高中数学 指数 专项训练（解析版）

4.1指数

基础巩固

1.（2023春•河北石家庄•高一校考阶段练习）式子J（兀-4『+"（3-兀丫的值为（

A.7—2兀B.27r—7C.—1D.1

【答案】A

【分析】利用指数幕的运算性质即可得出.

【详解】4y+，（3-无［=|兀-4|+3—兀=4-兀+3-兀=7-2兀.

故选：A.

2.（2022秋,江苏连云港•高一统考期中）下列运算结果中正确的是（）

C.=aD.'（―兀,=_兀

【答案】D

【分析】根据有理数指数幕、根式的运算法则计算可得答案.

【详解】对于A选项，a3-a4=a3+4=a7,故A错误；

对于B选项，（-a2）3=-a6,故B错误；

对于C选项，当时，裕=a，当。＜0时，聒=-a，故C错误；

对于D选项，n（-兀）5=-n,故D正确.

故选：D.

3.（2022秋•广东佛山,高一统考期中）*-2）5+J（TI-4）2的值为（）

A.2~7iB.71-6C.6—71D.71—2

【答案】A

【分析】由根式的性质求解即可.

【详解】因为,（-2）5+J（兀-4）2=—2+］兀-4］=—2+4—兀=2—兀.

故选：A.

4.（2022秋•高一校考单元测试）已知。>0,则等于（）

13

A.a2B.小

1

C.a2D.a

【答案】A

【分析】根据指数幕运算求解.

【详解】由题意可得：J,-L

故选：A.

5.（2022・全国•高一专题练习）下列根式、分数指数累的互化中，正确的是（）

A.—y[x=（—x）2（XWO）B.3_3/^

中#0）D.犷=3（y<0）

【答案】C

【分析】利用分数指数幕与根式的互化公式逐个判断即可.

【详解】A中，_&=_£（XWO）,故A错误；

-11

B中，尤3=k，故B错误；

中/0）,故C正确；

D中，犷=（_y/（y<0）,故D错误.

故选：C.

6.（2023秋•高一课时练习）已知正数。、b满足祈石x版^=5,贝1]。+36的最小值为（）

A.25B.24C.27D.5

【答案】C

【分析】利用指数运算可得出巳3+94=1,将代数式。+36与3一+4：相乘，展开后利用基本不等式可求得a+3b

abab

的最小值.

3434

v5=Vi25xV625所以，丁厂匕

因为0、b均为正数，所以，a+3Z)=(a+3Mf-+-L15+—+—>15+2.p^=27,

yabJba\ba

[a=9

当且仅当L4时，等号成立，

\b=6

因此，a+3b的最小值为27.

故选：C.

7.（2022秋•浙江宁波•高一校联考期中）（IV化简后的结果为（）

23

\7

A.2万B.C.D.2%

【答案】C

【分析】根据根式、指数基运算求得正确答案.

5

2%--2

—=263=2^

【详解】22

VV

故选：C

8.（2023•江苏•高一假期作业）若中。0,则使府7=-2"成立的条件可能是（）

A.x>0,j?>0B.x>0,j/<0

C.x>0,j；>0D.x<0/<0

【答案】B

【分析】由根式的性质求解即可.

【详解】因为而于=|2xy|=-29,所以xyWO,

又因为中工0,所以孙<0.

贝I]x>0,”0或x<0,y>0

故选：B.

9.（2023秋•高一课时练习）下列等式一定成立的是（）

1311o?Q

AB2CD.

-a^.a^=a-a^a=0-）=«a2=Q6

【答案】D

【分析】根据分数指数幕的运算法则计算可得；

【详解】对于A：携一/,故A错误;

+

对于B：-5.2-a~22_,故B错误;

对于C：（a3）2=a6,故C错误;

对rt于TD：.〜1三1产11"1，故,.D正确;

故选：D

【答案】D

【分析】利用指数幕的运算性质求解.

【详解】解：原式=1一（1一4）+1|）=l+3x1=1.

故选：D.

11.（2023•全国•高一假期作业）化简《a.犷忑=（）

【答案】C

【分析】由根式与有理数指数幕的关系及指数幕运算，化简为指数累形式即可.

【详解】由，夕#].&=[".（/.&）邛=a2，a3，a\i=aTi.

故选:c

12.（2021秋•高一课时练习）化简。-。）加■—市的结果是（）

A.sia-1B.—yja—1C.A-aD.-ijl-a

【答案】B

【分析】先分析。的取值范围，再进行根式化简.

【详解】由题意得，a-l>0,即"1,

所以（〜）后F=一F55=一G.

故选：B

fl-

13.（2023•全国•高一假期作业）设a>0,将/3七表示成分数指数塞的形式，其结果是（）

【答案】C

【分析】根据指数幕的运算性质计算即可得答案

7

6-

-Q

【详解】解：7^

故选：C

14.（2022秋•江苏南京•高一校考阶段练习）若。<2,则底了=.

【答案】2-a

【分析】根据根式的运算求得正确答案.

