优等生数学小学奥数7级四年级奥赛练习题

小学奥数优等生培养教程7级 第2讲三角形初步 5第3讲三角形进阶 第4讲破译乘除法竖式 第5讲等差数列进阶 第6讲相遇问题 第7讲追及问题 第8讲整除特征初步 第9讲逻辑推理进阶 第10讲定义新运算初步 第11讲体育比赛中的数学 第12讲图形计数进阶 第13讲多位数计算 第14讲环形跑道 第15讲最值问题初步 第16讲图形的分割与剪拼 第17讲数阵图初步一从幻方谈起 第18讲小数的计算 第19讲列方程解应用题 第20讲火车过桥 答案与提示 第1讲加乘原理初步前铺知识：字典排列法和树形图标数法 1·1加法原理初识知识剖析--般来讲，做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有向种不同的方法，在第二类办法中有血种不同的办法………在第n类办法中有叫种不同的方法，那么完成这件事共有N二叫+吨+…+叫种不同方法，这就是加法原理运用的范1韦I:完成一件事的方法分成儿类，每一类的任何一种方法都能完成认为，这样的问题可以①完成一件事分n类情况；②每类找种数(每类每种情况必须能独立完成这件事);例艾迪想学做饭，博士给了他一本入门级菜谱。菜谱上共有凉菜10道，热菜8道，海鲜6道，汤类5道。如果艾迪学会这本菜谱上所有的菜，那么他一共会做多少道菜?分析：菜谱上所有的菜共有4种，要求出一共会做多少种菜，根据加法原理，只要把每类菜的道数加起来即可例)2人民币角币的面值有五角、二角和一角三种，用它们凑成一元钱，你能找到多少种不同的凑法?分析：我们可以根据五角钱的张数来分类，第一类是2张五角的；第二类是1张五角的，接下来只需要用二角和一角钱凑剩下的五角即可；第三类是不用五角的，需要用二角和一角的凑一元，最后再求出这三类的总和即可，一人民币的面值有五角、二角和一角三种，用它们凑成八角钱，你能找到多少种不同的凑法? 知识剖析一般来说，如果做一件事需要n个步骤，其中，做第一步有叫种不同的方法，做第二步有盹种不同的方法，………,在第n步有叫种不同的方法，则完成这件事一共有N=niiXni2X---Xmn种不同①完成一件事分n个必要步骤；②每步找种数(每步的情况都不能单独完成该件事);例J3博士要坐动车从北京出发，在沈阳和执行任务的艾迪回合后，一起到哈尔滨参加国际冰雪节。从北京到沈阳有5趟车，从沈阳到哈尔滨只有2趟车，博士可以选择的不同乘车方案共有多少种?分析：我们可以把从北京到沈阳的5趟车记作A,B,C,D,E,从沈阳到哈尔滨的2趟车记作F和G。如果博士从北京到沈阳选择A列车，那么从沈阳到哈尔滨有2种选择，同理，当博士选择B,C,D,E列车时，也都是2种乘例4艾迪经过一个月的勤学苦练，学会了5道凉菜、3道热菜、2道海鲜和4种汤。如果他想在这些菜里各选一分析：第一步先做1道凉菜，第二步再做1道热菜，第三步接着做1道海鲜，最后第四步做1种汤，根据乘法例J5用数字1,2,3,4,5,6(1)可以组成多少个不同的三位数?(2)可以组成多少个无重复数字的三位数?(3)可以组成多少个小于200且无重复数字的三位数?(4)可以组成多少个无重复数字的三位奇数?(1)每一位都有6个选择，根据乘法原理，即可求出满足条件的三位数个数。(2)要求数字不能重复使用，当选出一个数字做个位后，十位就会少一种选择，同理选出一个数字做十位后，百位又会少一种选择。如果先写个位，那么个位有6个选择，十位有5个选择，百位有4个选择，再根(3)要求小于200,那么百位只能是1,还要求无重复数字，所以十位有5个选择，个位有4个选择，再根虑十位，要求数字不重复，则十位还有5个选择，百位还有4个选择，再根据乘法原理，即可求出满足条件的(1)可以组成多少个两位数?(2)可以组成多少个无重复数字的两位数?(3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数?为了方便买零食，艾迪想把他的100元整币换成5元、10元和20元的零币，你知道他有多少种不同的换法吗?1薇儿看到艾迪学会了做饭，不甘落后，向博士要了一本高级菜谱。菜谱上共有中餐25道，西餐18道，日本料理12道。如果薇儿学会了这本菜谱上所有的菜，那么她一共会做多少道菜?3己知从A地去B地有3种走法，从B地去C地有4种走法，那么薇儿从A地经B地去C地一共有多少种不同4艾迪请别人吃饭，饭馆的菜单上有15道凉菜、20道热菜、12道海鲜和6种汤，如果只点一道热菜和一道凉5(1)用数字3～7可以组成多少个两位数?(2)用数字3～7可以组成多少个无重复数字的三位数?第2讲三角形初步2.三角形按角分类例J2判断下列说法的正误。(1)一个三角形里如果有两个锐角，必定是一个锐角三角形。0(2)所有的等边三角形都是等腰三角形。)(3)所有的等腰三角形都是锐角三角形。(4)等腰三角形都是等边三角形。)(5)由三条线段组成的图形叫作三角形。(6)锐角三角形中最大的角一定小于90°。(1)三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，只有两个锐角的可能是直角或钝角三角形。(2)等边三角形的三条边长都相等，等腰三角形有两条边长相等，所以等边三角形是特殊的等腰三角形。(3)等腰三角形的两个底角相等，顶角可以是锐角、直角或钝角。(4)同分析：(2)。(5)锐角三角形的三个角都是锐角。A.钝角三角形的内角一定大于锐角三角形的内角C.三角形中至少有两个锐角D.三角形中至少有一个钝角知识剖析1.与三角形相关的线段三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线。三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线2.三角形三条边的关系三角形三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边。三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边。在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形。3.三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180°o例)3画出图2-1中每个三角形的三条高。分析：每个三角形都有三组底和高，从三角形的任一顶点出发对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是例J4(1)请你准备一些长度分别是1厘米，2厘米，……,10厘米的小棍，动手摆一摆，看看下面哪些组的长度能拼成一个三角形?这些长度具有什么特点?A.3厘米，3厘米，6厘米B.2厘米，3厘米，6厘米C.5厘米，8厘米，9厘米D.4厘米，7厘米，10厘米E.5厘米，5厘米，2厘米F.3厘米，4厘米，5厘米(2)博士想钉一个三角形的木架子，己经有了长度分别为50里面和80厘米的两根木条，第三根木条应选収下列四根木条中的()oA.85厘米长的木条B.150厘米长的木条C.130厘米长的木条D.20厘米长的木条分析：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边进行判断(即两点之间直线段最短)。 (3)你发现规律了吗?三角形的内角和是度。分析：量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐；量角器的0刻度线和角的一条边对齐。做到两对齐后看角的另一条边对着的刻度线是多少，这个角就是几度。看刻度要分清内外圈，0刻度在外圈就看外圈的刻度。0刻度在内圈就看内圈的刻度。