1.5 全等三角形的判定（解析版）

1.5全等三角形的判定1.掌握用SSS,SAS，ASA和AAS证明两个三角形全等的方法,并会用HL证明两个直角三角形全等.2.能根据所给条件灵活地选择三角形全等的判定方法,并能综合运用全等三角形的性质证明线段和角相等的问题3.通过画、量、观察、比较和猜想等过程,探索、归纳、证明两个三角形全等的条件,提高运用知识的能力知识点一三角形全等的基本事实:边边边边边边三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”提示：三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定.这也是三角形具有稳定性的原因2.书写格式在中，∴即学即练（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O．（1）求证：△ABC≌△EDF．（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数．【答案】（1）见解析；（2）70°【分析】（1）由AD=BE可求得AB=ED，利用SSS可证得：ΔABC（2）由邻补角可求得∠ABC=55°，结合（1）可求【详解】（1）证明：∵AD=BE∴AD+BD=BE+BD即AB=ED，在ΔABC与Δ{AC=EF∴ΔABC（2）解：∵∠CBE=125∴∠ABC=180∵ΔABC∴∠EDF=∴∠BOD=180【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是对全等三角形的判定条件的掌握与应用．知识点二三角形全等的基本事实:边角边1.基本事实两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”2.书写格式在中，∴注意：(1)应用此判定方法时,可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边和它们的夹角”,即“SAS”,不要错误地认为有两边、角就能判定两个三角形全等.特别注意“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件(2)在书写时也要按照“边一角一边”的顺序排列条件即学即练1（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，AB=AC，添加下列条件，不能使△ABE≌△ACD的是（A．∠B=∠C B．∠AEB=∠ADC C．AE=AD D．BE=DC【答案】D【分析】本题要判定△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A是公共角，具备了一组边对应相等和一角相等的条件，故添加∠B=∠C、∠AEB=∠【详解】解：A、添加∠B=∠C可利用ASAB、添加∠AEB=∠ADC可利用AASC、添AE=AD可利用SAS证明△ABED、添加BE=DC不能证明△ABE故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、即学即练2（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，把两根钢条AA'，BBA．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】B【分析】卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，因为AA'，BB【详解】卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，理由如下：∵O是AA'，∴OA=OA'，又∵∠AOB=∴△AOB∴A'∴只要量出A'B'故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．知识点三三角形全等的基本事实:角边角1基本事实两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角或“ASA”2.书写格式在中，∴即学即练1（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（

）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去【答案】C【分析】根据三角形全等的判定解决.【详解】解：A、按照①画出的三角形只有一个角与原三角形相等，不能保证画出的玻璃与原玻璃一样，错误；B、按照②画出的三角形没有一个角或一条边与原三角形相等，不能保证画出的玻璃与原玻璃一样，错误；C、按照③画出的三角形有两个角和一条边与原三角形相等，按照ASA定理这样画出的玻璃与原玻璃一样，正确；D、按照①和②画出的三角形只有一个角与原三角形相等，不能保证画出的玻璃与原玻璃一样，错误；故选C.【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．知识点四三角形全等的推论:角角边1基本事实两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”2.书写格式在中，∴注意：(1)有两角和一边分别相等的两个三角形不一定全等,一定要注意“对应”关系(2)有三个角对应相等的两个三角形不一定全等即学即练（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）已知，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥

(1)证：△ABC≌(2)若∠ACB=40°，∠D=80°，求∠B的度数．【答案】(1)见解析(2)60【分析】（1）根据平行线的性质得出∠F=∠ACB（2）根据全等三角形的性质得出∠A=【详解】（1）证明：∵AC∥∴∠F=在△ABC和△∵∠ACB=∴△ABC（2）∵△∴∠∵∠∴∠B=180【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．知识点五判定两个三角形全等常用的思路方法已知对应相等的元素可选择的判定方法需寻找的条件锐角三角形或钝角三角形两边(SS)SSS或SAS第三边对应相等或两边的夹角对应相等一边及其邻角(SA)SAS或ASA或AAS已知角的另一邻边对应相等或已知边的另一邻角对应相等或已知边的对角对应相等一边及其对角(SA)AAS另一角对应相等两角(AA)ASA或AAS两角的夹边对应相等或相等一角的对边对应相等即学即练（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ΔABC≅ΔADC

A．CB=CD B．∠BAC=∠DACC．∠BCA=∠DAC D．∠B=∠D=90°【答案】C【分析】由图形可知AC=AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：在△ABC和△∵AB=AD，AC=AC，∴当CB=CD时，满足SSS，可证明△ABC当∠BAC=∠DAC时，满足SAS当∠BCA=∠DAC当∠B=∠D=90°时，满足故选：C．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即SAS，ASA，AAS，SSS．知识点六常见全等三角形的基本图形平移型全等翻折型全等旋转型全等知识点七角的平分线的性质角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等书写格式提示:(1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再通过证全等三角形得到相等线段;(2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，即构造“角的平分线性质”的基本图形,得到相等的两条垂线段.即学即练（2023春·贵州遵义·八年级校联考期中）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO:S