【详解】由题意可知，a<2,所以。一2<0,则加_2）6=|"2|=2e

故答案为：2-。

21

15.（2023春・河南洛阳•高一统考期末）83_（-2023）°+［（-2）〔5=.

【答案】5

【分析】利用分数指哥的运算性质求解即可

21

【详解】83-（-2023）°+［（-2）15

2

=（23）?-1+2

=4-1+2=5,

故答案为：5

16.（2023•山西•高二统考学业考试）（0.064户--［+］（-2丫「一16«75=

【答案】了23

【分析】根据指数基的性质进行计算.

［详解］原式=（0.43）4_］+（—zr4—2"）—。下=0.4T_］+,_'=*_U'空

'）v716821616

故答案为：?23

16

17.（2022秋•江苏盐城・高一江苏省射阳中学校考期中）已知五+吃==4,则/+丁=

【答案】194

【分析】将夜+；=4平方可得。+工=14,再将该式平方可得答案.

7aa

【详角军】由&+-^==4得（夜+-^=）2=16,gp6Z+—=14,

7a7aa

2

故（ad—）=196,所以/+2H--=196,贝!JQ2_|--=194,

aaa

即a2+a-2=194，

故答案为：194.

]]+X2—2

18.（2022・高一课时练习）已知丫54「5_4，则二---3—=____________.

AIA—J-......

X2+X2-3

【答案】3

【解析】由£+YT_3可得，x+/=7，X2+X-2=47,代入数据计算即可得出.

人I人一J

【详解】解：因为昼+3一3,

/2」Y

所以始+-=x+%-1+2=9,

I)

即%+工一1=7,

所以(x+x-)2=x2+婷+2=49,

即4+/=47,

X2+X-2-2尤2+无-2-247-2_45

所以xH

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了指数与指数幕的运算，属于中档题.

19.（2022•高一课时练习）（；尸+（；）。一4?+（0.064）-3=.

【答案】q3

【分析】利用分数指数塞运算求解即可

【详解】（1）-1+（1）0-42+（0.064）-3=3+1-23+（0.4）-'=-4+|=-|

故答案为一3:

【点睛】本题考查分数指数塞的运算，准确计算是关键，是基础题

20.（2022秋•广西河池•高一校联考阶段练习）设awR,且//求.

【答案】4亚

【分析】可对/一“4_2左右同时平方，结合平方关系即可求解

、ii（---Y

22l-1

【详解】对ci-Cl5一_?乙左右同时平方得a—a=a+a~-2=4=>6z+6z=6

\7

同时由a；=2可判断0>1，则。-/>0，（〃-/了=（a+0—]-4=32na-aT=4也

故答案为4夜

【点睛】本题考查利用整体法求解表达式数值，和的平方与差的平方的关系，可简单记为：

(a_J=(a+b)2-4ab

21.（2。22•高一课时练习）计算：黑厂5掂=—•

【答案】1

【分析】由题意结合指数幕的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】因为必有意义，所以。>。，所以原式"+必=”.=「

故答案为1.

【点睛】本题主要考查分数指数幕及其运算法则，属于基础题.

22.（2019•浙江,高一专题练习）化简直正。>0）的结果是______.

X脚X

【答案】1

【分析】将分式化为分式指数累，然后利用指数暴的运算律即可得出结果.

【详解】由题意得正答=耳=马=1.

X'yJXXX76XT6

【点睛】本题考查指数事的计算，同时也考查了根式与分数指数幕的互化，考查计算能力，属于基础题.

1

r1丁

23.（2021秋•高一课时练习）化简：（2-a）伍-20（_吟=_.

【答案】（一4尸

【分析】利用分数指数幕的运算法则计算出答案.

11

-1-15「111

［详解］（2—Q）（。一2）2（-〃）5=（2-Q）（2-4）2（_〃）5=（2_Q）（2_Q）1（_Q/

故答案为：（一〃户

24.（2023•江苏•高一假期作业）计算：后1+4.而球==.

【答案】29

【分析】根据根式的概念和性质求解.

【详解】原式=3+4X］（-2）［=-3+32=29.

故答案为：29

J.2

25.（2023•高一课时练习）求值：^J+（_5.6）°_^|iJ+0,125^=.

172

【答案】W

【分析】根据分数指数嘉的运算性质即可求解.

£2

【详解】+(-5.6)°+0.125-i

17

故答案为：y.

能力提升B组

26.(2021秋•高一校考课时练习)(多选题)下列运算正确的是()

A.鼻(3-江=兀_3B.e2x=(ex)2

C.—=a-bD.4ab=J'a-s/b

【答案】ABC

【分析】根据指数幕的运算法则及运算性质，分选项排除即可.

【详解】对于A,^/(3-K)4=|3-K|=K-3,故A正确；

对于B,e2%=(ex)2,成立，故B正确；

对于C,W(a-b)3=a-b,成立，故C正确；

对于D,由可取。=-1且6=-1，但此时G和6无意义，故D错误，

故选：ABC.

