2024年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学一模试卷一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用2B铅笔填涂在答题卡上）1．（3分）实数P在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数P小的是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2．（3分）积木有助于开发智力，有利于数学概念的早期培养．某积木配件如图所示，则它的左视图为（）A． B． C． D．3．（3分）人才是深圳城市发展的重要基因，深圳人才公园是全国第一个人才主题公园，占地面积约770000平方米．数据770000用科学记数法表示为（）A．0.77×104 B．7.7×105 C．77×103 D．7.7×1064．（3分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生），组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（）A． B． C． D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．5a﹣2a＝3a2 B．a2•a3＝a6 C．（b+1）2＝b2+1 D．（﹣2a）3＝﹣8a36．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°7．（3分）榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面ABCD是梯形，AB＝DC，燕尾角∠B＝α，榫槽深度是b，则它的里口宽BC为（）A．+a B．+a C．btanα+a D．2btanα+a8．（3分）明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，则多2个杏．有多少个牧童，多少个杏？设共有x个牧童（）A．3×5x+10＝4×8x+2 B． C． D．9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E在BC边上，连接EA，点E的对应点为点F，连接CF（）A． B． C． D．10．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）经过点（﹣1，m）、（1，n）和（3，p），若在m，n，只有一个是正数，则a的取值范围为（）A． B．a＜﹣1 C．﹣＜a＜0 D．﹣1≤a＜0二、填空题（本题有5小题，每题3分，共15分，把答案填在答题卡上）11．（3分）因式分解2a2﹣4a+2＝．12．（3分）“每天一节体育课”成深圳中小学生标配，某校九年级三班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个），11，10，6，14，11，11，9．则这组数据的中位数为．13．（3分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，且点D在上，∠BCD＝30°，则．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰△ABC的底边BC在x轴的正半轴上（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点D，△BOD的面积为，则k的值为．15．（3分）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得AE＝2CE，将△BCE沿BE翻折得到△BFE，连接DF．若BC＝4．三、解答题（本题共7小题，共55分）16．（5分）计算：．17．（7分）先化简，再从不等式组﹣1≤x＜3中选择一个适当的整数，代入求值．18．（8分）科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查（部分信息未给出）．请你根据以上信息解决下列问题：（1）参加问卷调查的学生人数为50名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；（2）在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占%，所对应的圆心角度数为；（3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？19．（8分）某社区采购春节慰问礼品，购买了甲、乙两种类型的粮油套装．甲种粮油套装单价比乙种粮油套装单价多30元，用1200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮油套装的数量相同．（1）求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元？（2）社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共40件，购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的3倍，且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠．问购买甲种和乙种粮油套装各多少件时花费最少？最少花费是多少元？20．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E（1）下列条件：①D是AC边的中点；②D是的中点；③BA＝BC．请从中选择一个能证明直线HG是⊙O的切线的条件，并写出证明过程；（2）若直线HG是⊙O的切线，且HA＝2，HD＝421．（9分）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力）（米）与其运动时间t（秒）的几组数据如表：运动时间t（秒）0123456…高地面高度h（米）0356075807560…（1）在如图平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接，小钢球离地面高度h（米）与其运动时间t（秒），请求出h关于t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．（2）在弹射小钢球的同一时刻，无人机开始保持匀速竖直上升，无人机离地面高度h（米）（秒）之间的函数关系式为h1＝5t+30．①在小钢球运动过程中，当无人机高度不大于小钢球高度时，无人机可以采集到某项相关性能数据秒；②弹射器间隔3秒弹射第二枚小钢球，其飞行路径视为同一条抛物线．当两枚小钢球处于同一高度时，求此时无人机离地面的高度．22．（10分）如图1，菱形ABCD中，∠B＝α，E是边BC上一动点（不与点B，C重合），连接DE，连结AC′并延长交直线DE于点P，F是AC的中点，DF．（1）填空：DC′＝，∠APD＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，当α＝90°，题干中其余条件均不变AF．（3）在（2）的条件下，连接AC．①若动点E运动到边BC的中点处时，△ACC′的面积为．②在动点E的整个运动过程中，△ACC′面积的最大值为．