A．1:1:1 B．1:2:3 C．2:3:4 D．3:4:5【答案】C【分析】过点O分别作AB，BC，CA的垂线，可得OD=OE=OF，从而可证S△ABO:【详解】解：如图，过点O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别为点F，D，E，

由角平分线的性质定理得：OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB，BC，CA∴==AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4．故选：C．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．知识点八角的平分线的判定角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线2.书写格式如图所示,即学即练（2020秋·浙江台州·八年级校考期中）如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（

）A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【答案】B【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB.【详解】如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：B.【点睛】本题考查角平分线的判定定理，角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；熟练掌握定理是解题关键.知识点九线段的垂直平分线1.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质及判定性质判定图示内容线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上书写格式应用证明线段相等确定点在线段的垂直平分线上即学即练1（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC，AB于点D，E．已知△BCE的周长为9，BC=4，则AB的长为．【答案】5【分析】先利用三角形周长得到CE+BE=5，再根据线段垂直平分线的性质得到EC=EA，然后利用等线段代换得到AB的长．【详解】解：∵△BCE∴CE+BE+BC=9又∵BC=4∴CE+BE=5又∵DE是AC∴EC=EA∴AB=AE+BE=CE+BE=5故答案为：5．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．即学即练2（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，点D是△ABC边AC的中点，过点D作AC的垂线交BC于点E，已知AC=6，△ABC的周长为14，则△ABE的周长是（

）A．6 B．14 C．8 D．20【答案】C【分析】由题意可知：ED垂直平分AC,故EA=EC，结合AC=6，△ABC的周长为14【详解】解：∵点D是△ABC边AC的中点，ED∴ED垂直平分AC,∴EA=EC，∵AC=6，△ABC的周长为14∴AB+BC=14-∴AB+BC=AB+BE+EC=AB+BE+AE=8,∴△ABE的周长是8故选：C．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键．题型一用SSS证明三角形全等例1（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知AC=DB，要使得△ABC≅△DCB，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是．【答案】AB=DC【分析】要使△ABC≅△DCB【详解】解：添加AB=DC．在△ABC和△DCB中∴△ABC故答案为：AB=DC．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．举一反三1（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，AF=DC，EF=BC，AB=ED，证明△ABC≌△DEF．【答案】见解析【分析】由AF=DC，可得AC=DF，根据三边分别相等的两个三角形全等，即可证明△ABC【详解】证：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC．∴AC=DF．在△ABC与△AB=DE∴△ABC【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，牢记三角形全等的判定方法（三边分别相等的两个三角形全等）是解题的关键．举一反三2（2022秋·浙江·八年级期中）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC求证：AD⊥BC（填空）．证明：在三角形△ABD和∵BD=已知∴≌（）．∴∠ADB＝（全等三角形的对应角相等）．∴∠ADB＝∴（垂直的意义）．【答案】DC【分析】证明△ADB≌△ADC【详解】证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在三角形△ABD和△BD=DCAB=AC∴△ADB∴∠ADB∴∠ADB∴AD⊥故答案为：DC，【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用全等三角形的性质解决问题．题型二全等的性质和SSS综合例2（2022秋·浙江金华·八年级校考期中）如图，AB=CD，AE=DF，CE=BF，说出∠B=∠C的理由．

