多物体系统-轻弹簧连接体模型专题突破

«机械能守恒定律》考点微专题7多物体系统机械能守恒问题轻弹簧模型一、知能掌W（一）轻弹簧弹力做功.弹力功的特点弹簧弹力的功与路径无关。同一弹簧在某一过程中弹力的功只是取决于初末状态弹簧形变量的大小，与弹力的作用点经过的路径没有关系。.弹力做功的计算（1）平均力求功：因为弹力随着位移是线性变化的，所以弹力功的大小可以用平均力2求得即,一1 1 02 2说明：①上式是弹簧由原长到伸长或者压缩X长度的过程弹力做的功，上式中的F是形变量为X时的弹力。②当形变量由X1变为X2时弹力功的大小为=FLx=；（F1+F2）Ax=若一君）（2）图像法求功：如图所示，弹力F与形变量1成线性关系，如果将形变量1分成很多小段Al,在各小段上的弹力可以当作恒力处理，由W=FA1知，很多个矩形的面积之和就与弹力做功的大小相等，综合起来考虑，图线与1轴所夹面积，就等于弹力做功的大小.则*l=1kl-l=1kl2.（3）功能关系、能量转化和守恒定律求功.同时要注意弹力做功的特点：Wk二一“（逐一好），（二）轻弹簧弹性势能的大小计算方法.功能关系：弹力的功等于弹性势能增量的负值即：Wk二一"（媛-瓷）=-AEp=Epl-Ep2,弹力做正功时弹性势能减少：弹力做负功时弹性势能增加。.计算公式：弹性势能的大小计算公式：玛=上z，（此式的定量计算在高中阶段不作要求）。.能的转化和守恒定律：（三）轻弹簧模型的机械能守恒问题由弹簧相连的物体系统，在运动过程中既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧弹性势能相互转化或转移，而总的机械能守恒.注意对轻弹簧连接的系统机械能守恒并非其中的单个物体机械能守恒，因为轻弹簧对系统中的每一个物体都要做功；求解这类问题时，要注意四个方面：首先以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的突破II：.弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循尸=区和"="x..当伸长和缩短的长度相同时，弹力大小相等。其次，以弹簧的弹性势能的特点为分析问题的突破口：.弹簧发生形变时，具有一定的弹性势能..弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、形变量有关，但是在具体的问题中不用计算弹性势能的大小。.弹簧的形变量相同的时候弹性势能相同，通过运算可以约去..当题目中始、末都不是弹簧原长时，要注意始、末弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，即伸长量或压缩量，而力的位移就可能是两次形变量之和或之差一当初末状态弹簧的形变量变化相同时,弹性势能的而变化量也相同。再次，在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大.最后，如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度（如绷紧的弹簧由静止释放）.（四）弹性势能大小的三个特点及其变化量的计算：.同一弹簧弹性势能与形变量的平方成正比，AEp=Ep2-Epl=ikxl2—!-kx22,其中弹性势能的2 2计算式E 高中不要求掌握，这种直接计算的方法并不常见；「2.同一弹簧形变量（拉伸或压缩）相同时弹性势能相同，AEp=O：.同一弹簧形变量（拉伸或压缩）的变化量相同时弹性势能的变化量相同，依据功能关系和能量守恒定律计算。（五）系统机械能守恒问题解题步骤（选对象、析动力析功能、列方程、求结果）（1）选对象：正确选取研究对象（合适的系统）⑵建模型：对各物体或系统进行受力分析、运动分析、做功分析、能量转化分析，判断守恒的条件，搞清楚各种形式的能量的初末态⑶列方程：正确选取机械能守恒定律常用的表达形式，一般选用△瓦=一△瓦的形式，△瓦增=4互殳.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.（4）求结果：求解结果并对结果检验讨论.（六）系统机械能守恒问题分析技巧.对■多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒..注意寻找用绳或杆、弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系..列机械能守恒方程时，一般选用或的形式.（1）在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理.