山东省德州市夏津双语中学2023-2024学年九年级上册数学期末统考模拟试题含解析

山东省德州市夏津双语中学2023-2024学年九上数学期末统考模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.已知x=l是方程x?+px+l=0的一个实数根，则p的值是（）

A.（）B.1C.2D.-2

2.关于x的方程x2-mx+6=0有一根是：-3,那么这个方程的另一个根是（）

A.-5B.5C.-2D.2

3.如图，AB是OO的切线，B为切点,AO与。O交于点C,若NBAO=40°,则/OCB的度数为（）

Q

BA

A.40°B.50°C.65°D.75°

4.如图，在AABO中，ZB=90",OB=3,OA=5,以AO上一点P为圆心，PO长为半径的圆恰好与AB相切于点C,

则下列结论正确的是（）.

-tB

A.OP的半径为个

B.经过A,O,B三点的抛物线的函数表达式是丫=一二/+上》

,2412

C.点（3,2）在经过A,O,B三点的抛物线上

D.经过A,O,C三点的抛物线的函数表达式是%一9+1

5.如图，一人站在两等高的路灯之间走动，GB为人在路灯石口照射下的影子,BH为人AB在路灯CD照射下

的影子.当人从点C走向点E时两段影子之和G"的变化趋势是（）

A.先变长后变短B.先变短后变长

C.不变D.先变短后变长再变短

6.抛物线y=x2+6x+9与x轴交点的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

7.下列说法中错误的是（）

A.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件

B.”任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件

c.“抛一枚硬币，正面向上的概率为:”表示每抛两次就有一次正面朝上

D.“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这

6

一事件发生的频率稳定在-附近

6

8.如图，AABC中，AB=25,BC=7,CA=1.贝！JsinA的值为（）

10.把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）

A.y=-2(x+1)2+2

B.y=-2(x+1)2-2

C.y=-2(x-1)2+2

D.y=-2(x-1)2-2

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.若。尸的半径为5,圆心P的坐标为(-3,4),则平面直角坐标系的原点。与。尸的位置关系是.

12.已知抛物线y=Y+c,过点(()，2),则‘=.

13.若如果x：y=3：1,那么x：(x-y)的值为.

14.计算-V28的结果是.

15.北京时间2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距

离地球约55000000年，那么55000000用科学记数法表示为.

16.从-2,-1,1,2四个数中任取两数，分别记为a、b,则关于x的不等式组《,有解的概率是.

X..D

17.二次函数尸2(x-1尸+3的图象的顶点坐标是

18.小王存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取

出2750元，则年利率为.

三、解答题(共66分)

13

19.(10分)如图，抛物线y=5*2+x-5与*轴相交于A,8两点，顶点为尸.

(2)在抛物线上是否存在点E,使△AB尸的面积等于△A8E的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存

在，请说明理由.

20.(6分)如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径作。O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D

作DH±AC于点H,连接DE交线段OA于点F.

(1)试猜想直线DH与。O的位置关系，并说明理由;

（2）若AE=AH,EF=4,求DF的值.

21.（6分）如图，AABC的坐标依次为（-1,3）、（-4,1X（-2,1）,将AABC绕原点O顺时针旋转180。得到AAiBC.

%

（1）画出△画BiCi；

（2）求在此变换过程中，点A到达Ai的路径长.

22.（8分）意外创伤随时可能发生，急救是否及时、妥善，直接关系到病人的安危.为普及急救科普知识，提高学生

的急救意识与现场急救能力，某校开展了急救知识进校园培训活动.为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学

生）的培训效果，该校举行了相关的急救知识竞赛.现从两个年级各随机抽取20名学生的急救知识竞赛成绩（百.分制）

进行分析，过程如下：

收集数据：

七年级：79,85,73,80,75,76,87,70,75,94,75,78,81,72,75,80,86,59,83,1.

八年级：92,74,87,82,72,81,94,83,1,83,80,81,71,81,72,1,82,80,70,2.

整理数据：

40<x<4950M5960<x<6970<x<7980<x<8990<x<100

七年级010a71

八年级1007b2

分析数据:

平均数众数中位数

七年级7875c

八年级78d80.5

应用数据:

（1）由上表填空：a—;b=；c=；d—

(2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在80分及以上的共有多少人？

(3)你认为哪个年级的学生对急救知识掌握的总体水平较好，请说明理由.

23.(8分)在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32

元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数

关系.

销售量y(千克)・・・34.83229.628•・・

售价X(元/千克)…22.62425.226・・・

(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量.

