2023-2024学年江西省高一年级下册期末数学质量检测试题（含答案）

2023-2024学年江西省高一下册期末数学质量检测试题

一、单选题

3

1.已知sin（30+a）=j60°va<15（T,贝1"0$。为（）

A・噜3A/10C4A/3-37

R・-----

1010

【正确答案】D

先求出cos（30°+a）的值，再把cosa变形为cos［（30°+a）-301，再利用差角的余弦公式展

开化简即得cosa的值.

【详解】：600<a<150°,

.,.90°<30"+«<180°,

/.COS（30°+（2）=-^

/.cos«=cos[（30°+a）-30°]=cos（30°+a）cos30°+sin（30°+a）sin30°

3+，丄=2

525210

故选：D.

三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）'’和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了

看角变角，a=（30°+a）-30',把未知的角向已知的角转化，从而完成解题目标.

2.如图所示，正方形O'A'夕C的边长为2cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则

原图形的周长是（）

B.8后cm

C.8cmD.4+46cm

【正确答案】A

【分析】由直观图确定原图形中平行四边形中线段的长度与关系，然后计算可得.

【详解】由斜二测画法，原图形是平行四边形，O4=O'A'=2,

又0'8'=2夜，O8=2O'B'=4&，OBLOA,

所以AB=百+(4后=6,

周长为2(2+6)=16.

故选：A.

3.在△ABC中，c=+,A=75。，B=45。，则△ABC的外接圆面积为

71

A.——B.兀C.2nD.4兀

4

【正确答案】B

【分析】根据正弦定理可得2/?=三，解得R=l,故AABC的外接圆面积5=兀/?2=兀

sine

【详解】在△ABC中,4=75°,8=45。，・・・。=180。-4-8=60。.设厶55。的外接圆半径为

R,则由正弦定理可得2/?=一1，解得R=l,

smC

故厶ABC的外接圆面积S=nR2=n.

故选B.

本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有

关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时

也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说，当条件中同时出现血及

b2、a2时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用

正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

4.在厶A8C中，若^tanAu/tanB，则厶ABC的形状是()

A.直角三角形B.等腰或直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

【正确答案】B

【分析】利用切化弦及正弦定理边角转化，可得sinBcos5=sinAcosA,HPsin2A=sin2B,

从而可得出A=5或A+B=].

【详解】由〃tanA=〃2tanB,可得庁sinAcosBu/sinbcosA,

由正弦定理，可得sin?BsinAcosB=sin2AsinBcosA，

因为sinAw0,sin3w0,所以sinBcosB=sinAcosA,

则sin2A=sin28,故2A=25或2A+23=TI,

即A=8或4+2=1,所以△ABC是等腰或直角三角形.

故选：B.

本题考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换，考查学生的推理能力，属于基础题.

5.已知|a|=2,向量。在向量人上的投影为G，则。与人的夹角为()

n一兀—2兀八九

A.-B.-C.—D.一

3632

【正确答案】B

【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出a与。夹角的余弦值，即可得出夹角大小.

【详解】记向量a与向量6的夹角为夕，

在b上的投影为同cosO=2cos6).

a在b上的投影为

COS0=—，

2

6e[0,兀],

6

故选：B.

6.已知“，。为单位向量，,+百=&卜-%|,记e是与a+匕方向相同的单位向量，则”在“+b

方向上的投影向量为()

ALR2街「近n2近

A.-eD.---------cC.—cL).------e

3333

【正确答案】C

【分析】利用向量投影的定义求解.

【详解】由题设可得2+2a力=2-4〃力+2,即则a-(a+8)=1+g=g,

设a与a+〃的夹角为a,则卜，a+qcostz=[.

又上+4寸+2*；=第,故Hcosa=gx^=乎，

因为e是与a+6方向相同的单位向量，所以a在a+〃方向上的投影向量为亚e.

