2024年成都市新津区高二数学3月份检测试卷附答案解析

2024年成都市新津区高二数学3月份检测试卷试卷满分150分．考试时间120分钟．2024.03一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等差数列中，，，则等于（

）A． B． C． D．2．已知等比数列的前两项分别为1，－2，则该数列的第4项为（

）A．4 B．－4 C．8 D．－83．在数列中，已知，，且（），则（

）A．13 B．9 C．11 D．74．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则（

）A．B．C． D．5．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（

）A．50 B．70 C．90 D．1106．“数列和都是等比数列”是“数列是等比数列”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（

）A． B． C． D．8．谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（

）A． B．C． D．二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，错选或不选得0分，少选得部份分.9．下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（

）．A．1，，，，…，，…B．，，，，…，，…C．，，，…，，…D．1，，，…，，…10．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（

）A． B． C． D．11．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列，则（

）A．若，则从开始出现数字2；B．若，则的最后一个数字均为；C．可能既是等差数列又是等比数列；D．若，则均不包含数字4.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．在等差数列中，，则．13．数列是等比数列，且前项和为，则实数．14．习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.按新数列的各项依次派遣支教学生.记为派遣70批学生后支教学生的总数，则的值为.四、解答题：本大题共6个小题，共计70分.15．在等比数列中.(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求；(2)若an＝625，n＝4，q＝5，求；(3)若a4＝2，a7＝8，求an.16．已知数列满足，且成等比数列，(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.17．已知正项数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，的前项和为，求.18．王先生今年初向银行申请个人住房贷款80万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清．银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)．(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还12000元，最后一个还贷月应还5000元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3％，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为17000元，试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素)．参考数据19．随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．(1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？(2)数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值；(3)各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值．1．B【分析】求出等差数列的公差，即可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，则，故.故选：B.2．D【分析】由题可得数列的首项和公比，即可得答案.【详解】依题意可得该等比数列的公比为，首项为1，所以该数列的第4项为．故选：D3．C【分析】根据递推公式，结合，通过赋值，即可求得.【详解】由题意可知，.故选：C.4．B【分析】由题目条件可得，再利用余弦定理代入求解即可.【详解】因为，，满足成等比数列，得，且，得，由余弦定理，，故选：B.5．B【分析】利用等比数列的片段和性质列式计算即可.【详解】由等比数列的片段和性质得，，成等比数列所以所以，解得.故选：B.6．A【分析】根据等比数列的定义和通项公式可证明充分性成立，举例说明可证明必要性不成立，即可求解.【详解】若数列都是等比数列，设其公比分别为为常数)，则，所以当时，，为常数，由等比数列的定义知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故充分性成立；若数列是等比数列，设，当，时，满足，但都不是等比数列，故必要性不成立.所以“数列、都是等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件.故选：A7．B【分析】根据等差数列的定义和通项公式进行求解即可.【详解】由，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，即，所以有，显然当时，，因此中最小的一项是，故选：B8．C【分析】根据等比数列的前项和公式求得正确答案.【详解】由图可知，图2024中挖去的白色三角形个数是：.故选：C9．BD【分析】按已知条件逐一分析各个选项即可得解.【详解】对于A，1，，，，…，，…为递减数列，故A错误；对于B，，，，，…，，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确；对于C，，，，…，，…中，故不是递增数列，故C错误；对于D，1，，，…，，…既是无穷数列又是递增数列的，故D正确.故选：BD.10．ACD【分析】利用观察归纳法，结合等差数列前n项和公式求出，再逐项判断即得.【详解】依题意，，，AD正确；，，B错误；，，C正确.故选：ACD11．BCD【分析】由外观数列的定义可判断A和②；举例子可判断③；由反证法，结合外观数列的定义可判断④.【详解】对于A，当时，由外观数列的定义可得：，，，故A错；对于B，由外观数列的定义可知，每次都是从左向右描述，所以第一项的始终在最右边，即最后一个数字，故B正确；对于C，取，则，此时既是等差数列又是等比数列，故C正确；对于D，当时，由外观数列的定义可得：，，，.设第一次出现数字4，则中必出现了4个连续的相同数字.而的描述必须包含“个，个”，显然的描述不符合外观数列的定义.所以当时，均不包含数字4，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查数列的新定义、根据数列的递推关系式写出数列中的项及利用递推关系式研究数列的性质.解题关键在于理解数列的新定义，明确数列的递推关系式.12．6【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算即得.【详解】在等差数列中，，解得，所以.故答案为：613．【分析】由作差求出的通项，再由是等比数列，求出.【详解】因为，当时，当时，所以，则，又数列是等比数列，所以，解得.故答案为：14．390【分析】由题可得，然后根据条件可得数列的前70项含有前6项和64个3，进而得解.【详解】数列满足，，在任意相邻两项与之间插入个3，其中之间插入2个之间插入4个之间插入8个之间插入16个，之间插入32个之间插入64个.又，数列的前71项含有前6项和65个3，故.故答案为：390.15．(1)405(2)5(3)an＝【分析】考查等比数列的通项公式，利用通项公式进行计算即可.【详解】（1）易知，，故.（2）由.（3）.所以.16．(1)(2)最小值为,【分析】（1）为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式；（2）求出，求出最小值及的值.【详解】（1）由知为等差数列，设的公差为，则，成等比数列，所以，即，解得，又，所以的通项公式为；（2）由(1)得，所以当时，取得最小值，最小值为17．(1)(2)【分析】（1）根据与的关系化简求解即可；（2）采用分组求和的方式计算即可.【详解】（1）①②①-②整理得数列是正项数列，当时，数列是以2为首项，4为公差的等差数列，；（2）由题意知，，故.18．(1)元(2)能，理由见解析【分析】（1）每月还款金额构成等差数列，设为，求和得到总金额，减去本金得到利息.（2）设王先生每月还款为元，根据等比数列性质得到方程，解得答案.【详解】（1）每月还款金额构成等差数列，设为，表示数列的前项和，则，，故，故总利息为：(元).（2）设王先生每月还款为元，则，即，解得，，故贷款能够获批.19．(1)不是等差数列，是等差数列(2)(3)2【分析】（1）理清条件的新定义，结合等差数列性质进行判断；（2）根据新定义和等差数列、等比数列的性质等进行分类讨论求解；（3）根据等差数列的性质以及新定义求解出，运用均值不等式求解出的范围，从而得出的最值.【详解】（1）因为，所以，因为，，，故，，显然，所以不是等差数列；因为，则，，所以是首项为12，公差为6的等差数列.（2）因为数列是以1为公差的等差数列，所以，故，所以数列是以公比为的正项等比数列，，所以，且对任意的，都存在，使得，即，所以，因为，所以，①若，则，解得（舍），或，即当时，对任意的，都存在，使得.②若，则，对任意的，不存在，使得.综上所述，.（3）因为为常数列，则是等差数列，设的公差为，则，若，