(2)如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？

24.(8分)定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那

么称这样的菱形为自相似菱形.

(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？

①正方形是自相似菱形；

②有一个内角为60。的菱形是自相似菱形.

③如图1,若菱形A5C。是自相似菱形，ZABC=a(0°<a<90°),E为8c中点，则在△ABE,△AEO,/XEOC中，相

似的三角形只有△A5E与△4EZ).

(2)如图2,菱形ABC。是自相似菱形，NABC是锐角，边长为4,E为中点.

①求AE,OE的长；

②AC,BO交于点。，求tanNO5c的值.

25.(10分)如图，A3是。的直径，3。是，。的弦，延长到点C,使。C=8£>,连结AC,过点。作。E_LAC,

垂足为E.

A

D

（1）求证：AB=AC；

⑵求证：DE为。的切线.

1,

26.（10分）如图，点〃（4,0）,以点“为圆心、2为半径的圆与x轴交于点48.已知抛物线y+加+。过点

6

A和点3,与）’轴交于点C.

⑴求点。的坐标，并画出抛物线的大致图象.

1

⑵点Q（8,㈤在抛物线y=7法上，点2为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+P8的最小值.

6

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、D

【分析】把x=l代入必+。*+1=0,即可求得P的值.

【详解】把x=l代入把x=l代入*2+px+l=0,得

l+p+l=0,

:.p=・2・

故选D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解得定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二

次方程解得定义是解答本题的关键.

2、C

【分析】根据两根之积可得答案.

【详解】设方程的另一个根为a,

•关于x的方程x2-mx+6=0有一根是-3,

-3a=6,

解得a=-2,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程"2+版+c=O（aHO）的根与系数的关系：若方程两个为七，占，

hc

贝（IX]=—，x=—.

a2a

3、C

【详解】TAB是。O的切线，AAB±OA,即NOBA=90。.

VZBAO=40°,AZBOA=50°.

VOB=OC,ZOCB=1（1800-ZBOA）=；（180。—50。）=65。.

故选C.

4、D

【分析】A、连接PC,根据已知条件可知△ACPS^ABO,再由OP=PC,可列出相似比得出；

B、由射影定理及勾股定理可得点B坐标，由A、B、O三点坐标，可求出抛物线的函数表达式；

C、由射影定理及勾股定理可计算出点C坐标，将点C代入抛物线表达式即可判断；

D、由A,O,C三点坐标可求得经过A,O,C三点的抛物线的函数表达式.

【详解】解：如图所示，连接PC,

•.•圆P与AB相切于点C,所以PC_LAB,

XVZB=90°,

所以△ACPsaABO,

PCAP

而一茄

设OP=x,则OP=PC=x,

又・.・OB=3,OA=5,

/.AP=5-x,

过B作BD±OA交OA于点D,

VZB=90",BD±OA,

由勾股定理可得：ABVOI-OB?=4,

由面积相等可得：OB.AB=OA.BD

：.BD=—,

5

：,由射影定理可得OB?=OD.OA,

9

：.OD=-

5

912

二%‘7‘

设经过A,O,B三点的抛物线的函数表达式为ynaV+bx+c；

25a+50+c=0

912

将A(5,0),0(0,0),31,二)代入上式可得：c=0

819,12

2555

行35,25

解得----，b=一,c=0,

1212

5?5

经过A,O,B三点的抛物线的函数表达式为)，=—五/+§犬,

故B选项错误;

5加=5一冷

•••由射影定理可知PC-=PE.AP，

9159

APE=~,所以OE=OP+PE=J'=3,

故选项C错误

设经过A,O,C三点的抛物线的函数表达式是y=4+/nr+〃,

25k+5"?+〃=0

将A(5,0),0(0,0),Cl2,|代入得｛〃=0

，，一3

4k+2m+〃=—

2

解得：k---,m--,n=0,

44

...经过A,O,C三点的抛物线的函数表达式是〉=一工/+**,

44

故选项D正确.

【点睛】

本题考查相似三角形、二次函数、圆等几何知识，综合性较强，解题的关键是要能灵活运用相似三角形的性质计算.

5、C

nrAnARAj-f

【分析】连接DF,由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF〃GH,可得——=——.又AB〃CD,得出——=——，

GHAHCDDH

ABAH,上皿3、一始,DH1AD+AH,AD“十一一3.AD...DFAD

设-....=a,DF=b（a,b为常数），可得出----———----------=14--------,从而可以得出----，结合

CDDHAHaAHAHAHGH~AH

可将DH用含a,b的式子表示出来，最后得出结果.