解：∵CE=BF（

），∴CE+EF=BF+FE，即CF=BE．在△ABE和△DCF中，AB=__________(∴△ABE≌△DCF（

），∴∠B=∠C（

）【答案】见解析【分析】根据题目给定条件，结合给定步骤，利用“SSS”定理证明△ABE≌△【详解】解：∵CE=BF∴CE+EF=BF+FE，即CF=BE，在△ABE和△AB=CD(已知∴△ABE≌△∴∠B=【点睛】本题考查了利用“SSS”全等三角形的判定定理来证明全等，熟练运用题中条件选择合适的方法证明三角形全等是解题的关键．举一反三1（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，边BC上，连接DE,AD=AC，ED=EC．(1)求证：∠ADE=∠C．(2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60【分析】（1）连接AE，利用SSS定理证出△ADE（2）先根据垂直的定义可得∠ADE=90°，再根据（1）的结论可得【详解】（1）证明：如图，连接AE，在△ADE和△ACE中，∴△ADE∴∠ADE=（2）解：∵AB∴∠ADE=90由（1）已证：∠ADE=∴∠C=90∵∠B=30∴∠A=180【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、垂直的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．举一反三2（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图所示，已知AB=DC，AE=DF，EC=BF，且B，F，E，C在同一条直线上(1)求证：AB(2)若BC=10，EF=7，求BE的长度【答案】(1)见解析(2)8.5【分析】（1）证明△ABE≌△DCF，得出∠（2）根据BC=10，EF=7，求出CE=BF=12×【详解】（1）证明：∵EC=BF，∴CE+EF=EF+BF，即CF=BE，∵AB=DC，AE=DF，∴△ABE∴∠B=∴AB∥（2）解：∵BC=10，EF=7，∴CE=BF=1∴BE=BC-【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明△ABE题型三用SAS直接证明三角形全等例3（2022秋·浙江嘉兴·八年级平湖市林埭中学校联考期中）如图把两根钢条AA',B

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】B【分析】利用SAS，证明△AOB≌△A'O【详解】解：如图所示，

∵O为AA'，∴AO=A又∵∠AOB=∴△AOB≌△A∴AB=A故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．举一反三1（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）为了测出池塘两端A，B的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上，小红认为只要量出D，C的距离，就能知道AB，小红是根据△OAB≌△OCD来判断AB=DC的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是（A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】B【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答．【详解】解：在△AOB和△COD中，∴△AOB故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键．举一反三2（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，已知AB=AC，AD=AE，则∠B=∠C，请说明理由（填空）解：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC∴△ABE≌△ACD（

）∴∠B=∠C（

）【答案】见解析【分析】根据SAS证明△ABE【详解】解：在△ABE和△∵AB=AC∴△ABE∴∠B=【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．题型四用SAS间接证明三角形全等例4（2022秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．【答案】见解析【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，再有已知条件进而可得出△ABC≌△DEF．【详解】证明：∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+EC．∴BC＝EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE∠∴△ABC≌△DEF（SAS）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．举一反三1（2022秋·浙江·八年级期中）已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD．AC=BE．BC=BD．求证：AB=DE．【答案】详见解析【分析】由AC、BD平行，可知∠ACB＝∠DBC，再根据已知条件，即可得到△ABC≌△EDB，即得结论AB＝DE．【详解】证明：∵AC∥BD，∴∠ACB＝∠DBC，∵AC＝BE，BC＝BD，∴△ABC≌△EDB，∴AB＝DE．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，涉及到平行线的性质知识点，比较简单．举一反三2（2019秋·浙江杭州·八年级期末）如图，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，则△ABC≌△ADE，请将下列说理过程补充完整．解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=______+______．即∠BAC=______．在△ABC和△ADE中，AB=______∴△ABC≌△ADE【答案】∠CAE，∠DAC，∠DAE，AD，∠DAE，已知，SAS．【分析】根据等式的性质求出∠BAC=∠DAE，根据AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE推出△ABC≌△ADE即可．【详解】∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．∵在△ABC和△ADE中，AB=AD∠∴△ABC≌△ADE(SAS)．故答案为：∠CAE，∠DAC，∠DAE，AD，∠DAE，(已知)，(SAS)．【点睛】本题考查了等式的性质和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．题型五全等的性质和SAS综合例5（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD至点E使得AD=DE，连接CE．(1)求证：△ABD≌△ECD；(2)求证：AB∥CE．【答案】(1)详见解析(2)详见解析【分析】（1）根据SAS即可证明△ADB（2）结合（1）得∠B=【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADB和△BD=CD∠∴△ADB（2）证明：∵△ADB∴∠B=∴AB∥【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．举一反三1（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3=（

）A．60° B．55° C．50° D．无法计算【答案】B【分析】利用“SAS”证明△ABD≌△ACE，从而得到∠【详解】解：∵∠BAC=即∠1+∴∠1=在△ABD和△ACE中，∴△ABD∴∠ABD=∴∠3=故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．证明△ABD举一反三2（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市青春中学校考期中）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连CF．

(1)求证：CF∥(2)若∠ABC=50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．【答案】(1)见解析(2)65【分析】（1）求出△AED≌△CEF（2）根据（1）求出∠A=【详解】（1）解：证明：∵E为AC∴AE=CE在△AED和△AE=CE∠∴△AED∴∠A=∴CF（2）∵AC平分∠∴∠ACB=∵∠A=∴∠A=∵∠A+∠ABC+∴2∴∠A=65【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．题型六用ASA(AAS)证明三角形全等例6（2022秋·浙江嘉兴·八年级平湖市林埭中学校联考期中）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，