（2）物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒.一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解.（七）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧（滑块类）类和悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。光滑的圆弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物体在光滑的圆弧上滑动，这一类的题目，也符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，在动量专题中用具体的例子来说明悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摆动时,物体能在水平面内自由移动,这一类的题目和在水平面内自由移动的光滑圆弧类形异而质同，同样符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，在动量专题中用用具体的例子来说明二探索提升题型一轻弹簧连接单一物体【典例1】（2020・贵州省高中元月考）把质量为小的小球（可看做质点）放在竖直的轻质弹簧上，并把小球下按到工的位置（图1甲），如图所示.迅速松手后，弹簧把小球弹起，球升至最高位置。点（图1丙），途中经过位置3时弹簧正好处于自由状态（图1乙）.已知＜5的高度差为肌，5c的高度差为力2,重力加速度为g，不计空气阻力.则（）A.小球从,4上升到3位置的过程中，动能增大B.小球从且上升到C位置的过程中，机械能一直增大C.小球在图甲中时，弹簧的弹性势能为6且（生十九）D.一定有九之九【答案】C【解析】A.球从/上升到6位置的过程中，先加速，当弹簧的弹力AAx=/ng时，合力为零，加速度减小到零，速度达到最大，之后小球继续上升弹簧弹力小于重力，球做减速运动，故小球从工上升到方的过程中，动能先增大后减小，A错误；B.小球与弹簧组成的系统机械能守恒，从/到6过程，弹簧弹性势能减小，小球的机械能增加，离开6继续上升到C的过程小球机械能不变，故B错误；C.根据能量的转化与守恒，小球在图甲中时，弹簧的弹性势能等于小球由4到C位置时增加的重力势能：Ev=mg（生+力1）,C正确；D.设球在6点速度为〃则6到c过程：r=2g比尸4到6过程，v2=l（g——）//i,可见：h2<hltD错误；故选C.m【典例2】（2020•山东泰安月考）如图2所示，劲度系数为左的轻质弹簧，一端系在竖直放置、半径为五的光滑圆环顶点R另一端连接一套在圆环上且质量为说的小球.开始时小球位于H点，此时弹簧处于原长且与竖直方向的夹角为45。，之后小球由静止沿圆环下滑，小球运动的最低点5时的速率为也此时小球与圆环之间的压力恰好为零，己知重力加速度为，下列分析正确的是（）图2A.轻质弹簧的原长为夫B.小球过5点时，所受的合力为7〃g+7?7二RC.小球从［到5的过程中，重力势能转化为弹簧的弹性势能D.小球运动到5点时，弹簧的弹性势能为；洲V2【答案】D【解析】A.由几何知识可知弹簧的原长为&衣，A错误；B.根据向心力公式：小球过万点时，则由重力和弹簧弹力的合力提供小球的向心力产合=桁1，B错误；C.以小球和弹簧组成的系统为研究对象，在小球从月到万的过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，小球重力势能减小转化为弹簧的弹性势能和动能.故C错误；D.根据能量的转化与守恒：〃3?=}〃1产+纥，得E=mgR--mv29故D正确.故选D【典例3】(2020•山东省济南市高三期末)如图3所示，质量为次的小球穿在光滑细杆MN上，并可沿细杆滑动。已知细杆与水平面夹角30。，细杆长度为2乙尸为细杆中点。小球连接轻弹簧，弹簧水平放置，弹簧右端固定于竖直平面的。点。此时弹簧恰好处于原长，原长为3L,劲度系数为3拳。将小球从M■点由静止释放，小球会经过尸点，并能够到达N点。下列说法正确的是()图3A.小球运动至尸点时受到细杆弹力为平〃7gB.小球运动到尸点处时的加速度为叵2C.小球运动至N点时的速度低7D.小球运动至N点时弹簧的弹性势能为【答案】AC【解析】AB.小球运动至尸点时，根据几何关系可得OP之间的距离为：d=2叵Lsin3(T=巫33 3mg则弹簧的弹力大小为：尸=〃［华^一"=£mg对小球受力分析，可知受重力、弹簧的弹力和轻杆的弹作用，如图所示:mg在垂直斜面方向上，根据平衡条件有：N=F+mgcos30,解得：N=士叵mg,63在沿斜面方向上，根据牛顿第二定律有：〃吆su】30=〃心，解得：〃=gsin30=gg,A正确，B错误；CD.