矩估计和极大似然估计

关于矩估计和极大似然估计第七章第一节矩法估计二、常用分布参数的矩法估计一、矩法估计第2页,共53页，2024年2月25日，星期天矩估计步骤：连续型离散型第3页,共53页，2024年2月25日，星期天所以参数p的矩估计量为例：总体X的分布列为：

是来自总体X的样本，解：由于总体X的分布为二项分布，第4页,共53页，2024年2月25日，星期天设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X例1服从第5页,共53页，2024年2月25日，星期天下面我们通过几个例子说明利用矩估计法求未知参数的过程。二、常用分布常数的矩法估计第6页,共53页，2024年2月25日，星期天例2解第7页,共53页，2024年2月25日，星期天注:

总体均值方差的矩估计量与总体分布无关。做矩估计时,也可用中心矩建立关于未知参数的方程组，因而矩估计不唯一。λ未知，求参数λ的矩估计。例3解：第8页,共53页，2024年2月25日，星期天解不合格品率p的矩法估计

分析设总体X为抽的不合格产品数，相当于抽取了一组样本X1，X2，…，Xn,且因p=EX,故

p

的矩估计量为

设某车间生产一批产品，为估计该批产品不合格品(即出现不合格产品的频率).例4率，抽取了n件产品进行检查.第9页,共53页，2024年2月25日，星期天例5解第10页,共53页，2024年2月25日，星期天第11页,共53页，2024年2月25日，星期天θ是未知参数，X1，X2，…,Xn，是X

的一组样本，解设总体X的概率密度为解得例6求θ的矩估计量.第12页,共53页，2024年2月25日，星期天其中θ＞0，μ与θ是未知参数，X1，X2，…,Xn，是X

的一组样本，求μ与θ的矩估计量.解例7.

设总体X的概率密度为令第13页,共53页，2024年2月25日，星期天令注意到DX=E(X2)－(EX)2=θ2=θ2+(θ+μ)2第14页,共53页，2024年2月25日，星期天第七章第二节极大似然估计极大似然估计第15页,共53页，2024年2月25日，星期天极大似然估计法:设是的一个样本值事件发生的概率为为的函数，形式已知(如离散型)X的分布列为的联合分布列为：为样本的似然函数。定义7.1第16页,共53页，2024年2月25日，星期天即取使得：与有关,记为称为参数θ的极大似然估计值。称为参数θ的极大似然估计量。达到最大的参数作为θ的估计值。现从中挑选使概率样本的似然函数第17页,共53页，2024年2月25日，星期天若总体X属连续型,其概率密度的形式已知，θ为待估参数；则的联合密度：一般，关于θ可微，故θ可由下式求得：因此的极大似然估计θ也可从下式解得：在同一点处取极值。第18页,共53页，2024年2月25日，星期天第19页,共53页，2024年2月25日，星期天故似然函数为例1设是来自总体X的一个样本，试求参数

p

的极大似然估计值.解：设是一个样本值。X的分布列为：而令第20页,共53页，2024年2月25日，星期天它与矩估计量是相同的。解得p的极大似然估计值p的极大似然估计量令解得第21页,共53页，2024年2月25日，星期天设总体X的分布列为：是来自总体X的样本，求p的极大解：似然函数为似然估计值。例2第22页,共53页，2024年2月25日，星期天令即所以参数的极大似然估计量为第23页,共53页，2024年2月25日，星期天解例3设X1,X2,…,Xn

是取自总体X

的一个样本,，求参数λ的极大似然估计值。似然函数为:第24页,共53页，2024年2月25日，星期天例4设未知，是一个样本值求的极大似然估计量.解

设的概率密度为：似然函数为第25页,共53页，2024年2月25日，星期天等价于因为对于满足的任意有即时,取最大值在似然函数为第26页,共53页，2024年2月25日，星期天故的极大似然估计值为:故的极大似然估计量为:即时,取最大值在似然函数为第27页,共53页，2024年2月25日，星期天今取得一组样本Xk数据如下，问如何估计θ？162950681001301402702803404104505206201902108001100

