2022-2023学年重庆市高一年级下册册期中数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年重庆市高一下册期中数学模拟试题

(含解析)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.己知复数z=3+i,则复数z＜l+i)4在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.Z8C中，。，8c是角/，民。的对边，b=21J,c=2,0=30°,则此三角形有()

A.一个解B.2个解C.无解D.解的个

数不确定

3.下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是()

A.3=(1,0,0),6=(0,l,0),c=(0,0,1)

B.)=(1,1,0),5=(1,0,1)?=(0,1,1)

C.1=(1,1,2),5=(1,1,0),3=(1,0,1)

D.2=(1,1,1),5=(1,0,1)?=(1,2,1)

4.已知向量万，B满足=2,且忖=1,则向量方在向量B上的投影向量为()

A.1B.-1C.bD.-b

5.设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为匕、匕和匕，则()

A.匕＜匕＜匕B.匕＜匕＜匕C.匕＜匕＜匕D.

匕〈匕〈匕

6.如图，直角梯形Z8CZ)中，AB=3CD,乙48c=30'，BC=4,梯形Z8CD绕NO

所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为()

112无

B.48兀C.128兀D.208兀

7.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点

的曲率等于2兀与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度

用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率

之和.则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（）

A.2兀B.4兀C.6兀D,8兀

8/8C中，a,b，，是角A,B，C的对边，5小4。（。-6），其外接圆半径R=2,

且4（si/Z-sin'B）=（百々-6卜in5,则（l+siiL4）（l-siiiB）=（）

532

A.1B.-C.-D.一

643

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.设/为直线，a,£为两个不同平面，则下列命题中正确的是（）

A.若///a,〃/夕，则a%

B,若a%,〃/a,则〃//

C.若则a//£

D若La,贝i",夕

10.已知函数/（x）=sin（tyx+:'）（0〉。）在一兀,1'上单调，且函数y=/（x）图像关于

点（一对称，则（）

A.2兀是/（力的一个周期

B./（x）的图像关于x=等对称

C.将/（x）的图像向右平移三个单位后对应函数为偶函数

D.函数丁=/（，一卷在[0,可上有2个零点

11.Z8C中，a,b,c是角4,8,。的对边，b2=a2+ac>则（）

A.若B=上,则Z=：

24

B,若/=',a=2,贝I]N8C的面积为

6

C.若/=乌,。=2,则角B的角平分线80=6

6

D.若力8C为锐角三角形，。=2,则边长be（2五,20）

12.已知正方体力BCD-44GA的棱长为2,点E，E分别为面BB℃,CCA。的

中心，点G是44的中点，则（）

A.DEVBG

B.4F〃面BC|G

C.直线48与平面BGG所成角的余弦值为走

3

D.过点E且与直线OE垂直的平面截该正方体所得截面周长为JI+3店

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知正HB'C'为水平放置的Z8C的直观图，若08'=2,贝IN8C的面积为

14.已知复数z满足|z|+z=2+4i,则彳=.

7T

15.Z8C中4=5，D为边BC上一点、,若2CD=AD=BD,则sinC=.

16.已知平面向量比B,3满足同=归一同=2,区—研=1,则Be的最大值为.

四、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.已知向量a=（2,2）石=（-1,1）.

（1）若£,（£+2在），求实数人的值；

(2)若万与B的夹角是钝角，求实数左的取值范围.

18.如图所示，在四棱锥尸一Z8CD中，四边形力88为等腰梯形,

AB〃CD,AD=CD=2,AB=4,AC工PC.

(1)证明：平面P8C：

⑵若PBLBC,PB=4百,求点。到平面P8C的距离.

271

19.在Z8C中，N4N8,NC对应的边分别为a,4c,Z=—,b=5,c=3,N8C的外接

3

圆。面积为S.

(1)求S的值；

(2)若点。在ZC上，且直线8。平分角/力8C,求线段8。的长度.

20.如图所示，已知四边形力BCD和四边形都是矩形.平面Z8CQ工平面

ADEF,AD=3AF=3AB=3,M,N分别是对角线BD,AE上异于端点的动点，且

BM=AN.