根据三角形内角和定理，三角形内角和等于180°o练习2画出图2-2中每个三角形的三条高。开放试题看看你的周围，除了三角板，还有什么东西是三角形的呢?1.三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接组成的平面图形叫作三角形。2.三角形分类按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形(正三角形)。3.三角形三边关系定理任意两边之和大于第三边，任一两边之差小于第三边。4.三角形内角和1下列说法正确的是(1)三角形的三个内角中至多有一个钝角。(3)三角形的三个内角可以都是锐角。(5)25。的角用10倍的放大镜看就变成了250。o(6)看到三角形中有一个锐角，就可以断定这是一个锐角三角形。2找一找，填一填。(如图2-3所示)形是直角三角形。形。是钝角三角形。形。是等腰三角形。形。3画出图2-4>>每个三角形的三条高。艾迪找到了长度分别是130厘米、子，请问哪根木条没被使用?75厘米、50厘米和30厘米的四根木条，他想钉一个三角形的木架5等腰直角三角形的两个底角都是度；等边三角形的三个内角都是度。第3讲三角形进阶前铺知识：平行四边形与梯形三角形初步下面是去年的一道考题，大家可以尝试着回答一下作为面试开始前的热身。三名别动队员站成图中的直角三角形时，受他们控制的区域(阴彫部分)面积有多大?三个别动队员控制的区域长是4米，宽3米的长方形面积的一半。所以是4X34-2=6(平方米)高：过三角形的顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高线。角平分线：三角形的内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点Z间的线段叫三角形的角平分线。中线：三角形中，连接一个顶点和它所对的中点的线段叫作三角形的中线。中位线：任意两边中点的连线。它平行于第三边且等于第三边的一半。 知识剖析平行四边形面积公式：5=底乂对应高。例M(1)如图3-1(G,长方形的面积是平方厘米，阴影三角形的面积是平方厘米。(4)想一想，三角形的面积公式是什么?6厘米4厘米(2)正方形面积二边长X边长，阴影三角形占正方形面积的一半。6练习1求图中3-3中各三角形的面积是多少?(单位：米)图3-3同一个三角形三组底和高通过计算表示的是同一个而积。例J3已知三角形ABC的面积是35平方厘米，它的一条高长14厘米，求这条高所对应的底的长度?分析：三角形面积二底X高三2,那么已知面积和高求底，我们可以把公式转化为底二面积X24-高。例4已知直角三角形ABC(如图3-4所示)中，AB与BC为50厘米，求AC边上的高BD的长是多少?分析：根据已知条件我们可以先求出三角形的面积，再根据高二面积X24-底，即可求出AC边上的高BD的长。例5已知三角形ABC(如图3-5所示)中BC长8厘米，D是AC中点，E是AD中点，BC边上的高AF长求三角形BDC的面积是多少?求三角形AEB的面积是多少?分析：根据“BC长8厘米，BC边上的高AF长4厘米”我们可以求出三角形ABC的面积。(1)因为D是AC中点，那么CD的长度是AC的一半，三角底，对应的高都是点B到AC的垂线段，所以三角形BDC的面积是三角形ABC面积的一半。(2)三角形ABD的面积也是三角形ABC面积的一半。又因为E是AD中点，同理，三角形AEB的面积是三角形ABD面积的一半，即三角形AEB的面积是三角形ABC面积一半的一半。练习2已知三角形ABC的面积是80平方厘米，它的一条边长20厘米，求这条边所对应的高的长度?艾迪他们正确地问答了热身问题，那么他们将要面对的第一个正式问题是什么呢?敬请期待下回分解。开放试题折一个纸飞机，你会算它的面积吗?笔记整理(1)三角形有三组底(三边都可以为底)和高(过顶点向对应底边作垂线段)。(2)三角形的面积二底X对应高一2.1根据三角形的已知条件填表3-1:表3-1底/厘米64高/厘米83面积/平方厘采2如图3-6所示，求三角形的面积。(单位：厘米)3如图3·7所示，所示已知直角三角形ABC的面积是150平方厘米，直角边AB=10厘米，求直角边BC的长。4己知三角形ABC(如图3-8所示)中，BC=10厘米，AD,EC是三角形的高，AD长为8厘米，EC长为5厘米，求底边AB的长是多少厘米?5已知在三角形ABC(如图3-9所示)中，D是BC中第4讲破译乘除法竖式前铺知识：破译加减法竖式8口x乘积的个位是5,那么两；□丁口数.数巫可能是5,所以两位须是9,完整x9知识剖析数字谜的十大分析法(1)尾数分析法：通常就是个位分析法。(3)进位分析法。(5)极端分析法：常用于估计某个数的范围。(6)整体换元法：如果某个数字串在算式中重复出现，有时可以将其视为一个整体来处理。(7)方程分析法：其实从本质上来说，每一个数字谜都是不定方程问题，因此有时可借助解不定方程解某(8)特殊数分析法：特殊数在速算中有重要应用，在数字谜中同样也是常用的线索。(9)数论分析法：其中包括①奇偶分析法；②整除分析法；③因数分析法；④同余分析法。(10)枚举假设分析法：这也是最重要的分析法，因为前面的9种分析法往往只能给出所填之数的候选范围，因此有必要对范围内的数进行假设试算，方能避免漏解。分析：从个位入手，3X口的个位数字是1,根据乘法口诀3X7=21,所以第一个乘数的个位是7;再想口X7的个位是9,根据乘法口诀7X7二49那么第二个乘数的十位只能是7,两个乘数都填出来了，再按照乘法竖式计算步骤，5分析：从个位入手，口><9的个位是5,则第二个乘数的个位只能是5;那么发现5XQ09的结果还是一个三位数，那么第一个乘数的百位只能是1,两个乘数都填出来了，再根据乘法竖式的计算步骤，将其他□填完整即可。练习1请在图4-3中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。4.2除法竖式例)3请在图4-4中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。0填入4,发现减完后直接落下来两位，说明商的十位一定是0,同时，商的个位X34后的结果个位是8,且是个两位例4请在图4-5中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。8分析：从余数入手，余数要比除数小，余数是8,除数也是一位数，那么除数只能是9,其他空格就容易填出了。例)5请在图4-6《1的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。8口□□ 分析：本题可以用位数分析，发现8X除数的结果是个两位数，而9X除数的结果是个三位数，经尝试发现除数只能是12,又发现竖式中连续落下来两位，说明商的十位一定是0,其他空格就容易填出了。请在图4-7中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。口 □口5 开放试题请你尝试着给爸爸妈妈出一道乘除法的竖式数字谜，看看能不能难住他们!(1)要认真分析：算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐藏条件；(2)必要时应采用枚举和筛选相结合的方法(试验法),逐步淘汰那些不符合题意的数字；(3)数字谜解出之后，最好验算一-遍。多位数是oX学习改变命运变2在图4-9中的空格内填入1.2,3,4,5,6,8这几个数字(其中2已经填好),每个数字使用一口口口3请在图4T0中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。