根据几何关系，可知QV=OM=友L,故小球从M点运动至N点，弹性势能变化量为3零，所以在N点的弹性势能为零，则整个过程小球减小的重力势能全部转化为小球的动能，根据机械能守恒有：〃吆・2Lsin30=，〃匕3解得：亚，C正确，D错误。故选AC。题型二轻弹簧连接多个物体【典例4】（2020•四川省棠湖中学高三上学期期末）如图4所示，带有挡板的光滑斜面固定在水平地面上，斜面的倾角为e=30。.质量均为1kg的工、5两物体用轻弹簧拴在一起，弹簧的劲度系数为5N/cm,质量为2kg的物体C用细线通过光滑的轻质定滑轮与物体5连接.开始时,4、5均静止在斜面上，工紧靠在挡板处，用手托住C，使细线刚好被拉直.现把手拿开，让C由静止开始运动，从C开始运动到工刚要离开挡板的过程中，下列说法正确的是（ ）（取g=10m/s2）A.初状态弹簧压缩量为1cm B.末状态弹簧的伸长量为1cmC.物体3、C与地球组成的系统机械能守恒 D.物体。克服绳的拉力所做的功为0.2J【答案】ABD【解析】人.初状态弹簧的压缩量为.气丝=嘤震=宜】‘故A正确.B.末状态弹簧的伸长量为毛=『=嗡*=—故B正确.C.对于物体仄C与地球组成的系统,由于弹簧对方先做正功后做负功，所以系统的机械能不守恒.故C错误.D.初末状态弹簧的弹性势能相等，对于弹簧、物体与，C与地球组成的系统，根据机械能守恒定律得团4(±+x2)=%g(演+工)$加8+；+小”，对C,由动能定理得团48+x2)-Wt,.=1mcv2,解得物体c克服绳的拉力所做的功％克=0.21，故D正确.【典例5】如图5,质量为奶的物体月经一轻质弹簧与卜方地面上的质量为生的物体夕相连，弹簧的劲

度系数为2乩8都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体4另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，4上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为脑的物体。并从静止状态释放，已知它恰好能使8离开地面但不继续上升。若将。换成另一个质量为（佐+外）的物体。，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次8刚离地面时〃的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。Apwi【答案】v=2【答案】v=2加]（m]+加Jg之（2/7?1+叫）k【解析】开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为工，有kxiRg①挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为短，有kji=m2g ②B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比,弹簧性势能的增加量为AE=msg -nug（为+面C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得=+〃乙）g*i+X2）-〃7]g（X]+x2）-AE由③®式得-（2〃n+/%）户=+x2）⑤题型三、摆动类、光滑斜面圆弧类【典例6】（2019年合肥模拟）（多选）如图6所示，小车静止在光滑的水平导轨上，一个小球用细绳悬挂在车上无初速度释放，在小球下摆到最低点的过程中，下列说法正确的是（）图6A,绳对小球的拉力不做功B.小球克服绳的拉力做的功等于小球减少的机械能C.小车和球组成的系统机械能守恒D.小球减少的重力势能等于小球增加的动能【答案】BC【解析】由于导轨光滑，没有热量产生，所以小车和球组成的系统机械能守恒，小球减少的重力势能转化为小球和车的动能，故C正确，D错误.绳对小车拉力做正功，绳对小球拉力做负功，且小球克服绳的拉力做的功等于小球减少的机械能，故A错误，B正确.【典例7】（2020•湖南省师大附中高三第四次月考）如图7所示，水平光滑地面上停放着一辆质量为时的小车，其左侧有半径为区的四分之一光滑圆弧轨道3瓦轨道最低点方与水平轨道3C相切，整个轨道处于同一竖直平面内.将质量为w的物块（可视为质点）从工点无初速释放，物块沿轨道滑行至轨道末端C处恰好没有滑出.设重力加速度为g，空气阻力可忽略不计.关于物块从［位置运动至。位置的过程中，下列说法正确的是（ ）图7A.小车和物块构成的系统动量不守恒B.摩擦力对物块和轨道3c所做的功的代数和为零C.物块运动过程中的最大速度为J荻