(1)求证：直线MN平面CDE；

(2)当时，用向量法求平面/"N与平面夹角的余弦值.

2

21.如图，在三棱台Z8C-44G中侧面8CC筋为等腰梯形，8c=8,5£=。。=4,〃

为AG中点.底面Z8C为等腰三角形，N8=ZC=5,。为8c的中点.

(1)证明：平面Z8C人平面ZOM；

(2)记二面角N—8C—4的大小为夕

TT

①当6=一时，求直线BB与平面AA.C.C所成角的正弦值.

6｝

TT7T

②当时，求直线与平面44CC所成角的正弦的最大值.

22.在Z8C中，N4N8,NC对应的边分别为出仇c,

2sirt4sinfisinC=V3(sin2S+sin2C-sin?N)

(1)求A:

(2)奥古斯丁.路易斯.柯西(Augusti"LouisCauchy,1789年-1857年),法国著名数学家.

柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等

式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在

(1)的条件下，若a=2,P是内一点，过P作垂线，垂足分别为

瓦尸，借助于三维分式型柯西不等式：必,%,％e&+,江+且+&(1+.+>)当

必为外乂+'2+%

且仅当王=三=1时等号成立求T=博+噌1+ld£l的最小值.

yy2乃|PQ||「可\PF\

答案解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z=3+i,则复数z<l+i)4在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【正确答案】C

【分析】由复数代数形式的四则运算化简，再由复数的几何意义得结果.

【详解】由z=3+i,则有

z-(l+i)4=(3+i)[(l+i)2]2=(3+i)(2i)2=(3+i)x(-4)=-12-4i,

所以复数z-(l+i)4在复平面内对应的点的坐标为(-12,-4),在第三象限.

故选：C.

2.Z8C中，。，仇c是角4民。的对边，b=2jJ,c=2,C=30",则此三角形有()

A.一个解B.2个解C.无解D.解的个

数不确定

【正确答案】B

【分析】利用正弦定理得sin8==——，进而利用三角形内角和进行判断即可.

C

【详解】•••Z8C中，b=2y/3,c=2,C=30\

二根据正弦定理一^=」一，得.n_bsinC_28x，_6,

sinBsinCsin“==-=—

c22

•.•B为三角形的内角,b>c,则有6=60°或8=120"，

二三角形的解有两个.

故选:B.

3.下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是()

A.3=(1,0,0),3=(0,1,0),3=(0,0,1)

B.a=(l,l,O),d=(l,O,l),c=(O,l,l)

C.石=(1,1,2)3=(1,1,0)1=。,0,1)

D.)=(1,1,1)3=(1,0,1)?=。,2,1)

【正确答案】D

【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.

【详解】对于A,设(i,o,o)=4(o,i,o)+〃(o,o,i),无解，即万,不共面，故可以作为

空间向量一个基底，故A错误；

对于B,设(1,1,0)=4。,0,1)+〃(0,1,1),无解，即河瓦云不共面，故可以作为空间向量

一个基底，故B错误；

对于C,设(1,1,2)=/1(1,1,0)+〃(1,0,1),无解，即口5忑不共面，故可以作为空间向量

一个基底，故C错误；

对于D,设(1,1,1)=2(1,0,1)+〃(1,2,1),解得％=〃=；,所以zB忑共面，故不可以作

为空间向量一个基底，故D正确.

故选：D

4.已知向量石，B满足R+B)4=2,且W=1,则向量2在向量B上的投影向量为()

A.1B.—1C.bD.-b

【正确答案】C

【分析】由已知可求得展5=1，然后根据投影向量的公式，即可得出答案.

【详解】因为忖=1,(a+b\b=a-b+b2=l,

所以展B=1，

a-bb1b-r

所以，向量2在向量B上的投影向量为百.耐二丁丁二。.

故选：C.

5.设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为匕、匕和匕，则（）

A.匕＜匕＜匕B.匕＜匕＜匕C.匕＜匕＜匕D.

匕＜3

【正确答案】B

【分析】设正方体棱长为。，正四面体棱长为6,球的半径为R,面积为S.表示出3个几何

体的表面积，得出a,b,衣,进而求出体积的平方，比较体积的平方大小，然后得出答案.