3

故选:C

7.甲船在B岛的正南方10km处，且甲船以4km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛

出发以6km/h的速度向北偏东60。的方向行驶，当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是

()

150.15.

A.----minB.—hC.20.5minD.2.05h

77

【正确答案】A

【分析】依题意画出图形，假设经过x小时两船相距最近，利用余弦定理可得

CD-=28x2-20x+l001当》=三时，C。最小，即8最小，两船相距最近，最后将小时

14

换算成分钟即可得解.

【详解】假设经过X小时两船相距最近，甲乙分别行至C,。如图所示：

可知8c=10—4x,BD=6x,ZCB£>=120,

CD2=BC2+BD2-2BCXBDXCOSZ.CBD

1

=(10-4x)9'+36x2+2x(10-4x)x6xx—

=28X2-20X+100.

当》=卷小时，即x=^min时，距离最小.

故选：A.

本题考查利用余弦定理定理解决实际问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

8.若函数/(x)=sinx+cosx-2sinxcosx+I-a在上有零点，则实数〃的取值范

围()

A.15/^,2]B.—A/2,-C.[-D.

【正确答案】A

3乃71

【分析】由题意结合函数零点的概念可得方程aT=sin%+cosx-2sinxcosx在一:

_44_

37r冗

上有解，令》=5布了+8$犬-2$皿》8$彳，通过换元法求得y在-亍，-1上的值域即可得

解.

【详解】因为函数/(x)=sinx+cosx—2sinxcosx+l-“在上有零点，

、3乃7t

所以方程。一1=sinx+cosx-2sinxcosx在---,一~-上有解，

_44,

设^=sinx+cosx=&sin(x+?),

xe-,，-?，二犬+壽-y,O,/e[-x/2,0],

t1=l+2sinxcosx，

,c・2,(1Y5

…y=smx+cosx-2smxcosx=r一厂+1=-|t——+—,

-I2丿4

当f=0时，y取得最大值1,当/=-五时，y取得最小值_五-1，

故可得-夜-IVa-lVl，->/2<a<2.

故选：A.

本题考查了函数与方程的综合应用，考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了

逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.

9.如图所示，正方体ABCO-A/B/C/。/的棱长为1,线段B/D/上有两个动点E、尸且EF=亚，

2

则下列结论中错误的是()

A.AC丄BEB.£7=7/平面ABC。

C.三棱锥A-8EF的体积为定值D.异面直线AE,BF所成的角为定值

【正确答案】D

【分析】A.通过线面的垂直关系可证真假；B.根据线面平行可证真假；C.根据三棱锥的

体积计算的公式可证真假；D.根据列举特殊情况可证真假.

【详解】A.因为厶。丄8。,厶。丄。口，。口BD=D,所以AC丄平面

又因为8Eu平面瓦儿)円，所以AC丄BE,故正确;

B.因为。8J/DB,所以£F〃/)3,且EF仁平面ABC。，£>3u平面ABC。,

所以£尸〃平面ABC。，故正确；

C.因为SM.=’XEFXBB1=变为定值，A到平面囱如円的距离为/Z=_LAC=受,

所以匕-诋=:S0”力=5为定值，故正确；

D.当AGnqq=E,ACC>BD=G,取尸为4，如下图所示:

因为8F//EG,所以异面直线AE,8尸所成角为/AEG,

V2

且tanZA£,G=—=^-=—'

GE12

当AGBQ产F,ACnBD=G,取E为R,如下图所示:

因为D\FUGB,D,F=GB,所以四边形RGBF是平行四边形，所以BF//D。,

72

t〃sAG一方石

所以异面直线AE,8尸所成角为ZAEG,且tan=可’

由此可知：异面直线厶区8厂所成角不是定值，故错误.

故选：D.

本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及

三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.