旦口440o4请在图4-11中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。 5在图4-12的除法竖式中，空格表示擦I AB 第5讲等差数列进阶前铺知识：等差数列初步甲：别动队的某项秘密任务一月份的经费是3560元，以后每个月增加120元，持续一年，请问这项秘密任务一共需要多少预算?丙：十二月份的经费应该比一月份多11个120元，也就是3560+11X120=4880(元)知识剖析1.等差数列定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。这个数列就叫作等差数列。2.等差数列基本概念等差数列中涉及五个量：a>,an,d,n,S,,通项公式涉及四个量，如果已知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果已知其中三个，就可以求出第四个。例已知数列2,5,&11,14,…,110,问：(1)这个数列中第10个数是多少?(2)77是这个数列的第几个数?(4)将数列中所有的数加起来，和是多少?(1)第2个数与第1个数相差一个3,第3个数与第1个数相差两个3,第4个数与第1个数相差三个3,以此类推，第10个数与第1个数相差九个3,在2的基础上又增加了九个3,即可求出第10个数是多少。(2)77与2相差了75,相邻的两个数相差3,即间隔为3,那么2跟77之间有7523二25(个)间隔，这样(3)与第(2)问相同，只要先求出2与110之间有几个间隔，再求一共有几项就很容易了。(2)已知一个等差数列共有11项，那么这个数列的中间项是第(3)已知一个共有13项的等差数列的第7项是19,求这个等差数列中所有数的和。(3)共有13项的等差数列，第7项即为中间项，根据中项公式：和二中间项X项数，即可求出这个数练习1己知数列5,7,9,11,13…,99,问：(1)这个数列中第12个数是多少?例|3(1)1～100中4的倍数的和是多少?(2)1-100中除以4余1的数的和是多少?分析：(1)首先我们可以列举满足条件的一些数：4,8,12,16…,发现这些数是以4为首项，4为公差的一个等差数列，根据数列求和公式：和二(首项)+(末项)X项数三2,我们只要再求出末项和项数即可。中第1个除以4余1的数应该是1,然后是5,9,13,…发现这些数是以1为首项，4为公差的一个等差数列，这个数列的末项应该是97,同理根据数列求和公式，即可求出这些数的和。例J4一个影剧院共有27排座位，从第1排起，以后每排都比前一排多2个座位，第27排有78个座位，请问剧院中间一排有多少个座位?这个影剧院共有多少个座位?分析：根据“每排都比前一排多2个座位，第27排有78个座位”可知，这是一个首项未知，公差为2,末项为78然后，根据中项公式：和二中间项X项数，即可求出这个剧院共有多少个座位。例15盒子里放有3只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出1只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出2只球，将每只球变成3只球后放回盒子里，以此类推，第十次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球?分析：一开始盒子里有3只乒乓球，魔术师第一次操作完后盒子里有3+2二5只乒乓球，第二次操作完后盒子里有5+4二9只乒乓球，第三次操作完成后盒子里有9+6二15只乒乓球，……观察发现，每次的结果都是在上一次的基础上依次加2,加4,加6,依次类推，到第10次操作后，盒子中的乒乓球在原来3个的基础上+2+4+6+练习2(1)1～80中3的倍数的和是多少?(2)1~80中除以3余2的数的和是多少?开放试题过年的时候你把1000元压岁钱存到了银行，如果每个月利息都是3元，存满一年后这笔钱会变成多少1(1)已知数列2,4,6,8,…,问这个数列中第2000个数是多少?(2)计算：9+18+27+…+180+1892有20个数，第1个数是9,以后每个数都比前一个数大3。这20个数相加，和是多少?4有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的。第1个雕塑有3只蝴蝶，第2个雕塑有5只蝴蝶，第3个雕塑有7只蝴蝶，第4个雕塑有9只蝴蝶，后面的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，艾迪和薇儿看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么,第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢?由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢?5—个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，第一排有10个座位，第二排有1个座位，第三排有14个座位，….,最后一排一共有210个座位。思考一下，剧院中『可一排有多少个座位呢?这个剧院一共有第6讲相遇问题前铺知识：路程速度与时间白虎部队受命拦截一伙穷凶极恶的毒贩。毒贩身在A地，正在以每小时8公里的速度向C地行进，我们在距离A地60公里的B地。为了防止他们从C地的小路逃逸，我们与毒贩同时出发，以每小时12公里的速度急行军，恰巧在C地迎面遇到毒贩，你们知道在这次任务里白虎部队一共急行军了多久吗?甲：不知道c地在哪里就不知道白虎部队走了多远，要怎么求他们急行军多久啊?乙：不需要知道白虎部队走了多远，只要知道他们和毒贩一共走了从A到B的60公里就行了。丙：每小时双方一共走8+12二20(千米),所以需要604-20-3(时)相遇，也就是白虎部队急行军了3小时。 6.1基本相遇问题知识剖析甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙在相同时间里一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么巴10时刻准备出发甲乙At时刻相遇相遇路程二甲走的路程+乙走的路程召BB二甲的速度X相遇时间十乙的速度X相遇时间=(甲的速度+乙的速度)X相遇时间二速度和X相遇时间一般地，相遇问题的关系式为速度和x相遇时间二路程和，即S和二v和t。(1)若他们从A,B两地同时出发，相向而行，3小时候相遇，则A,B两地相距多少千米?(2)若他们从相距108千米的两地同时出发向对方的出发地前进。多久后会相遇?则大宽每小时行多少千米?分析：(1)路程和二两人的速度和X相遇时间，即A,B两地的距离。(2)相遇时间二路程和三两人的速度和。(3)艾迪和大宽两人用5小时的时间和走了120公里，可以求出一个小时和走的距离，又已知艾迪的速度，速度和-艾迪的速度二大宽的速度。例J2艾迪和薇儿两人分别以6千米/时和4千米/时的速度从相距30千米的两地同时出发。(1)如果他们相向而行，儿小时相遇?(2)如果他们相背而行3小时，两人相距多远?(3)经过多久两人第一次相距10千米?(4)经过多久两人第二次相距10千米?分析：(1)相遇时间二路程和4m两人的速度和。(2)先求出3小时两人和走的距离，再加上一开始两人相距的距离，即为两人背向行3小时后的距离O(3)两人开始相距30千米，要变到距离为10千米，说明要相向而行，两人的距离减少了20千米，一小时两人和走10千米，那么当两人第一次相距10千米时，需要和走20千米，继而求出时间。