【详解】设正方体棱长为明正四面体棱长为b，球的半径为A,面积为S.

,S

正方体表面积为S=6/,所以/=

6

所以，匕2=（叫2=（%3=短；

如图，正四面体尸一/BC,。为ZC的中点，。为Z8C的中心，则尸。是尸-Z8C底

面/8C上的高.

则8Z）_LRC,AD=\b,所以BD=JAB2—AD?，

22

所以S“r=Lx4CxBD=Lxbx@b=®b?.

由2224

所以，正四面体P—/8C的表面积为S=4S，BC=®2,所以62=4$.

7.T.

又。为/8C的中心，所以80=±80=1b.

33

又根据正四面体的性质，可知尸80,

所以PO7PB2-BO2=逅6，

3

所以，%=（；xS

球的表面积为5=4兀7?2,所以斤=老，

4兀

所以,

因为「一S3＞-Ls3＞」一$31$3_

>墨3

367114421621673_648

所以，y；＞W＞吟,

所以，匕〈匕〈匕.

故选：B.

6.如图，直角梯形中，AB=3CD,NABC=30°，BC=4,梯形ABCD绕AD

所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（）

B.48兀C.128兀D.208兀

【正确答案】D

【分析】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台，可知外接球的球心一定在线段4。或

N0的延长线上.取圆台的轴截面，分情况讨论，作图，分别根据几何关系求出球的半径，

即可得出答案.

【详解】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台.

取圆台的轴截面

由题意知，球心。一定在线段或力。的延长线上

图1

如图1,当球心。在线段上时.

过点C作CE工Z8于E点，则CE=BCsin30°=2，BE=BCcos3U=2密，

所以CD=退，AB=3y/3.

设球的半径为R,OA^x(0<x<2),OD=2-x,

R2=OD2+CD2卜=1

则由勾股定理可得,

R2=OA2+AB2[R2^x2

整理可得x+5=0,解得x=-5（舍去）;

O

图2

如图2,当球心。在。Z的延长线上时.

过点C作于E点，则CE=BCsin30°=2，5E=5Ccos30°=2A/3.

所以CZ>=Ji，AB=3也.

设球的半径为H,O/=x（x〉0）,则0D=x+2,

R2=OD2+CD2即ME+3

则由勾股定理可得,

R^O^+AB2

整理可得x-5=0,解得x=5.

所以,所=7?+3=52,

所以，圆台外接球的表面积为4兀火2=208兀.

故选：D.

7.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点

的曲率等于2兀与多面体在该点的面角和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度

用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率

之和.则正八面体(八个面均为正三角形)的总曲率为()

B.4兀C.6兀D.871

【正确答案】B

【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.

【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为兀，该正面体共6个顶点，

因此，该正八面体的总曲率为6x2兀-8兀=4兀.

故选：B.

8.Z8C中，a,b,c是角A,B,C的对边，SABC=^c(a-b),其外接圆半径H=2,

且4(sin?4一sin*)=(VJa-"sin5,则(l+sin/i)(l-sin5)=()

532

A.1B.—C.-D.一

643

【正确答案】A

【分析】由己知可得a=J的，ab=4(a—b),进而可得a,b,可求(l+sin/)(l—sin6).

【详解】由正弦定理得‘^=—2—=—^=2火=4,即a=4sinZ,b=4sin8,

sinAsinBsinC

c-4sinC,

又4(siM4-sin?B)=(VJa-b)sinB，则16sin?J-16sin2B=(6a-6)4sin8，

则a?—〃=(百Q—,即得a二百b①,

因为SABC,贝U；QbsinC=^c(a-b),

则1abc=c(a-b),即=4(。-b)②,

4

结合①②解得6=如更D,a=4(V3-l).

则l+sin/=l+q=l+VJ—1=6,1-sin5=1--=1-1+昱=2,

4433

所以(1+sin4)(1—sin8)=1.

故选：A.

本题考查了正弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设/为直线，a,£为两个不同平面，则下列命题中正确的是()

A.若〃/a,////?,则a〃尸

B.all(3,IHa,贝(]〃/

C.若/则。〃夕

D.若all(3,11a,贝!)/_L4

【正确答案】CD

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案.