10.函数〃x)=2sin(5+e)(0>O)图像上一点P(sj)(-2<f<2)向右平移2万个单位，得

到的点。也在图像上，线段P。与函数f(x)的图像有5个交点，且满足

0仔T=f(x)，若y=f(x)，xw0,|与…有两个交点,则“的取

值范围为()

A.(-2,-"75]B.2,—72JC.D.[x/5,2]

【正确答案】A

【分析】首先根据已知条件分析出|尸。|=2"=27,可得0=2,再由=可得

y=/(x)对称轴为x=?利用可以求岀符合题意的一个夕的值，进而得出

f(x)的解析式，再由数形结合的方法求。的取值范围即可.

如图假设?(0,0),线段PQ与函数/(X)的图像有5个交点，则|图=2万,

所以由分析可得|尸。=2万=27,所以7=万，

一./口27r2%_

可得3=二=—=2,

r7t

因为所以/=f「+x)即/67)=/《+x

所以“?是〃x)的对称轴，

O

所以2X：+9=5+&»(Z£Z),即e=(+4](kWZ),

/(一^j=2sin(—九+9)=-2sin°>/(0)=2sin9，

37r

所以sin^vO,可令人=一1得夕=一二，

4

所以f(x)=2sin(2x-日)，

JT3JT347T3万71

当xw0,—时，令2x-q-=r€一亍，W，则/«)=2sinf,t&T'7

作/⑺图象如图所示：

当，=一学即》=0时>=一应，当/=一]即x=?时，y=-2,

由图知若y=/(x),xe0,y与y=4有两个交点，则。的取值范围为卜2,-拒],

故选：A

关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点/0,0)便于分体问题，利用已知条件结合三角函

数图象的特点，以及三角函数的性质求出/(x)的解析式，再利用数形结合的思想求解。的

取值范围.

11.已知向量的夹角为。，忖=2冋=2,向量c=xa+劝，且x,yw[l,2],则向量。工夹

角的余弦值的最小值为()

A国R2不岀D3⑨

77214

【正确答案】A

【分析】依题意可得叫〃,。〉寸-77K

3y2则3/+27+4)'2/守+2⑶+4=[2+J+3,

令〃=

x2+2xy+4y2“yI)'丿㈠丿(y)

通过换元可得K，所以，当〃时，可得cos(a,C)的最小值.

【详解】依题意可得冋=1,网=1,则=同•Wcos(=lx2xg=l,

ac=a(xa+yb\=xa2+ya-h=x+y,

c2=(M+yb)=x2a2+2xyab+y2b2=x2+2xy+4y2,则同=+2盯+4)，,

所以‘c°s低加爺岩后寸一

3y2

令〃=贝匹佰T+2⑶+4=佰+[+3,

22"学U

x+2xy+4y“yI〉丿Vy))

由x,y£[l,2]得/£g,2

3,、o21,所以卜2,4,故T林

则一二(f+l)+3c—,12

u4

故选：A.

关键点点睛：本题关键点是：令人7T通过换元得到，，七5

二、多选题

12.若向量。=（石,3）,匕=（〃,6）,下列结论正确的是（）

A.若°,方同向，则”=1

B.与2垂直的单位向量一定是卜亭,;

C.若b在a上的投影向量为3e（e是与向量a同向的单位向量），则"=3

D.若〃与〃所成角为锐角，则〃的取值范围是〃>-3

【正确答案】AC

【分析】A.先根据a,b共线确定出”的可取值，然后根据。方同向确定出〃的值；

B.分析［-專的相反向量与a的位置关系并进行判断；

I22丿

ab.

C.根据仃=3求解出”的值；

D.根据4m>0且a力不同向即可求解出〃的取值范围.

kn=61-

【详解】A.设。=助，所以r，所以k=6,〃=l,即a=所以"=1满足，故

限=3

正确；

B.因为6.手+3.（-£）=0,所以（手,也是与〃垂直的单位向量，故错误；

ab°+一。

C.因为〃在a上的投影向量为3e，所以口=3,所以J的+3?,所以〃=3,故正确;

D.因为a与6所成角为锐角，所以外。>0且“力不同向，

所以产〃+36>0,所以（1,冋，故错误;

故选：AC.

