北师大版七年级数学下册举一反三 专题1.2 整式的乘法-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）

专题1.2整式的乘法-重难点题型【北师大版】【知识点1整式的乘法】单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．单项式×多项式：乘法分配律．多项式×多项式：乘法分配律．【题型1整式乘法中的求值问题】【例1】(2023•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（）A．37 B．13 C．20 D．36【变式1-1】(2023春•潍坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（）A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55【变式1-2】(2023秋•播州区期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是．【变式1-3】(2023春•江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．【题型2整式乘法中的不含某项问题】【例2】(2023春•蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．（1）分别求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．【变式2-1】(2023春•通川区校级月考）若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．【变式2-2】(2023春•金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式2-3】(2023春•太湖县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【题型3整式乘法的计算】【例3】(2023秋•河北区期末）计算：（1）−12（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）【变式3-1】(2023春•九龙坡区校级期中）计算：（1）2x2y（x−12（2）（x﹣2y）（y﹣x）．【变式3-2】(2023春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【变式3-3】(2023春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）请计算出这道题的正确结果．【题型4整式乘法的应用】【例4】(2023春•铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为，B区显示的结果为．（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．【变式4-1】(2023春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？【变式4-2】(2023春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）【变式4-3】(2023春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1S2．（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．【知识点2整式的除法】单项式÷单项式：系数相除，字母相除．多项式÷单项式：除法性质．多项式÷多项式：大除法．【题型5整式除法的应用】【例5】(2023春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（）A．2y3﹣3xy2+4 B．3y3﹣2xy2+4 C．3y3+2xy2+4 D．2xy2﹣3y3+4【变式5-1】(2023•台湾）计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（）A．商式为2，余式为﹣5 B．商式为2x﹣5，余式为5 C．商式为2x+2，余式为﹣1 D．商式为2x﹣2，余式为﹣1【变式5-2】(2023秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为．【变式5-3】(2023春•潍坊期末）若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A＝．【题型6整式乘法中的规律探究】【例6】(2023秋•邹城市期末）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝；（2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝（其中n为正整数）；（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．【变式6-1】(2023春•包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝，（m﹣1）（m2+m+1）＝．（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．（3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．【变式6-2】(2023春•合肥期中）观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（）＝a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）【变式6-3】(2023秋•石狮市校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．专题1.2整式的乘法-重难点题型【北师大版】【知识点1整式的乘法】单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．单项式×多项式：乘法分配律．多项式×多项式：乘法分配律．【题型1整式乘法中的求值问题】【例1】(2023•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（）A．37 B．13 C．20 D．36分析：利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，∴p+q＝m，pq＝36，∵36＝4×9，则p+q＝13，36＝1×36，则p+q＝37，36＝2×18，则p+q＝20，36＝3×12，则p+q＝15，36＝6×6，则p+q＝12，∴p+q不可能为36，即m不可能为36．故选：D．【变式1-1】(2023春•潍坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（）A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55分析：先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到a、b的值，代入计算出代数式ab﹣a+b的值．【解答】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a，又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10．∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10．