【详解】若〃/氏〃/£,则a与夕可能平行，可能相交，A选项错误；

若a//£,〃/a,则///夕或/up,B选项错误；

若根据垂直于同一直线的两个平面平行，则a〃尸，C选项正确；

若all/3,1La,一条直线垂直与两个平行平面中的一个，则一定垂直与另一个，贝

D选项正确.

故选：CD.

10.己知函数/(x)=sinj6yx+3(0>0)在一无,弓上单调，且函数y=/(x)图像关于

对称，则(

A.2兀是/(x)的一个周期

/(x)的图像关于X=个对称

C.将/(x)的图像向右平移。个单位后对应函数为偶函数

Q

D.函数y=/(x)-伍在[0,可上有2个零点

【正确答案】BD

【分析】由题意，利用正弦函数的图像和性质，先求出函数的解析式为/(x)=sin

从而可判断其周期、轴对称、变换后的解析式，即可判断A,B,C；依题意求得函数y=/(x)

在[0,可上与y=K有两个交点，进而即可判断D.

【详解】由函数/(x)=sin(8+二](0>0)在—兀,三上单调，则型2工+兀，得

7I6)12」202

0<a)<-.

3

又函数y=/(x)图像关于点(-=,()]对称，则一丝+三=E,keZ,得。=-3人+L.

<3J362

所以&=g,即/(x)=sin[1+£).

271.

­二4兀

故有/(X)的最小正周期为1,故A错误；

2

又/[4]=sin[V+2]=sin==l为最大值，可得/*)的图像关于x==对称，故B正

7TY

将"X)的图像向右平移§个单位后对应函数为y=sin],是一个奇函数，故C错误;

，则/(x)=sin

2663

又sin」,sin型="，且且＜2

<1，

6232210

99

所以函数y=/（x）在［0,可上与歹=历有两个交点，即函数y=/（x）-正在［0,可上有2

个零点，故D正确.

故选：BD.

11.48C中，a,b,c是角4民。的对边，b2=a2+ac，则（）

A.若B=上,则Z=：

24

B.若工=',。=2,贝ij48c的面积为26

6

C.若4=囚,。=2,则角8的角平分线80=

6

D.若N3C为锐角三角形，”2,则边长be（2"2ji）

【正确答案】ABD

【分析】根据题意并结合余弦定理〃=/+c2_2accos8可得a=c—2acos8,由正弦

定理以及三角恒等变换可得8=2N,即可判断AB正确：由等面积SASCMSIO+S&CO

可知80=半，即C错误；根据三角形形状可得即可确定〃e（8,12）,

可解得be（2后,2JJ）,所以D正确.

【详解】根据题意由〃=/+四，结合余弦定理/=/+/—2改cos8可得，

ac=c2-2accosB，又因为cw0,所以。二c—2acosB；

利用正弦定理可得sinA=sinC-2sin^cos5,

再由sinC=sin（4+8）可得,sinZ=sin（/+B）-2sin4cosB,

即sin/=sinAcosB+cosAsinB-2sinAcosB,所以sin4=sin（5-J）；

又因为48£（0,兀），所以/=B—Z，即8=2Z；

对于A,若B=三,则Z=0='，故A正确；

224

兀兀

对于B,若/=—,〃=2,则8=24=一,由a=c—2acos6可得c=4,

63

所以N8C的面积为SaBcugacsinBuZjJ,即B正确；

对于C,如下图所示：

由等面积可知S2ABC=S£\ABD+SWCD,

jr7T

由选项B可得c=4,8=—,所以Z.ABD=/CBD=—,

36

即S"C=Lc.8D-sin工+!4-8。7出巴=2百，解得8。=士叵，所以C错误;

26263

对于D,若力BC为锐角三角形,a=2,则可得c=a+2acosB=2+4cos5，

0<3

22

n

即《0<B<-,解得Be,所以cosBe

2

.cBn

0<n-B----<—

22

XZ>2=a2+ac=8+8cos5,所以从w（8,12）,因此6G（2也2道卜即D正确.