(1)求证：ΔABF≅(2)若∠AOE=80°，求∠OEF的度数．【答案】(1)见解析(2)40【分析】（1）由边的关系和角的关系根据全等三角形的判定定理即可解答；（2）根据三角形全等得到角的关系即可解答．【详解】（1）∵BF=BE+EFCE=CF+EF∴在ΔABF和Δ∵∴ΔABF（2）∵Δ∴∠∵∠∴∠OEF=【点睛】本题主要考查全等三角形的性质定理和判定定理，解题的关键是抓住题干边和角的条件关系证明三角形全等及运用其性质定理．举一反三1（2001春·浙江杭州·七年级校考期末）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（

）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去【答案】C【分析】根据三角形全等的条件进行判断即可．【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，应带③去．故选：C．【点睛】本题主要考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．举一反三2（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠1=∠2，∠【答案】见解析【分析】证明△BAC≌△DAE【详解】证明：∵∠1=∴∠1+∠DAC=在△BAC和△∠BAC=∴△BAC∴BC=DE【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．题型七全等的性质和ASA(AAS)综合例7（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定证明△ABD≌△ACE（SAS）即可；（2）由△ABD≌△ACE证得∠B=∠C，进而证得△ACM≌△ABN（ASA），再根据全等三角形的性质可证得结论．【详解】（1）证明：在△ABD和△ACE中，AB=AC∠∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由（1）知：△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，在△ACM和△ABN中，∠C=∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．举一反三1（2023春·浙江·八年级开学考试）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．【答案】(1)见解析(2)DE=3【分析】（1）利用中点性质可得BD=CD，由平行线性质可得∠DBE=∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，即可证得结论；（2）由题意可得EF=AE-AF=6，再由全等三角形性质可得DE=DF，即可求得答案．【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵BE∥CF，∴∠DBE=∠DCF，在△BDE和△CDF中，∠DBE=∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE=13，AF=7，∴EF=AE-AF=13-7=6，∵△BDE≌△CDF，∴DE=DF，∵DE+DF=EF=6，∴DE=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．举一反三2（2020·浙江金华·九年级期末）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°，连接AC,BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明△AOC≌△BOD②利用三角形的外角性质即可证明;④作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H,再证明△OCG【详解】解：∵∠AOB=∴∠AOB+即∠AOC=在△AOC和△BOD中，∴△AOC∴∠OCA=∴∠OAC=由三角形的外角性质得：∠∴∠AMB=作OG⊥MC于G，OH⊥则∠OGC=在△OCG和△ODH中，∴△OCG∴OG=OH，∴MO平分∠BMC正确的个数有3个；故选B．【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等.题型八添加条件使三角形全等例8（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】解：∵BF=EC，∴A.添加一个条件AB=DE，又∵∴△ABC故A不符合题意；B.添加一个条件∠A=∠D又∵∴△故B不符合题意；C.添加一个条件AC=DF，不能判断△ABC≌△DEF，故C符合题意；D.添加一个条件AC∥FD∴∠又∵∴△故D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．举一反三1（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（

）A．∠ABC=∠DCB B．AB=DCC．AC=DB D．∠A=∠D【答案】B【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．【详解】选项A，添加∠ABC=在△ABC和△∠ABC=∴△ABC≌△选项B，添加AB=DC，在△ABC和△DCB中，AB=DC，BC=CB，∠ACB=∠DBC选项C，添加AC=DB，在△ABC和△BC=CB∠∴△ABC≌△选项D，添加∠A=在△ABC和△∠A=∴△ABC≌△综上，只有选项B符合题意．故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．举一反三2（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（

）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD【答案】D【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．故选D．题型九灵活选用判定方法证全等例9（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ΔABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（

A．AB,BC,CA B．AB,BC,∠B C．AB,AC,∠B D．∠A,∠B,BC【答案】C【分析】根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．【详解】A.AB,BC,CA．根据SSS一定符合要求；B.AB,BC,∠C.AB,AC,∠D.∠A,故选：C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三个判定定理．举一反三1（2022秋·浙江舟山·八年级统考期末）根据下列已知条件，能画出唯一的ΔABC的是（

A．∠C=90°，AB=6 B．AB=4，BC=3，∠A=30°C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D．AB=3，BC=4，CA=8【答案】C【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．【详解】解：A．∠C=90°，AB=6，不符合全等三角形的判定方法，即不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；B．AB=4，BC=3，∠A=30C．∠A=60°，∠B=45D．3+4<8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．举一反三2（2020春·浙江杭州·八年级期中）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙【答案】B【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．【详解】解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选B．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．题型十倍长中线模型例10（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）AD是△ABC的中线，AB=5,AC=7，则AD的取值可能是（

）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】A【分析】先画出图形，延长AD至点E，使得DE=AD，连接CE，再利用SAS定理证出△CDE≌△BDA【详解】解：如图，延长AD至点E，使得DE=AD，连接CE，则AE=2AD，