思路点睛：已知向量的夹角为锐角或者钝角，求解参数范围的步骤：

（1）根据两个向量的夹角为锐角或钝角，得到或分，＜0，求解出”的范围；

（2）特殊分析：当两个向量共线时，计算出参数的取值；

（3）排除两个向量共线时参数的取值，确定出参数的取值范围.

13.对于函数/（x）=sinx+cosx+2sinxcosx,下列结论正确的是（）

A.把函数/U）的图象上的各点的横坐标变为原来的/倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图

象，则乃是函数产g（x）的一个周期

B.对kX?伞，引，若玉气，贝（1/（尤1）＜/（占）

C.对VxeR./仁7）=/（?+》）成立

D.当且仅当》=（+%肛上eZ时，«r）取得最大值0+1

【正确答案】AC

【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A；々f=sinx+cosx=&sin（x+?）,

f（t）=t2+t-l,判断函数的单调性，即可判断B；代入直接利用诱导公式化简即可；首先

求出/⑺的最大值，从而得到x的取值;

【详解】解：因为f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx=sinx+cosx+（sinx+cosx）--1,令

r=sinx+cosx=V2sin卜+]）,所以/E[-右,&],所以/⑴=产+£_],

对于A：将/（X）=sinx+cosx+2sinxcosx图象上的各点的横坐标变为原来的■!■倍，贝lj

g（x）=sin2x+cos2x+2sin2xcos2x,所以

g（x+；F）=sin2（x+7F）+cos2（x+"）+2sin2（x+；F）cos2（x+；F）

=sin2x+cos2x+2sin2xcos2x=g（x）,所以乃是函数产g（x）的一个周期，故A正确；

对于B：因为工£卜,彳丿，所以"十丁|彳，彳丿，

则/=伝由卜+力[-6-1）在卜寻）上单调递减，在仔，用上单调递增，

又/（f）=产+-l=0+gj—对称轴为.=一;，开口向上，函数/（0=»+-1在[_&,_1）

上单调递减,

所以函数/(X)在上单调递增,

故B错误;

心+“卜由+xk噸卜陪+x

故C正确;

因为f(r)="+-i=[r+gj_j,当峥夜时〃。取得最大值

〃%=拒+1，令，=伝++£|=&，则"吒卜1,所以呜亨2y0Z,

解得x=?+2版'MeZ,即当x=?+2Z万次eZ时，函数/(x)取得最大值a+1,故D错误;

故选：AC

本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令f=sinx+cosx,将函数转化为二次函

数;

14.已知;.A3C中，BC=4立，C=[,B£＞为边AC上的高，且4。=布，沿8。将△ABO

4

折起至△/)皿的位置，使得cosNPQC=d^@,则()

10

A.平面PDC丄平面8OC

B.三棱锥尸-5CD的体积为8

C.PC=y/2

D.三棱锥P-88外接球的表面积为36乃

【正确答案】ACD

【分析】根据8。丄AC及翻折前后几何元素的位置关系得到亜丄BD1DC,从而可

得平面PDC丄平面8OC,A选项正确；

先根据已知求出0C,再求得sin/PDC,然后利用三角形的面积计算公式、锥体的体积计

算公式及等体积法求得结果，即可判断B选项；

在△「£心中利用余弦定理求得PC的值，即可判断C选项；

利用几何直观及三棱锥P-8CD外接球的球心与侧面的位置关系，结合已知得到部分几何元

素的数量关系，从而求得三棱锥P-88外接球的半径，最后根据球的表面积的计算公式求

得结果，即可判断D选项.

