福建省部分学校2024届高三年级上册12月月考数学试题（含答案解析）

福建省部分学校2024届高三上学期12月月考数学试题

学校:___________姓名：_________班级：___________考号：___________

一、单选题

1.已知集合4={x|d-x-6W0},8={-3,-2,0,2,3},则4c5=()

A.{-3,-2,0,2}B.{-2,0}

C.{-2,0,2,3}D.{0,2}

2.复数z=在复平面内对应的点位于（）

4+31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知。=0-9",6=logi!,c=log[2,贝U（）

DI，八IJ\Z

2J3

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

4.若某等差数列的前3项和为27,且第3项为5,则该等差数列的公差为（）

A.-3B.-4C.3D.4

5.在△48C中，角4B,C的对边分别是a,b,c,若3a=44/=25,则cosB=()

12

A.—B.—cD

33-1-1

6.己知/（无）是奇函数，且在[0,+/）上单调递减，则下列函数既是奇函数，又在（-巩0）

上单调递增的是（）

A.g(x)=/(x)—B.g(x)=/(x)+/(-x)

C.g(x)=/(2,一2一工)D.g(x)=/(-x)-/(x)

7.已知抛物线C:V=6无，过点44,2）的直线/与抛物线C交于两点，若疝=诉

则直线/的斜率是（）

A2「3-43

A.-B.一C.—D.一

3432

8.已知函数/(x)=2(x—l)e'r2-QX在R上单调递增，则。的最大值是（）

1

A.0B.-C.eD.3

e

二、多选题

试卷第1页，共4页

9.若函数/(x)=2sin[(x_5]则()

B./(x)的图象关于点弓,。]对称

A.〃x)的最小正周期为10

〃的图象关于直线对称

C.7(x)在上有最小值D.x)x=?

10.设凡6ER,若4Q2+/=1,则()

A.ab>—B.2a+bW也

4

11、3

C.4a+〃W2D.-；----1—5—2一

a2+lZ?+i2

11.已知直线/：加x+(%-2)y+2=0与圆C：一+/-4尤+6y-23=0,点尸在圆C上,

则()

A.直线/过定点(1,1)

B.圆C的半径是6

C.直线/与圆C一定相交

D.点尸到直线/的距离的最大值是6+若

12.已知函数〃戈)=卜叫卜||,xe(-l,0)U(0,4],若关于x的方程/(x)=a有3个实数

解X],巧，%3>且X]<%<三,贝(I()

A.%+4x3的最小值为4B.再马三的取值范围是[

C.再+x,+%的取值范围是。,4]D.-------1---------1----的最小值是13

xtx3xtx2x3

三、填空题

13.若向量之、石为单位向量，且卜+2秋=0,则向量之与石的夹角为.

14.卜-的展开式中，含X?项的系数是.(用数字作答)

15.已矢口sin[a+受)=3sin(a—兀)，贝!jtan2a=.

22

16.过双曲线C?f=l(a>0,b>0)的右焦点且作C的一条渐近线的垂线，垂足为A,

2ab

且C的左顶点为闵4即=,则。的离心率为

yja2+b2

四、解答题

试卷第2页，共4页

17.在锐角AA8C中，内角4民。的对边分别为a,6,c,已知缶sinC-c=O.

(1)求4；

(2)求2esin8-2sinC的取值范围.

18.镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰

富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重(单位：克)，将得到的数据

按［30,40),［40,50),［50,60),［60,70),［70,80］分成五组，绘制的频率分布直方

图如图所示.

(1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数；

⑵现采用分层抽样的方法从质量在［40,50)和［70,80］内的板栗中抽取10颗，再从这10

颗板栗中随机抽取4颗，记抽取到的特等板栗(质量之70克)的个数为X,求X的分

布列与数学期望.

19.如图，在三棱柱NBC-431cl中，平面/3C,/8C是等边三角形，且。为

棱的中点.

⑴证明：/31平面CG。.

⑵若2/4=3AB,求平面4。与平面/8G夹角的余弦值.

20.已知点片(-1,0),凡(1,0),动点M满足W/I+M工|=4,动点M的轨迹记为E.

⑴求E的方程；

⑵过点心的直线/与E交于48两点，O为坐标原点，求AGMB面积的最大值.

21.设数列｛叫的前"项和为S”为=g,且a“+aMT=a“T("N2,"€N+).

(1)求｛。”｝的通项公式；

试卷第3页，共4页

(2)设”=(一1严(2〃+3”".,求数歹lj抄.｝的前〃项和T..

22.已知函数/(x)=sinx+x2.

(1)求曲线^=/(%)在点(0,7(0))处的切线方程，

(2)证明:

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据一元二次不等式的解法求得N={M-2VXW3},结合集合交集的运算，即可求

解.

