考研数学二(选择题)模拟试卷(题后含答案及解析)

考研数学二(选择题)模拟试卷82(题后含答案及解析)

题型有：1.

1.设向量组I：al,a2,…，ar可由向量组H：Bl,B2,…，Bs

线性表示，贝U()

A.当r<s时，向量组H必线性相关。

B.当r>s时，向量组H必线性相关。

C.当rVs时，向量组I必线性相关。

D.当r>s时，向量组I必线性相关。

正确答案：D

解析：因为向量组I可由向量组n线性表示，故r(I)Wr(H)Ws。又因为当

r>s时，必有r(I)<r,即向量组I的秩小于其所含向量的个数，此时向量组I

必线性相关，所以应选D。知识模块：向量

2.设非齐次线性方程组Ax=b有两个不同解B1和B2,其导出组的一个基

础解系为al,a2,cl,c2为任意常数，则方程组Ax=b的通解为

A.clal+c2(a1+a2)+(31-32)

B.cla1+C2(a1-a2)+(31+02)

C.clal+c2(B1+B2)+(B1-B2)

D.clal+c2(B1-B2)+(B1+B2)

正确答案：B

解析：因al,a[a2是与基础解系al,a2等价的线性无关向量组，故

a1,al-a2也是Ax=O的基础解系,又由(AB1+AB2)=(B+B)=b知(B1+B2)

是Ax=B的一个解，由解的结构即知(B)正确.知识模块：线性方程组

无穷大量是

正确答案：D

解析：本题四个极限都可以化成的形式，其中n=2,3,故只需讨论极限要

选该极限为+8的，仅当n=3并取“+”号时，即.选

D.知识模块：极限、连续与求极限的方法

4.设XI,X2,…，Xn相互独立同分布，每个分布函数均为F(x),记

X=min(Xl,…，Xn),Y=max(Xl,…，Xn),则(X,Y)的分布函数F(x,y)当y

>x时在(x,y)处的值为()

A.[F(x)F(y)]n

B.[F(y)]n-[F(y)-F(x)]n

C.[F(y)]n-[F(y)-F(x)F(y)]n.

D.[r(x)]n—[F(x)—F(y)]n.

正确答案：B

解析：r(x,y)=P{XWx,YWy}=P{xW+8,YWy}—P{X>x,YWy}

=P{YWy}—P{X>x,y<y}=P{max(Xl,X2,…，Xn)Wy}-P{min(XLX2,…，

Xn)>x,max(XLX2,…，Xn)Wy}=[F(y)]n—P{Xl>x,…，Xn>x,XlWy,…，

XnWy}=[F(y)]n-P{x<XlWy,x<X2Wy,…，x<Xn<y}=[F(y)]n-P{x<Xl

W),}P{xVX2Wy}…P{x<XnWy}=[F(y)]n—[F(y)-F(x)]n(y>x).知识模

块：概率论与数理统计

5.二元函数f(x,丫)=在点(0,0)处

A.连续，偏导数存在

B.连续，偏导数不存在

C.不连续，偏导数存在

D.不连续，偏导数不存在

正确答案：C涉及知识点：多元函数微积分

6.设函数f(x)与g(x)在[0,1]上连续，且f(x)Wg(x),且对任何c£(0,1)

A..

B..

C..

D..

正确答案：D涉及知识点：一元函数积分学

7.设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处()

A.极限不存在

B.极限存在，但不连续

C.连续，但不可导

D.可导

正确答案：D

解析：=f(0)=0,f(x)在x=0点连续.所以f-5(0)=0.故f+，(0)=0,从而f，(0)

存在，且『(0)=0,应选(D).知识模块：一元函数微分学

8.设函数f(x)=则在点x=0处f(x)().

A.不连续

B.连续但不可导

C.可导但导数不连续

D.导数连续

正确答案：D

解析：因为=f(0)=0,所以f(x)在x=0处连续；知识模块：一元函数微分学

9.设f(x)连续，且f，(O)>O,则存在3>；0,使得().

A.f(x)在(0,6)内单调增加

B.f(x)在(-6,0)内单调减少

C.对任意的x£(-6,0),有f(x)>f(0)

D.对任意的xG(0,6),有f(x)>f(0)

正确答案：D

解析：因为f，(0)=>0,所以由极限的保号性，存在3>0,当0>0,当x©(-

6,0)时，f(x)f(0),应选(D)知识模块：高等数学部分

10.已知三阶矩阵A与三维非零列向量a,若向量组a,Aa,A2a线性

无关，而A3a=3Aa—2A2a,那么矩阵A属于特征值入=—3的特征向量是

()

A.a

B.Aa+2a

C.A2a—Aa

D.A2a+2Aa—3a

正确答案：C

解析：由已知A3a+2A2a—3Aa=0,即有(A+3E)(A2a—Aa)=0=O(A2a

—Aa)0因为a,Aa,A2a线性无关，那么必有A2a—AaW0,所以，A2

a—Aa是矩阵A+3E属于特征值入=0的特征向量，也是矩阵A属于特征值入=

—3的特征向量，故选C。知识模块：矩阵的特征值和特征向量

11.设且IAI=m,则IBI=()

A.nio

k

B.-8mo

C.2mo

D.一2mo

正确答案：D

解析：将行列式IA|的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后

第一列乘以2就可以得到行列式IB|。由行列式的性质知IB|=一2IA1=

一2m。知识模块：行列式

12.A=E—aTa,B=E+2aTa,其中E为n阶单位矩阵，则AB等于

A.0.

B.-E.

C.E.

D.E+aTa.