∴a＝2，b＝﹣3．∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11．故选：A．【变式1-2】(2023秋•播州区期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是．分析：根据多项式乘以多项式的法则展开，整理后整体带入求值即可．【解答】解：（1﹣2x）（1﹣2y）＝1﹣2y﹣2x+4xy＝1﹣2（x+y）+4xy，当x+y＝2，xy＝﹣1时原式＝1﹣2×2+4×（﹣1）＝﹣7．故答案为：﹣7．【变式1-3】(2023春•江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．分析：（1）根据题意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．【解答】解：（1）甲错把b看成了6，（2x+a）（x+6）＝2x2+12x+ax+6a＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，∴12+a＝8，解得：a＝﹣4；乙错把a看成了﹣a，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+2bx﹣ax﹣ab＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，∴2b﹣a＝14，把a＝﹣4代入，得b＝5；（2）当a＝﹣4，b＝5时，（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）＝2x2+10x﹣4x﹣20＝2x2+6x﹣20．【题型2整式乘法中的不含某项问题】【例2】(2023春•蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．（1）分别求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．分析：（1）先展开整理原式，再根据题意建立关于m、n的等式，分别求解即可得出结论．（2）同底数幂乘法的逆运算，使n2021变为n2020•n，再利用积的乘方逆运算即可求出原式的值．【解答】解：（1）原式＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n，＝（2m+1）x2+mx﹣4x+n﹣2，由题意2m+1＝0，n﹣2＝0，∴m=−12，（2）原式＝m2020•n2020•n，＝（m•n）2020•n，由（1）得m=−12，原式＝（−12×＝2．【变式2-1】(2023春•通川区校级月考）若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．分析：利用多项式的乘法法则将两个多项式的乘积展开，令x2项和x3项的系数为0，结论可得．【解答】解：由题意：（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n．∵乘积中不含x2和x3的项，∴m﹣3＝0，n﹣3m﹣8＝0．∴m＝3，n＝17．∴m+n＝20．【变式2-2】(2023春•金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．分析：（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；（2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m2﹣mn+n2）展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可．【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，根据展开式中不含x2和x3项得：m+4=0n−3m=0解得：m=−4n=−12即m＝﹣4，n＝﹣12；（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3，当m＝﹣4，n＝﹣12时，原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792．【变式2-3】(2023春•太湖县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．分析：（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b．【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，∵其值与x的取值无关，∴2m﹣3＝0，解得，m=3答：当m=32时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6＝15xy﹣6x﹣9＝3x（5y﹣2）﹣9，∵3A+6B的值与x无关，∴5y﹣2＝0，即y=2（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．∴S1﹣S2取值与x无关，∴a﹣2b＝0∴a＝2b．【题型3整式乘法的计算】【例3】(2023秋•河北区期末）计算：（1）−12（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）分析：（1）根据单项式与多项式相乘的法则计算即可；（2）根据多项式与多项式相乘的法则计算即可．【解答】解：（1）−12=−12x＝﹣4x5y3+9x4y2﹣2x2y；（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）＝2x2+x﹣2x﹣1﹣2（x2+2x﹣5x﹣10）＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20＝5x+19．【变式3-1】(2023春•九龙坡区校级期中）计算：（1）2x2y（x−12（2）（x﹣2y）（y﹣x）．分析：（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：（1）原式＝2x3y﹣x2y2+2x2y；（2）原式＝xy﹣x2﹣2y2+2xy＝3xy﹣x2﹣2y2．【变式3-2】(2023春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．分析：（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y＝﹣4x3+10x2y；（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy＝﹣3x2+xy﹣6y2．【变式3-3】(2023春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）请计算出这道题的正确结果．分析：（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a的值；（2）列出正确的算式，计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（4x+3）﹣2x＝4x2+（3+4a﹣2）x+3a＝4x2+13x+9；∴1+4a＝13，解得：a＝3；（2）正确的算式为（x﹣3）（4x+3）﹣2x＝4x2﹣9x﹣9﹣2x＝4x2﹣11x﹣9．【题型4整式乘法的应用】【例4】(2023春•铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为，B区显示的结果为．（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．