留数及其应用对数留数与辐角原理

关于留数及其应用对数留数与辐角原理如果函数f(z)在z0的邻域内解析,C是此邻域内一条简单闭曲线，那末根据柯西积分定理有因此f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R两端沿C逐项积分:一、留数的概念及留数定理如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分一般就不等于零.第2页,共59页，2024年2月25日，星期天定义5.4设z0为f(z)

的孤立奇点，f(z)

在z0

邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)–1

的系数c–1称为f(z)在z0的留数，记作Res[f(z),z0]即Res[f(z),z0]=c–1

（1）第3页,共59页，2024年2月25日，星期天第4页,共59页，2024年2月25日，星期天定理5.7(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线,则（3）Dz1z2z3znC1C2C3CnC第5页,共59页，2024年2月25日，星期天证明把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注解1、留数定理在两个从定义上看，完全不同，也不相干的概念之间架起一个桥梁，是非常重要的。注解2、具体计算一定要注意前面的系数第6页,共59页，2024年2月25日，星期天

一般来说求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中(z-z0)-1项的系数c-1即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.

如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.第7页,共59页，2024年2月25日，星期天法则I二、函数在极点的留数求法例5.17求函数在各孤立奇点处的留数解：由于

是的一阶极点，有第8页,共59页，2024年2月25日，星期天法则II第9页,共59页，2024年2月25日，星期天第10页,共59页，2024年2月25日，星期天证明：由条件法则III第11页,共59页，2024年2月25日，星期天解：因是的二阶极点，则由公式

（5）有例5.19求函数在

处的留数

第12页,共59页，2024年2月25日，星期天例

函数在极点处的留数解：因为函数有两个一阶极点，且

第13页,共59页，2024年2月25日，星期天第14页,共59页，2024年2月25日，星期天第15页,共59页，2024年2月25日，星期天三、

函数在无穷远点的留数

定义5.5设∞为f(z)的一个孤立奇点,即f(z)在圆环域

R<|z|<+∞内解析,则称设f(z)在R<|z

|<+∞内的洛朗展式为这里

C-是顺时针方向为f(z)在点∞的留数,记为第16页,共59页，2024年2月25日，星期天这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R<|z|<+内洛朗展开式中z-1的系数变号.第17页,共59页，2024年2月25日，星期天

定理5.8如果f(z)在C∞上只有有限个孤立点(包括无穷远点在内),z1,z2,…，zn,∞,则f(z)在各点的留数总和为零.,

证明：对于充分大的正数

,使全在内，由留数定理得第18页,共59页，2024年2月25日，星期天故得

法则Ⅳ：

例5.22求函数在它各有限奇点的留数总和。第19页,共59页，2024年2月25日，星期天

解：函数的有限奇点是2及，共五个其中2是三阶极点，每个是二阶极点，显然，逐个求出在各奇点的留数，不论用规则2或展开洛朗级数，都是十分麻烦的，现在我们利用定理5.8来求：第20页,共59页，2024年2月25日，星期天所以欲求的留数之和为1例5.23计算积分，其中为正向圆周：第21页,共59页，2024年2月25日，星期天解：除外，被积函数的奇点是，据定理5.8有由于都在C的内部，第22页,共59页，2024年2月25日，星期天

课后作业一、

思考题1，2，3

二、习题五：7-10第23页,共59页，2024年2月25日，星期天第三讲§5.3留数在定积分中的应用*§5.4对数留数与辐角原理第24页,共59页，2024年2月25日，星期天.§5.3留数在定积分中的应用(Residueintheapplicationofdefiniteintegral)二、形如型积分一、形如的积分三、形如的积分第25页,共59页，2024年2月25日，星期天在数学分析中往往要计算一些定积分或反常积分，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；或者可以求出原函数，但计算也非常繁琐。在这种情况下把这些定积分的计算问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数。下面通过例子进行讨论.一、形如的积分第26页,共59页，2024年2月25日，星期天并且在上连续.表示,的有理函数,这里令当经历变程时,z沿圆周|z|=1的正方向绕行一周.因此有第27页,共59页，2024年2月25日，星期天例5.24求的值.解:由于,被积函数的分母在内不为零,因而积分是有意义的.第28页,共59页，2024年2月25日，星期天第29页,共59页，2024年2月25日，星期天在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二阶极点,z=p为一阶极点.第30页,共59页，2024年2月25日，星期天例

计算积分

其中常数有两个极点在内只有一个极点第31页,共59页，2024年2月25日，星期天二.形如型积分其中

为有理分式函数.于是求得第32页,共59页，2024年2月25日，星期天为互质多项式,且合条件:

