2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）菱形的性质

菱形的性质35．（2023•湘潭）如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．20° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】根据菱形的性质和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA＝∠1＝20°，∴∠2＝90°－∠DCA＝70°，故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．菱形的性质38．（2023•长春）将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点A、E，B、D依次在同一条直线上，连接AF、CD．（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）已知BC＝6cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为18cm．【答案】（1）见解析；（2）18．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AC＝DF，∠CAB＝∠FDE，根据平行线的判定定理得到AC∥DF，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形AFDC是平行四边形；（2）连接CF交AD于O，根据直角三角形的性质得到AC=3BC＝63（cm），根据菱形的性质得到CF⊥AD，AD＝2AO【解答】（1）证明：∵△ACB≌△DFE，∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE，∴AC∥DF，∴四边形AFDC是平行四边形；（2）解：连接CF交AD于O，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6cm，∴AC=3BC＝63（cm∵四边形AFDC是菱形，∴CF⊥AD，AD＝2AO，∴∠AOC＝90°，∴AO=32AC=3∴AD＝2AO＝18cm，故答案为：18．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．菱形的性质39．（2023•武威）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝23．cm．【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有【分析】连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD根据菱形的性质得到AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，求得BD＝AB＝6cm，根据勾股定理得到AC＝2AO＝2×AB2−BO2=63【解答】解：连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝30°，∴BD＝AB＝6cm，∴AO=AB2−BO∴AC＝2AO＝63（cm），∵BE⊥AB，DF⊥CD，∴∠CDF＝∠ABE＝90°，∴△CDF≌△ABE（ASA），∴AE＝CF，∵AE＝CF=ABcos30°=∴EF＝AE+CF﹣AC＝23（cm），故答案为：23．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．菱形的性质40．（2023•连云港）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2．求OD的长及tan∠EDO的值．【考点】菱形的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【分析】由菱形的性质得到AC⊥BD，OA=12AC＝2，由直角三角形的性质求出AD＝4，由勾股定理求出OD＝23，由锐角的正切求出tan∠EDO【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12∵AC＝4，∴OA＝2，∵E是AD中点，∴OE=12∵OE＝2，∴AD＝4，∴OD=AD2∴tan∠EDO=AO【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，解直角三角形，关键是应用菱形的性质求出OA的长，由直角三角形斜边中线的性质得到AD的长，由勾股定理求出OD长，由正切定义即可求出tan∠EDO．菱形的性质40．（2023•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H．当AB＝BC，∠BOC＝30°，DE＝2时，EH的长为（）A．3 B．32 C．2 D．【答案】C【分析】根据菱形的性质得到CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，CD∥EF，根据直角三角形的性质得到OD＝2DE＝4，OE=3DE＝23，求得CO＝CD+DO【解答】解：∵四边形CDEF是菱形，DE＝2，∴CD＝DE＝CF＝EF＝2，CF∥DE，CD∥EF，∵∠CBO＝90°，∠BOC＝30°，∴OD＝2DE＝4，OE=3DE＝23∴CO＝CD+DO＝6，∴BC＝AB=12CD＝3，OB=3BC∵∠A＝90°，∴AO=OB2∵EF∥CD，∴∠BEF＝∠BOC＝30°，∴BE=3∵EH⊥AB，∴EH∥OA，∴△BHE∽△BAO，∴EHOA∴EH3∴EH=2故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．菱形的性质40．（2023•河北）如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2上，点B，D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（）A．42° B．43° C．44° D．45°【答案】C【分析】由平角的定义求得∠ADB＝180°﹣∠ADE＝34°，由外角定理求得∠AHD＝∠α﹣∠ADB＝16°，根据平行线的性质得∠GIF＝∠AHD＝16°，进而求得∠β＝∠EGF﹣∠GIF＝44°．【解答】解：如图，延长BG，∵∠ADE＝146°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝34°，∵∠α＝∠ADB+∠AHD，∴∠AHD＝∠α﹣∠ADB＝50°﹣34°，＝16°，∵l1∥l2，∴∠GIF＝∠AHD＝16°，∵∠EGF＝∠β+∠GIF，∵△EFG是等边三角形，∴∠EGF＝60°，∴∠β＝∠EGF﹣∠GIF＝60°﹣16°＝44°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角度之间的数量关系是解题关键．菱形的性质40．（2023•乐山）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（）A．2 B．52 C．3 【答案】B【分析】由菱形的性质得到OC=12AC＝3，OB=12BD＝4，AC⊥BD，由勾股定理求出【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC=12AC，OB=12BD，∵AC＝6，BD＝8，∴OC＝3，OB＝4，∴CB=O∵E为边BC的中点，∴OE=12BC故选：B．