(4)要想第2次相距10千米，说明两人相遇后，继续按照原来的方向前行，又分开了10千米，在整个过程中，两人和走了40千米，根据路程和三速度和二相遇时间，即可求出所需的时间。练习1A,B两地相距4800米，艾迪、薇儿两人分别从A,B两地同时出发，相向而行，如果艾迪每分钟走60米，薇儿每分钟走100米。(1)两个人从出发到相遇需要多长时间?(2)两个人从出发到第一次相距1600米需要多长时间?(3)两个人从出发到第二次相距1600×需要多长时间?6.2变形相遇问题知识剖析对于不同时间点出发的行程题，解题基本有两个思路：(1)看一个人，找出此人行走的时间、速度和路程量；(2)看相同的一个时间内两人合走的路程，将不同时出发的问题变成在一个时间段出发的问题。例13甲、乙两辆汽车分别从化B两地出发相向而行，甲车速度60千米/时，乙车速度80千米/时。(1)若两车同时出发后5小时相遇，求A,B两地可的距离。(2)若甲先出发1小时后，乙车再出发，再经过5小时相遇，求A、B两地间的距离。分析：(1)根据路程和二速度和X相遇时间，即可求出A,B两地之间的距离。(2)甲先出发1小时候，乙再出发，再经过5小时相遇，说明甲共用了6个小时，乙只用了5个小时，两人的速度都已知，又知道两人分别用的时间，可以求出每人走的路程，两人的路程和即为A,B两地之间的距离。例J4甲、乙两辆汽车分别从A,B两地同时出发相向而行，甲车速度45千米/时，乙车速度90千米/时。(1)若出发6小时相遇，求A,B两地间的距离。(2)若出发后乙车突发故障，修理3小时后再继续以原速行驶，从出发起两车需要多长时间相遇?分析：(1)根据路程和二速度和X相遇时间，即可求出A,B两地之间的距离。(2)乙车修理的3小时，甲车没有停下来而是继续前■进，说明甲车三小时走的距离是甲车单独完成的，不算在甲乙两车的路程和之内，需要减掉，剩下的路程即为甲乙两车和走的路程，根据路程和一速度和二相遇时间即可求。注意从开始出发到相遇所用的时间还需加上甲车单独行驶的3小时。例J5两地相距900米，艾迪和薇儿二人同时同地向同一方向行走，艾迪每分钟走80米，薇儿每分钟走100米，当薇儿到达目标后，立即返回，与艾迪相遇，从出发到相遇共经过多少分钟?分析：画线段图可知从出发到相遇，两人和走了两个全程，根据相遇时间二路程和三两人的速度和即可求出从练习2甲、乙两辆汽车分别从A,B两地同时出发相向而行，甲车速度75千米/时，乙车速度80千米/时，若111发后甲车突发故障，修理1小时后再继续以原速行驶，从出发起两车经过6小时相遇，求A,B两地间的距离?开放试题有一道数学趣题：“两地相距50千米，甲、乙二人同时从两地出发相向而行，甲每小时走3千米，乙每小时走2千米。甲带着一只狗，够每小时走5千米。这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉转头来往甲这边走，碰到甲时又往乙这边走，直到两人碰头。问这只狗一共走了多少千米?”你来试一试，会解吗?两人从两地同时出发，相向而行，经历了同样时间相遇，其中：两人在同样时间里合走的路程，称为路程和；两人单位时间(1小时、1分钟等)里合走的路程称为速度和；从而得知：路程和二速度和X相遇时间本讲巩固1东西两镇相距45千米，喜羊羊和灰太狼分别从两镇同时出发，相向而行，灰太狼每小时走5千米，喜羊羊每小时走4千米，问它们几小时相遇?2A,B两地相距400千米，甲、乙两车分别从A,B同时出发，相向而行。甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时40千米，请问：(1)从出发算起，多久后甲、乙两车第一次相距100千米?(2)从出发算起，多久后甲、乙两车第二次相距100千米?3博士从家出发到学校去接艾迪，每分钟走75千米，走了3分钟后，艾迪从学校出发，每分钟走60千米。再4甲、乙两车从相距608千米的两地相向而行，甲车每小时行32千米，乙车每小时行24千米，乙车先出发25A,B两地相距300千米，甲车和乙车同时从A地出发向B地行驶甲车每小时开80千米，乙车每小时开第7讲追及问题甲：如果任务要求你们在2小时内追上前方50千米处、以100千米/时的速度飞车逃跑的敌人，你们的最低车乙：要追上敌人就要在2小时内比他们多开50千米。丙：那么每小时至少要多开50宁2二25(千米)所以最低车速是100+25二125(千米/时)。 知识剖析走的路程之差(追及路程)。假设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间(追及时间)内：追及路程二甲走的路二甲的速度X追及时间-乙的速度X追及时间=(甲的速度-乙的速度)X追及时间二速度差X追及时间一般地，追及问题有这样的数量关系：追及路A,B两地相距300千米，甲、乙两车同向而行，甲车的速度为每小时50时40千米。(1)两车从A地同时出发，3小时后相距多少千米?(2)两车从A地同时出发，几小时后相距60千米?(3)两车分别从A,B两地同时出发，甲车多久能追上乙车?分析：(1)3小时后相距距离为两车行驶的距离差。甲车3小时行驶50X3=150(千米),乙车3小时行驶40X3=120(千米)。(2)每小时差50-40=10(千米),想一想几小时会差60千米呢?(3)分别从A,B两地出发，相当于甲车要追乙车300千米。追及时间二追及路程一速度差。例J2(1)艾迪每分钟走90米，薇儿每分钟走70米，两人同时从不同地点同向出发，5分钟后艾迪追上薇儿，两人出发时相距多少米?(2)博士和大宽相距300米，同时同向111发，10分钟后大宽追上了博士。如果博士每分钟走50米，大宽每分钟走多少米?分析：(1)艾迪5分钟走了90X5二450(米),薇儿5分钟走了70X5=350(米),两人的距离就是所走的路程差。(2)大宽每分钟追上博士3004-10=30(米),相当于两人的速度差。所以大宽每分钟走50+30二80甲、乙两人从相距400米的A,B两地同时同向出发，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟跑250米，问经过多少分钟甲追上乙? 7.2变形追及问题知识剖析化归思想在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将负责问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。(2)将两个人变成一个人，先看一个人，再看其他人。例J3艾迪步行上学，每分钟走60米，离家10分钟后，大宽发现艾迪的文具盒忘在家中，大宽带着文具盒，立即骑自行车以每分钟210X的速度去追艾迪，问出发多少分钟后大宽追上艾迪?分析：艾迪先出发10分钟，看作离家60X10=600(米)。两人速度差为210-60=150(米),追及时间二追及路程三速度差。例4薇儿骑自行车每小时行13千米，艾迪骑自行车每小时行15千米。薇儿出发2小时后，艾迪在薇儿的出发地点前僧6千米处Ⅲ发，问艾迪几小时可以追上薇儿?分析：不同时出发的问题需要先转化。薇儿2小时行了13X2二26(千米),艾迪距离薇儿26-6=20(千米),此时转化为一般追及问题，速度差为15-13=2(千米/时)。例15大宽和艾迪同时从两地相向而行，大宽每分钟走80米，艾迪每分钟走90米，两人在距两地中点100米处相遇，求两地的距离是多少米?分析：两人在距两地中点100米处相遇，可以认为艾迪比中点多走100米，大宽比中点少走100米，两人路程差为200米。速度差为90-80=10(米/分),相遇时间为200-F10=20(分)。相遇距离二速度和X时间。