【详解】解：连接DF,已知CD=EF,CD±EG,EF±EG,

二四边形CDFE为矩形.

/.DF/7GH,

DFAD

GHAH

„,,ABAH

又AB〃CD,二--------

CDDH

工ABAH

设---=----=a,DF=b,

CDDH

DH1AD+AH,AD

=1+--,

AHaAHAH

AD

=--l,

AHa

DFAD

--1,

GHAHa

a»DFab

AGH=---------

a-1a-\'

Va,b的长是定值不变,

...当人从点C走向点E时两段影子之和GH不变.

故选：C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视

点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.

6、B

【分析】根据题意，求出b2-4ac与0的大小关系即可判断.

【详解】•"2-4ac=36-4xlx9=0

二二次函数y=x2+6x+9的图象与x轴有一个交点.

故选：B.

【点睛】

此题考查的是求二次函数与X轴的交点个数，掌握二次函数与x轴的交点个数和b2-4ac的符号关系是解决此题的关

键.

7、C

【分析】根据随机事件的定义可判断A项，根据中心对称图形和必然事件的定义可判断B项，根据概率的定义可判断

C项，根据频率与概率的关系可判断D项，进而可得答案.

【详解】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，故本选项说法正确，不符合题意；

B、”任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，故本选项说法正确，不符合题意；

C、“抛一枚硬币，正面向上的概率为g”表示每抛两次就有一次正面朝上，故本选项说法错误，符合题意；

D、“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为!”表示随着抛掷次数的增加，”抛出朝上的点数是6”这

一事件发生的频率稳定在‘附近，故本选项说法正确，不符合题意；

6

故选：C.

【点睛】

本题考查了随机事件、必然事件、中心对称图形以及频率与概率的关系等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键.

8,A

BC

【分析】根据勾股定理逆定理推出NC=90。，再根据sin进行计算即可；

AB

【详解】解：VAB=25,BC=7,CA=1,

又：252=242+72»

:.AB2=BC2+AC2,

...AABC是直角三角形，NC=90°,

...BC7

..sinA=-----=—；

AB25

故选A.

【点睛】

本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理逆定理是解题的关键.

9、D

【解析】分析：VOA=OB,AZOAB=ZOBC=22.5°.

:.ZAOB=180°-22.5°-22.5°=135°.

如图，在。O取点D,使点D与点O在AB的同侧.则ND=，NAOB=67.5°.

2

D

C

TNC与/D是圆内接四边形的对角，，NC=180。-ND=U2.5。.故选D.

10、C

【详解】解：把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后,

所得函数的表达式为y=-2（x-1）2+2,

故选C.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、点0在（DP上

【分析】由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,则d>i•时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dVr时，点在

圆内.

【详解】解：由勾股定理，得

OP=7（-3）2+42=5,

d=r=5,

故点O在。P上.

故答案为点o在。P上.

【点睛】

此题考查点与圆的位置关系的判断.解题关键在于要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有：当d>!•时，点在

圆外；当d=i•时，点在圆上，当dVr时，点在圆内.

12、2

【分析】将点（0,2）代入原解析式解出c的值即可.

【详解】1•抛物线y=f+c,过点（0,2）,

A2=02+C,

/.c=2,

故答案为：2.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

【分析】根据X：y=3：1,则可设x=3a,y=a,即可计算x：(x-y)的值.

【详解】解：设x=3a,y=a,

3

则x：(x-y)=3a：(3a-a)=—,

3

故答案为：

2

【点睛】

本题考查了比的性质，解题的关键是根据已有比例关系，设出x、y的值.

14、1

【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可.

【详解】解：原式=2近-2近=1.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在

二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

15、5.5xlO7

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中W|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值VI时,

n是负数.

【详解】解：将55000000用科学记数法表示为：5.5x1,

故答案为：5.5x1.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中长回＜10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

2

16、一.

3

用，Q+1

【分析】根据关于x的不等式组，有解，得出方根据题意列出树状图得出所有等情况数和关于x的

x..b

X,a+1

不等式组4,有解的情况数，再根据概率公式即可得出答案.

x..b

【详解】解：•.•关于X的不等式组+1有解,

X..D

；・bWxWa+L

根据题意画图如下：

开始

-2-112

/N/N/1\/1\

412-212-2-12-2-11

共有12种等情况数，其中关于x的不等式组VX,Q+1有解的情况分别是Iia―=—12,1\a—=-la=\a=l

b=-29[h=-l

a=\a=2a=2a=2

一共8种,

b=2'b=-29b=-Tb=\

则有解的概率是24

故答案为：—.