某电子管的使用寿命X（单位：小时)服从指数分布例5

指数分布的点估计

分析

可用两种方法：矩法估计和极大似然估计.第28页,共53页，2024年2月25日，星期天1）矩法估计第29页,共53页，2024年2月25日，星期天2）极大似然估计构造似然函数当xi>0,（i=1,2,…,n)时，似然函数为取对数建立似然方程第30页,共53页，2024年2月25日，星期天5.得极大似然估计量：求解得极大似然估计值第31页,共53页，2024年2月25日，星期天似然函数为：例6设为未知参数，是来自X的一个样本值，求的极大似然估计值。解：X的概率密度为：第32页,共53页，2024年2月25日，星期天解得：令即：它们与相应的矩估计量相同.第33页,共53页，2024年2月25日，星期天

注：lnx是

x

的严格单增函数，lnL与L有相同的极大值，一般只需求lnL的极大值.求极大似然估计的一般步骤：写出似然函数2.

对似然函数取对数3.对

i(i=1,…,m)分别求偏导,建立似然方程(组)解得分别为的极大估计值.第34页,共53页，2024年2月25日，星期天例7

矩估计与似然估计不等的例子设总体概率密度为求参数θ的极大似然估计,并用矩法估计θ.解

1)极大似然估计法构造似然函数2.取对数：当0<xi<1,(i=1,2,…,n)时第35页,共53页，2024年2月25日，星期天2.取对数：当0<xi<1,(i=1,2,…,n)时建立似然方程求解得极大似然估计值为5.极大似然估计量为第36页,共53页，2024年2月25日，星期天2)矩估计法第37页,共53页，2024年2月25日，星期天1.矩法估计量与极大似然估计量不一定相同；2.用矩法估计参数比较简单,但有信息量损失；3.极大似然估计法精度较高,但运算较复杂；4.不是所有极大似然估计法都需要建立似然方程小结求解.第38页,共53页，2024年2月25日，星期天解例6.

不合格品率的矩法估计

分析设总体X即抽一件产品的不合格产品数，相当于抽取了一组样本X1，X2，…，Xn,且因p=EX,故p

的矩估计量为

设某车间生产一批产品，为估计该批产品不合格品率，抽取了n件产品进行检查.(即出现不合格产品的频率).第39页,共53页，2024年2月25日，星期天不合格品率p

的估计设总体X是抽一件产品的不合格品数，记

p=P{X=1}=P{产品不合格}则X的分布列可表示为

现得到X的一组样本X1，X2，…,Xn的实际观察值为x1,x2,…,xn,则事件{X1=x1，X2=x2，…,Xn=xn}例7出现的可能性应最大,其概率为第40页,共53页，2024年2月25日，星期天

应选取使L(p)达到最大的值作为参数

p的估计.第41页,共53页，2024年2月25日，星期天令解得（频率值）注意到第42页,共53页，2024年2月25日，星期天其中θ＞0，μ与θ是未知参数，X1，X2，…,Xn，解设总体X的概率密度为是X

的一组样本，求μ与θ的矩估计量.例8第43页,共53页，2024年2月25日，星期天令注意到DX=E(X2)－[E(X)]2=θ2=θ2+(θ+μ)2第44页,共53页，2024年2月25日，星期天例9

均匀分布的极大似然估计

设样本X1，X2，…，Xn来自在区间[0,

]上均匀分布的总体X,求

的极大似然估计.解设x1,x2,…,xn是X1,X2,…,Xn的样本值，似然函数为第45页,共53页，2024年2月25日，星期天#

如图所示，似然函数L在取到最大值，故θ的极大似然估计量为第46页,共53页，2024年2月25日，星期天注意：该似然函数不能通过求导构造似然方程.尝试用其他方法求解！分析

θ的估计应满足：2.θ的值不能小于任何一个xi.1.θ的值尽可能小；第47页,共53页，2024年2月25日，星期天第48页,共53页，2024年2月25日，星期天第七章参数估计§3估计标准说明：退出前一页后一页目录第49页,共53页，2024年2月25日，星期天第七章参数估计§3估计标准例