【详解】由不等式，一x-6=(x+2)(x-3)W0,解得一2V尤W3,所以/=卜卜2VxV3},

又由B={-3,-2,0,2,3},所以/口8={-2,0,2,3}.

故选：C.

2.A

【分析】根据复数的运算法则，求得2=:2+21谓结合复数的几何意义，即可求解.

l+2i（l+2i）（4-3i）_4-3i+8i-6i2_21

【详解】由复数z=

4+3i（4+3i）（4-3i）-16-9i2'-55

所以复数z在复平面内对应的点为,该点位于第一象限.

故选：A.

3.D

【分析】根据指数函数的单调性判断。的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断

ac的范围，即可得答案.

【详解】因为y=0.9'为R上的单调减函数，>=log2x,y=log3x为(0,+⑹上的单调增函数,

11

故0<0.9<0.9°=l,log,1=lo&3>l,logl2=-log2<(,

所以6>a>c,

故选:D

4.B

【分析】由等差数列的性质求解即可.

【详解】设该等差数列为{%},则4+%+%=她=27,则g=9,

所以公差d=a3—a2=5—9=—4.

故选：B.

5.B

【分析】利用正弦定理、二倍角公式等知识求得正确答案.

答案第1页，共13页

【详解】因为4=25,所以sirU=sin2B=2sin5cos5.

因为-7=”^，所以a

.---,所以cosB=—

SIIL4sinB2sin5cos5sinB2b

因为%=也所以Aj则cos底差J

故选：B

6.D

【分析】根据奇函数的定义与性质，及单调性的定义与性质判断即可.

【详解】由题意得“X)在(-8,0)上单调递减，则＞=/(-无)在(-8,0)上单调递增,

对于A,因为y=/(x)与y=-/(-x)均在(-8,0)上单调递减,

所以g(x)=/(x)-/(-x)在(-刑0)上单调递减，故A错误;

对于B,g(f)=/(-x)+/(x)=g(x),则g(x)为偶函数，故B错误；

对于C,g(-2)=/(2-2_2?)=/1,卜(T)=/仁一2卜/卜],

因为一,<一|，所以/[-[]>/]-口，即g(-2)>g(-l),故C错误;

对于D,g(r)=/(x)-/(-x)=-g(x),则g(无)为奇函数，

J=/(-无)与了=-/(x)均在(-8,0)上单调递增，

贝Ug(x)=/(-x)-“X)在(一巴0)上单调递增，故D正确.

故选：D.

7.D

【分析】设M(x”yJ,N(X2，%),由题意可得A为跖V的中点，然后利用中点坐标公式和斜

率公式可求得结果.

【详解】设在(再,乃),N(%,%),则才=6再,货=6%,

因为访i=NW，所以4(4,2)为MN的中点，

所以M+%=4,

2_6=3

故直线/的斜率%1-x2yfy\为+%2.

~6~~6

故选：D

答案第2页，共13页

8.A

【分析】结合导数，将/(x)在R上单调递增转化为/'(x)=2xe'-2x-a20恒成立，再参变

分离，转化为042尤e，-2x恒成立，即求出2xe、-2x的最小值即可得.

【详解】由题意可得/''(x)=2xe'-2尤-明

因为/(x)在R上单调递增,所以广(无)=2xe，-2x-。20恒成立，

即a<2xe*—2x恒成立，

设g(x)=2xe，-2x,贝!Jg'(x)=(2x+2)e*—2,

当x<0时，g,(x)<0,当x>0时，g'(x)>0,

则g(x)在(-巩0)上单调递减，在(0,+巧上单调递增，

故gOOmn=g(O)=O,即a<o.

故选：A.

9.AD

【分析】由正弦型函数的周期公式可求A,通过代入求值的方法可判断BD选项，利用正弦

函数的图象与性质可判断C.

7=空=10

【详解】四，A正确.

因为/[g)=2sin(-标|#0,所以/⑴的图象不关于点对称，B错误.

因为/生l=2sin?=2,所以/(x)的图象关于直线片与对称,D正确.

UJ24

若则，由V=sinx的图象可知，

答案第3页，共13页

/(X)在［0,彳J上有最大值，没有最小值，C错误.

故选：AD.

10.BCD

【分析】利用基本不等式即可判断AB；利用二次函数的性质判断C；利用1的妙用结合基

本不等式可判断D.