∵AD是△∴CD=BD在△CDE和△BDA中，∴△CDE∴CE=AB=5在△ACE中，AC-CE<AE<AC+CE∴1<AD<6观察四个选项可知，只有A符合，故选：A．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．举一反三1（2022秋·青海西宁·八年级统考期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范围是（

）．A．6<AD<8

B．12<AD<16

C．1<AD<7

D．2<AD<14(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【答案】(1)B(2)C(3)见解析【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．【详解】（1）∵在△ADC和△EDB中AD＝∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选：C．（3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．∵AD是△ABC中线∴CD＝BD∵在△ADC和△MDB中DC=DB∴△∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角对等边）又∵BM＝AC，∴AC＝BF．【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．举一反三2（2019秋·浙江台州·八年级统考期末）已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为边AB的中点，AE⊥CD分别交CD，BC于点F，E（1）如图1，①若AB=AC，请直接写出∠EAC-∠BCD=______；②连接DE，若AE=2DE，求证：∠DEB=∠AEC；（2）如图2，连接FB，若FB=AC，试探究线段CF和DF之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①45°；②见解析；（2）CF=2DF，理由见解析【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得90°②延长ED至点G，使得DG=DE，连接AG，从而可证明△ADG≌△BDE（SAS），再利用全等的性质，可知∠DGA=∠DEB，即可知道AG//BC，所以∠（2）延长CD至点H，使得DH=DF，连接BH，从而可证明△HDB≌△FDA（SAS），再利用全等的性质，可知BH=AF，∠H=∠AFD=【详解】（1）①∵∠EAC+∠∴∠∵∠∴∠又∵∠∴∠∴∠故答案为45°②如图，延长ED至点G，使得DG=DE，连接AG，∵点D为AB的中点，∴BD=AD，又∵∠ADG=∴△ADG≌△∴∠DGA=∴AG//BC，∴∠GAE=又∵AE=2DE，∴AE=EG，∴∠DGA=∴∠DEB=（2）CF=2DF．如图，延长CD至点H，使得DH=DF，连接BH，∵AD=BD，∠ADF=∴△HDB≌△∴BH=AF，∠H=∵BF=AC．∴Rt△HBF≌∴CF=HF=2DF．【点睛】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．题型十一旋转模型(全等三角形)例11（2023春·江西抚州·八年级统考期末）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）5.【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出∠EAF＝∠GAF，然后证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，首先证明E'，D，F三点共线，求出∠EAF＝∠E'AF，然后证明△AFE≌△AFE'，根据全等三角形的性质解答；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线，∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝12∴∠EAF＝∠GAF，在△AFG和△AFE中，AE＝∴△AFG≌△AFE，∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'，∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线，∵∠EAF＝12∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝12∴∠EAF＝∠E'AF，在△AEF和△AE'F中，AE＝∴△AFE≌△AFE'（SAS），∴FE＝FE'，又∵FE'＝DF−DE'，∴EF＝DF−BE；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，∴DE＝D'E．∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，∴∠ECD'＝90°，在Rt△ECD'中，ED'＝EC2+D故答案为：5．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．举一反三1（2022春·广东广州·八年级广州大学附属中学校考期末）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．(1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______数量关系时，仍有EF＝BE＋FD，并说明理由．(3)如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F．且AE⊥AD，DF=403-1米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路【答案】(1)见解析(2)∠BAD＝2∠EAF，理由见解析(3)这条道路EF的长为403【分析】（1）先证明△ABE≅△ADG（2）仿照（1）的方法延长CB至M，使BM＝DF，则可通过的相同的方法证明△ABM≌△ADF、△EAF≌△EAM，即可证出；（3）把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，先通过证明△BAE是等边三角形得出BE＝AB，再利用（2）的结论得到EF=BE+DF，将BE、DF的值代入即可求出．【详解】（1）解：延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，如图（1）中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠∴△ABE∴∠BAE＝∠GAD，AE＝AG，∴∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝90°−45°＝45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，在△AEF和△AGF中，GA=EA∠∴△AEF∴EF＝GF＝GD＋DF＝BE＋DF；（2）解：∠BAD＝2∠EAF，理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，AB=AD∠∴△ABM≌△ADF，∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAM＋∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠EAM，在△EAF和△EAM中，AF=AM∠∴△EAF≌△EAM，∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋DF，即EF＝BE＋DF；（3）解：如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．