【详解】对于A：因为3。为边AC上的高，所以3。丄AC,沿30将△4?。折起至APB。

的位置后，BD丄PD,BDA.DC,所以亜丄平面PDC,所以平面PDC丄平面8QC,所

以A选项正确；

对于B：因为现)丄。C,BC=4垃,NBCD，,所以BD=0C=4,又

4

2

sinZPDC=71-cosZPDC=—>所以SAmr=1x4x亚x巫=2,

10210

1Q

Vp.BC£>=§x4x2=],所以B选项不正确；

对于C：在△PDC中，PD=A，DC=4,cosNPOC=扌叵，由余弦定理可得

10

PC2=P£>2+DC2-2/>DDCcosZPDC=10+16-25/i0x4x^^=2,所以PC=&,所以

10

C选项正确；

对于D：如图，记。为三棱锥尸-BCD外接球的球心，N为△「£心外接圆的圆心，连接。N,

则ON丄平面PDC,取BC的中点M,0c的中点Q,连接M。，得MQ//BD,又平

面尸。C,所以MQ丄平面PDC,故ON//MQ,连接。M,NQ,易知丄平面BDC,NQ丄

平面3£>C,故OM//NQ,且NQ丄"。，则四边形。MQV为矩形，连接DN,贝ijDN

PC^^2.f—

为外接圆的半径，由正弦定理可得20V=sinNPDC=前=2出,所以

又0N=MQ=；BD=2,故外接球半径a)=而西加=3,所以三棱锥「一BCD外接球

的表面积为41x3?=36]，所以D选项正确.

故选：ACD.

p

B

O

方法点睛：三棱锥外接球的球心的一般作法：

分别找到两个侧面三角形的外心，再分别过外心作相应平面的垂线，两垂线的交点即三棱锥

外接球的球心，通常是找到两个特殊三角形，因为这样易找到外心或易求得外接圆的半径.

15.已知向量”与b满足忖=2,忖=6,a与人的夹角为,，:丄0+向，则

【正确答案】空

3

【分析】利用向量垂直的表示列方程，解方程求得2的值，进而求得F+a”

【详解】依题意，忖=2,W=g,°与b的夹角为葛，:丄（；+〃），

121—]4

=a+Aab=22+2x2xV3xcos——=4-34=0,

4

解得4=

+2/la,b+万-b

本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量模的求法，属于中档题.

16.在锐角AA8C中，BC=\,8=2A,则AC的取值范围为.

【正确答案】（应，后）

【详解】解：在锐角△ABC中，BC=1,ZB=2ZA,：.n+2<3A<7t,且0<2A<7t+2,

故兀+6<A<7t-s-4，故<cosA<—.由正弦定理可得1：sinA="b"：sin2A,

22

b=2cosA,/.V2<b<上.

17.关于函数/(x)=4sin(2x-小eR),有下列命题：

①y=尤为偶函数；

②方程/(X)=2的解集为｛xx=?+Z/，Aez)；

③y=/(x)的图象关于点,则对称；

④y=/(x)在［0,2句内的增区间为0,Q和净，2万；

1万

⑤y=/(%)的振幅为4,频率为一,初相为-；.

713

其中真命题的序号为.

【正确答案】③⑤

【分析】①利用三角函数的奇偶性判断真假；②解三角方程来判断真假；③利用代入法判断

真假；④利用单调性的知识判断真假；⑤根据y=Asin(cox+0)的有关概念判断真假.

【详解】①，依题意y=+g万)=4sin=4sin(2x+午)=4sin(2x+(

令g(x)=4sin(2x+]J,!JliJg(-x)=4sin^-2x+yJ^4sin^2x+yj,所以①错误.

②，由〃x)=4sin(2x-g1=2得sin(2x-g]=：.当2》-巳=红，即”=K0寸，

V37I3丿23612

sin(2x-?)=g,\^,x=^Axx=^+k7t,k&z\,所以②错误.

③’f=4sin-f}=4sin=01所以y=〃x)的图象关于点一9,0卜j称,

即③正确.