D.小车运动过程中的最大速度为D.小车运动过程中的最大速度为2nfgR

M2+Mm【答案】AD【解析】小车和物块构成的系统在水平方向受到的合力为零，竖直方向有加速度，合力不为零，所以小车和物块构成的系统动量不守恒，在水平方向动量守恒，A正确；摩擦力大小相等方向相反，但物块与车位移不等(有相对位移)，代数和不为0,故B错误；在脱离圆弧轨道后，小车和物块由于摩擦力都会做匀减速运动，所以最大速度出现在物块运动到B点时，规定向右为正方向，小车和物块构成的系统在水平方向受到的合力为零，系统在水平方向动量守恒.设物块运动到B点时，物块的速度大小是匕，小车的速度大小是匕，根据动量守恒得：0=帆匕+加(一%)，根据能量守恒得,侬=加制叫解得「篇”旧寝〉故c错误D正确.【典例8】如图8所示，倾角为。的斜面月被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块6相连，8静止在斜面上.滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行.月、B的质量均为出撤去固定力的装置后，小£均做直线运动，不计一切摩擦，重力加速度为g.求：(1)月固定不动时，月对8支持力的大小,V；(2)月滑动的位移为x时，6的位移大小s：(3)月滑动的位移为x时的速度大小心【答案】(l)2Z»oosa(2)a/2(1—cosa)•“⑶【解析】⑴支持力的大小磔cosa图9图9(2)如图9所示,根据几何关系s*=x*(1—cosa),s>=2r*sina且s=Ms：+s；解得s=a/2(1—cosa)*x(3)5的下降高度sr=x*sina根据机械能守恒定律3s团行根据速度的定义得以=:玲=觌0以=^2（1—cosa）•打解得v尸、I；岂:::/三、高考真JL（2020.山东）如图10所示，质量为M的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连。现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，当B卜降到最低点时（未着地），A对水平桌面的压力刚好为零。轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态。以下判断正确的是（ ）图10M<2m2m<M<3mC.在B从释放位置运动到最低点的过程中，所受合力对B先做正功后做负功D.在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量【答案】ACD【解析】AB.由题意可知B物体可以在开始位置到最低点之间做简谐振动，故在最低点时有弹簧弹力T=2mg；对A分析，设绳子与桌面间夹角为6,则依题意有2〃吆sin8=Mg故有“<2加，故a正确，B错误；C.由题意可知B从释放位置到最低点过程中，开始弹簧弹力小于重力，物体加速，合力做正功；后来弹簧弹力大于重力，物体减速，合力做负功，故C正确；D.对于B,在从释放到速度最大过程中，B机械能的减少量等于弹簧弹力所做的负功，即等于B克服弹簧弹力所做的功，故D正确。（2017•江苏）（多选）如图11所示，三个小球A、B、C的质量均为m,A与B、C间通过较链用轻杆连接，杆长为L,B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长.现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角a由60。变为120。，A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g.则此下降过程中（）图113A.A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于狙g3A的动能最大时，B受到地面的支持力等于濯gC.弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下D.弹簧的弹性势能最大值为点ngL【答案】AB【解析】A的动能最大时，设B和C受到地面的支持力大小均为F,此时整体在竖直方向受力平衡,可得2F=3mg,所以F=会；在A的动能达到最大前一直是加速下降，处于失重情况，所以B受到地面的支持力小于会，故A、B两项正确；C项，当A达到最低点时动能为零，此时弹簧的弹性势能最大，A的加速度方向向上，故C项错误；D项，A下落的高度为：h=Lsin60°—Lsin300,根据机械能守恒，小球A的机械能全部转化为弹簧的弹性势能，即弹簧的弹性势能最大值为&=皿由=闿工8^故D项错误.