∵∠BAD＝150°，AE⊥AD，∴∠BAE＝150°-90°=60°，又∵∠B＝60°，∴△BAE是等边三角形，∴BE＝AB＝80，∵∠ADC=120°，∴∠ADC+∠B=120°+60°=180°，由（2）得，EF=BE+DF=80+403即这条道路EF的长为403【点睛】本题考查了全等三角形，对于大角中等于其中包含的小角的2倍的问题，可利用题中旋转的方法补全三角形，再通过证明三角形全等的方法求解相关线段．举一反三2（2022秋·陕西延安·八年级统考期末）【问题提出】（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD.【问题探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立【答案】（1）见解析；（2）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-【分析】（1）延长EB到点G，使BG=DF，连接AG，由全等三角形的判定和性质得出△ABG≌△ADF(SAS)，AG=AF，∠（2）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，结合图形利用全等三角形的判定得出△ABG≌△ADF(SAS)【详解】（1）证明：如图①，延长EB到点G，使BG=DF，连接AG.又∵∠ABG=∠ABC=∴△ABG∴AG=AF，∠1=又∵∠EAF=∴∠1+∴∠GAE=又∵AE=AE，∴△AEG∴EG=EF，∵EG=BE+BG=BE+DF，∴EF=BE+FD；（2）解：结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-理由：如图②，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，∵∠B+∠ADC=180∴∠B=又∵AB=AD，BG=DF，∴△ABG∴∠BAG=∠DAF又∵∠EAF=∴∠BAG+∴∠GAE=又∵AE=AE，AG=AF，∴△AEG∴EG=EF，∵EG=BE-∴EF=BE-【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．题型十二垂线模型（全等三角形）例12（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）【答案】(1)DE=BD-(2)DE=BD+CE，DE=BD-CE，【分析】（1）利用条件证明△ABD（2）根据图，可得BD、DE、CE存在3种不同的数量关系；【详解】（1）证明：如图2，∵BD⊥m，∴∠BDA=∴∠ABD+∵∠BAC=90∴∠DAB+∴∠ABD=在△ABD和△∠BDA=∴△ABD∴AD=CE，BD=AE∵DE=AE-∴DE=BD-（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在3种不同的数量关系：DE=BD+CE，DE=BD-CE，如图1时，DE=BD+CE，如图2时，DE=BD-如图3时，DE=CE-【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．举一反三1（2021春·四川南充·八年级四川省南充市高坪中学校考期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，连接AE，过E作AE的垂线交∠BCD的外角平分线于F．(1)求证：AE=(2)如图若E在BC的延长线上，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）取AB中点M，连接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=（2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定ΔANE≅ΔECF【详解】（1）取AB中点M，连接EM，∵AB=BC，E为BC中点，M为AB∴AM=CE=BE∴∠BME=∴∠AME=135∵∠B=90∴∠BAE+∵∠AEF=90∴∠AEB+∴∠BAE=在ΔAME和ΔECF中∴ΔAME∴AE=EF（2）成立．证明：如图，在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．∴BN=BE∴∠N=∵CF平分∠∴∠FCE=45∴∠N=∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥∴∠DAE=即∠DAE+90∴∠NAE=∴ΔANE∴AE=EF【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，关键是推出ΔAME举一反三2（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则AGCG=【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）113或【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．【详解】（1）证明：∵FD⊥AC，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，同理，∠CAE+∠DAF=90°，∴∠DFA=∠CAE，在△AFD和△EAC中，∠AFD∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，∵AC=BC，∴FD=BC；（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，∠FDG∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG=CG=1，∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E点为BC中点；（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴CG=DG=1.5，∴AG=CG+AC=5.5，∴AGCG同理，当点E在线段BC上时，AG=AC-CG+=2.5，∴AGCG故答案为：113或5【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．题型十三证一条线段等于两条线段和(差)例13（2022秋·四川绵阳·八年级校考期中）如图，已知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分线，且交于点P．(1)直接写出∠DPE=___________°；

