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文档简介

1.4.1

用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时

空间中点、直线和平面的向量表示我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.本节我们进一步运用空间向量研究立体几向中有关直线、平面的位置关系和度量问题.【情境导入】思考1：点、直线、平面是空间的基本图形.那么如何用向量表示空间中的一个点？

【提出问题】思考2：空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线？

结论2.空间直线的向量表示式①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.若直线l过点A(－1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是(

)小试身手1D思考3：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？

结论3.空间平面的向量表示式

（1）平面α可以由α内两条相交直线确定.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使得=xa+yb.这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点.

空间平面的向量表示式

思考4：一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能，如何用向量表示这个平面？

结论4.平面的法向量

如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合下列说法中正确的是(

)A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的解析:由平面法向量的定义可知,B项正确.小试身手2BA.(－1,2,－1) B.(1,2,1)C.(1,2,－1)D.(－1,2,1)令x=－1,则y=2,z=－1.即平面ABC的一个法向量为n=(－1,2,－1).A小试身手3【举例应用】例1.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点.以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系（1）求平面BCC1B1的法向量；（2）求平面MCA1的法向量例2.如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.思路分析：首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.

【课堂小结】用空间向量研究

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