大头儿子步行上学，每分钟70米，离家12分钟后，小头爸爸发现大头儿子的文具盒忘在家中，小头爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追大头儿子。问小头爸爸出发多少分钟后追上大头儿子?开放试题你知道在钟面上(如图7-1)时针和分针哪根跑得快吗?可以看作谁追谁呢?笔记整理追及问题的实质：在相同时间里快的比慢的多走了一段路程。其中，路程差：即相同时间多走的路程；三者关系：路程差二速度差X追及时间。1甲、乙二车都要从北京去天津，甲车行驶10千米后乙车才开始出发，甲车每小时行驶70千米，乙车每小时行驶80千米，问乙车经过多长时间能追上甲车?2艾迪和薇儿从学校到电影院看电影，艾迪以每分蚀60米的速度向电影院走去，5分蚀后薇儿以每分蚀80米的速度向电影院走去，结果两人同时到达电影院。问学校到电影院的路程是多少米?3放学后，哥哥以每分钟80米的速度步行回家。12分钟后，弟弟骑自行车回家，他的速度是每分钟200米，问经过多长时间弟弟可以追上哥哥?4薇儿以每分钟50米的速度从学校步行回家。12分钟后大宽从学校出发骑自行车去追薇儿，结果在距学校1000米处追上薇儿，求大宽骑自行车的速度。5艾迪和大宽二人同时分别自A,B两地出发相向而行，相遇之地距A,B中点500米，已知艾迪每分钟走100米，大宽每分钟走60米，求A,B两地间的距离。第8讲整除特征初步28—4能够整除，完全可以平均分给四只队伍。知识剖析如杲一个数的个位数能被2或5整除，则这个数就能被2或5整除。如果一个数的末两位未能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除。如果一个数的末三位未能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除。例1下列8个自然数：234,535,657,832,1324,4367,90875,342125中，(1)哪些能被2整除?哪些能被5整除?(2)哪些能被4整除?哪些能被25整除?(3)哪些能被8整除?哪些能被125整除?分析：(1)能被2整除的数个位数字必为0,2,4,6,8。能被5整除的数个位数字必为0或5.能被2整除能被5整除(2)能被4整除的数末两位必为4的倍数。能被25整除的数末两位必为00,25,50或75.能被4整除(3)能被8整除的数末三位必为8的倍数。整除具有传递性，能被8整除的数，一定能被4整除，也一定能被4整除。例J2(1)修改352中的一个数字，使这个三位数能被5整除，修改后的三位数是多少?(2)修改6783中的一个数字，使这个四位数能被4整除，修改后的四位数是多少?分析：(1)能被5整除的数个位是0或5,调整个位即可。(2)能被4整除的数末两位能被4整除，在80～89小挑选对应的数即可。把带数字的小球投入指定的铁环里，看谁投得最快。分能被2整除不能被2整除知识剖析求和判断法能被3和9整除的数的特征：如果一个数的个位数字之和能被3或9整除，那这个数就能被3或9整除。例)3下列数中，哪些能被3整除?哪些能被9整除?这些能被3或9整除的数的数字和有什么特点?分析：能被3整除的数，数字之和能被3整除，能被9整除的数，数字之和能被9整除，能被9整除的数一定能被3整除能被3整除。分析：先把剩余的数字加在一起，再加上方框所代表的数字，满足和是9的倍数即可。例15在下面每个数的□里填上一个数字，使它符合所提要求。(1)迈既能2整除，又能被5整除。分析：(1)既能被2整除，又能被5整除，个位一定是0.(2)个位一定是0,且数字之和是3的倍数，答案不唯一。开放试题我们今天学习了2,3,4,5,&9,的整除特征，开动脑筋想一想，6和7有没有自己的整除特征呢?3下列数中，哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被9整除?5十位数20144A2014能被9整除，求A的值。第9讲逻辑推理进阶前铺知识：逻辑推理初步知识剖析在日常生活中，有些问题常常要求我们主要通过分析和推理，而不是计算得出正确的结论，这类判断、推理问题，就叫作逻辑推理问题，简称逻辑问题。析推理，排除一些不对能的推理。排除一些不对能的情况，逐步归纳，找到正确答案。例H运动会上的400米长跑，比赛一开始，观众A,B,C三人就预测名次：A说：甲第一，丙第三。比赛结束，化B,C三人所说的甲、乙、丙、丁四位运动员分别获得前四名，而他们每人只说对了一半，那么问这四位运动员的名次是怎样的?分析：真假判断题，可依次推出结果，你满足没有矛盾即可成立。如果A说的甲第一正确，则C说的甲第三错误，B说的乙第一错误。由此可以推出丁第四和丁第二相互矛盾。师拿出这一组山丘的图片，并在图片上标出数字，他让五位学生来识别，每人说出两个，学生回答如甲说：2是泰山，3是华山。说：1是衡山，5是恒山。丁说：4是恒山，3是嵩山。戊说：2是华山，5是泰山。老师发现五个学生每人都只说对了一半，那么正确的说法是什么?分析：真假判断题，可依次进行判断。2是泰山V3是华山X2是泰山×3是华山V4是衡ⅢJ2是嵩iX4是衡山X2是嵩山J1是衡山X5是恒山V1是衡山J5是恒山X4是恒山×3是嵩山丁4是恒山J3是嵛山X2是华山×5是泰山X2是华山X5是泰山J出现矛盾满足条件明得金牌，小华不得金牌，小強不得铜牌。”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌?例)3王文、张贝、李丽分别是跳傘、田径、游泳运动员，现在知道：(1)张贝从未上过天；(2)跳傘运动员已得过两块金牌；(3)李丽还未得过第一名，她与出径运动员同年出生，请根据上述情況判断王文、张贝、李丽各是什么运动员?分析：根据已知条件列表即可推出结果。王张李跳伞VX条件(1)X条件(2),(3田径XX条件(3)游泳XXV例J4甲、乙、丙、丁四个人的职业分别是教师、医生、律师、警察四种中的一种，已知：那么甲、乙、丙、工的职业依次为教师医生警察甲X条件(1)V乙X条件(2)X条件(5)丙X条件(1),(3)X条件(3),(5)X条件(3)TX条件(4)根据条件可以先推出甲是律师，再推出丙是警察，试着说明理由，并补全剩余表格。题目当中经常见面时解题的关键，这类题目通常都采用列表的方式，注意题目中的隐含条件。例J5在一个年级里，甲、乙、丙三位老师分别讲授数学、物理、化学、生物、语文和历史六种中的两种。每(5)三人中最年长的老师住家比其他二位老师远。问甲、乙、丙三位老师分别教哪两门课?分析：可以先推出甲是生物老师，再推出丙是物理老师，然后继续推出剩余结果，补全剩余表格。数学物理化学生物语文历史甲X丁条件(2),(4)乙X条件(1),(3)X丙X条件(3)V(1)回族人比甲年龄大；(2)壮族人比丙年龄大；(3)丙和同族人下周要到瑞士去度假。请判断甲、丙、戊分别是哪个民族的人?开放试题有三只盒子，第一只盒子里装有两个黑球，第二只盒子里装有两个白球，第三只盒子里装有黑球和白球各一个。现在三只盒子上的标签全贴错了，你能否仅从其中一只盒子里拿出一个球来，就能确定这三只盒子里各装的是什么球?笔记整理1.条件型前提：题目所给的条件全是真命题，即都是真话，可以直接用来推导分析：的。方法：列表法(2)根据条件在相应的位置画出J和X;(3)结合对应关系判断(如一行一列有且只有一个V,那其他位置都是X);(4)在判断不出的位置根据情况少的原则进行合理假设。2.真假型前提：题目所给的条件有真有假。通过有顺序的假设去寻找正确的条件(真命题)从而推导出题目设定的结论。(2)无矛盾则推出结论。特殊：说的正好相反的两句话(两个条件)一定一对一错。本讲巩固3小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项(4)爱好游泳的在一小；问三人各爱好什么运动?