雷达数据处理及应用（第四版） 课件 第3章 线性滤波方法3

于洪波雷达数据处理及应用雷达数据处理及应用

第3章线性滤波方法3.2卡尔曼滤波（**）

3.2.1系统模型

3.2.2滤波模型

3.2.3卡尔曼滤波器的初始化

3.2.4卡尔曼滤波算法应用举例3.3稳态卡尔曼滤波3.4常增益滤波器3.3稳态卡尔曼滤波

滤波稳定性问题就是要研究滤波初值的选取对滤波稳定性的影响问题，即若随着滤波时间的增长，估计值和估计误差的方差阵各自都不受所选的初始估计值和的影响，则滤波器是稳定的，否则估计是有偏的，估计误差方差阵也不是最小的。

稳定性是指系统受到某一扰动后恢复原有运动状态的能力，即如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，在扰动撤除后，系统都能以足够的准确度恢复到原来的平衡状态。(1)滤波器稳定的数学定义；

(2)稳定性判断；(3)随机线性系统的可控制性和可观测性；(4)滤波误差的界；(5)稳态卡尔曼滤波；主要内容(1)滤波器稳定的数学定义

若对于任意给定正数ε>0，都可以找到正数δ>0，使得对任意满足不等式的初始状态(i=1,2)，有成立，则称滤波器稳定。滤波稳定性定理如果随机线性系统是一致完全可控和一致完全可观测的，则Kalman滤波器是一致渐近稳定的，即当滤波时间充分长后，它的Kalman滤波值将渐近地不依赖于滤波初值的选取。对于随机线性定常系统，一致完全可控和一致完全可观测就是完全可控和完全可观测。(2)稳定性判断定义(完全可控)

随机线性离散系统完全可控的充分必要条件是存在正整数N，使可控性矩阵成立。对于随机线性定常系统

随机线性离散系统的可控性就是考察过程噪声V(k)影响系统状态的能力。(3)随机线性系统的可控制性和可观测性定义(完全可观测)

随机线性离散系统完全可观测的充分必要条件是对于时刻k，存在某一个正整数N，使得矩阵成立。对于随机线性定常系统若一个随机系统是可观测的，则根据观测数据通过某种算法完全能够获得目标的位置信息。式中n为状态变量维数。

对于一般系统都有Q(k)>0和R(k)>0，因此对于随机线性定常系统完全可控与完全可观测的充分必要条件分别为

如果系统是时常的，即状态转移矩阵F、输入控制项矩阵G和量测矩阵H是常数矩阵，并且噪声是平稳的(Q和R是常数矩阵)，而且满足以下两个条件

(1)

F、H对是完全可观测的；

(2)

F、Г对是完全可控制的。则存在一个惟一的正定矩阵，使得从任意的初始方差阵P(0|0)出发，当k→∞，Riccati方程收敛到惟一的正定矩阵

。(4)滤波误差的界Riccati方程，即一步预测协方差的单递推式状态一步预测的单递推式为在稳态滤波中状态一步预测为卡尔曼滤波稳态增益(5)稳态卡尔曼滤波引起滤波发散的主要原因：系统过程噪声和量测噪声参数的选取与实际物理过程不符。系统的初始状态和初始协方差的假设值偏差过大。不适当的线性化处理或降维处理。计算误差。滤波发散问题

在P(0|0)、Q(k)和R(k)无法精确获得的情况下，若知道它们可能的取值范围，则可以采用它们可能的较大值。3.4.1α-β滤波器

α-β滤波器是针对匀速运动目标模型的一种常增益滤波器，此时目标的状态向量中只包含位置和速度项，3.4常增益滤波器α-β滤波器增益具有如下形式目标机动指标λα-β滤波器增益工程上常采用与采样时刻k有关的α、β确定方法当α、β减小到某一值时可规定其保持不变。、α、β值与k的关系k123456789101112…α115/67/103/511/2113/285/1217/4519/557/2223/78…β

11/23/101/51/73/281/121/153/551/221/26…

单目标情况下：状态的一步预测：

状态更新方程：

其中：新息

多目标情况下协方差的一步预测

新息协方差

协方差更新方程3.4.2自适应α-β滤波器3.4.3α-β滤波算法的应用举例针对一个匀速直线运动目标设计常增益滤波器，系统的状态方程为

其中：v(k)是零均值的白噪声

目标运动的真实初始状态为量测方程为

其中：w(k)是零均值的白噪声要求：求目标机动指标λ；求α-β滤波器增益；给出目标运动的真实轨迹和机动指标已知、未知情况下的估计轨迹；3.4.4α-β-γ滤波器α-β-γ滤波器是用于对匀加速运动目标进行跟踪α、β、γ和机动指标λ之间的关系为三维状态向量初始状态和初始协方差阵

工程上经常采用如下的方法来确定α、β、γ值，即把它们简化为采样时刻k的函数：

k123456789101112…α11119/2031/3523/2816/2117/24109/16534/5583/143199/364…β

12/37/1512/3511/4213/631/668/49519/16514/14323/273…γ

11/22/75/285/421/122/331/225/1435/182…表2.2α、β、γ值与