故选：ABD

12,已知正方体力BCD-44GA的棱长为2,点E,尸分别为面CGA。的

中心，点G是44的中点，则（）

A.DE1BG

B.//〃面8C。

C.直线48与平面8gG所成角的余弦值为且

3

D.过点E且与直线。E垂直的平面0,截该正方体所得截面周长为贬+36

【正确答案】ACD

【分析】以。为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的性质，利用DE.3G是否等于

零，即可判断A；求出平面3C；G的法向量，与您是否垂直，即可判断B：根据直线N5

与平面BGG所成的角的余弦值可先求出而与平面8GG的法向量的余弦值，再根据角的

关系求出所要求的结果，即可判断C；做出过点尸且与直线垂直的平面1的截面图，

根据几何关系即可求出其周长，即可计算出D.

【详解】以。为坐标原点，以。DC,所在直线分别为x,y，z轴，建立坐标系,

如图所示，

则。(0,0,0),£(1,2,1),5(2,2,0),G(2,l,2),Z(2,0,0),尸(0,1,1),C,(0,2,2),

G(2,l,2),

___uuia_____

对于A,由OE=(1,2,1),8G=(0,-1,2)，则。E-8G=lx0+2x(-l)+lx2=0,所以

历，豆4，故A正确；

对于B,设平面8GG的法向量为7=(项,M，zJ,

UUU.UULUUUUl

由8G=(一2,0,2),BG=(0T2)，//二(—2,1,1)，

[BC[•元=0f—2x.+2z]—0_

则〈___即〈cc,令Z]=1,则玉=1,y=2,则万=(1,2,1),

[BG-n^O[一乂+2马=0

又N尸•万=(-2)xl+lx2+lxl=1w0,所以4F与平面SC。不平行，故B错误；

对于C,设直线与平面BGG所成的角为a,

又方=(0,2,0)，结合选项B得sina=cos(]—a)ABn4

所以

珂同2x迎

cosa=Vl-sin2a=—>故C正确;

3

对于D,结合C选项得元=瓦，则。平面8GG,

取4〃，的中点为X,T,叫=CP=4U=g,

由几何关系可知，WX〃NU,WV//TU,则股组成一个平面,

由BG〃TU、BC.//TX,TU,7X均在平面股内,

则。平面即过点尸且与直线OE垂直的平面a,截该正方体所得截面如图

所示平面WXTUV,

则截面映7UP的周长为

WX+XT+TU+UV+VW1+V22+1+V22+1=375+72

故D正确.

故选：ACD.

本题考查了立体几何的综合应用，属于难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知正为水平放置的18c的直观图，若H8'=2,贝I48c的面积为

【正确答案】2瓜

【分析】求出正H6'C'的面积，再利用直观图与原图形面积间的关系计算作答.

【详解】依题意，正/'"C’的面积S,”,=L/'8'2sin^="x22=G，

ABC234

因为直观图与原图形的面积比为也，

4

所以ABC的面积SABC=2-725j.sr.=2瓜.

故

14.已知复数z满足目+z=2+4i,则彳=.

【正确答案】一3—4i

【分析】根据已知条件，结合复数模公式，复数的四则运算，共粗复数的定义，即可求解

【详解】设2=。+加（。力wR）,

V|z|+z=2+4i,

...777^+a+bi=2+4i，即於丁+”2,解得｛tJ

则有z=-3+4i,z=-3-4i.

故答案为.-3-47

15.力8c中/=:，。为边上一点，若2CD=AD=BD,则sinC=.

【正确答案】1

【分析】设=0,四，有6,//8=」一。，在中,

I3）33

由正弦定理求出6,得到/C,可求sinC.

【详解】如图所示,

设=由4。=80,则乙4BD=6,

jr27r

所以N/DC=26,ZDAC=--0,ZACD=--0,

33

4DDC

在ZCZ）中，由正弦定理可得.（2兀.（兀小,

I3）U）

因为4。=2cZ),所以sin[q—6)=2sin1-6)

即GcosB-sin。=—^cose+'sine，整理得tan6=—即。=工，

2236

/r2兀2兀兀兀.

ZC=----6=------=—,sinC=1.

3362

故1

16.已知平面向量痴忑满足同=归一4=2,则讥己的最大值为.

