空间中直线、平面的垂直 教学设计 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计

课程基本信息学科高中数学年级高二学期秋季课题空间中直线、平面垂直教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册教材出版社：人民教育出版社教学目标1.通过类比用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．2.发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理的能力．提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.教学内容教学重点：1.用向量方法解决空间图形的垂直问题.教学难点：1.建立空间图形基本要素与向量之间的垂直关系；2.如何把立体几何问题转化为空间向量问题.教学过程环节一探究空间中直线、平面垂直关系类比空间中直线、平面平行的向量表示，向量是否也能表示空间中直线、平面垂直关系呢？追问：空间中直线、平面有哪些垂直关系呢？师生活动先由学生独立思考，再进行全班交流，教师引导学生类比已经学习了研究空间中直线、平面平行的过程，对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式.思考1：如何用向量表示两条直线的垂直关系？师生活动教师引导学生分析，类比用直线的方向向量表示两条直线的平行，得到用直线的方向向量表示两条直线的垂直.即设直线的方向向量分别为，则.思考2：如何用向量表示直线与平面垂直关系？师生活动教师引导学生分析，类比用直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面平行关系，得到用直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面的垂直关系.即是直线的方向向量，是平面的法向量，则使得.思考3：由平面与平面的垂直关系，可以得到向量之间有什么关系？师生活动教师引导学生分析，类比用平面与平面的法向量表示平面与平面平行关系，得到用平面与平面的法向量表示平面与平面的垂直关系.即设分别是平面的法向量，则.环节二通过例题归纳用向量方法解决立体几何问题的方法如图1.4-14，在平行六面体中，，求证：直线平面.师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析.分析：根据条件建立适当的基底向量，通过向量运算证明直线A1C⊥平面BDD1B1.证明：设,则为空间的一个基底，且，所以又在平面上，取为基向量，则对于平面上任意一点,

存在唯一的有序实数对,使得所以，所以是平面的法向量所以平面.设计意图：设置例4的目的是使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性.教学时要注意让学生体会空间向量基本定理在证明中的作用，体会用空间向量解决问题的一般方法.另解的目的是让学生体会代数和几何融合是通性通法.证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导学生分析,从自然语言转化成数学符号，并完成证明.已知：如图，，,求证：.证明：取直线的方向向量，平面的法向量因为，所以是平面的法向量.因为，而是平面的法向量，所以所以.设计意图：设置例5的目的是使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路.教学时要注意突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系.环节三梳理过程,感悟本质回顾这节课的学习，回答如下问题：类比空间中直线、平面平行的向量表示，空间中直线、平面垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？对此你