（2016•全国卷1【，21）（多选）如图12,小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于。点，另一端与小球相连。现将小球从必点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在业N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且/创水NQ妙在小球从时点运动到N点的过程中（）ZMl'图12A.弹力对小球先做正功后做负功B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C.弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D.小球到达N点时的动能等于其在M、M两点的重力势能差【答案】BCD【解析】如图所示,0P垂直于竖直杆,Q点与M点关于0P对称,在小球从M点到Q点的过程中,弹簧弹力先做负功后做正功,故A错。在P点弹簧长度最短,弹力方向与速度方向垂直,故此时弹力对小球做功的功率为零,故C正确。小球在P点时所受弹簧弹力等于竖直杆给它的弹力,竖直方向上只受重力,此时小球的加速度为g；当弹簧处于原长时,小球只受重力作用,此时小球的加速度也为“故B正确。小球和弹簧组成的系统机械能守恒,小球在M点和N点时弹簧的弹性势能相等,故小球从M到N重力势能的减少量等于动能的增加量,而小球在M点的动能为零,则小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重沙q力势能差，故D正确。 II（2014•福建・18）如图13所示，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动.质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端.现用外力作用在物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块（ ）图13A.最大速度相同B.最大加速度相同C.上升的最大高度不同D.重力势能的变化量不同【答案】C【解析】当弹簧的弹力和物块重力沿斜面向下的分力大小相等时，物块的速度最大，由于两物块的质量不同，故两物块速度分别达到最大时，与质量大的物块接触的弹簧的形变量较小，根据能量守恒定律可知，质量大的物块的最大速度较小，选项A错误.刚撤去外力时，两物块的加速度最大，根据牛顿第二定律得『飕sin。=3（J为斜面倾角），a=与一郎…,由于两物块的质量不同，故两物块的最大227加速度不同，选项B错误.整个过程中，弹簧的弹性势能全部转化为物块的重力势能，由于两物块质量不同，故上升的最大高度不同，选项C正确.两物块重力势能的变化量等于弹簧弹性势能的减少量，故重力势能的变化量相同，选项D错误.四实践拓展题型一轻弹簧模型连接单个物体练习1-1:（2020•安徽省安庆市高三上学期期末）如图14甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上.一质量为w=0.2kg的小球，从弹簧上端某高度处自由下落，从它接触弹簧到弹簧压缩至最短的过程中（弹簧在弹性限度内），其速度v和弹簧压缩量盘之间的函数图象如图14乙所示，其中A为曲线的最高点.不计小球和弹簧接触瞬间机械能损失、空气阻力，g取lOm/sz,则下列说法正确的是图14A.小球刚接触弹簧时加速度最大B.该弹簧的劲度系数为20.0N/mC.从接触弹簧到压缩至最短的过程中，小球的机械能守恒D.小球自由落体运动下落的高度L25m【答案】BD【解析】AB.由小球的速度图象知，开始小球的速度增大，说明小球的重力大于弹簧对它的弹力，当殳为0.1m时，小球的速度最大，然后减小，说明当Ax为0.1m时，小球的重力等于弹簧对它的弹0.2x10力.所以可得：k^x=mg,解得：k=———N/m=20N/m,弹簧的最大缩短量为5耿=0.61m,所•X以产耿=20N/mx0.61m=12.2N,弹力最大时的加速度。=''°，——=51ni/s2,小m 0.2球刚接触弹簧时加速度为10皿n所以压缩到最短时加速度最大，故A错误，B正确；C.小球和弹簧组成的系统机械能守恒，单独的小球机械能不守恒，故C错误；D.根据自由落体运动算得小球自由V j落体运动下落的高度D正确.故选BD。2g2x10练习1-2:（2020•山西省吕梁市高三一模）如图15所示，弹簧的下端固定在光滑斜面底端，弹簧与斜面平行。