/(2^r)=4sin^4^--y=-273,

所以色万,2万不是/(x)的增区间，所以④错误.

⑤，y=/(x)的振幅为4,周期T=M=zr,频率为工=丄，初相为-g,所以⑤正确.

21713

故③⑤

本小题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、单调性、和三角函数的概念，属于中档题.

18.关于/(x)=sinx-丄，有如下四个结论：

smx

①f(x)是奇函数.

②/(X)图像关于y轴对称.

③x=^■是/(X)的一条对称轴.

④/(X)有最大值和最小值.

其中说法正确的序号是.

【正确答案】①③

借助于y=sinx的性质，对照四个选项，一一验证.

【详解】/(x)=sinx--丄-的定义域{x|xxkr,左eZ}

sinx

一(sinxH-------|

对于①：定义域关于原点对称，/(-x)=sin(-x)-—y=-fM,即f(x)

Isinx)

是奇函数，故①正确;

/(X)是奇函数，图像关于原点对称，故②错误;

所以/(5-x)=/(]+x),故③正确；

对于④：令r=sinx,/c[—l,O)_(0,1],贝ijy=G(YO,+OO),

无最小值，无最大值，故④错误.

故①@

这是另一种形式的多项选择，多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证.

19.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术“，即以小斜幕，并大斜累，减中

斜塞，余半之，自乘于上：以小斜嘉乘大斜累，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方

得积可用公式+『2）］（其中。、b、C、S为三角形的三边和面积）

表示.在..ABC中，。、b＞。分别为角A、B、C所对的边，若。=3,且bcosC-ccosB=%-,

3

则上BC面积的最大值为.

【正确答案】空

【分析】由条件比osC-ccosB=丄结合余弦定理可得出从二3/，然后利用二次函数的基

3

本性质结合公式5=可求得二钻。面积的最大值.

【详解】bcosC-ccosB=----，贝ij

3

-2-»>cricn,。~+—C~CT+C~—b~.•>?

2c"=30cosC-3ccosB=。匕cosC-accosB=ab-----------------ac-----------------=b~-c,

lab2ac

可得从=3/,

所以,

因此，J1BC面积的最大值为些.

4

故答案为.随

4

方法点睛：求三角形面积的最值一种常见的类型，主要方法有两类:

（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式或二次函数的基本性质来求解;

（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.

四、解答题

20.已知角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线2x+y=0（x20）上.

（1）求2sina+cosa的值；

,,,1亠1+2sin(;r+夕)sin(生,亠

(2)若tan(a+0=Q,求、(2〃丿的值.

'sin2/7-cos2/?

【正确答案】(1);(2)

54

【分析】(1)根据三角函数的定义求得tana,sina,cose,由此求得2sina+cosa的值.

(2)先求得tan77的值，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此

求得所求表达式的值.

【详解】(1)因为角a的终边在射线2x+y=0(xW0)上，所以可设终边上一点

P(a,-2a)(a>0),

.2a.-2a2-^5

则根据三角函数的定义有tana=-----=-2,sina=.==-——,

ada2+(-2a)25

a<5”,3Js

cosa~/、—7=,所以2sina+cosa=--—・

J/+(_2a)255

,p/c、tana+tanZ71

(2)由tana=-2及tan(a+/)=----------------,

1-tancrtanp3

解得：tan/?=7；

所以上竺竺偿@sin2/+cos32sin/cos.

sin2/7-cos2yffsin2/7-cos2/7

_tan2/?4-1-2tanyff

tan2

49+1-14363

49-1-48-4,

本小题主要考查三角函数的定义，考查两角和的正切公式，考查诱导公式、同角三角函数的

基本关系式，属于中档题.

21.ABC的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c.已知2cosc(QCOS3+/?COSA)=C.

(1)求角C；(2)若。=近，SMBC=—,求A4BC的周长.