正确答案：C涉及知识点：矩阵

13.设则B=()

A.PlP3Ao

B.P2P3Ao

C.AP3P2o

D.APlP3o

正确答案：B

解析：矩阵A作两次初等行变换可得到矩阵B,而AP3P2,AP1P3描述的

是矩阵A作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵A第一行的2倍加至第三行

后，再第一、二两行互换可得到B；或者把矩阵A的第一、二两行互换后，再

把第二行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3A正是后者，所以应选B。知

识模块：矩阵

14.设函数f(x)=,讨论f(x)的间断点，其结论为()

A.不存在间断点.

B.x=0是可去间断点.

C.x=0是跳跃间断点.

D.x=0是无穷间断点.

正确答案：D

解析：因为所以x=0是f(x)的无穷间断点，故应选(D).知识模块：函数、

极限、连续

15.设非齐次线性微分方程y5+P(x)y=Q(x)有两个不同的解yl(x),y2(x),C

为任意常数，则该方程的通解是()

A.C[yl(x)-y2(x)].

B.yl(x)+C[yl(x)-y2(x)]

C.C[yl(x)+y2(x)].

D.yl(x)+C[yl(x)+y2(x)].

正确答案：B

解析：由于yl(x)-y2(x)是对应齐次线性微分方程y，+P(x)y=O的非零解，所

以它的通解是Y=C[yl(x)—y2(x)],故原方程的通解为y=yl(x)+Y=yl(x)+C[yl(x)

一y2(x)],故应选

B.知识模块：常微分方程

16.设al,a2,a3线性无关，Bl可由al,a2,a3线性表示，B2

不可由al,a2,a3线性表示，对任意的常数卜有().

A.a1,a2,a3,kB1+B2线性无关

B.a1,a2,a3,kB1+B2线性相关

C.a1,a2,a3,Bl+kB2,线性无关

D.a1,a2,…，a3,Bl+kB2线性相关

正确答案：A

解析：因为Bl可由al,a2,a3线性表示，B2不可由al,a2,a3

线性表示，所以kB1+B2一定不可以由向量组a1,a2,a3线性表示，所以

al,a2,a3,kB1+B2线性无关，选(A)知识模块：线性代数部分

17.设入1,入2是n阶矩阵A的特征值，a1,a2分别是A的对应于入1,

入2的特征向量，则()

A.当入1=入2时，a1,a2对应分量必成比例

B.当入1=入2时，a1,a2对应分量不成比例

C.当入1关入2时，a1,a2对应分量必成比例

D.当入1W入2时，a1,a2对应分量必不成比例

正确答案：D

解析：当入1=入2时，a1与a2可以线性相关也可以线性无关，所以al,

a2可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A),(B).当入1

W入2时，a1,a2一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选①).知识模

块：线性代数

18.设al,a2,a3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且

r(A)=3,a1=[1,2,3,4]T,a2+a3=[0,1,2,3]T,k是任意常数,则方程

组AX=b的通解是()

A.

B.

C.

D.

正确答案：C

解析：方程组有齐次解：2al—(a2+a3)=[2,3,4,5]T,故选(C).知

识模块：线性代数

19.已知a1是矩阵A属于特征值入=2的特征向量，a2,a3是矩阵A

属于特征值入=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是()

A.[al,一a2,a3]

B.[al,a2+a3,a2-2a3]

C.[a1,a3,a2]

D.[a1+a2,a1-a2,a3]

正确答案：D

解析：P=[a1,a2,a3],则有AP=PA,即即[Aa1,Aa2,Aa3]=[al

al,a2a2,a3a3].可见ai是矩阵A属于特征值ai的特征向量(i=l,2,

3),又因矩阵P可逆，因此，al,a2,a3线性无关.若a是属于特征值

入的特征向量，则一a仍是属于特征值人的特征向量，故(A)正确.若a,

0是属于特征值人的特征向量，则kla+k2B仍是属于特征值人的特征向量.本

题中，a2,a3是属于入=6的线性无关的特征向量，故a2+a3,a2—2a3

仍是入=6的特征向量，并且a2+a3,a2—2a3线性无关，故(B)正确.关

于(C),因为a2,a3均是入=6的特征向量，所以a2,a3谁在前谁在后均正

确.即(C)正确.由于al,a2是不同特征值的特征向量，因此a1+a2,

al-a2不再是矩阵A的特征向量，故(D)错误.知识模块：线性代数

20.设A为n阶实矩阵，则对线性方程组(I)AX=0和(II)ATAX=0,必有

()

A.(H)的解是(I)的解，(I)的解也是(II)的解

B.(11)的解是(1)的解，但(I)的解不是(II)的解

C.(I)的解不是(H)的解，(n)的解也不是(I)的解

D.(I)的解是(II)的解，但(II)的解不是①的解

正确答案：A

解析：方程AX=0和ATAX=0是同解方程组.知识模块：线性代数

21.设A为mXn矩阵，B为nXm矩阵，则

A.当m>n时，必有|AB|W0.

B.当m>n时，必有|AB|=0.

C.当n>m时，必有|AB|W0.

D.当n>m时，必有|AB|=0.

正确答案：C

解析：当m>n时,r(AB)Wr(A)WnVm,注意AB为m阶方阵，故|AB|=0.知

识模块：线性代数

22.设平面区域D：lWx2+y2W4,f(x,y)是区域D上的连续函数，则

等于().

A.2n/12rf(r)dr

B.2n[112rf(r)dr-f01rf(r)dr]

C.2nf12rf(r2)dr

D.2n[/02rf(r2)dr-f01rf(r2)