27.(2022秋•河南濮阳•高一濮阳一高校考期中)侈选题)已知。+小=4(〃〉0),则下列选项中正确的有

()

2233x

A.a+a~=14B.a+a~=56C.a2+a~2_D.a—a~=2^3

【答案】AC

【分析】根据各选项式子的结构变形求解即可.

【详解】解：•.F+QT=4,

a?+〃?=(Q+Q1)—2=14；

cP+Cl3=(Q+Q)(浸-1+a2)，

/+q-3=4x13=52;

故A正确，B错误；

,「(Q+Qi)-(Q-Qi)=4,

:.a-a—±2A/^,

故C正确，D错误.

故选：AC.

28.（2022秋•高一单元测试）（多选题）已知实数。满足Q+=4,下列选项中正确的是（）

A.a1+a2=14B.a—ax=2^/3

3_3

11"2+Q2

C./+”_、&D.、—二4

uCl—、/O1

Q]+Q5

【答案】AC

【分析】根据指数幕的运算依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：•・•〃+〃-1=/+。-2+2=16,/./+。-2=]4,故选项A正确；

{

,/(Q-QTJ=(Q+QT1一4=42一4=12,:.a-a~=±2百,故选项B错误;

=Q+2+=4+2=6,/.Q，+Q，=V6,故选项C正确；

3_3/口3/_J_y(J_2In~2

+Q2=q2+Q2=a2+a2(Q+〃-1―J_=Q+QT一1=3,故选项Q错误.

‘''J'

故选：AC.

29.（2022秋•云南曲靖•高一校考阶段练习）（多选题）若〃GNM^R,则下列四个式子中有意义的是（）

A.玳-7）4"B.玳_7产C.标D.疗

【答案】AC

【分析】根据根式的意义逐一判断可得.

【详解】因为〃eN,所以4〃为偶数，（-7）4->0,所以而铲有意义，A正确；

取〃=1,则（-7）3<0,所以,（_7产无意义,B错误；

因为行的根指数为奇数，所以行有意义，C正确;

若。<0,则/<0,所以3/无意义，D错误.

故选：AC

30.（2022秋•福建福州•高一校考期中）（多选题）下列根式与分数指数募的互化中正确的有（）

-_______1

B,鼻(-X)-4=炉(x>0)

【答案】BCD

【分析】根据分数指数幕与根式的互化逐项判断.

1

【详解】对于A,_近=_尤3@30），故A不正确;

故选：BCD.

31.（2022秋•广东湛江•高一湛江二十一中校考期中）（多选题）以下化简结果正确的是（字母均为正数）

（）

1_i

A--Vx=（-x）2B.盼=y3

【答案】BC

【分析】根据分数指数幕和根式化简，再结合根号下大于等于零，逐一判断即可得出结论.

【详解】对于A,=_%（x>0），故A错误;

_21

对于B,y]y2=（歹2）6=.3（.>0）,故B正确;

对于c,=>0,y>0)，故c正确;

yjx

x52

-111

对于D,X3=F=菽(X>。)，故D错误.

X3

故选：BC

32.（2022秋•广东惠州•高一统考期末）（多选题）下列各式中成立的是（）

A.1后展一%B.廊=冷

C.[2）=bT（其中a>0,b>0）D.04+2e=1+6

【答案】BD

【分析】根据指数塞的运算法则逐一判断即可.

【详解】解：对于A,4_3）2='5=3五=3%=5,故错误;

I22、21

对于B,33==33=%，故正确;

对于C,=吗=/齐,故错误;

\a）a

对于D,"+2G=｛（1+厨=1+C，故正确.

故选：BD.

33.（2022秋・青海海东•高一校考阶段练习）（多选题）下列判断正确的有（）

B-fa.Ja.元=滔（其中。＞0）

_3

j_3

C.f!6Y4_27

D.m4n8=m2n~3（其中加〉0,H>0）

181J87

【答案】BCD

【分析】根据根式的性质判断A,根据分数指数塞的运算性质判断B,C,D.

【详解】对于选项A《（3-兀『=|3-兀|=兀-3,A错误;

对于选项B,因为。〉0,B正确;

对于选项C,C正确；

（1__3\8

对于选项D,因为加〉0,几〉0,所以加§=m2n~3，D正确;

7

故选：BCD.

34.（2022秋•陕西西安•高一校考期中）计算:

1

86VI

(1)a5-b^海+防(a>0,b>0)；

7

o3

74

⑵0.064《(-2p+16-0-75+|-0.0Ip.

【答案】（1）1

,、143

(2)---

80

【分析】运用指数幕的运算法则对（1）（2）进行求解即可.

_434

(86\2Q、.庐•茄

【详解】（1）心-b5----§­=1;

7b5

1

133

+16"5+卜0.0中=27+(一2尸+(2,广+0,1

21681080

（1I1222、

35.（2023・全国•高一假期作业）（1）化简：-2/歹不-4/必

-2