概率论与数理统计 方差

关于概率论与数理统计方差

4.2.1方差的概念与计算定义4.3

设X是随机变量，若E{[X–E(X)]2}存在，则称其为X的方差，记为D(X)(或Var(X))，即称为X的标准差．特别地，如果X是离散型随机变量，分布律为则如果X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则第2页,共25页，2024年2月25日，星期天

将方差定义式右端展开，并利用数学期望性质可得

即今后我们会经常利用这个式子来计算随机变量X的方差D(X).4.2.1方差的概念与计算第3页,共25页，2024年2月25日，星期天【例4.13】求例4-2中随机变量X的方差D(X).

解：由于

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所以4.2.1方差的概念与计算第4页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.1方差的概念与计算【例4.14】设随机变量X服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，求D(X)．

解：由于X的分布律为，k=0，1，2，…，在例4-4中已经求出，下面计算E(X

2)：故第5页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.1方差的概念与计算【例4.15】设随机变量X服从参数为

（

>0）的指数分布，求D(X)．

解：由于指数分布的概率密度为在例4-7中已求出，故有第6页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.1方差的概念与计算【例4.16】设随机变量X服从(a，b)上的均匀分布，求D(X)．

解：由于均匀分布的概率密度为所以第7页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.1方差的概念与计算【例4.17】设(X，Y)的概率密度为求D(X)及D(Y)．解：记D：|y|<x，0<x<1，如图，则

,第8页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.1方差的概念与计算【例4.18】已知随机变量X的概率密度为又E(X)=0.5，D(X)=0.15，求a，b，c．

解：由于从上面三个方程中可以解得a=12,b=–12,c=3．第9页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性质

(1)设c是常数，则D(c)=0；

(2)设c是常数，X是随机变量，则

D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；

(3)设X，Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)；

(4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数c，即P{X=c}=1．第10页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性质(1)设c是常数，则D(c)=0；证明：

(2)设c是常数，X是随机变量，则

D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；证明：

第11页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性质(3)设X，Y是两个随机变量，则有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)；证明：当X，Y是相互独立的随机变量时，

第12页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性质

性质(4)证明从略.

由性质(2)和(3)容易推广得到，若X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，为常数，则前面例4-3中已经用定义求出了二项分布的数学期望，现在再用数学期望和方差的性质来求它的期望和方差。第13页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性质【例4.19】设随机变量X服从二项分布B(n，p)，求E(X)和D(X)．

解：X可视为n重伯努利试验中某个事件A发生的次数，p为每次试验中A发生的概率．引入随机变量Xi（i=1，2，…，n）：则又第14页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性质因为X1，X2，…，Xn相互独立，且由数学期望和方差的性质可得第15页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性质【例4.20】一机场班车载有20名乘客自机场开出，途中有10个车站可以下车，如果到达一个车站没人下车则不停车，用X表示班车的停车次数，求X的数学期望E(X)及标准差．（设每位乘客在各个车站下车是等可能的，且各位乘客是否下车相互独立）解：依题意，每位乘客在第i个车站下车的概率均为1/10，不下车的概率均为9/10,则班车在第i个车站不停车的概率为所以第16页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性质从而，第17页,共25页，2024年2月25日，星期天4.2.2方差的性质【例4.21】设随机变量X服从正态分布求D(X)．

解：设，由于所以Z～N(0，1)，从而又E(Z)=0，所以故第18页,共25页，2024年2月25日，星期天【实验4-1】用Excel计算例4-2中随机变量Ｘ的数学期望与方差．实验准备：函数SUMPRODUCT的使用格式：SUMPRODUCT(array1,array2,array3,...)功能：返回多个区域array1,array2,array3,...对应数值乘积之和．X1000050001000100100pi1/1052/10510/105100/1051000/105p0第19页,共25页，2024年2月25日，星期天

实验步骤：

(1)整理数据如图4-2左所示．

图4-2计算数学期望

(2)计算E(X)，在单元格B8中输入公式：=SUMPRODUCT(A2:A7,B2:B7)得到期望E(X)如图4-2右所示．第20页,共25页，2024年2月25日，星期天

(3)为了计算方差，首先计算[xi–E(X)]2，在单元格C2中输入公式：=(A2-B$8)^2并将公式复制到单元格区域C3:C7中，如图4-3左所示．

图4-3计算方差

(4)计算方差，在单元格B9中输入公式：=SUMPRODUCT(C2:C7,B2:B7)即得计算结果如图4-3右所示．第21页,共25页，2024