在通过弹簧中心的直线上，小球尸从直线上的N点由静止释放，在小球尸与弹簧接触到速度变为零的过程中，下列说法中正确的是（）p图15A.小球尸动能一定在减小 B.小球尸的机械能一定在减少C.小球尸与弹簧系统的机械能一定在增加 D.小球产重力势能的减小量大于弹簧弹性势能的增加量【答案】B【解析】小球尸与弹簧接触前，小球尸沿斜面向下做初速度为零的匀加速直线运动，速度沿斜面向下；小球P与弹簧接触后，刚开始弹力小于重力沿斜面向下的分力，合外力沿斜面向下，加速度的方向沿斜面向下，随着形变量的不断增大，加速度不断减小，此时小球P做加速度不断减小的加速运动；当弹力等于重力沿斜面向下的分力时，加速度为零，速度最大，小球P的动能最大，接着弹力大于重力沿斜面向下的分力,合外力方向沿斜面向上,加速度沿斜面向上,随着形变量的增大,加速度不断增大，速度不断减小，当弹簧压到最短时，小球尸的速度为零，形变量最大，小球尸的机械能不断减小，弹簧的弹性势能不断增大，最后达到最大。A.由上分析可知，小球P的动能先增大后减小，A错误；BC.由上分析可知，小球尸与弹簧组成的系统的机械能守恒，弹簧的弹性势能不断增大，所以小球尸的机械能不断减小，B正确，C错误；D.当小球尸的速度为零时，根据系统机械能守恒，可知小球尸重力势能的减小量等于弹簧弹性势能的增加量，D错误。故选B。练习1-3：（2020•贵州省三都水族自治县高中元月月考）如图16所示，在固定倾斜光滑杆上套有一个质量为切的圆环，杆与水平方向的夹角。=30。，圆环与竖直放置的轻质弹簧上端相连，弹簧的另一端固定在地面上的H点，弹簧处于原长力.让圆环沿杆由静止滑下，滑到杆的底端时速度恰为零.则在圆环下滑过程中（）图16A.圆环和地球组成的系统机械能守恒B.当弹簧垂直于光滑杆时圆环的动能最大C.弹簧的最大弹性势能为加劭D.弹簧转过60。角时，圆环的动能为绊2【答案】CD【解析】在圆环下滑过程中，弹簧的拉力对圆环做功，所以圆环和地球组成的系统的机械能不守恒，A错误；当圆环沿杆的加速度为零时，其速度最大，动能最大，此时弹簧处于伸长状态，给圆环一个斜向左下方的拉力，故B错误；圆环和地球以及弹簧组成的系统机械能守恒，根据系统的机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh,那么圆弧的机械能的减小量等于弹性势能增大量，为mgh,C正确；弹簧转h1过60。角时，此时弹簧仍为原长，以圆环为研究对象，利用动能定理得：〃吆w=加’即圆环的动能等于W，故D正确，练习1-4：（2018•江苏一模）（多选）如图17所示，一轻质弹簧一端固定在水平面上通过0点的转轴上，另一端与一质量为m的小环相连.环可以沿与水平方向成30°的光滑固定杆下滑，已知弹簧原长为L.现让环从0点的正上方距0点为L的A点由静止开始下滑,环刚好滑到与0点处于同一水平面上的B点时速度变为零.则小环在从A点下滑到B点的过程中（）图17A.小环的机械能守恒B.弹簧的弹性势能一直变大C.弹簧的最大弹性势能为mgLD.除A、B两点外，弹簧弹力做功的瞬时功率为零还有两处【答案】CD【解析】A项，对小环而言，有弹簧弹力对其做功，故小环的机械能不守恒，是小环和弹簧的系统机械能守恒，故A项错误；B项，弹簧的长度先缩短后伸长，故弹簧的弹性势能先增加后减小、最后再次增加，故B项错误;C项，小环和弹簧的系统机械能守恒，系统重力势能在减小，而在最低点时重力势能最小，动能为零，故此时弹簧的弹性势能最大，为mgL,故C项正确；D项，根据功的瞬时功率表达式P=Fvcos9,要使得P为零，可能是F为零、v为零、或者cos。为零，故除A、B两点外，弹簧弹力做功的瞬时功率为零还有两处，其中一处为弹力与速度垂直，一处为弹力为零，故D项正确.练习1-5:（2020•四川省教育大联高三一模）如图18所示，光滑细杆MN倾斜固定，与水平方向夹角为。，一轻质弹簧一端固定在0点，另一端连接一小球，小球套在细杯上，。与杆MN在同一竖直平面内，P为MN的中点，且OP垂直于MN,已知小球位于杆上M、P两点时，弹簧的弹力大小相等且在弹性限度内.现将小球从细杆顶端M点由静止释放，则在小球沿细杆从M点运动到N点的过程中（重力加速度为g），以下判断正确的是图18A.弹簧弹力对小球先做正功再做负功B.小球加速度大小等于gsme的位置有三个C.小球运动到P点时速度最大D.小球运动到N点肘的动能是运动到P点时动能的两倍【答案】BD【解析】A项：由题意不能确定在M点和在N点时弹簧是压缩还是拉伸状态，所以弹簧对小球可能先做正功后做负功，也可能先做负功后做正功，故A错误；B项：由于MP之间和PN之间各有一位置弹簧弹力为零，当弹力为零时小球的加速度为gSind,在P点时由于弹簧的弹力与杆垂直，所以小球的加速度也为gsin£,所以小球加速度大小等于gsin8的位置有三个，故B正确；C项：由于小球在P点的加速度为gSinC,所以小球的速度一定不为最大，故C错误；D项：从M到P由能量守恒得：mghMP=\Ep+1mvj）,从P到N由能量守恒得：“吆/人+%'啮-，喏,联立解得：小球运动到N点肘的动能是运动到P点时动能的两倍，故D正确.