,解得x=0,

则/(x)在区间(7,0)J'(x)<0J(x)递减；在区间(0,加