定理5.9设为有理分式,其中(1)、,即

比至少高两次，（2）在实轴上无零点，第33页,共59页，2024年2月25日，星期天取积分路径如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包含在这积分路径内.z1z2z3yCR-RROx第34页,共59页，2024年2月25日，星期天例5.25第35页,共59页，2024年2月25日，星期天第36页,共59页，2024年2月25日，星期天

其中

为有理分式函数.定理

5.10设

为有理分式函数.其中与

为互质多项式,且满足条件:(1)、

的次数比

的次数高。(2)、

在实轴上无零点。三、形如的积分第37页,共59页，2024年2月25日，星期天注：公式（2）与（3）都要求

在实轴上无零点，即

在实轴上无孤立奇点，若

在实轴上有孤立奇点，则将(3)式实,虚部分开,得到形如:第38页,共59页，2024年2月25日，星期天例

求的值解：这里m=2,n=1,m-n=1.

在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的，在上半平面内有一阶极点ai,第39页,共59页，2024年2月25日，星期天

例5.27计算积分的值.解：

因为是偶函数,所以而

在上半平面内无奇点，第40页,共59页，2024年2月25日，星期天由公式（4）比较等式两端的实,虚部得第41页,共59页，2024年2月25日，星期天*§5.4对数留数与辐角原理(Logarithmicresidueandargumentprinciple)一、对数留数二、辐角原理三、儒歇（Rouche）定理第42页,共59页，2024年2月25日，星期天一、对数留数定义5.6形如

的积分称为对数留数。显然,函数f(z)的零点和奇点都可能是的奇点.第43页,共59页，2024年2月25日，星期天

证明:如a为f(z)的n阶零点,则在点a的邻域内有引理(1)设a为f(z)的n阶零点,则a必为函数(2)设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数其中g(z)在点a的邻域内解析,且g(a)≠0.于是的一阶极点,且的一阶极点,且第44页,共59页，2024年2月25日，星期天由在点a的邻域内解析,(2)如b为f(z)的m阶极点知在点b的去心邻域内有的一阶极点,且知a必为的一阶极点,且故b为其中在点b的邻域内解析第45页,共59页，2024年2月25日，星期天定理5.11设C是一条围线,f(z)符合条件:(1)

证明：设ak(k=1,2,…p)为f(z)在C内部的不同零点,其阶数相应地为nk;bj(j=1,2,…q)为f(z)在C(1)f(z)在C内部除有限个极点外是解析的;(2)f(z)在C上解析且不为零，则式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零点与极点的个数（m阶零点（或极点）算m个）第46页,共59页，2024年2月25日，星期天在C内部及C上除去在C内部有一阶极点ak(k=1,2,…p)及bj(j=1,2,…q)均是解析的.故由留数定理,及引理得例1、计算积分内的不同极点,其级数相应地mj,则根据引理知,第47页,共59页，2024年2月25日，星期天为了说明对数留数几何意义，我们将对数留数写成二、

辐角原理函数是z的单值函数，当

起沿简单闭曲线绕行一周回到

时有第48页,共59页，2024年2月25日，星期天另一方面，当起沿正方向绕行简单闭曲线一周回到

时，的值可能改变。于是式中

表示沿

正方向绕行一周后

的改变量，是

的整倍数。第49页,共59页，2024年2月25日，星期天定理5.12（辐角原理）在定理5.11的条件下，

在闭曲线的内部的零点个数与极点个数之差，等于当

沿

正方向绕行一周后

的改变量

除以，即特别，如

在

的内部及上均解析，且

在上不为零时，则第50页,共59页，2024年2月25日，星期天定理5.13(儒歇(Rouche)定理)

证明：由假设f(z)与f(z)+

(z)在C内部解析,且连续到C,在C上有|f(z)|>0,及三、

儒歇(Rouche)定理设C是一条围线,函数f(z)及

(z)满足条件:(1)它们在C的内部均解析,且连续到C;(2)在C上,|f(z)|>|

(z)|则f(z)与f(z)+

(z)在C内部有同样多的零点,即

第51页,共59页，2024年2月25日，星期天由关系式下面只须证明C0z201

第52页,共59页，2024年2月25日，星期天根据条件(2),当z沿C变动时将z平面上的围线C变成平面上的闭曲线

,借助函数即是说,点

不会围着原点

=0

绕行.

全在圆周|

-1|=1的内部.第53页,共59页，2024年2月25日，星期天例1方程在内根的个数。解：取由于当时，我们有由此可知：在

上，有根据儒歇定理已给方程在内根的个数与在内根的个数相同，