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文档简介
2022-2023学年浙江省绍兴市孙端中学高二数学文模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.
直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A2.已知,若,则(
)A.-5 B.-20 C.15 D.35参考答案:A【分析】令,可得,解得,把二项式化为,再利用二项展开式的通项,即可求解.【详解】由题意,令,可得,解得,所以二项式为所以展开式中的系数为,故选A.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用,其中解答熟练应用赋值法求得二项展开式的系数,以及二项展开式的通项是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.3.如果函数y=(a2-4)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是()a.|a|>2
b.|a|>c.|a|<
d.2<|a|<参考答案:D∵0<a2-4<1,∴4<a2<.∴2<|a|<.4.已知是等比数列,前项和为,,则
A. B. C. D. 参考答案:B5.若实数满足约束条件,则的最大值为
(
)(A)
(B)(C)
(D)参考答案:A6.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则的值为()A. B. C. D.参考答案:B【考点】等比数列的前n项和.【分析】由等比数列的通项公式和求和公式,代入要求的式子化简可得.【解答】解:等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,∴a2=a1q=2a1,S4==15a1,∴=,故选:B【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式,属基础题.7.
已知复数z满足,则复数z的虚部为(
)A.-i B.-1 C.i D.1参考答案:B【分析】根据已知求出复数z,再求其虚部.【详解】由题得,所以复数z的虚部为-1.故选:B【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数虚部的概念,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.8.若数列的通项公式为,的最大项为第项,最小项为第项,则等于()A.3 B.4 C.5 D.6参考答案:A9.已知等差数列的公差,前项和满足:,那么数列中最大的值是(
)A. B. C. D.参考答案:B10.已知球的球面上一点,过点有三条两两互相垂直的直线,分别交球的球面于、、三点,且2、2、4,则球的体积为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设的夹角为;则等于______________.参考答案:2略12.空间直角坐标系中,已知A(2,3,﹣1),B(2,6,2),C(1,4,﹣1),则直线AB与AC的夹角为
.参考答案:60°【考点】M7:空间向量的夹角与距离求解公式.【分析】根据空间向量的坐标表示,得出、的坐标,利用向量的夹角公式求出向量、的夹角即可.【解答】解:空间直角坐标系中,A(2,3,﹣1),B(2,6,2),C(1,4,﹣1),∴=(0,3,3),=(﹣1,1,0),∴?=0×(﹣1)+3×1+3×0=3,||==3,||==,∴cos<,>===,∴向量、的夹角为60°,即直线AB与AC的夹角为60°.故答案为:60°.13.ABCD-A1B1C1D1为平行六面体,设=a,=b,=c,E、F分别是AD1、BD的中点,则=
.(用向量abc表示)参考答案:a-c14.复数满足(是虚数单位),则复数对应的点位于复平面的第_______象限.参考答案:四;15.函数给出下列说法,其中正确命题的序号为.(1)命题“若α=,则cosα=”的逆否命题;(2)命题p:?x0∈R,使sinx0>1,则¬p:?x∈R,sinx≤1;(3)“φ=+2kπ(k∈Z)”是“函数若y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件;(4)命题p:“,使”,命题q:“在△ABC中,若使sinA>sinB,则A>B”,那么命题(?p)∧q为真命题.参考答案:①②④【考点】命题的真假判断与应用.【分析】(1),原命题为真,逆否命题为真命题;(2),命题p:?x0∈R,使sinx0>1,则¬p:?x∈R,sinx≤1,;(3),“φ=+2kπ(k∈Z)”是“函数若y=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件;(4),判断命题p、命题q的真假即可【解答】解:对于(1),∵cos=,∴原命题为真,故逆否命题为真命题;对于(2),命题p:?x0∈R,使sinx0>1,则¬p:?x∈R,sinx≤1,为真命题;对于(3),“φ=+2kπ(k∈Z)”是“函数若y=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件,故为假命题;对于(4),x∈(0,)时,sinx+cosx=,故命题p为假命题;在△ABC中,若sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B,故命题q为真命题那么命题(?p)∧q为真命题,正确.故答案为:①②④16.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