,1

【详解】*•*4a2+Z?2=1,1=（2G）'+b2>2x2axb=4ab,即

当且仅当2a=6=变时，等号成立，故A错误；

2

・・・（2a+b）2=4q2+/+4MWl+4x；=2,当且仅当2Q=6=/时，等号成立,

A-42<2a+b<42^故B正确；

4Q2+6?=1，**•4。+Z?2=4。+1—4。2——4（。——）2+2（2,

当且仅当。=1,6=0时，等号成立，故C正确；

2

V4a2+b2=\,.・.（4/+4）+&+1）=6,4〃+4>0万+1>0,

1141

-----1-----=--------1-----

a2+]b2+l4a2+4b2+]

1（4（万+1）47+4小（卜&+1）4=+4]_3

2

6C4/+4b+l~6山/+4b2+i-2

、7\7

当且仅当。=0,6=±1时，等号成立，故D正确.

故选：BCD.

11.BC

【分析】求解直线经过的定点，圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可.

【详解】直线/：mx+（m-2）y+2=0,即加（x+〉）-2y+2=0

由1Ix2+二y=0=。,解\x得=-},则直线,过定点/(叫、，故A错误;

圆C：x2+/-4x+6y-23=0,（x-2）2+（y+3）2=36,

则圆C的圆心坐标为C(2,-3),半径为6,故B正确;

因为点(-U)与。(2,-3)的距离为4="(2+1)2+(_3-1)2=5<6,

答案第4页，共13页

则点(T,l)在圆C的内部，所以直线/与圆C一定相交，故C正确;

点P到直线I的距离的最大值是4+5=6+5=11,故D错误.

故选：BC.

12.BCD

【分析】作出函数的图象，即可根据对数的运算可得马演=1，%+占=0,结合函数图象以

及基本不等式即可求解ABC,利用导数求解函数的单调性，即可求解D.

【详解】作出了(刈的大致图象，如图所示.

a=-log2(-Xj)=-log2x2=log2x3,其中XjC。4],所以ae(0,2],

贝1|国©1-1,-；,x2e；/，々w=1.所以9+4W22《4%尤3=4,

当且仅当马=4退=「即％=2时，等号成立，但2七,1}A错误.

当xe(-l,0)U(0,l)时，/(》)=魄2同是偶函数，则占+工2=0,

所以再迎退=再e卜+x2+x3=x3e(1,4],B,C均正确.

「、i11+Xox+x.,X.2LL…

因为——+——=入~-=-―-=-?~-=1+—=l+x^,所以

XX

XxX3XxX2毛%2%3~22

11+3=1+4+3

---+----

XyX3X1X2x3x3

设函数g(x)=1+，+3(1<X44),则g，(x)=2x-与=2/「6

XXX-

当l<x<2时，g\x)<0,当2<x«4时，g\x)>0,所以g(x)min=g(2)=1+4+8=13,D

正确.

故选：BCD

答案第5页，共13页

【分析】由平面向量数量积的运算性质可求得cos,1）的值，结合向量夹角的取值范围可求

得结果.

【详解】因为向量入石为单位向量，且B+2+0,

।一一|2->2-—一2一一__一一]

则卜+24=a+4a­6+4b=5+4〃方=7,可得。力二万，

因为0W仅同（兀，故生弓=T，即向量z与3的夹角为，

故答案为：—.

14.-12

【分析】利用二项展开式的通项公式，求出尤2系数.

【详解】1-11展开式的通项&|=^.-{-2；=（一2广鼠・”4，.

令6—4尸=2,得尸=1,

贝!）%=—2xC»2=一12X2.

故答案为：-12

3

15.——/-0.75

4

【分析】利用诱导公式和同角三角函数的商数关系求得tana,再由二倍角的正切公式求解.

【详解】丁sin（a+g）=sin（2兀+]+a）=sin（^+a）=cosa,

sin（a—兀）=sin[-（兀-a）]=-sin（兀一a）=—sina,

cosa=-3sina,tana=--,

3

..2tana3

..tan2a=----------=——.

1-tana4

3

故答案为：-二.

4

16.2

【分析】利用数形结合的方法，找出见仇。之间的等量关系式，利用解方程的方法即可求出

双曲线的离心率.

【详解】设。为坐标原点，。的焦距为2c.过点A作垂直于％轴，垂足为H.

答案第6页，共13页

易得|/月|=J!।记=6,=，"勾2一1力闾2=J02=a,

所以M〃||O段二|，O|M耳卜?，

2

由△CM”RF2A可得|CM『=\OH\]OF2\,即阿二土,

所以忸印=a+L=\/|45『—,得c+a=Qb,

cW।c

所以(c+a)2=3〃=3(c2-/),故0=£=2.

a

故答案为：2.

17.(1)-

v4

(2)(。,也)

【分析】(1)根据题意利用正弦定理边化角分析求解；

(2)利用三角恒等变换整理得2而inB-2sinC=2sin/-结合正弦函数的值域求解.

【详解】(1)因为J^zsinC-c=0，由正弦定理可得收sin4sinC-sinC=0，

因为“为锐角三角形，可知。£[0,^),

则sinC>0,所以sin/

2

且/所以/=；.