【正确答案】12

【分析】根据向量加减法的几何意义作出图形，观察|可和同以及两个向量夹角的变化，判

断Be取最大值的位置.

【详解】设方=无砺=很，玩=5,则瓦^=万一瓦第=万一了

由同=归一.=2,|方—司=1,则网=2,8点在以/为圆心2为半径的圆周上，C点在以

A为圆心1为半径的圆周上，如图所示，

b-c^\dB\^OC\cos(OB,OC),由图可知，当46,C三点共线，在如图所示的位置,

|而|有最大值4,|瓦|有最大值3,此时cos(方，反)取最大值1,

所以B々的最大值为12.

故12.

四、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.已知向量Q=（2,2）,B=（—1,左）.

（1）若£，R+2b）,求实数左的值；

（2）若。与B的夹角是钝角，求实数左的取值范围.

【正确答案】（1）-1

（2）（-oo,-l）u（-l,l）

【分析】（1）根据题意求得1B=_2+2左，结合向量垂直的数量积的表示，列出方程，即

可求解；

（2）根据题意，利用£3＜0且Z与B不共线，结合向量的坐标表示和数量积的运算，即

可求解.

【小问1详解】

解：由向量a=（2,2）万=（一1,左），可得£石=-2+2左，

因为a_L（a+25）,可得a-（a+2b）=a+2a/=8—4+4左=0,解得左=—1.

【小问2详解】

解：由（1）知，73=—2+2左＜0，解得左＜1，

又由向量々与B不共线，可得2x女工2x（—1）,解得左。一1,

所以实数人的取值范围是（―8,-1）口（一1,1）

18.如图所示，在四棱锥P—力88中，四边形Z8CD为等腰梯形，

AB//CD,AD=CD=2,AB=4,AC1PC.

（1）证明：平面尸8C：

（2）若PBLBC,PB=4氏,求点。到平面P8C的距离.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）73

【分析】（1）由勾股定理证明所以NC18C,又4C_LPC,可证平面尸8C.

（2）由VD-PBC=VP-BCD，利用体积法求点D到平面PBC的距离.

【小问1详解】

四边形ABCD为等腰梯形，AB//CD,AD=CD=2,AB=4,

过点C作CE1Z8于E,如图所示，

由余弦定理知么。2=/62+6。2—2工6・8。.©osNZ6C=16+4—8=12，

则NC2+6C2=482,所以zciBC,

又nCIPC,PC,8Cu平面「SC,PCcBC=C,

所以ZC_L平面尸8C.

【小问2详解】

连接8。，如图所示，

由（1）可知力平面PBC,4Cu平面/BCD,所以平面平面P8C,

平面Z8CZ>c平面PBC=BC,PBu平面P8C，PB1BC,尸8J_平面4SCZ）,

又CE=2sin60°=6，SBCD=-CE-CD-G,

所以^p-BCD=；XS38,尸6=；xGx4A/3=4,

在PBC中，由尸8L8C,得SPBC=；PB-BC=46

设点D到平面PBC的距离为d,则VD_PBC=；x4也d,

VD-PBC=VP-BCD-解得d=由,即点。到平面尸8c的距离为6・

271

19.在Z8C中，/4/5/。对应的边分别为。,“，,2=—力=5,。=3,Z8C的外接

3

圆。面积为S.

（1）求S的值;

（2）若点。在ZC上，且直线8。平分角/48C,求线段3。的长度.

49

【正确答案】（1）S=—兀

3

⑵皿（

7

【分析】（1）由余弦定理可求得。=7,再利用正弦定理计算可得外接圆半径为&=耳’

即可求出S=—兀：

3

（2）利用角平分线定理可得=3,再由余弦定理计算可得80=地

22

【小问I详解】

由Z=一,b=5,c=3,利用余弦定理可得

3

/=h2+c2-2bccos/=25+9-2x5x3x[-；)=49,所以。=7；

n1Q177

R——x----——x―=-=-=

因此力的外接圆。的半径为2sin42正G，

T

,49

所以N8C的外接圆。的面积5=兀&2=一无

3

【小问2详解】

如下图所示：

AnAR3

由直线8。平分角NABC,利用角平分线定理可得——=—=—,

DCBC7

33

又b=AC=5,所以ZZ)=—ZC=—,

102

因此在△48。中，由余弦定理可得

Qa/1\ZTQ

BD2^AB2+AD2-2ABADCOSA=9+——2x3x-x——=一,

42{2)4

所以BD=K?,即线段的长度为亚

22

20.如图所示，已知四边形488和四边形/DEF都是矩形.平面Z8CO1平面

ADEF,AD=3AF=3AB=3,M,N分别是对角线BD,NE上异于端点的动点，且

BM=AN.