故选BD.练习1-6：（2020•安徽省肥东县高级中学高三元月调研）如图19所示，一轻弹簧卜端固定在倾角<9=30。的斜面的底端，斜面固定在水平地面上.物块3放在木箱.4的里面，它们（均视为质点）一起从斜面顶端。点由静止开始下滑，到b点接触弹簧，木箱d将弹簧上端压缩至最低点c,此时将物块5迅速拿出，然后木箱工又恰好被弹簧弹回到。点一已知木箱工的质量为叫物块5的质量为3叫〃、c两点间的距离为Z,重力加速度为,下列说法正确的是（）图19A.在且上滑的过程中与弹簧分离时,4的速度最大B.弹簧被压缩至最低点C时，其弹性势能为0.8〃?g£C.在木箱,4从斜面顶端。下滑至再次回到a点的过程中,因摩擦产生的热量为L5mgLD.若物块3没有被拿出，.43能够上升的最高位置距离。点为人4【答案】BC【解析】A.物体加速度为零的时候，速度最大，所以在A上滑的过程中当弹力等于重力沿斜面向下分力与摩擦力之和时速度最大，A错误B.设压缩最短时，弹性势能为Ep,根据题意下滑过程：Ep=4mgLsm0-4〃mgLcos0,上滑过程：Ep=mgLsm0+pmgLcos0,联立解得：Ep=O.SmgL,〃=*,B正确C.根据题意可知，摩擦产热等于克服摩擦力做功：2=4〃〃?gLcosd+〃mgLcosd=L5〃?gL,c正确DZ没有拿出，上滑根据能量守恒：Ep=4mgZJsine+4〃〃7gZJcose,解得：口=上,所以最高点4I3距。点L—：=D错误44题型二轻弹簧模型连接多个物体练习2-1:（2019•四川凉山一诊）如图20所示，在倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为4的轻质弹簧一端连接固定挡板C另一端连接质量为m的物体A,一轻质细绳通过定滑轮,一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体6相连,细绳与斜面平行,斜面足够长.用手托住物体£使细绳刚好没有拉力，然后由静止释放物体夙运动过程中物体8未落地,重力加速度为g），则（）A.物体夕运动到最低点时,细绳上的拉力为mg

B.弹簧恢好原长时,细绳上的拉力为。侬4C.物体月沿斜面向上运动的最大速度为厚D.物体D.物体A沿斜面向上运动的最大速度为【答案】BD【解析】开始时弹簧处于压缩状态，有F弹知in30。知，即弹簧被压缩*嗤，则刚释放3的瞬间,有mgtma,即aR.5醺即物体A的加速度方向沿斜面向上,由对称性可知,物体6运动到最低点时,A的加速度方向沿斜面向下,大小为0.5.6的加速度向上，大小为0.5©对5分析,可知细绳上的拉力为火薪3=1.5砥选项A错误;弹簧恢复原长时,弹力为零,对46整体,由牛顿第二定律得ggin30。之4解得&R.25.对区有mg-R*解得细绳上的拉力为R也选项B正确;系统在平衡位置时A的速度最大，有9弊in30°仟弹J解得「弹2§瓯此时弹簧伸长大噗，此位置弹簧的弹性势能与初始位置的弹性势能相同，由动能定理得贴（乃怪）工&依）sin30°弓*22M解得片、噂,选项C错误,D正确.练习2-2：如图21所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上.现用手控制住A,并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行.已知A的质量为4m,B、C的质量均为m,重力加速度为g,细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态.释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面.下列说法正确的是（）图21A.斜面倾角a=60"A获得的最大速度为C刚离开地面时，B的加速度最大D.从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒【答案】B【解析】释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，拉力等于A的重力沿斜面的分力4mgsina,C恰好离开地面，轻质弹簧弹力等于C球重力，丘=mg.对B,由平衡条件，4mgsina=2mg,解得斜面倾角a=30°,A项错误.