分析：（1）根据题意列出代数式即可；（2）利用多项式乘多项式法则进行计算，然后将a＝2代入求值．【解答】解：（1）A区显示的结果为：25﹣a﹣a＝﹣2a+25；B区显示的结果为：﹣16+3a+3a＝6a﹣16；（2）（﹣2a+25）（6a﹣16）＝﹣12a2+32a+150a﹣400＝﹣12a2+182a﹣400，当a＝2时，原式＝﹣12×22+182×2﹣400＝﹣84．【变式4-1】(2023春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？分析：（1）用大长方形的面积减去小正方形的面积和四个长方形的面积即可；（2）将a＝10，b＝4代入（1）中结果计算可得答案．【解答】解：（1）草坪的面积为：（3a﹣b）（a+2b）﹣（a﹣b）2﹣[3a﹣b﹣（a﹣b）]×2﹣[a+2b﹣（a﹣b）]×2＝3a2+5ab﹣2b2﹣a2﹣b2+2ab﹣2a×2﹣3b×2＝2a2+7ab﹣3b2﹣4a﹣6b（平方米）；（2）当a＝10，b＝4时，草坪的面积为：2×102+7×10×4﹣3×42﹣4×10﹣6×4＝368（平方米）．【变式4-2】(2023春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）分析：（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每平方米地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可；（2）求出客厅与卧室的面积，乘以高h，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可．【解答】解：（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：3y•y+2y•（3x﹣x﹣y）＝3y2+4xy﹣2y2＝y2+4xy（平方米）．∴购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）．（2）客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h＝8yh，两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h＝4xh+6yh，∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），∴购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）．【变式4-3】(2023春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1S2．（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．分析：（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；（2）①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．【解答】解：（1）由题意：S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，∴S1＜S2，故答案为：＜，（2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16，∵正方形的周长与甲的周长相等，∴正方形的边长为4m+164②由①可得，正方形的面积S3＝（m+4）2，∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15＝1，∴S3与S2的差（即S3﹣S2）是常数，这个常数是1．【知识点2整式的除法】单项式÷单项式：系数相除，字母相除．多项式÷单项式：除法性质．多项式÷多项式：大除法．【题型5整式除法的应用】【例5】(2023春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（）A．2y3﹣3xy2+4 B．3y3﹣2xy2+4 C．3y3+2xy2+4 D．2xy2﹣3y3+4分析：利用长方形的面积公式，列出相应的式子，结合整式的除法法则进行运算即可．【解答】解：（15x3y5﹣10x4y4+20x3y2）÷（5x3y2）＝15x3y5÷（5x3y2）﹣10x4y4÷（5x3y2）+20x3y2÷（5x3y2）＝3y3﹣2xy2+4．故选：B．【变式5-1】(2023•台湾）计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（）A．商式为2，余式为﹣5 B．商式为2x﹣5，余式为5 C．商式为2x+2，余式为﹣1 D．商式为2x﹣2，余式为﹣1分析：先将被除式2x2﹣3补0，再列竖式计算即可．【解答】解：∵被除式2x2﹣3缺项，∴补0后变为2x2+0x﹣3，长除法计算为：故选：D．【变式5-2】(2023秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为．分析：直接利用整式的除法运算法则分别计算得出答案．【解答】解：∵一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，∴长方形的另一边长为：（6a2﹣4ab+2a）÷2a＝3a﹣2b+1，故长方形的周长为：2（3a﹣2b+1+2a）＝10a﹣4b+2．故答案为：10a﹣4b+2．【变式5-3】(2023春•潍坊期末）若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A＝．分析：根据题意列出关系式，计算即可得到结果．【解答】解：∵多项式A除以2x2﹣3，得到的商为3x﹣4，余式为5x+2，∴A＝（2x2﹣3）（3x﹣4）+5x+2＝6x3﹣8x2﹣9x+12+5x+2＝6x3﹣8x2﹣4x+14．故答案为：6x3﹣8x2﹣4x+14．【题型6整式乘法中的规律探究】【例6】(2023秋•邹城市期末）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝；（2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝（其中n为正整数）；（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．分析：（1）观察各式，得到因式结果即可；（2）利用得出的规律计算即可；（3）利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝xn﹣1；（3）原式＝351﹣1．故答案为：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）xn﹣1【变式6-1】(2023春•包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝，（m﹣1）（m2+m+1）＝．（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．（3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．分析：（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案；（4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可．【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；故答案为：m2﹣1；m3﹣1；（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4+