FE

（1）求证：直线MN平面CDE；

（2）当NN='NE时，用向量法求平面/MN与平面。MN夹角的余弦值.

2

【正确答案】（1）证明见解析

43746

322

【分析】（1）利用线面平行的性质与判定定理结合条件直接证明即可;

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解二面角夹角余弦值.

【小问1详解】

过N作NGDE与4D交于G点、,连接MG,因为NG<Z平面C£）E,0Eu平面CAE,

所以NG平面CDE,因为NGDE,所以型=世=也,

AEDEAD

因为BM=NA,AE=BD,所以空="乙，所以MGABCD,

GDMD

因为MG仁平面CDE,DCu平面CDE,所以A/G平面CDE,

因为MGcNG=G,MGu平面脑VG,NGu平面MNG,

所以平面MNG平面CDE,因为A/Nu平面MNG,所以直线MN平面CDE；

【小问2详解】

因为平面ABCD1平面ADEF,平面ABCDc平面ADEF=AD，

又//u平面/DEF,AFLAD,所以_L平面/BCD,

则以/为原点，分别以48,AD,AF为x,nz轴建立空间直角坐标，如图,

2

+y=0

AM-n=O

设平面ZMN的法向量为〃=(x,y,z),则〈___，所以，

AN-n=OV+；z=0

令x=3,可得，乃=(3,—2,6),

——►1——►7

设平面MND的法向量为加=(〃,瓦c),DN=(0,-2,—),DM=(-,-2,0),

7777一八一a—ZD=U

DM•加=07

_.，所以广।令Q=3,可得而=(3,1,6),

DN•市=0-26+-c=0

I3

9-2+36_43

所以cos而，亢

7•屈~7746

9-2+36435/46

所以平面/与平面夹角的余弦值.cos而，万

7-V46-322

21.如图，在三棱台/8C-44G中侧面8CC£为等腰梯形，6C=8,6£=CC1=4,〃

为4G中点.底面48c为等腰三角形，Z8=ZC=5,O为8C的中点.

B

（1）证明：平面ZBC工平面NOM；

（2）记二面角N—8c一4的大小为夕

TT

①当6=一时，求直线BB与平面AA.C.C所成角的正弦值.

6｝

TT7T

②当时，求直线与平面44CC所成角的正弦的最大值.

【正确答案】（1）证明见解析；

（2）①豆豆，②最大值为3

375

【分析】（1）由三棱台N8C-44cl性质及其边长即可证明平面ZOM,利用面面

垂直的判定定理即可证明平面平面NOA1；

（2）①由题意可知,4W即为二面角4一5。一名的平面角，ZAOM=6,以。为坐标

原点建立空间直角坐标系，可得瓯=（-2,2JJcos。,28sin。），平面的一个法

,„，-(.A百-4cose'TT

向量为〃=-3,4,-，把。=—代入可得直线BB1与平面Z4GC所成角的正弦

Isin。J6

3

值为啜②当公盟时,sina=-

1(V3-4COS^Y，利用。的范围即可求

Vsin6

3

得直线8A与平面/4£C所成角的正弦的最大值为一.

【小问1详解】

因为N8C为等腰三角形，0为8C的中点，所以8c_LZ。,

又因为侧面8CG用为等腰梯形，M为4G的中点，所以8C_LM0,

又/Oc〃O=O,A/O,ZOu平面ROM,

因此SC7,平面AOM,

8Cu平面为8C,所以平面Z8CJ.平面ZOA/

【小问2详解】

在平面4OM内，作ONL3,

由(1)中平面平面NOW,

且平面Z8Cc平面Z(9A/=O4,ONu平面40M,可得O