(2)求证：PD=PE；(3)探究AB、【答案】(1)120(2)见解析(3)AB=AD+BE【分析】（1）根据角平分线平分线以及三角形的内角和定理，求出∠APB的度数，对顶角相等，即可得到∠（2）过点P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥（3）在AB上截取BM=BE，证明△BPM≌△BPE，△APM【详解】（1）解：∵∠C=60∴∠ABC+∵AE,BD是△ABC∴∠PAB=∴∠PAB+∴∠APB=180∴∠DPE=故答案为：120；（2）证明：过点P作PF⊥

则：∠PGD=∵AE,BD是△ABC∴PG=PF=PH，∵∠C+∴∠GPH=120∵∠DPE=120∴∠DPG=∴△PGD≌△∴PD=PE；（3）解：在AB上截取BM=BE，

∵BP平分∠ABC∴∠PBM=∵BP=BP，∴△BPM≌△∴∠BPM=∴∠APM=∵∠APD=180∴∠APD=∵AP平分∠DAB∴∠DAP=又AP=AP，∴△APM≌△∴AM=AD，∴AB=AM+BM=AD+AE．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等．举一反三1（2020秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）已知△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点(1)如图，若△ABC为锐角三角形，∠ABC=45°．求证：①△BDF≌△ADC，②(2)如图，当∠ABC为135°时，写出FG，DC，AD之间的等量关系，说明相应理由．【答案】(1)①见解析，②见解析；(2)FG＝DC+AD，理由见解析．【分析】（1）①可以证明△ABD②由上一小问中三角形全等可知DF＝DC，再去证明FA＝FG，则FG+DC＝FA+DF＝AD；（2）易知△ABD、△AGF为等腰直角三角形，BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF，再证明△BDF≌△ADC，得到DF＝DC，则得到FG＝DC+AD．【详解】（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD，∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC，∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG，∴FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF，∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA，又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．【点睛】本题综合考查了三角形全等的判定和性质，利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意熟练掌握．举一反三2（2020秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论①AE=12AB+AD；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④SA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，即可得到△BCE和△FCE全等，再由AB=AD+2BE即可求解；②由①可证明△ACD和△ACF全等，再根据∠AFC+③由②即可得解；④由②即可得解．【详解】解：①在AE取点F，使EF=BE．在Rt△BCE与Rt△FCE中，∴CE=CEEF=BE∴△BCE≌△FCE，∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE∴AB=AD+2BE=AF+2BE∴AD=AF∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2∴AE=1/2②AB上取点F，使BE=EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠∴△ACD∴∠ADC=∵CE∴CF=CB∴∠CFB=又∵∠AFC+∴∠ADC+∴∠DAB+③由②知，△ACD≌△ACF又∵CF=CB∴CD=CB④易证△CEF∴S又∵△ACD∴S∴S故答案为：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．题型十四全等三角形综合问题例14（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，下面给出四个论断：①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到的命题中，真命题有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】（1）①③④为条件，②为结论，可以证明△ABC≌△DEF，为真命题；（2）①②④为条件，③为结论，可以证明△ABC≌△【详解】解：（1）①③④为条件，②为结论；证明：∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，在△ABC和△AB=DE∠∴△ABC∴AC=DF；故本命题为真命题；（2）①②④为条件，③为结论；证明：∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，在△ABC和△AB=DEAC=DF∴△ABC∴∠ABC=故本命题为真命题；（3）①②③为条件，④为结论；无法证明△ABC故本命题为假命题；（4）②③④为条件，①为结论；无法证明△ABC故本命题为假命题．综上所述：可得到4个命题，其中真命题有2个．故选B．【点睛】本题主要考查了命题真假的判断、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．举一反三1（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠CMB．其中正确的个数为（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出AC=BD，即可判断①；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG⊥MC【详解】解：∵∠AOB=∴∠AOB+即∠AOC=在△AOC和△OA=OB∠∴△AOC∴AC=BD，故①正确；∵△AOC∴∠OAC=由三角形的外角性质得：∠AMB+∴∠AMB=故②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥

则∠OGC=在△OCG和△∠OCA=∴△OCG∴OG=OH∴OM平分∠故③正确；综上所述，正确的是①②③；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键．举一反三2（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）【初步探索】

(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】(3)如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．【答案】(1)∠(2)仍成立，理由见解析(3)∠EAF=180【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，再判定△AEF≌△AGF，得出【详解】（1）解：结论：∠BAE+理由：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，

在△ABE和△AB=AD∠∴△ABE∴∠BAE=∠DAG∵EF=BE+DF∴EF=DF+DG=FG在△AEF和△AE=AGAF=AF∴△AEF∴∠EAF=故答案为：∠BAE+（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，

∵∠B+∠ADF=180∴∠B=又∵AB=AD∴△ABE∴∠BAE=∠DAG∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF∴△AEF∴∠EAF=（3）∠EAF=180证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，

∵∠ABC+∠ADC=180∴∠ADC=又∵AB=AD∴△ADG∴AG=AE，∠∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF∴△AEF∴∠FAE=∵∠FAE+∴2∴2即2∠∴∠EAF=180【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．题型十五角平分线的性质定理例15（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°∠B=30°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点P，连结AP并延长，交BC于点D．有下列说法：①线段AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=∠BAC；③点D到AB边的距离与DC的长相等；④△DAC与△ABC的面积之比是1:4．其中结论正确的是（A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④【答案】C【分析】由基本作图可对①进行判断；线求出∠BAC，再利用角平分线的定义计算出∠BAD=∠CAD=30°，则∠ADC=60°【详解】由作法得AD平分∠BAC∵∠C=90∴∠BAC=60∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∴∠ADC=90∴∠ADC=∵AD平分∠BAC，DC∴点D到ABi边的距离与DC的长相等，故③正确；∵AD=2CD，∴BD=2CD，∴BC=3CD，∴SΔ故选：C．【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，含30°举一反三1（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，AD是∠BAC的角平分线，E是AB的中点，△ABC的面积为21，AC=6，AB=8，则△BED的面积为（