各上哪所小学?(1)前锋夸前腰传球传得好；(6)丙在场上的作用常强于乙和后腰。那么,甲擅长的位置是和第10讲定义新运算初步知识剖析(1)7探3;6A5.(2)(2探7)探3;(4A8)A9.练习1(1)求上※(3探4)的值；例5己知：3+4=3+4+5+6=18,2+5=2+3+4+5+6=20,7+8二7+8+9+10+11+12+13+14二84,又知x+5=95,那练习2(1)求5探6的值；(2)如果5探沪3,求x的值。1规定：符号O表示选择两数中较大数的运算，例如，402二204二4;符号△表示选择两数中较小数的运算，2设m,n是两个数，规定：01探口二4乂门-m-r2,计算4探6的值。3规定：二2Xb+3Xa,已知x^2=13,求字母x表示多少?5己知x.y为两个不同的数，规定a*y二2x+y,己知a*(2*4)=14,a=第11讲体育比赛中的数学行编排，也支持部分种子选手直接从中间某轮开始参加比赛的安排(即轮空)。这样做的月的是避免实力强的选手过早相遇，,导致后面的比赛中对阵双方的实力相差过于悬殊，影响比赛的悬念和精彩程度。分析：开始16个队需比8场，然后8个队需比4场，接下来4个队需比2场，最后2个队需比1场。同样也可以认为，16支队伍，决出1个冠军，每场比赛结束只淘汰1支队伍，最终剩下的1队为冠军。例2羊村要举(1)那么冠军队要进行多少场比赛?(3)n支球队，每队都与除自己以外的各队各比赛一场，即赛了n-1场，每场比赛需两队参加，注意有12支足球队参加比赛：(1)如果采用单循环赛(每两队赛1场),需比赛场。比赛，负者下场)产生冠军，共需比寨场。体育比赛中的总分(记为A)问题三分制：胜、平、负按3、1、0积分制度，其中2mWAW3m,每多出现一场平局，总分就会减少1分；二分制：胜、平、负按2、1、0积分制度，其中A二2m,不管比赛情况如何，最后例3在一项足球赛事中，规定胜者得2分，负者得0分，打平则两支队伍各得1分。有四支球队进行单循环比赛。他们的总分是多少?若甲队三战全胜，其余三队的得分各不相同，其余三队的得分可能是多少?分析：首先要算出四支球队总共比赛多少场，在2、1、0积分制中，不管比赛情况如何最后总分不变，都是2X比赛场数。甲队三场全胜，得6分。其余三队各3三场，且都负于甲。由于分数各不相同，经枚举尝试可得出分，失败不得分。比赛结束后，各队的得分情况如下：黄队10分：红队9分：绿队4分：蓝队3分；粉红队1分。队得分已知，可求出总分进行对比，每出现一场平局总分会减少1分。有五个人进行象棋单循坏赛，规定胜者得2分，负者得0分，和棋双方各得1分，比赛结束后统计发请了解一下足球联赛的赛制，想一想为什么采用双循坏主客场制?这种赛制的好处是什么?(2)一个小组内，胜的总场数等于负的总场数；平的总场数一定是偶数。2有8支足球队参加比赛：(1)如果采用单循环赛(每两队赛1场),则需比赛—场。(胜者继续比赛，负者下场)产生冠军，则一共需比赛场。45支球队进行足球比赛，每2支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场各得1分，负一场不得分。全部比赛结束后，发现共有4场平局，且其中4支球队共得了22分，则第5支球队得了分。队赛了4场，北京队赛了3场，江苏队赛了2场，山东队赛了1场。那么广东队赛了儿场?图12-3知识剖析例J1(1)图12-1是由16个1X1的小正方形组成的图形。数一数图中共有第12讲图形计数进阶(2)图12-2是由20个1X1的小正方形组成的图形。数一数图中共有个正图12-1图12-2分析：可以按正方形的大小分类去数。1X1的正方形有4X4=16个，2X2的正方形有3X3=9个，看看有什么规律。注意最大正方形的个数，想一想和第一问有什么区别，多了多少个?例)2在图12-3所(1)有多少个田字形?(4)有多少个如图所示的阴影直角三角形(可旋转)?每个田字形里有4个出形，可以由旋转得到，想一想它们都是什么样?(3)由图形旋转可以发现，横行中的形和竖列中的样多。在图中，每行有6田字形为2X2的小正方形，想一想每行每列各有多少个?形里有4个如图所示的直角三角形，可以由旋转得到，想一想它们都是什么图12-4样?图12-5分析：长方形由长和宽两组对边组成，找到长和宽对应的线段条数就能确定长方形个数。例)4数一数，图12-6+共有多少个长方形?分析：可以把图形分成一个3X3的长方形和一个1X7的长方形分别去数。想一想中间的重叠部分应该怎么办?例5由20个边长为1的小正方形拼成的一个4X5方形(含正方形)共有个。☆图12-7分析：竖列边上含星号的线段有6条，横行边上含星号的线段有8条。想一想如何利用它们确定长方形的个数。图12-8中共有多少个长方形?开放试题用同样大小的正方体小木块堆成如图12-9所示的立体图形，图12--141图12-10所示是由24个1X1的小正方形组成的图形。数一数2在图12-11所示边长为5的大正方形中，图中共有多少个正方形?(可旋·(可旋(2)有多少个如图所示的阴影直角三角形(可旋转)?3数一数，图12-12中共有多少个长方形?4数一数，图12-13中有多少个长方形?图5图12-14是4X4的网格，数一数图中有儿个包含“☆”的长方形?第13讲多位数计算前铺知识：等差数列进阶定义新运算初步 13.1与9相关的多位数计算知识剖析凑数法：见9变0见到类似+9,+99,+999…的式子，先将这些数字变成整十、整百和整千数，凑整后再减去添加数的和，这样达到的巧算、速算的目的。类似地，末尾是6,7,&9这样的数，做加法时都可以添数变整十、整百数，到最后再减去相应加上的数。末尾是1,2,3,4这样较小的数也可以进行类似处理。一个数乘若干连续9组成的数，等于这个数添若干连续0(0的个数由前面9的个数决定)减掉其本身。JJ----分析：(1)9可以变成10-199可以变成100-1(2)19可以变成20T199可以变成200T对齐数位相加可以得到111110-5 对齐数位相加可以得到注意：结果中2的个数。例2计算：9X8一。分析：可以把99变成100-1,再利用乘法分配律巧算。把999变成1000T,再利用乘法分配律巧算。按规律可得 知识剖析(1)归纳递推：从简单情况入手找规律，从而推出一般性的规律。(2)椅子数的计算：例3计算：你发现了什么规律?猜一猜111111111X111111111=观察答案数字的规律可以发现，数字是按先上升再下降的顺序排列的。例4计算： 分析：(1)X101,X1001,X10001的结果当中会发现乘数重复出现，这样的数被称为椅子数。(2)同样，椅子数也可以提取重复出现的部分，转化为乘积的形式。例5分析：结果的末三位数字之和只与加数的末三位有关，因此只需计算777X2012+77+7,再按同样的方法，可以只计算777X12+77+7二9480.开放试题1…1×9.9二,乘积中的数字和二3计算：(1)3939二39X:428428二X1001:(2)2448-24X:824412二X2001.第14讲环形跑道如果不同地出发，则第一次相遇的路程和为两人初始距离(注例I1艾迪和薇儿各自以一定速度，沿相反方向在一环形跑道上跑步度是160米/分，从同一地点出发3分钟两人相遇。那么,(1)跑道的周长是多少米?(2)若相遇后两人继续前行，到第二次相遇还需要多长时间?(3)从出发到第十次相遇两人共走几圈?共需要多长时间?(3)从出发到第十次相遇，每次相遇都是合跑一圈，所以每次相遇所用的时间都是3分钟。例J2一个圆形操场跑道的周长是400米，艾迪和大宽同时从相距200米的A,B两地111发，背向而行，已知艾迪的速度是60米/分，大宽的速度是40米/分.那么,(1)经过多久两人第一次相遇?分析：(1)第一次相遇两人需要走200米，相遇时间二相遇路程三路程和。