(2)因为4=:，可知5+。=T9即C=-----B,

444

答案第7页，共13页

IT

且“BC为锐角三角形，贝U。/7，解得jr

C3兀〃兀42

0<------B<—

[42

又因为2亚sin8-2sinC=2收sin3-2sin(/+3)

=2V2sin5-2^-sinB+^-cosB=A^-sinB-^"cosB=2sin[B~—

I22JI"

由1〈Be,,可知则,

4244

18.（1）57.5

o

（2）分布列见解析，|

【分析】（1）先通过分析确定中位数在［50,60）内；再设中位数为加，列出方程求解即可.

（2）先根据分层抽样确定从质量在［40,50）内的板栗中抽取6颗，从质量在［70,80］内的板栗

中抽取4颗；再写出X的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式

可得出答案.

【详解】（1）因为（0.008+0.018）X10=0.26<0.5,

0.26+0.032xl0=0.58>0.5

所以该板栗园的板栗质量的中位数在［50,60）内.

设该板栗园的板栗质量的中位数为加，

贝I］（加一50）x0.032+0.26=0.5,解得加=57.5,

所以该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5.

（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在［40,50）内的板栗中抽取10x^^F上=6

颗，从质量在［70,80］内的板栗中抽取10、而詈^=4颗.

X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

「41*;=£

P（x=°）=甫=彳尸®=1）=

品21

答案第8页，共13页

r2r2?d

网万=2）=吉=*尸（入=3）=#4

Jo'C1O35

P（X=4）=_21__L

CT-21O

从而X的分布列为

X01234

18341

P

1421735210

112

故E（X）=0x—+lx—+2x—+3x——+4又一二—

v714217352105

19.(1)证明见解析

唔

【分析】(1)根据线面垂直的判定定理可证；

(2)以。为坐标原点，以所在直线分别为x，%z轴，建立空间直角坐标系，利

用两平面夹角的向量法求解.

【详解】(1)由三棱柱的性质可CG〃必，

必_L平面ABC,CC]±平面ABC,

'：ABu平面ABC,：.CQ1AB,

•.•。为N3的中点，且“3C是等边三角形，48,

CO,C。u平面CCXD,CGnCD=C,

:.AB1平面CC\D.

(2)取4瓦的中点2,连接。。，由题意可得。伐。。,。。两两垂直，

以。为坐标原点，以。民。所在直线分别为阳v,z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系.

答案第9页，共13页

则A(-l,0,0),5(1,0,0),C(0,百,0),n(0,0,0),4(-1,0,3),G(0,A/3,3),

故方=(2,0,0),布=(1,®3),西=(T,0,3),DC=(0,百,0),

设平面4co的法向量为〃=（芭,必，4）,

n•DA=-x+3Z]=0

则Xx，令再=3,得7=(3,0,1),

五灰=回=0

设平面ZBG的法向量加=（工2，%/2），

市•AB=2%=0

则＜令％=G，得加=(0,V3,-l)，

丽•AC】=x2+3Z2=0

设平面A.CD与平面ABC1夹角为

m八I尸一\ln'm1Vio

则c°s°=H〃用卜还=加=后，

即平面4c。与平面/8G夹角的余弦值为巫.

20

22

20.⑴？+?=1

（2）-.

2

【分析】（1）根据椭圆定义可确定椭圆的长轴长以及焦距，进而求得〃，即得答案.

（2）首先设直线方程，联立椭圆方程，可得根与系数关系式，由此求得弦长，结合原点到

直线的距离，即可求得面积表达式，然后换元，利用函数的单调性，即可求得答案.

【详解】（1）因为|九%|+也园=4＞闺闾=2,所以E是以耳，匕为焦点，且长轴长为4的椭

答案第10页，共13页

圆.

22

设£1的方程为三+彳=l（q>0）,则2。=4,可得。=2.

ab

又椭圆焦距为2c=1,.-.c=\,所以/=/—02=3,

22

所以E的方程为土+匕=1；

43

（2）由题意可知直线/的斜率不为0,设直线/:%=叼+1,/（石，必）,5（%2，%），

x=my+\

联立X23y2，整理得（3疗+4）/+6〃沙一9=0,

43

则A=（6机r-4（3丁+4卜（一9）=144（"/+1）>0,

6m9

%=一3/+4’必%—-3/+4

由弦长公式可得恒同=回-刃=yJm2+1-

12（m2+l）

3m2+4

点O到直线/的距离则△045的面积S=』4剧-d=6J^+l,

Vm2+12*113m2+4

6t_6，_6

设」=J加2+1">1,则-3,2—1）+4-3/+1—3/+1，