）A．214 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】作DF⊥AC于F，DM⊥【详解】解：作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线DF⊥∴1∴即：3DM+4DM=21得DM=3∵AB=8∴∴故选：C．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．举一反三2（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图∠B=∠C=90°，E为BC上一点，AE平分∠BAD，DE平分∠CDA．(1)求∠AED的度数；(2)求证：E是BC的中点．【答案】(1)90(2)见解析．【分析】（1）利用已知条件可以得到∠BAD+∠CDA=180（2）过点E做EF⊥【详解】（1）解：∵∠B=∴DC∥∴∠BAD+∵AE平分∠BAD，DE平分∠∴∠EAD=12∴∠EAD+∴∠AED=180（2）证明：过点E作EF⊥AD于点∵AE平分∠BAD，∠B=90°∴EF=EB．∵DE平分∠CDA，∠C=90°∴EF=EC．∴EB=EC，即E是BC的中点．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线上的点到角两边距离相等的性质，熟记性质和定理并做出辅助线是解题的关键．题型十六角平分线的判定定理例16（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE．连接DC、BE交于F点．(1)求证：△DAC≌△BAE；(2)直线DC、BE是否互相垂直，试说明理由；(3)求证：AF平分∠DFE．【答案】(1)见解析(2)DC⊥(3)见解析【分析】（1）由题意可得AD=AB，AC=AE，由∠DAB=∠CAE=90°，可得到（2）由（1）可得∠ACD=（3）作AM⊥DC于M，AN⊥【详解】（1）证明：∵∠DAB=∴∠DAB+即∠DAC=又∵AD=AB，AC=AE，∴△DAC（2）解：DC⊥∵△DAC∴∠ACD=∵∠AEB+∠∠AOE=∴∠FOC+∴∠EFC=∴DC⊥（3）证明：作AM⊥DC于M，AN⊥∵△DAC∴SΔDAC=∴12∴AM=AN，∴AF平分∠DFE【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键．举一反三1（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC，∠BAC=70°，∠ABC=46°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为．【答案】32°＃＃32【分析】过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，得到∠EBA=【详解】解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE∴EH=EF，EG=EF，∠EBA=∴EG=EH，∴AE是∠CAH∵∠BAC=70∴∠CAH=110∴∠EAH=∵∠∴∠故答案为：32°【点睛】此题考查了角平分线的性质定理及判定定理，三角形外角性质定理，熟记三角形角平分线的性质定理是解题的关键．举一反三2（2021秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．（1）求证：△ABD≌△ACF；（2）若BD平分∠ABC，求证：CE=12BD（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠AED不变；∠AED=45【分析】（1）由题意易得∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，进而可证∠ABD=∠ACF，则问题可证；（2）由（1）可得BD=CF，则有BC=BF，然后根据线段的数量关系可求解；（3）如图，过点A作AG⊥CF于G，作AH⊥BD于H，则有BD•AH=CF•AG，进而可得EA平分∠BEF，则问题可解．【详解】解：（1）∵∠BAC是直角，CE⊥BD，∴∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中∠BAD=∴△ABD≌△ACF（ASA）；（2）由（1）知，△ABD≌△ACF，∴BD=CF，∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，∴BC=BF，∵BD⊥CE，∴CE=EF，∴CE=（3）∠AED不变，∠理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，

由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），∴S△BAD=S△CAF，BD=CF，∴BD•AH=CF•AG，而BD=CF，∴AH=AG，∵AH⊥EB，AG⊥EG，∴EA平分∠BEF，∴∠BEA=即∠AED=45【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理，数量掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．题型十七角平分线性质的实际应用例17（2022秋·浙江·八年级期中）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点【答案】B【分析】根据题意，凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，据此即可求解．【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等，∴凉亭的位置在三角形三条角平分线的交点，故选：B．【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．举一反三1（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，点D到AB的距离为3cm，则DB的值是（）A．3cm B．8cm C．6cm D．5cm【答案】D【分析】过点D作DE⊥AB，交AB于点E；根据角平分线的性质，得DC=DE，结合垂线的性质，得【详解】如图，过点D作DE⊥AB，交AB∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，∴DC=DE∵且点D到AB的距离为3cm∴DC=DE=3cm∵BC＝8cm∴DB=BC-故选：D．【点睛】本题考查了角平