【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OC，OB的长，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出OE的长．菱形的性质32．（2023•福建）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为10．【答案】10．【分析】由菱形的性质得到AB＝BC，又∠B＝60°，因此△ABC是等边三角形，得到AC＝AB＝10．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝10．故答案为：10．【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出△ABC是等边三角形．菱形的性质34．（2023•绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是10°或80°．【答案】10°或80°．【分析】根据菱形的性质可得∠DAC＝20°，再根据等腰三角形的性质可得∠AEC的度数．【解答】解：以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′，如图所示，在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，∵∠DAB＝40°，∴∠DAC＝20°，∵AC＝AE，∴∠AEC＝（180°﹣20°）÷2＝80°，∵AE′＝AC，∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°，综上所述，∠AEC的度数是10°或80°，故答案为：10°或80°．【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．35．（2023•陕西）点E是菱形ABCD的对称中心，∠B＝56°，连接AE，则∠BAE的度数为62°．【答案】62°．【分析】连接BE，根据中心对称图形的定义得出点E是菱形ABCD的两对角线的交点，根据菱形的性质得出AE⊥BE，∠ABE=12∠ABC＝28°，那么∠BAE＝90°﹣∠【解答】解：如图，连接BE，∵点E是菱形ABCD的对称中心，∠ABC＝56°，∴点E是菱形ABCD的两对角线的交点，∴AE⊥BE，∠ABE=12∠∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝62°．故答案为：62°．【点评】本题考查了菱形的性质，菱形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心，掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．36．（2023•十堰）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH，若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF+GH＝6．【答案】6．【分析】连接AC交BD于点O，先根据菱形的面积公式计算出对角线AC的长，再证△BEF∽△BAC，得出EFAC=BEBA，同理可证△DHG∽△DAC，得出GHAC【解答】解：连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∵菱形的面积等于24，BD＝8，∴AC⋅BD2∴AC＝6，∵BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE＝180°﹣∠EBF，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝180°﹣∠ABC，∴∠BEF＝∠BAC，∴EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EFAC∵BA＝DA，∴EFAC同理可证△DHG∽△DAC，∴GHAC∴EFAC即EF+GHAC∴EF+GH＝AC＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，求出EF+GH＝AC是此题的关键．菱形的性质27．（2023•滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐为（2，23），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．【答案】（1）S=−32x（2）当x＝2时，S有最大值，最大值为23．【分析】（1）过点A作AG⊥OC于点G，连接AC，证明△AOC是等边三角形，可得DE＝x，进而证明△CDF∽△COB，得出DF=3（4﹣x（2）根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）如图，过点A作AG⊥OC于点G，连接AC，∵顶点A的坐标为（2，23），∴OA=22+(23)2=4∴cos∠AOG=OG∴∠AOG＝60°，∵四边形OABC是菱形，∴∠BOC＝∠AOB＝30°，AC⊥BD，AO＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵DE⊥OB，∴DE∥AC，∴∠EDO＝∠ACO＝60°，∴△EOD是等边三角形，∴ED＝OD＝x，∵DF∥OB，∴△CDF∽△COB，∴DFOB∵A（2，23），AO＝4，则B（6，23），∴OB=6∴DF4∴DF=3（4﹣x∴S=1∴S=−32x（2）∵S=−32x∴当x＝2时，S有最大值，最大值为23．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，特殊角的三角函数，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题关键．菱形的性质40．（2023•深圳）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】证得四边形ECDF为平行四边形，当CD＝CD＝4时，▱ECDF为为菱形，此时a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4，∵将线段AB水平向右平得到线段EF，∴AB∥EF∥CD，∴四边形ECDF为平行四边形，当CD＝CD＝4时，▱ECDF为为菱形，此时a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2．故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，证得证得四边形ECDF为平行四边形，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键．菱形的性质31．（2023•大连）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC中点，则EF的长为5．【答案】5．【分析】由四边形ABCD是菱形，可得BC＝DC，AC⊥BD，∠BEC＝90°，又∠DBC＝60°，知△BDC是等边三角形，BC＝BD＝10，而点F为BC中点，故EF=12【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AC⊥BD，∴∠BEC＝90°，∵∠DBC＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴BC＝BD＝10，∵点F为BC中点，∴EF=12故