【正确答案】(1)c=1(2)5+V7

【详解】试题分析：(1)根据正弦定理把2cosc(acosB+6cosA)=cMUK

2cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,利用和角公式可得cosC=；，从而求得角C；(2)根据

三角形的面积和角C的值求得姉=6,由余弦定理求得边。得到AABC的周长.

试题解析：(1)由已知可得28sC(sinAcosB+sin8cosA)=sinC

2cosCsin(A+B)=sinC=>cosC=—=>C=—

23

(2)SgBc=；absWC=36=ab=6

又.a2+b2-2abcosC=c2

a2+b2=13»(a+h)2=25=>〃+/?=5

JAABC的周长为5+g

正余弦定理解三角形.

22.i§/(x)=cos2x+sinxcosx4-l.

(1)求使不等式〃式)之5成立的X的取值集合；

(2)先将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移5个单

位;最后向下平移5个单位得到函数〃(力的图象.若不等式〃2(x)+；cosx-机>0在(0马上

恒成立，求实数，〃的取值范围.

【正确答案】(1)jA-|-^+^<X<y+^,)tGz|;(2)/M<1.

【分析】(1)利用降累公式和辅助角公式可得/(x)=^sin(2x+(j+|,因此等

价于sin(2x+?)2(),利用正弦函数的性质可求不等式的解集.

(2)根据图象变换可得〃(x)=^sinx,从而原不等式可化为-gcos2x+gcosx+g>机在

，，1),换元后利用二次函数的性质可求用的取值范围.

【详解】解.f(x)=cos2a+1+_Lsin2x+]=—sin2x+—cos2x+—sinf2x+—^+―

\丿222222I42

(l)/(MN］即：2x+—l+—>—osml2x+—l>0

<=>2k7c<2X+—<7T+2k/r<=>----+k/r<x<—+k7T^kGZ)

48

所以原不等式的解集为.x—[+左万=+

oo

(2)/(x)=当■sin「x+?)+|将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变,

得y=』lsin「+X]+3；再向右平移1个单位，得了=变sinx+之；最后向下平移;个单

，2(4丿24’222

位得到函数/?(》)=—sinx,

2

1丄siYx+hos"-丄cos?11

h2(x)+-COSX=X+-COSX+—

323232

设£=cosx,由xjo,1)可得：/e(O,l),

则原不等式等价于：-g产+；r+g>，”在(0,1)上恒成立；

设g(r)=千+5+”e(O,l),则g(/)在(0,；)递增，在'』)递减，所以g(r)>g⑴=；,

所以，"4；.

形如/(x)=Asin25+8sin3rcos(yx+Ccos%x的函数，可以利用降累公式和辅助角公式将

其化为"X)=A'sin(25+0+夕的形式，再根据正弦函数的性质求与/(x)相关的不等式或

方程的求解问题.另外，含cosx的二次式的恒成立问题，常通过换元转化为一元二次不等

式在相应范围上的恒成立问题.

23.已知一ABC的面积为S,三边分别为a,4c,且A8-AC=^gs.

3

(1)求cosA；

(2)求a=G，求一/SC周长的最大值.

【正确答案】(1)cosA=g；(2)36.

【分析】(1)由数量积的定义及面积公式的表示化筒即可得解；

(2)由余弦定理得3=S+C)2-3AC±S+C)2-3X"上,从而可得最值.

4

【详解】(1)由48・厶。=^^5得0〃式05厶=厶也丄。・/?。也4,6cos4=sinA

332

=>tanA=5/3,所以AE]。，yj,

由A=《，解得cosA=4；

(2)由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,

得3=S+c)2-36cNS+c)2-3x如立，解得。+C426,当且仅当匕=c•时等号成立,

4

所以当6=c=6时，A8C周长的最大值为3后,

24.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=2,BBI=2,。芭分别为3cAe的中点.

(1)求证：4旦平面QEG；

(2)求三棱锥G-CDE的体积.