B项正确.初状态，弹簧压缩，kx=mg,末状态，弹簧拉伸，H=mg.初末状态弹簧弹性势能相等，由机械能守恒定律，4mg•2xsina—mg•2x="(m+4m)v3>解得v=2g•B项正确.C刚离开地面时，B的加速度为零，C项错误；从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B、C和弹簧组成的系统机械能守恒，D项错误.练习2-3： （2018•河南一模）（多选）如图22所示，一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上，另一端与质量为m的滑块P连接，P穿在杆上，一根轻绳跨过定滑轮将滑块P和重物Q连接起来，重物Q的质量M=6m,把滑块从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动，当它经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小相等，己知OA与水平面的夹角H=53°,0B长为L,与AB垂直，不计滑轮的摩擦力，重力加速度为g,滑块P从A到B的过程中，说法正确的是（A.对于滑块Q,其重力功率先增大后减小B.滑块P运动到位置B处速度达到最大，且大小为华生0C.轻绳对滑块P做功4mgLP与Q的机械能之和先减小后增加【答案】AC【解析】A项，物块Q释放瞬间的速度为零，当物块P运动至B点时，物块Q的速度也为零，所以当P从A点运动至B点时，物块Q的速度先增加后减小，物块Q的重力的功率也为先增加后减小，故A项正确；B项，即在BA间某位置速度最大，故B项错误；C项，从A到B过程中，对于P、Q和弹簧系统机械能守恒：6mg^COS53« L）-mgLtan53°=~mv2,对于P,由动能定理可得：W—jngL="mv2>联立解得：W=4mgL,故C项正确；D项，弹簧的弹性势能先减小后增加，则P与Q的机械能先增加后减小，故D项错误.练习2-4：（2020•湖北省武汉市武昌区元月调研）如图23,静止在光滑水平面上的物块A和B的质量分别是7以=3硒、机B=7〃0,在两物块间夹一压缩的轻质弹簧（弹簧与两物块均不相连），再用轻细线将两物块连接起来，此时弹簧的压缩量为现将连接两物块的细线烧断，在烧断后瞬间，物块A的加速度大小为。，两物块刚要离开弹簧时物块A的速度大小为明则图23A.当物块B的加速度大小为。时，弹簧的压缩量为守XB.物块A从开始运动到刚要离开弹簧时位移大小为二2C.细线未烧断时，弹簧的弹性势能为6加。3D.细线未烧断时，弹簧的弹性势能为力"ov2【答案】AC【解析】A.当物块A的加速度大小为〃，根据胡克定律和牛顿第二定律得依0=3〃?。。，当物块B的加速度大小为。时，有心联立解得1=冷，故A正确；B.取水平向左为正方向，根据系统的动量守恒得3〃7。^-〃7。十=0,又4+/=%,解得A的位移为乙=今，故B错误；CD.根据动量守恒定律得0=3m〃7。以，得物块B刚要离开弹簧时的速度匕=3v,由系统的机械能守恒得：物块开始运动前弹簧的弹性势能为与=；乂3〃%俨+}x，〃o(3%)2=6〃7。y，故C正确，D错误。乙 乙故选ACo练习2-5：如图24甲，质量为m的小木块左端与轻弹簧相连，弹簧的另一端与固定在足够大的光滑水平桌面上的挡板相连，木块的右端与一轻细线连接，细线绕过光滑的质量不计的轻滑轮，木块处于静止状态.在下列情况中弹簧均处于弹性限度内，不计空气阻力及线的形变，重力加速度为g.(1)图24甲中，在线的另一端施加一竖直向下的大小为F的恒力，木块离开初始位置0由静止开始向右运动，弹簧开始发生伸长形变，已知木块过P点时，速度大小为v,0、P两点间距离为s.求木块拉至P点时弹簧的弹性势能：(2)如果在线的另一端不是施加恒力，而是悬挂一个质量为M的物块，如图24乙所示，木块也从初始位置0由静止开始向右运动，求当木块通过P点时的速度大小.图24【答案】(1)EP=Fs-l/2mv2-(2)V(mv2+2(Mg-F)s)/(M-hn)【解析】(1)用力F拉木块至P点时，设此时弹簧的弹性势能为EP,根据功能关系有Fs=EP+l/2mv2…①代入数据可解得：EP=Fs-l/2mv2…(2)悬挂钩码M时，当木块运动到P点时，弹簧的弹性势能仍为Ep,设木块的速度为7,由机械能守恒定律得：Mgs=EP+l/2(m+M)v/2…③联立②③解得v'=V(mv2+2(Mg-F)s)/(Mhn)练习2-6:如图25所示，在倾角为30°的光滑斜面体上，一劲度系数为k=200N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C,另一端连接一质量为m=4kg的物体A,一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住物体B使细绳刚好没有拉力,然后由静止释放，求：(1)弹簧恢爱原长时细绳上的拉力：⑵物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；(3)物体A的最大速度大小.【答案】(1)30N(2)20cm(3)1m/s【解析】(1)弹簧恢复原长时，物体A、B的加速度大小相同，对B分析：mg—T=ma,对A分析：T-mgsin30°=ma>代入数据