【点睛】

本题考查了不等式组的解和用列举法求概率，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.

17、(1,3)

【解析】首先知二次函数的顶点坐标根据顶点式丫=W+上)2+%二0，知顶点坐标是,也二三)，把已知代

2a4。2a

入就可求出顶点坐标.

【详解】解:y=ax2+bx+c,

配方得y=a(x+?)2+二"-，

2a4a

顶点坐标是(-二，金殳)，

2a4a

Vy=2(x-1)2+3,

...二次函数y=2(x-1)2+3的图象的顶点坐标是(1,3).

【点睛】

解此题的关键是知二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是(-2，处二0),和转化形式y=a(x+：)2+处土，代入即

2a4〃/

可.

18、10%

【分析】设定期一年的利率是X,则存入一年后的本息和是5000(1+x)元，取3000元后余［5000(1+x)-3(XX)J元，再存

一年则有方程［5000(1+x)-30001.(1+x)=2750,解这个方程即可求解.

【详解】解：设定期一年的利率是工,

根据题意得：一年时：5000(1+%),

取出300()后剩：5000(1+x)-3000,

同理两年后是［5000(1+x)-30001(1+%),

即方程为［5000(1+x)-3000］.(l+x)=2750,

解得：玉=10%,^=-150%(不符合题意，故舍去)，即年利率是10%.

故答案为：10%.

【点睛】

此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和=本金x(l+利率x期数),

难度一般.

三、解答题(共66分)

19、(1)A(-3,0),B(1,0)；(2)存在符合条件的点E,其坐标为(-1-20,2)或(-1+20,2)或(-

1,-2).

【分析】(1)令尸0可求得相应方程的两根，则可求得4、8的坐标；

(2)可先求得P点坐标，则可求得点E到48的距离，可求得E点纵坐标，再代入抛物线解析式可求得E点坐标.

13

【详解】⑴令尸o,则万傲+1一耳二。,

解得：*=-3或*=1,

.♦.4(-3,0),8(1,0)；

(2)存在.理由如下：

1,3I,

\'y=-x2+x――=――(x+1)2-2,

222

:.P(-1,-2).

•.•△A3P的面积等于△A8E的面积，

.•.点E到AB的距离等于2,

①当点E在x轴下方时，则E与尸重合，此时E(-l,-2)；

②当点E在x轴上方时，则可设E3,2),

13

A-a2+a--=2,解得：-1-20或。=-1+20,

：.E(-1-272，2)或E(-1+2血，2).

综上所述：存在符合条件的点E,其坐标为（-1-20,2）或（-1+2夜，2）或（-1,-2）.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质及与坐标轴的交点，分别求得4、〃、尸的坐标是解答本题的关键.

20、（1）直线与。。相切，理由见解析；（2）DF=6

【分析】（1）连接8,根据等腰三角形的性质可得NO6D=NODB,/ABC=ZACB,可得=

即可证明OD〃AC,根据平行线的性质可得NODH=90。，即可的答案；

（2）连接AO,由圆周角定理可得NB=NE,即可证明NC=NE,可得CD=DE,由AB是直径可得NADB=90。，根

据等腰三角形“三线合一”的性质可得HE=CH,BD=CD,可得OD是AABC的中位线，即可证明AAEbsAO。尸，根

据相似三角形的性质即可得答案.

【详解】（1）直线。”与。O相切，理由如下：

如图，连接8,

'：OB=OD,

:.ZOBD=ZODB,

VAB^AC,

:./ABC=ZACB,

：.NODB=ZACB,

:.OD//AC,

VDHLAC,

.,.ZODH=ZDHC=90°,

；.DH是。O的切线.

（2）如图，连接AO,

•；NB和NE是设D所对的圆周角，

:.ZE=NB,

•••/B=NC

:.NE=NC

.,.DC=DE

•；DHLAC,

AHE=CH

设AE=AH=x,则£7/=2X,JEC=4X,AC=3X>

•・•A3是。。的直径，

AZADB=90°

VAB=AC

.*.BD=CD

，OD是AA5C的中位线，

113r

J.ODHAC,OD=-^AC=-^X3X=^

2229

:.AAEF^AODF,

EFAEx2

AFD-OD-S--3,

—x

2

VEF=4

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，经过半径的外端点并且垂

直于这条半径的直线是圆的切线，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一

半；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相关性质及定理是解题关

键.