2024年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用2B铅笔填涂在答题卡上）1．（3分）实数P在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数P小的是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．【解答】解：观察数轴可知：﹣2＜P＜﹣1，∵正数＞负数＞3，∴﹣3＜﹣2＜﹣2＜0＜，∴这几个实数比P小的数是﹣7，故选：A．2．（3分）积木有助于开发智力，有利于数学概念的早期培养．某积木配件如图所示，则它的左视图为（）A． B． C． D．【解答】解：观察图形，从左面看到的图形．故选：C．3．（3分）人才是深圳城市发展的重要基因，深圳人才公园是全国第一个人才主题公园，占地面积约770000平方米．数据770000用科学记数法表示为（）A．0.77×104 B．7.7×105 C．77×103 D．7.7×106【解答】解：770000＝7.7×102，故选：B．4．（3分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生），组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．故选：D．5．（3分）下列运算正确的是（）A．5a﹣2a＝3a2 B．a2•a3＝a6 C．（b+1）2＝b2+1 D．（﹣2a）3＝﹣8a3【解答】解：5a﹣2a＝8a，则A不符合题意；a2•a3＝a3，则B不符合题意；（b+1）2＝b8+2b+1，则C不符合题意；（﹣3a）3＝﹣8a3，则D符合题意；故选：D．6．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，∠2＝30°，则∠3的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【解答】解：∵AB∥OF，∴∠1+∠OFB＝180°，∵∠1＝155°，∴∠OFB＝25°，∵∠POF＝∠8＝30°，∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．故选：C．7．（3分）榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面ABCD是梯形，AB＝DC，燕尾角∠B＝α，榫槽深度是b，则它的里口宽BC为（）A．+a B．+a C．btanα+a D．2btanα+a【解答】解：过点A，D分别作BC的垂线段、F，如图，在Rt△AEB中，BE＝＝，在Rt△DFC，CF＝＝，∵AE//DF，AE＝DF，∴四边形AEFD是长方形，∴EF＝AD＝a，∴BC＝BE+EF+FC＝+a+＝，故选：B．8．（3分）明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，则多2个杏．有多少个牧童，多少个杏？设共有x个牧童（）A．3×5x+10＝4×8x+2 B． C． D．【解答】解：由题意可得，×5+10＝×8+2，故选：C．9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E在BC边上，连接EA，点E的对应点为点F，连接CF（）A． B． C． D．【解答】解：在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，因为AB＝4，BC＝8，则52+（8﹣AE）4＝AE2，解得AE＝5，所以BE＝5﹣5＝3．过点F作BC的垂线，垂足为N，因为AF由AE绕点A逆时针旋转90°得到，所以AF＝AE，∠FAE＝90°，所以∠BAE+∠EAM＝∠EAM+∠FAM＝90°，所以∠BAE＝∠MAF．在△FAM和△EAB中，，所以△FAM≌△EAB（AAS），所以AM＝AB＝4，FM＝BE＝3．则FN＝3+2＝7，NC＝8﹣5＝4．在Rt△FNC中，CF＝．分别过点E，F作AC的垂线，P，所以∠FAP+∠QAE＝∠FAP+∠AFP＝90°，所以∠QAE＝∠AFP．在△FAP和△AEQ中，，所以△FAP≌△AEQ（AAS），所以PF＝AQ．因为EA＝EC，EQ⊥AC，所以AQ＝，所以PF＝．在Rt△FPC中，PC＝，所以cos∠ACF＝．故选：D．10．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0）经过点（﹣1，m）、（1，n）和（3，p），若在m，n，只有一个是正数，则a的取值范围为（）A． B．a＜﹣1 C．﹣＜a＜0 D．﹣1≤a＜0【解答】解：因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝5，又因为1﹣（﹣1）＝3﹣1，所以点（﹣1，m）和点（5，则m＝p．又因为m，n，p这三个实数中，所以m和p都是非正数，n是正数，则，解得a．故选：A．二、填空题（本题有5小题，每题3分，共15分，把答案填在答题卡上）11．（3分）因式分解2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2．【解答】解：2a2﹣7a+2＝2（a2﹣2a+1）＝8（a﹣1）2，故答案为：6（a﹣1）2．12．（3分）“每天一节体育课”成深圳中小学生标配，某校九年级三班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个），11，10，6，14，11，11，9．则这组数据的中位数为10.5．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：6，7，2，10，11，11，14，则中位数是＝10.5；故答案为：10.2．13．（3分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，且点D在上，∠BCD＝30°，则．【解答】解：如图，圆心为O，OB，OD．∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°，∴∠AOD＝90°﹣60°＝30°，则的长为＝故答案为：．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰△ABC的底边BC在x轴的正半轴上（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点D，△BOD的面积为，则k的值为5．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，如下图所示：∵等腰△ABC的底边BC在x轴的正半轴上，∴BE＝CE＝BC，设OB＝a，OD＝b，∵△BOD的面积为，∴OB•OD＝，∴OB•OD＝，即ab＝，∵OC＝4OB＝4a，∴BC＝OC﹣OB＝6a，∴BE＝BC＝，∴OE＝＝，∵∠DOB＝90°，AE⊥BC，∴OD∥AE，∴△BOD∽△BEA，∴OB：BE＝OD：AE，即，∴AE＝，∴点A的坐标为A，∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴，又∵ab＝4/2，∴．