空间向量运算的坐标表示 高二上学期数学人教A版（2019）+选择性必修第一册

1.3.2空间向量运算的坐标表示【知识回顾】问题1：平面向量的运算有哪些？向量相加c=a+b向量相减c=a－b向量的数乘c=λa数量积c=a·b向量的模｜a｜向量夹角cos<a,b>名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2(λ∈R)a⊥ba·b＝0__________________模|a|＝______________________

夹角

cos〈a，b〉＝

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a1b1＋a2b2＝0问题2：平面向量的平行、垂直及模、夹角如何用坐标表示？思考1：向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空间如何表示？【探究新知】由平面向量的坐标运算，推广到空间向量运算.提示：在空间则用有序实数组（x,y,z）表示.思考2.如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系?提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似,仅多了一个竖坐标,其运算法则相似.证明：设i,j,k为单位正交基底，则a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k.所以a•b=(a1i+a2j+a3k)•(b1i+b2j+b3k).利用向量数量积的分配律以及i•i=j•j=k•k=1i•j=j•k=i•k=0，即可得出

a•b=a1b1+a2b2+a3b3.思考3.如何证明空间向量的数量积运算?设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a1=λb1，a2=λb2，a//ba=λb设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)空间两向量平行与平面两向量平行的表达式不一样，但实质上是一致的，即对应坐标成比例，且比值为λ.注意思考4.如何利用空间向量的坐标表示空间向量的平行?a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)a//ba=λb思考5.如何利用空间向量的坐标表示空间向量的垂直?a⊥ba·b=0a⊥ba·b=0a1b1+a2b2=0a1b1+a2b2+a3b3=0设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)思考6.如何利用空间向量的坐标表示空间向量的长度?思考7.如何利用空间向量的坐标表示空间向量的夹角?

思考8.如何利用空间向量的坐标表示空间两点间的距离?例1：已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设（1）设|c|＝3，c∥.求c；（2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.【巩固新知】

点拨：1.向量平行与垂直问题的两种类型(1)平行与垂直的判断.①应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线;②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0.(2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②选择坐标形式,以达到简化运算的目的.2.向量坐标处理空间平行与垂直的三步骤(1)向量化:将空间中的平行与垂直转化为向量的平行与垂直.(2)代数化:向量关系代数化即写出向量的坐标.(3)求解:利用向量坐标运算列出关系式求解.三、举例应用掌握定义例3.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