.参考答案:17.已知圆O的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________.参考答案:5+由题意,知点M在圆O内,MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大,最大距离为.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知二阶矩阵M满足:M=,M=,求M
参考答案:解析:19.某班50名学生在一次数学测试中,成绩全部介于50与100之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),…,第五组[90,100].如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(Ⅰ)若成绩大于或等于60且小于80,认为合格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人数;(Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为m、n,求事件“|m﹣n|>10”概率.参考答案:【考点】频率分布直方图.【专题】计算题.【分析】(1)先算出频率分布直方图成绩大于或等于60且小于80的频率,再利用频数等于频率×样本总数即可解得全班学生中成绩合格的人数.(2)欲求事件“|m﹣n|>10”概率,根据古典概型,算出基本事件的总个数n和算出事件事件“|m﹣n|>10”中包含的基本事件的个数m;最后算出事件A的概率,即P(A)=.【解答】解:(I)由直方图知,成绩在[60,80)内的人数为:50×10×(0.18+0.040)=29.所以该班在这次数学测试中成绩合格的有29人.(II)由直方图知,成绩在[50,60)内的人数为:50×10×0.004=2,设成绩为x、y成绩在[90,100]的人数为50×10×0.006=3,设成绩为a、b、c,若m,n∈[50,60)时,只有xy一种情况,若m,n∈[90,100]时,有ab,bc,ac三种情况,若m,n分别在[50,60)和[90,100]内时,有
abcxxaxbxcyyaybyc共有6种情况,所以基本事件总数为10种,事件“|m﹣n|>10”所包含的基本事件个数有6种∴.【点评】在频率分布直方图中,每一个小矩形都是等宽的,即等于组距,高是,所以有:×组距=频率;即可把所求范围内的频率求出,进而求该范围的人数.20.(本小题满分14分)设数列的前项和为,已知(,、为常数),,,.(1)求、的值;(2)求数列的通项公式;(3)是否存在正整数,,使得成立?若存在,请求出所有符合条件的有序整数对;若不存在,请说明理由.参考答案:(1)解:,
……(1分)解答
.
…………(3分)(2)由(1)知,
①当时,
①-②,得(),又,
…………(4分)所以数列是首项为,公比为的等比数列.…………(5分)所以的通项公式为().
…………(7分)(3)由(2),得,
由,得,即,即.因为,所以,所以且,
(*)因为,所以或或.……(10分)当时,由(*)得,所以;当时,由(*)得,所以或;当时,由(*)得,所以或或.综上可知,存在符合条件的正整数、,所有符合条件的有序整数对为:,,,,,.…………(13分)21.设函数f(x)=ex﹣ax﹣2.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x﹣k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.参考答案:【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)求函数的单调区间,可先求出函数的导数,由于函数中含有字母a,故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性,给出单调区间;(II)由题设条件结合(I),将不等式,(x﹣k)f′(x)+x+1>0在x>0时成立转化为k<(x>0)成立,由此问题转化为求g(x)=在x>0上的最小值问题,求导,确定出函数的最小值,即可得出k的最大值;【解答】解:(I)函数f(x)=ex﹣ax﹣2的定义域是R,f′(x)=ex﹣a,若a≤0,则f′(x)=ex﹣a≥0,所以函数f(x)=ex﹣ax﹣2在(﹣∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)=ex﹣a<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex﹣a>0;所以,f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.(II)由于a=1,所以,(x﹣k)f′(x)+x+1=(x﹣k)(ex﹣1)+x+1故当x>0时,(x﹣k)f′(x)+x+1>0等价于k<(x>0)①令g(x)=,则g′(x)=由(I)知,当a=1时,函数h(x)=ex﹣x﹣2在(0,+∞)上单调递增,而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)=ex﹣x﹣2在(0,+∞)上存在唯一的零点,故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为α,则有α∈(1,2)当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0;所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g′(α)=0,可得eα=α+2所以g(α)=α+1∈(2,3)由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.22.(
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