故答案为：5．15．（3分）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得AE＝2CE，将△BCE沿BE翻折得到△BFE，连接DF．若BC＝4．【解答】解：如图，延长BE交CD于点G、CF，∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，∴△CEG∽△AEB，∴＝，∴CG＝，即点G为CD的中点，∴CG＝DG，根据折叠的性质可得，BC＝BF，∴∠BFC＝∠BCF，CG＝DG＝FG，∴FG＝，∠GFD＝∠GDF，∴∠CFD＝90°，∵∠FCG+∠BCF＝90°，∠FCG+∠GDF＝90°，∴∠BCF＝∠BFC＝∠GDF＝∠GFD，∴△BCF∽△GDF，∴，∴CF＝2DF，在Rt△CDF中，DF6+CF2＝CD2，∴DF2+（2DF）2＝42，解得：DF＝．故答案为：．三、解答题（本题共7小题，共55分）16．（5分）计算：．【解答】解：原式＝＝．17．（7分）先化简，再从不等式组﹣1≤x＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【解答】解：原式＝（+）•＝•＝，由题意得：x﹣1≠5，x﹣2≠0，∴x≠4和2，在﹣1≤x＜6中，x的整数解为﹣1，0，2，2，当x＝0时，原式＝﹣7，当x＝﹣1时，原式＝．18．（8分）科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查（部分信息未给出）．请你根据以上信息解决下列问题：（1）参加问卷调查的学生人数为50名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；（2）在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占40%，所对应的圆心角度数为144°；（3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？【解答】解：（1）由题知，因为参加问卷调查的学生人数为50名，所以50﹣（15+10+5）＝20（名），即参加人工智能的学生人数为20名．条形统计图，如图所示，（2）因为20÷50＝40%，所以选择“创客”课程的学生占40%．因为40%×360°＝144°，所以扇形统计图中选择“创客”课程的学生部分所对的圆心角的度数为144°．故答案为：40，144°．（3）（名），答：估计选择“航模”课程的学生有100名．19．（8分）某社区采购春节慰问礼品，购买了甲、乙两种类型的粮油套装．甲种粮油套装单价比乙种粮油套装单价多30元，用1200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮油套装的数量相同．（1）求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元？（2）社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共40件，购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的3倍，且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠．问购买甲种和乙种粮油套装各多少件时花费最少？最少花费是多少元？【解答】解：（1）设甲种粮油套装的单价为x元，则乙种粮油套装的单价为（x﹣30）元，根据题直：，解得：x＝120，经检验，x＝120是原方程的根，∴x﹣30＝90，答：甲、乙两种粮油套装的单价分别是120元和90元；（2）设购买甲种粮油套装m件，购买乙种粮油套装（40﹣m）件，由题意得：40﹣m≤3m，解得：m≥10，w＝120×0.7m+90×0.8（40﹣m）＝24m+2880，∵24＞6，∴w随m的减小而减小．当m＝10时，w取得最小值3120，∴40﹣m＝30，答：购买甲种粮油套装10件和乙种粮油套装30件时花费最少，最少花费是3120元．20．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E（1）下列条件：①D是AC边的中点；②D是的中点；③BA＝BC．请从中选择一个能证明直线HG是⊙O的切线的条件，并写出证明过程；（2）若直线HG是⊙O的切线，且HA＝2，HD＝4【解答】解：（1）选择条件为：①D是AC边的中点；证明：连接OD，∵D是AC边的中点，∴AD＝DC，∵AO＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，OD＝，∵DG⊥BC，∴OD⊥HG，∵OD是⊙O的半径，∴直线HG是⊙O的切线；（2）解：设OA＝OD＝r，则OH＝r+3，在Rt△HOD中，∠ODH＝90°2+DH2＝OH2，∴r2+47＝（r+2）2，解得：r＝6，∴OA＝OD＝3，OH＝5，∴BH＝4，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝∠OAD，∴BC＝BA＝6，∵OD∥BC，∴△HOD∽△HBG，∴＝，∴＝，∴BG＝，∴CG＝7﹣＝．21．（9分）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力）（米）与其运动时间t（秒）的几组数据如表：运动时间t（秒）0123456…高地面高度h（米）0356075807560…（1）在如图平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接，小钢球离地面高度h（米）与其运动时间t（秒），请求出h关于t的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．（2）在弹射小钢球的同一时刻，无人机开始保持匀速竖直上升，无人机离地面高度h（米）（秒）之间的函数关系式为h1＝5t+30．①在小钢球运动过程中，当无人机高度不大于小钢球高度时，无人机可以采集到某项相关性能数据5秒；②弹射器间隔3秒弹射第二枚小钢球，其飞行路径视为同一条抛物线．当两枚小钢球处于同一高度时，求此时无人机离地面的高度．【解答】解：（1）画函数图象，由函数图象可知，设h＝at2+b，将（1，35），60）分别代入h＝at6+b中，∴h关于t的函数关系式为：h＝﹣5t2+40t；（2）①由题意得：8t+30≤﹣5t2+40t，解得6≤t≤6，故所求时长为6﹣8＝5秒，故答案为：5．②∵弹射小钢球的飞行路径为同一条抛物线h＝﹣5t2+40t＝﹣5（t﹣6）2+80，∴第二枚小钢球的函数表达式为：h＝﹣5（t﹣8﹣3）2+80，当两枚小钢球处于同一高度时，即﹣8（t﹣4）2+80＝﹣8（t﹣4﹣3）2+80，解得，将代入h8＝5t+30中，得h1＝57.5米．故此时无人机离地面的高度为57.5米．22．（10分）如图1，菱形ABCD中，∠B＝α，E是边BC上一动点（不与点B，C重合），连接DE，连结AC′并延长交直线DE于点P，F是AC的中点，DF．（1）填空：DC′＝2，∠APD＝90°﹣（用含α的代数式表示）；（2）如图2，当α＝90°，题干中其余条