遇都需4分钟。练习1一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行。大宽每分钟走66米，艾迪每分钟都59米。问经过多长时间两人才能相遇?艾迪自主训练时每天都要拉着大宽一起跑一万米。已知跑道一圈是400米，艾迪每分钟能跑270米，大宽每分艾迪要追上大宽就要比他多跑一圈，也就是400米。艾迪每分钟比大宽多跑270-190二80(米)。多跑400米如果不同地出发，则第一次追及的路程差为二人初始距离(注意方向),第二次以后就转化为同地追及问题了。跑6米，大宽每秒钟跑4米。(1)问艾迪第一次追上大宽时用了多长时间?分析：两人同向而行，每秒差6-4=2(米)。第一次相遇恰好多跑一圈，路程差为200米。第二次相遇恰好多例)4艾迪、薇儿两人在400米的环形跑道上跑步，艾迪以300米/分的速度从起点跑出，1分钟后，薇儿从起(2)入股他们的速度保持不变，艾迪需耍再过多少分钟才能第二次追上薇儿?分析：艾迪先出发1分钟，跑了300米。此时薇儿出发。此时薇儿出发。艾迪还差400-300=100(米)追上薇儿。所以艾迪每分钟追100F5二20(米),由此可以得到薇儿的速度。第二次追上还需要追一圈，即400米，例J5在400米的环形跑道上，大宽、1專士两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行分析：背向而行速度和为400三40二10(米/秒)同向而行速度差为400～200二2(米/秒)(3分20秒二200秒)题目可以转化为和差问题，很容易求出博士和犬宽的速度。练习2在300米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑。如果同向而跑1分15秒相遇，如果背向而跑则半分相向出发(即一个顺时针一个逆时针),沿跑道骑行，则210秒内艾迪与薇儿相遇几次?如果不同地出发，则第一次相遇的路程和为两人初始距离(注意方向),第二次以后就转化为同地相遇的问2.环形跑道中的追及问题如果不同地出发，则第一次追及的路程差为二人初始距离(注意方向),第二次以后就转化为同地追及问题1一个圆形操场跑道的周长是1000米。两个学生同时同地出发，背向而行，已知甲的速度是55米/分，乙的速(1)求经过多久两人第一次相遇?(2)求经过多久两人第二次相遇?(3)求到第十次相遇两人一共用了多长时间?2在周长为2160米的环形跑道上，薇儿和艾迪两人分别站在相距1080米的A,B两点，沿相反方向同时起跑。3薇儿和大宽在操场上比赛跑步，薇儿每分钟跑250米，大宽每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时4学校有一条长300米的环形跑道，艾迪和大宽同时同向从起跑线起跑，艾迪每秒钟跑6米，大宽每秒钟跑4米，那么,(2)艾迪第二次追上大宽时两人各跑了多少米?在长300米的环形跑道上，两人都按顺时针方向同时同地步行，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向同时同地步行，每隔4分钟相遇一次，问两人速度各是多少?第15讲最值问题初步前铺知识：体育比赛中的数学知识剖析(1)和一定，差小积大。用24根长1厘米的小棍围城一个长方形，这个长方形的面积可能是多少?最大是多少?(2)如果用22根长1厘米的小棍，围成的长方形面积最大是多少(不许折断小棍)?分析：24根小棍，长方形周长为24厘米，所以长+宽二12(厘米),可以依次列举得到面积：11X1=11,10X2二20,9X3二27,8X4二32,7X5二35,6X6二36.同理可得出22根小棍，围成长方形的面积，比较后可得最大值。例)2两个自然数的积为100,这两个数分别可能是多少?它们的和最大是多少?最小呢?练习1用16根长1厘米的小棍围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少?如果用18根呢?15.2拆数问题这次晋升分队长的名额一共有20个，为了赏罚分明，四支队伍都会分到，但每支队伍的名额数都不会相同。不知道名额最多和最少的队都能分到几个啊?名额最多的最少也能分到7个，名额最少的最多只能分到3个。你怎么又知道了?不论名额最多的最少还是名额最少的最多，都要让四支队伍的名额尽量接近，也就是尽可能构成连续自然数的3+4+5+6二18<20<4+5+6+7二22,所以名额最少的最多分到3个，名额最多的最少分到7个。白虎啊，你的脑袋里装的也都是肌肉吗?知识剖析1.枚举法将所有对能情况全部列举出来，再从中找到最大或最小的情况。从最极端的情况出发，进行思考。例13把14拆分成3个互不相同的自然数之和，这3个自然数的乘积最大可能是多少?分析：把14拆分成3个互不相同的数，使得这三个数相互接近，且接近平均数144-3,可以拆分成例)4四个非零自然数的和为26,这四个自然数的乘积的最大值是多少?分析：把26分成4个数，使这4个数相互接近，且接近平均数26三4二6.5,可以拆分成26二6+6+7+7.例J5(1)把8拆成若干个可重复的自然数的和，使这些自然数的乘积最大。分析：可以比较2X2X2二&3X3二9.同理3X3X3X3=81,4X4X4=64.所以应当多拆3,少拆2,不拆1。8可以拆成8二3+3+2,10可以拆成10=3+3+2+2.练习23个互不相同的自然数之和是17,它们的乘积最大可能是多少?开放试题某城为了控制汽车流量，规定每辆汽车每个星期限行2天，某个公司要求每天至少有10辆汽车可以行使。如果能够自行选择停驶时间，那么这个公司至少需要拥有多少辆汽车?本讲巩固1用16根长2厘米的小棍围城一个长方形，这个长方形的面积可能是多少?如果用18根呢?(不许折断小棍)2两个自然数的积为60,这两个数分别可能是多少?它们的和最大可以为多少?最小呢?3把15拆分成3个互不相同的自然数Z和，这3个自然数的乘积最大可能是多少?4四个非零自然数的和为30,这四个自然数的乘积的最大值是多少?5把14分成儿个可重复自然数的和，再求出这些数的乘枳，要使得到的乘枳尽可能大，问这个乘积是多少?第16讲图形的分割与剪拼前铺知识：三角形初步三角形进阶2.不规则图形的分割与剪拼知识剖析(1)把一个几何图形按某种要求分成几个图形，叫作图形的分割。反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个规则的图形，叫作图形的拼合。将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫作图形的剪拼。(2)把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分时，需要注意图形本身的对称性质尤其注意是否中心对称；如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块所含数量的多少，再结合形状来分割图形。(3)如果把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，重点考虑边长例)1如图16-1所示，将一张正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，你能找到几种剪法?分析：方法很多，可以竖着分，横着分或斜着分。通过中心的两条相互垂直的直线均可。(1)能否将正六边形分成2个形状、大小都相同的图形?(2)能否将正六边形分成3个形状、大小都相同的图形?(3)能否将正六边形分成4个形状、大小都相同的图形?(4)能否将正六边形分成6个形状、大小都相同的图形?分析：正六边形是对称图形，可以按照找对称轴的方式切分。