2-7 刚体的定轴转动大学物理

§2.7刚体的定轴转动刚体，指在任何情况下都没有形变的物体一、刚体定轴转动的描述1.平动和转动刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行如果物体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为转动，这条直线称为转轴。1平动和转动是刚体运动中两种基本形式.AA若转动轴固定不动，这种转动称为定轴转动.这个转轴称为固定轴，2.定轴转动转动平面：垂直于固定轴的平面

3.刚体定轴转动的特点所有质点的线量一般不同，但角量都相同;质点的线量与该质点的距轴矢径大小成正比

2二、质点系的角动量定理1.质点系对固定点的角动量定理0mi对i质点对i求和，得:称为质点系所受合外力矩于是得3或作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角动量对时间的变化率.这就是质点系对固定点的角动量定理.

——质点系角动量守恒定律2.质点系对轴的角动量定理4定轴转动（rotationaboutafixedaxis）转轴固定，。和和退化为代数量

O刚体vP×rr定轴

参考方向θz5第6页4/8/2024My博客/phy1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.定轴转动的特点

刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.6简单地,设质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动，并设固定转动轴为z轴z

imi因有：若质点系内所有质点绕轴转动的角速度

相同，则若令称对z轴的转动惯量7三、转动惯量的计算刚体转动惯量的大小与三个因素有关：①与刚体的总质量有关；②与刚体质量对轴的分布有关；③与轴的位置有关。单个质点质点系

质量连续分布单位为千克·米2（kg·m2）8例:求质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一端并与棒垂解:(1)在棒上任取一质量元

9(2)转轴通过棒一端并与棒垂10例：设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.解:(1)在细圆环上任取一质元dm0dmRdm到轴的距离均为R(2)设体密度为drr11四、刚体的转动定律把刚体可看作质点系z

m

i绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.这就是刚体定轴转动中的转动定律.12例:已知：两物体

m1、m2(m2m1)滑轮m、R,

可看成质量均匀的圆盘,轴上的摩擦力矩为Mf（设绳轻，且不伸长,与滑轮无相对滑动）。求:物体的加速度及绳中张力。m1m2mRMf解:分别对m1,m2,m

分析运动、受力，设各量如图所示m1gT1m2gT2mRMfmgN因绳不伸长,有

a1=a2=a13因绳轻,有以加速度方向为正，可列出对m1有:T1-m1g=m1a(1)对m2有：m2g-T2=m2

a(2)对滑轮m

由转动方程(3)再从运动学关系上有(4)(以“

方向”为正)14联立四式解得：当不计滑轮质量和摩擦力矩时:m=0,Mf=015五、定轴转动的动能定理1.转动动能刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半比较：162.力矩的功zd

i

对i求和，则力矩的元功M为作用于刚体上外力矩之和

(∵内力矩之和为零)力矩的功率为：当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。173.刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量.这就是刚体定轴转动时的动能定理.18例:一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角时中心点C和端点A的速度.解：棒受力如图示，重力G对O轴的力矩大小由转动动能定理，有则中心点C和端点A的速度分别为19六、刚体组对轴的角动量守恒定律1.刚体对定轴的角动量定理

作定轴转动刚体，其质元角速度

相同，因此，

定轴转动刚体的角动量的增量等于合外力矩的冲量矩。

外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒.2.定轴转动的角动量守恒若则L=Iw

=恒量20刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒总角动量L=I1w1+I2w2+…=常量角动量守恒定律的两种情况：(1)

转动惯量保持不变的刚体例：回转仪(2)转动惯量可变的物体当I增大时，就减小当I减小时，就增大而保持不变例：旋转的舞蹈演员21装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消22例:一根质量为m长为2l的均匀细棒，可在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置，一质量为m/的小球，以速度u垂直落到棒r端点。设小球与棒作完全弹性碰撞，求碰撞后，小球的回弹速度u/及棒的角速度

？（忽略轴处摩擦）om/u解：杆的角速度

如图示,假设小球碰后瞬时的速度u/

向上u/

系统：小球+杆条件：M外=0角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）(1)23(1)因为弹性碰撞,

动能(机械能)守恒(2)联立(1)(2)解得讨论:1.

>02.当m>3m/时,u/

>0（向上）当m=3m/时,u/=0（瞬时静止）当m<3m/时,u/<0（向下）24第25页4/8/2024My博客/phy四

平行轴定理P转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO注意圆盘对P轴的转动惯量O25第26页4/8/2024My博客/phy

例3

质量为mA

的物体A

静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB的物体B

上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B

从静止落下距离y时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为Mf再求线加速度及绳的张力。ABC26第27页4/8/2024My博客/phyABCOO解（1）隔离物体分别对物体A、B

及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.27第28页4/8/2024My博客/phy如令，可得（2）

B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC28第29页4/8/2024My博客/phy（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律结合（1）中其它方程29第30页4/8/2024My博客/phyABC30第31页4/8/2024My博客/phy例5

质量很小长度为l

的均匀细杆,可绕过其中心O

并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率

垂直落在距点O为

l/4

处,并背离点O

向细杆的端点A

爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?解小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒31第32页4/8/2024My博客/phy由角动量定理即考虑到32第33页4/8/2024My博客/phym(黏土块)

yxhPθOM光滑轴均质圆盘(水平)R例6如图示，求：碰撞后的瞬刻盘

P转到x轴时盘解：m下落：(1)mP