【正确答案】(I)证明见解析

⑵正

【分析】(1)根据从而可得DE〃A4,再根据线面平行的判定定理即可得证;

(2)根据棱锥的体积公式计算即可.

【详解】(1)证明：2E分别为8C、AC的中点，

又AB〃Ag,.,.OE〃AB1,

又厶由U平面DEC,,DEu平面DEC,,

.•.AM平面。EG；

(2)解：由题知，底面ABC为等边三角形，

2E分别为BCAC的中点，AB=2,

1G

CE=CD=1,ZACB=60S=-xlxlxsin60=—,

CrDDFE24

又BB、=CC、=2,

三棱锥G-CDE的体积V=1.SCD£BB,=-X^X2=^.

3CDE'346

25.如图，在梯形ABCD中，DC//AB,DA^CB^AB=\.

DC

（1）若DC=AC,A8=a，AD=bf试用a、匕表示AC;

（2）若DC=2,例是梯形所在平面内一点，求MA«2M8+MC）的最小值.

【正确答案】（1）4c=5+1a+b；（2）—

212

【分析】（1）计算出。C的长，利用平面向量的减法法则可得出结果；

（2）取A8的中点。，连接。尸，以点。为原点，A3、OF所在直线分别为X、y轴建立平

面直角坐标系，设点M（x,y）,利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可

求得MA-（2MB+MC）的最小值.

【详解】（1）如下图所示，过点A作AE//BC交8于点E,设AC=£）C=x,

AE//BC,43//CE且AB=3C=1,所以，四边形A3CE是边长为1的菱形，

所以，DE=CD-CE=x-liLAE=AD^},

空=空，即丄=二，整理可得V—x—1=0，x>0,解得》=避土L,

ACADx12

所以，OC=Y5±IAB,因此:，AC=DC-DA=^^-a+b;

22

（2）取8的中点F，连接防，

8=2,尸为C£>的中点，则。尸=1,所以，AB//DF且AB=DF,

又因为4）=他=1,则四边形MF。为菱形，则台/=AD=1=3C=b,

所以，△8CF为等边三角形，

取43的中点0,连接OF,以点。为原点，AB,。尸所在直线分别为x、y轴建立如下图

所示的平面直角坐标系，则+河、0卜,手)，

设点AM=(_g_x,_y),MB=(g-x,-y),MC=

(G、

则2MB+MC=2-3x,---3y,

、2,

所以，MA-(2MB+MC^(-^-x](2-3x)>-y(^-3y=3x2-1.r-l+3j2y

方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：

（1）利用定义：

（2）利用向量的坐标运算；

（3）利用数量积的几何意义.

具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.

26.已知a=（2cosx,l）,力=（Gsinx+cosx,-l）,函数/（x）=a6.

（1）求函数f（x）在区间0,|上的最大值和最小值；

8-4兀一

（2）若“X0）=不工（）£7万»求cos2x（）的值；

（3）若函数y=f（5）在区间（。,牛）上是单调递增函数，求正数。的取值范围.

【正确答案】（1）“X）1rax=2J（x*n=—l；（2）上詳；（3）0<^<1

【分析】（1）由题意先表示出/（x）的表达式，然后运用辅助角公式化简，求出在区间上的

最值

（2）由题意得sin（2/+7）=g,结合cos2x（）=cos（2七+仁）-聿求解出答案

（3）表示出函数的单调增区间，结合题意讨论得到。的取值范围.

【详解】（1）==2cosir（gsinx+cos^）-l=Gsin2x+cos2x=2$布（21+看

因为xjo,外，所以署2x+磬?，所以一整sin卜x+,41,

L2」6662I6丿

所以"x)a=2J(xL=T.

Q8

(2)因为/(x0)=g,所以2sin

5

E、r「兀兀［LLt、i2兀-兀_7九

因为/w7,彳，所以工_42%+工4