2021-2022学年辽宁省六校协作体高二下学期第三次联考数学试题（解析版）

2021-2022学年辽宁省六校协作体高二下学期第三次联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式不等式的解法求出集合，再根据交集的定义即可得出答案.【详解】解：由，得，解得，则，，所以.故选：B.2．“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】先化简，再依据充分非必要条件的定义去判断二者的逻辑关系【详解】由，可得或则由“”可以得到“”；由“”不能得到“”则“”是“”的充分非必要条件故选：A3．若，则下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不等式的性质可判断ABD，利用赋值法即可判断C，如.【详解】解：因为，所以，所以，，，故ABD正确；对于C，若，则，故C错误.故选：C.4．等差数列的前n项和为，若，则公差(

)A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据等差数列通项公式和前n项和公式列出关于和d的方程组求解即可．【详解】由题可知．故选：B．5．函数的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可判断A、D，再根据时函数值的特征排除C，即可判断；【详解】解：因为，所以，令，即，解得、，所以当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，故排除A、D；当时，，所以，故排除C；故选：BA． B． C． D．【答案】B【分析】【详解】故选：B7．在数列中，，且，（

）A．0 B．1300 C．2600 D．2650【答案】D【分析】分为奇数和为偶数两种情况讨论，再利用分组求和法及等差数列前项和的公式，即可得出答案.【详解】解：当为奇数时，，所以数列的奇数项是以0为公差的等差数列，当为偶数时，，所以数列的偶数项是以2为公差的等差数列，所以，所以.故选：D.8．已知函数在R上存在导函数，对满足，在上，若，实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意设，由条件和奇函数的定义判断出是上的奇函数，求出后结合条件判断出符号，由导数与单调性的关系判断出在上的单调性，由奇函数的性质判断出在上的单调性，由的解析式化简已知的不等式，利用的单调性列出不等式，求出实数的取值范围．【详解】解：由题意设，对有，，则函数是上的奇函数，在上，，则函数在上递减，由奇函数的性质知：函数在上递减，，，则，解得，故选：C．二、多选题9．投掷一枚质地均匀的股子，事件“朝上一面点数为奇数”，事件“朝上一面点数不超过”，则下列叙述正确的是（

）A．事件互斥 B．事件相互独立C． D．【答案】BD【分析】根据互斥事件和独立事件定义可知AB正误；根据可知C错误；由条件概率的公式可求得D正确.【详解】对于A，若朝上一面的点数为，则事件同时发生，事件不互斥，A错误；对于B，事件不影响事件的发生，事件相互独立，B正确；对于C，，C错误；对于D，，，，D正确.故选：BD.10．已知数列的前项和，则（

）A． B．不是等差数列C．数列中最小 D．【答案】BD【分析】根据求出数列的通项公式，即可判断A、B、C，再根据数列的特征计算D；【详解】解：因为，当时，当时，所以，显然当时不成立，所以，所以从第二项起以为公差的等差数列，故数列不是等差数列，即A错误，B正确；从第二项起为递增的等差数列，又，所以为数列的最小项，故C错误；因为，所以，故D正确；故选：BD11．已知，，且，则（

）A．的最大值是 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最小值是5【答案】ABC【分析】利用基本不等式一一计算可得．【详解】解：对于A，由，，可得，所以，当且仅当，取得最大值，故A正确，对于B，，，且，则，所以，所以，当且仅当，时取等号，故B正确，对于C，，，且，则，当且仅当，时等号成立，的最小值为4，故C正确，对于D，，，，，当且仅当，时，等号成立，的最小值为9，故D错误．故选：ABC．12．已知函数，则下列说法正确有（

