13.3.1等腰三角形（二）等腰三角形的判定原卷版

等腰三角形（二）等腰三角形的判定知识点管理瞄准目标，牢记要点知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究等腰三角形的判定等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.几何语言：如图，在△等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.几何语言：如图，在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC.“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等.因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“顶角”、“腰”这些名词.“等边对等角”和“等角对等边”的区别：由三角形的两边相等得出它们所对的角相等是性质；由三角形的两角相等得出它是等腰三角形是判定.题型一：格点图中画等腰三角形【例题1】（2022·陕西·无八年级期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8变式训练【变式1-1】（2022·河南安阳·八年级期末）如图，A，B两点在一个的正方形网格的格点上，每个小方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C的个数为（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【变式1-2】（2022·山东淄博·七年级期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（

）A．3个 B．4个C．5个 D．6个【变式1-3】（2022·山东菏泽·八年级期末）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知，是两格点，如果点也是格点，且使得是以为腰的等腰三角形，那么点的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个题型二：找出图中的等腰三角形【例题2】（2019·内蒙古赤峰市·八年级期中）如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个变式训练【变式2-1】（2021·湖北八年级期末）已知，如图，在ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有个等腰三角形．【变式2-2】（2021·吉林八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC．（1）求证：AB+BE=CD．（2）若AD=BC，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．【变式2-3】（2020·南昌市心远中学八年级期中）在下图中，将图1中的，沿翻折得到图2，将图2中的不动，把向左平移得图3，则图3中有__________个等腰三角形．题型三：根据等角对等边证明等腰三角形【例题3】（2021·广东·深圳市龙岗区布吉街道可园学校八年级阶段练习）已知：如图，点D是△ABC的BC边的中点，，垂足分别为E、F，且DE＝DF．求证：△ABC是等腰三角形．变式训练【变式3-1】（2021·云南红河·八年级期末）如图，在中，点E在上，点D在上，、交于点F，且，试判断的形状，并说明理由．【变式3-2】（2022·河南南阳·八年级期末）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，BD=BE．求证：(1)△CED是等腰三角形；(2)BD+AD=BC．【变式3-3】（2022·浙江台州·八年级期末）如图，D是Rt△ABC斜边BC上的一点，连接AD，将△ACD沿AD翻折得△AFD，恰有AF⊥BC，(1)若∠C＝35°，∠BAF＝；(2)试判断△ABD的形状，并说明理由．题型四：根据等角对等边求边长【例题4】（2019·云南玉溪·八年级期中）如图，AE=AD，∠ABC=∠ACB，BE=4，AD=5，求AC的长度．变式训练【变式4-1】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点，，，四点共线，且，，．（1）求证：；（2）若，，求线段的长．【变式4-2】（2020·湖北恩施·八年级阶段练习）如图所示，一艘轮船在近海处由南向北航行，点是灯塔，轮船在处测得灯塔在其北偏东42°的方向上，轮船又从向北航行30海里到，测得灯塔在其北偏东84°的方向上．（1）求的度数：（2）轮船在处时，到灯塔的距离是多少？【变式4-3】（2021·山东七年级期末）如图，在中，，点，在上，．（1）求证：≌．（2）若，，求的长．【题型5】直线上与已知两点组成等腰三角形的点【例题5】（2021·青岛市崂山区第三中学九年级其他模拟）如图，直角坐标系中，点、，点P在x轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点P共______个．变式训练【变式5-1】（【新东方】初中数学1238初二上）如图，在中，，，在直线或直线上取点，使得为等腰三角形，符合条件的点有_______个．【变式5-2】（2021·上海七年级期末）如图，在直线上有一点，直线外有一点，点在直线上，是以、为腰的等腰三角形．（1）在图中画出（2）已知，求【变式5-3】如图所示，直线m，n交于点B，m，n的夹角为，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使是等腰三角形，这样的点C有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型6】作等腰三角形【例题6】（2021·陕西九年级一模）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请利用尺规作图法在AC上求作一D，使得BD把△ABC分成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）变式训练【变式6-1】（【新东方】初中数学20210625-003【初二上】）已知和线段（如图），用直尺和圆规作等腰三角形，使顶角，底边上的高线．【变式6-2】如图，有一块三边长分别为的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为的等腰三角形．在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．【变式6-3】（2021·山东九年级一模）已知：如图，和线段h求作：等腰，使顶角，底边上的高为h．【题型7】等腰三角形的性质与判定变式训练【变式7-1】（【新东方】初中数学1307【初二上】）在中，平分是上一点，交于F点，交的延长线于交的延长线于点H．（1）求证：是等腰三角形；（2）猜想与的大小有什么关系？证明你的猜想．【变式7-2】（2021·沈阳市第七中学八年级月考）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=°．【变式7-3】（2019·全国八年级专题练习）如图所示，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的平分线.链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2022·广东广州·中考真题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B=∠C，BD=CE，求证：△ABD≌△ACE【真题2】（2021·广西河池·中考真题）如图，是的外角．（1）尺规作图：作的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；（2）若，求证：．【真题3】（2020·山东济宁·中考真题）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（

）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（2020·全国七年级单元测试）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交A