21、（1）画图见解析；（2）点A到达Ai的路径长为nJTU.

【分析】（1）根据旋转的定义分别作出点A,B,C绕原点旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可得；

（2）点A到达Ai的路径是以O为圆心，OA为半径的半圆，据此求解可得.

【详解】解：（1）如图所示，AAIBICI即为所求.

（2）VOA=712+32=Vio,

:.点A到达Al的路径长为；x2nxVio=7tVio.

【点睛】

本题考查利用旋转变换作图，勾股定理，弧长公式，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键.

22、（1）11,10,78.5,81；（2）600人；（3）八年级学生总体水平较好.理由：两个年级平均分相同，但八年级中位

数更大，或八年级众数更大.（言之成理即可）.

【分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；

（2）利用样本估计总体思想求解可得；

（3）答案不唯一，合理均可.

【详解】解：（1）由题意知a=U,*=10,

将七年级成绩重新排列为：59,70,72,73,75,75,75,76,1,1,78,79,80,80,81,83,85,86,87,94,

...其中位数c=&土2=78.5,

2

八年级成绩的众数d=81,

故答案为：11,10,78.5,81；

7+12

（2）由样本数据可得，七年级得分在80分及以上的占「丁=一，

205

2

故七年级得分在80分及以上的大约600乂1=240人；

八年级得分在80分及以上的占写=|,

3

故八年级得分在80分及以上的大约600x-=360人.

故共有600人.

（3）该校八年级学生对急救知识掌握的总体水平较好.

理由：两个年级平均分相同，但八年级中位数更大，或八年级众数更大.（言之成理即可）.

【点睛】

本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键.

23、(1)当天该水果的销售量为2千克；(2)如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为3元.

【分析】(1)根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；

(2)根据总利润「每千克利润，销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.

【详解】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,

将(22.6,34.8)、(24,32)代入y=kx+b,

’22.6%+8=34.8,伏=—2

'24女+8=32'解得：[匕=80'

，y与x之间的函数关系式为y=-2x+l.

当x=23.5时，y=-2x+l=2.

答：当天该水果的销售量为2千克.

(2)根据题意得：(x-20)(-2x+l)=150,

解得：xi=35,X2=3.

•.,20Wx<32,

x=3.

答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为3元.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据表格内的数据，利用待定系数法求出

一次函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.

24、⑴见解析；⑵①AE=20,DE=4亚;②tanN£>BC=*.

【分析】(D①证明△ABEgADCE(SAS),得出△ABEs/kOCE即可；

②连接AC,由自相似菱形的定义即可得出结论；

③由自相似菱形的性质即可得出结论；

ABBEAE

(2)①由(1)③得得出一=—=—,求出4E=20,OE=4/即可；

DEAEAD

②过E作EM_LAO于M,过。作ONJ_BC于N,则四边形。MEN是矩形，得出ON=EM,DM=EN,NM=NN=

90°,设则EN=OM=x+4,由勾股定理得出方程，解方程求出AM=LEN=DM=5,由勾股定理得出ON

=EM=S]AE2-AM2~>求出BN=7,再由三角函数定义即可得出答案.

【详解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下:

如图3所示：

,••四边形A3。是正方形，点E是BC的中点,

：.AB=CD,BE=CE,NA8E=NOCE=90。，

在AA8E和AOCE中

AB=CD

</ABE=/DCE,

BE=CE

：.△ABE义△OCE(SAS),

:.AABESADCE,

...正方形是自相似菱形，

故答案为：真命题；

图3

②有一个内角为60。的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下:

如图4所示：

连接AC,

•.•四边形450是菱形，

：.AB=BC=CD,AD//BC,AB//CD,

VZB=60°,

...△ABC是等边三角形，ZDCE=120°,

,••点E是BC的中点，

.,.AEA.BC,

：.ZAEB=ZDAE=90°,

：.只能△AE8与△ZME相似，

'：AB//CD,

二只能N3=NA£。，

若NAED=N5=60°,贝！J/CE0=18O°-90°-60°=30°,

:.ZCDE=180°-120°-30°=30°,

:.NCED=NCDE,

：.CD=CE,不成立，

，有一个内角为60。的菱形不是自相似菱形,

故答案为：假命题；

图4

③若菱形45CO是自相似菱形，ZABC=a(0°<a<90°),E为BC中点,

则