）A．时， B．在定义域内单调递增时，C．时，有极值 D．时，的图象存在两条相互垂直的切线【答案】ABD【分析】对函数求导得，A代入自变量求参数值即可；B由在上恒成立，求范围即可；C判断时的符号即可；D利用导数研究的单调性及值域，判断定义域内是否存在即可.【详解】由题设，函数定义域为，且，A：，则，正确；B：在定义域上递增，即在上恒成立，只需，而在上的最大值为，故，正确；C：由B分析知：当时恒成立，此时无极值，错误；D：令，则，当时，递减；当时，递增；又，故，趋向于0或正无穷时都趋向于正无穷，所以上各有一个零点，故上，上，故必存在，即存在两条相互垂直的切线，正确.故选：ABD三、填空题13．已知且，则的取值范围___________.【答案】【分析】根据不等式的性质进行求解.【详解】由，由，相加得.故答案为：.14．曲线在处的切线方程为______．【答案】【分析】先求切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用点斜式即可求解切线方程.【详解】解：当时，，故切点坐标为，又，故当时，，所以切线斜率为-4，所以切线方程为，即.故答案为：.15．设随机变量X的分布列为，若，则实数a的取值范围为______．【答案】【分析】求出，即得解.【详解】解：因为，所以，，，．又，又，所以．故答案为：.16．已知，若在上存在x使得不等式成立，则a的最小值为______．【答案】【分析】将原式化为，构造函数，求导得函数在上单调递增，即得，两边取对数分离参数，构造函数，利用导数求解函数的最小值即可.【详解】解：不等式成立，即成立，因为，所以，令，则，因为，所以在上单调递增，所以，即，因为在上存在x使得不等式成立，所以，令，则，故当时，取得最小值.所以，即a的最小值为.故答案为：.四、解答题17．已知等差数列满足，．（1）求的通项公式及前n项和；（2）设等比数列满足，，求数列的通项公式．【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）先求出首项和公差，即可求出通项公式和；（2）先求出，即可得出公比，求出通项公式.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，，；（2），，则公比为，.18．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.(1)根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；(2)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.【答案】(1)频率为：0.08；平均分为102；(2).【分析】（1）根据频率之和为1即可求出；根据频率分布直方图直接列式即可计算；（2）可得第六组3人，第八组2人，随机抽取2名，列出所有基本事件，再求出分差的绝对值小于10分包含的基本事件，即可求出概率.【详解】(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：；用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：；(2)样本成绩属于第六组的有人，设为A，B，C，样本成绩属于第八组的有人，设为a，b，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件有，，，，，，，，，共10种，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件有，，，，共4种，∴他们的分差的绝对值小于10分的概率．19．已知是函数的一个极值点，(1)求在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）依题意可得，即可求出的值，再求出函数的单调区间，即可得到函数的极值，最后求出区间端点值，即可求出函数的最值；【详解】(1)解：因为，所以，所以，则函数在点处的切线方程为，即；(2)解：依题意，即，解得，所以，当或时，当时，即在和上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，在处取得极小值；因为，所以在和上单调递增，在上单调递减，又，，，，所以，；20．国防科技大学是我国军事学院的最高学府，被称为“军中清华”学校拟计划对今年招收的部分新生做一个测试，抽取40名新生对关于报考志愿的首要考虑因素进行调查，所得统计结果如下表所示：男生女生总计以祖国的国防事业为首要考虑因素1026以实现自己的军人梦为首要考虑因素4总计2040(1)完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为新生报考志愿的首要考虑因素与性别有关；(2)若测试调查共设置2个环节，新生需要参加全部环节的测试，每个环节设置两个项目，若新生每通过一个项目积2分，未通过积分．已知新生甲第1环节每个项目通过的概率均为第2环节每个项目通过的概率为，各环节、各项目间相互独立．求甲经过两个环节的测试后所得积分之和的分布列和数学期望．参考公式：，其中．参考数据：0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为“新生报考志愿的首要考虑因素与性别有关”(2)分布列见解析，数学期望为【分析】（1）由已知条件完成2×2列联表，计算，即可求解.（2）由题意可得，ξ的所有可能取值为，2，5，8，分别求出其对应的概率，即可求出ξ的分布列，并结合期望公式，即可求解.【详解】(1)补充2×2列联表如下所示：男生女生总计以祖国的国防事业为首要考虑因素101626以实现自己的军人梦为首要考虑因素10414总计202040∴∴有95%的把握认为“新生报考志愿的首要考虑因素与性别有关”(2)ξ的所有可能取值为，2，5，8，，，，.所以，的分布列为ξ258P∴21．设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，都有．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，再根据构造法，即可得出答案；（2）利用错位相减法和分组求和法计算即可得出答案.【详解】(1)解：∵对任意的正整数都成立，∴，两式相减，得，∴，即，∴，∴是以2为公比的等比数列，由已知得，，即；(2)∵，∴，∴，两式相减，得∴.22．已知，.（1）讨论的单调区间；（2）当时，证明：.【答案】（1）在上单调递减；在和上单调递增.（2）见解析【解析】（1）先求函数的定义域，再进行求导得，对分成，，三种情况讨论，求得单调区间；（2）要证由，等价于证明，再对分，两种情况讨论；证明当时，不等式成立，可先利用放缩法将参数消去，转化成证明不等式成立，再利用构造函数，利用导数证明其最小值大于0即可。【详解】（1）的定义域为，，当时，由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，由，得或；由，得；所以在上单调递减，在和上单调递增；当时，由，得在上单调递增；当时，由，得或；由，得；所以在上单调递减；在