也可以按照正方形的方法找过中心的连线分割图--块正三角形形状的土地上有川棵大树(如图16·3所示),现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有--棵大树，应怎样分? 16.2不规则图形的分割与剪拼例)3将图16-4中3X5的长方形分割成面积分别为1,2,3,4,5的五块，要求其中一块形如分析：先放面积最大的块，由于面积分别为1,2,3,4,5,所以最大的块只能放在中间，左右还各剩下5块，可以按1+4和2+3的方式分配。例)4将图16-5所示图形分割成大小、形状都相同的四块。图16-5分析：图16-5中共有12个小正方形，分成四块，所以每块有3个小正方形。因为图形不规则，所以每例5用“四连块”(如图16-6(1)所示)拼成一个正方形(如图16-6(2)所示),按编号画图。分析：可依次放入①,②,③,④。题目需要一定的构造技巧，可以用染色的方法依次把正方形填满。也可以用图16-7(1)、(2)、(3)所示的3个图形，拼成图16-7(4)所示的大正方形。请在正方形画出拼法。开放试题同学们玩过七巧板(如图16-8所示)吗?这是一种非常有趣的古典益趣玩具，只用七块简单的小木片就对以拼笔记整理图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块所含数量的多少，再结合数量来分割图形。1将一张正方形纸片剪成形状、大小都相同的八块，你能找到儿种剪法?2图16-9是由五个正方形组成的图形，如果把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分?3图16-10是由完全一样的五个小正方形组成的图形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分。4请将图16-11分割成五个大小相等的图形。图16-11图16-105请将图16-12分成四个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形。第17讲数阵图初步一从幻方谈起前铺知识：有趣的数阵图数阵图本讲内容：1.数阵图的填法 17.1数阵图知识剖析数阵图问题要求在数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线，(或关系区域)上的数的和相(1)区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)。(2)在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线(关系区域)上和的总和，这个和是关系线(关系区域)等个数的整数(3)判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线(关系(4)运用己经得到的信息进行尝试。例J1请将C11填入图17-1中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的分析：五条线段的和为18X5=90,中间数被多算了4次，而其余的数字和为1+2+…+11二66,所以中间数为6.例12请将1～7七个数字填入图17-2中的七个圆圈内，使每个圆次，其余数字和为(1+2+··+7)X2=56.离5的倍数差4,所以中间数为4,其余可以分成3组，1+7二3+5二2+6.17.2幻方知识剖析幻方：又叫方针，也叫纵横图，是将几个数字排列成方阵，是横行、竖行、对角线上数的和都相等的数的方针，幻和：幻方中每行、每列、每条对角线上数的和，即相等的和。幻和二所有数和*阶数。(1)杨辉口诀：九子斜排，上下对易，左右相反，q维挺出。“1”居上行正中央，后数依次右上填，上出框时往下填，右出框时往左填，重复便在下格填，右上重复一个样。(3)阶梯法：把n阶方阵从四周向外扩展成阶梯状，随后把『个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方。(4)一般方法：先推理出中间数，再进行整数分拆。例13请在图17-4所示3X3的方格阵的每个格子不重复地填上「9这九个数，使得每行、每列、每个对角线的和都相等。图17-4分析：只看横行，3个幻和为45,如果只看一个米字形，4个幻和为45+中间数X3,所以中间数为5,依例14将九个连续自然数填入图17-5中的九个空格，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等图17-5分析：由幻和可以判断中间数为604-3=20,可以在广9的幻方的基础上，每个数加15即可。例J5在图17-6中的九个方格里，每行、每列、每条对角线上开放试题一张牌，谁手里的牌中有三张和为15则获胜，而若摸完后双方都不满足此条件则算乙9A8请在图17-7的方格中填出一个三阶幻方，使其幻和为24.胜，甲先摸了2,那么乙怎样才能取胜?笔记整理第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)。第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线(关系区域)上和的总和，这个和是关系线(关系区域)等个数的整第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线(关系区域)和。2.幻方的解法(4)一般方法：先推理出中间数，再进行整数分拆。第18讲小数的计算前铺知识：分数初识小数的认识本讲内容：2将广5填入图17-9中，使每条直线上的三个数的和与圆圈上四个3在图17-10所示。3X3的正方形格子额每个格子里分别填入1广19这九种填法)图17-9图17-10及37A图17-122.小数的四则运算知识剖析1.小数的组成小数是由整数部分、小数点和小数部分三部分组成。小数中间的点叫作小数点，小数点左边是整数部分，右2.小数的读法例如：3.5读作三点五，2013.27读作两千零一十三点二七。一位小数表示十分之几，小数点后第一位是十分位；两位小数表示百分之几，小数点后第二位是百分位；三位小数表示千分之儿，小数点后第三位是千分位；数位顺序表整数部分小数点小数部分数位百位十位个位十分位百分位千分位计数单位百十(个)十分之百分千分4.小数的大小比较先比较整数部分，再比较十分位，然后百分位，以此类推，小数点后从左到右依次比较。5.小数点的位移(1)小数点向左移动，小数缩小；小数点向左移动一位，缩小到原来的小数点向左移动三位，缩小到原来的上。(2)小数点向右移动，小数扩大：小数点向右移动一位，扩大到原来的10倍；小数点向右移动两位，扩大到原来的100倍；小数点向右移动三位，扩大到原来的1000倍；表示，分数二用小数表示，分数二表示。(2)1里面有个0.1,有个0.01,有个0.001.示个;小数点右边第二位是位，表示个O(4)9.05是由9个和5个组成的，0.78里面有个百分之一。39个百分之一组成的数是。6个十分之一，3个千分之一组成的数是。一个数的十位是8.十分位是8.其他数位是0.这个数是o(5)根据小数的性质，下列各题哪些0可以去掉，哪些0不可以去掉?(6)把0.32分别扩大10倍、100倍、1000是、、;把375.47分别缩小到原来的上、工、上是(7)把432.6的小数点先向左移动三位，再向右移动两位，得到的数是0分析：注意小数的数位所代表的意义。小数点末尾的0可以去掉。小数点位移向左表示缩小，向右表示扩大。例)2(1)在()内填上适当的小数。600千克二()吨4.05元二()元()角()分(2)比佼大小。 18.2小数的四则运算