2024年中考数学一轮专题提升学案圆的基本性质

圆的基本性质1.如图，在⊙O中，A，B，C，D是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，B是的中点，若∠AOC＝120°，则∠AOB＝________，∠BOC＝________，∠COD＝________，与的大小关系为________，AB与CD的数量关系为________．第1题图2.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．AB与CD交于点E，且AB⊥CD，连接OC.(1)＝________，＝________；(2)若CD＝4，AE＝6，则CE＝________，OC＝________．第2题图3.如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，∠CBD＝70°，则∠CAD＝________，∠AOC＝________，∠ABC＝________．第3题图4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．(1)若∠BAD＝52°，则∠DCE＝________°；(2)若∠ABC＝100°，则∠ADC＝________°.第4题图5.如图，△ABC的外接圆半径为5，其圆心O恰好在中线CD上，若AB＝CD，则△ABC的面积为________．第5题图6.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.第6题图(1)∠ADB的度数为________；(2)若⊙O的直径为6，则线段BC的长为________．知识逐点过考点1圆的有关概念及性质1.相关概念圆在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆弦连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中AC，BC直径经过①________的弦叫做直径弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧；小于半圆的弧叫做劣弧，如图中；大于半圆的弧叫做优弧，如图中圆周角在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，如图中②______圆心角顶点在③________的角叫做圆心角，如图中④________【温馨提示】不在同一直线上的三点确定一个圆2.性质对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任何一条直径所在的直线；圆也是中心对称图形，⑤________是它的对称中心旋转不变性圆绕着它的圆心旋转任意角度都能与自身重合考点2垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论平分弦(不是直径)的直径⑥________于弦，并且⑦________弦所对的两条弧【温馨提示】根据圆的对称性，在以下5个结论中：①＝；②＝；③AE＝BE(AB不是直径)；④CD⊥AB；⑤CD是直径，只要满足其中两个结论，另外三个结论就一定成立，即“知二推三”考点3弦、弧、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑧________，所对的弦也⑨________；如图，在⊙O中，若∠AOB＝∠COD，则＝⑩______，AB＝⑪______推论1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角和弦分别⑫__________；如图，若＝，则∠AOB＝⑬________，AB＝CD；2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角和弧分别⑭________；如图，若AB＝CD，则∠AOB＝∠COD，⑮________＝考点4圆周角定理及其推论定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑯________推论1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角⑰________；2.直径(或半圆)所对的圆周角是⑱________，90°的圆周角所对的弦是⑲________常见图形及结论图①图②图③∠APB＝eq\f(1,2)∠AOB应用如图①，已知AP是⊙O的直径，点B是圆上一点，连接AB，则有∠ABP＝90°【温馨提示】1.一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补；2.一条弧只对着一个圆心角，却对着无数个圆周角考点5三角形的外接圆及外心圆心外心(三角形三条边的⑳____________的交点)性质三角形的外心到三角形eq\o(○,\s\up1(21))______________角度关系∠BOC＝2∠A【知识拓展】1.直角三角形外接圆的半径：R＝eq\f(1,2)c(c为斜边长)；2.等边三角形外接圆的半径：R＝eq\f(\r(3),3)a(a为边长)考点6圆内接四边形概念如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，则这个四边形叫做圆内接四边形性质1.圆内接四边形的对角eq\o(○,\s\up1(22))________，如图，∠A＋∠BCD＝eq\o(○,\s\up1(23))______，∠B＋∠D＝eq\o(○,\s\up1(24))________；2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的eq\o(○,\s\up1(25))________，如图，∠DCE＝eq\o(○,\s\up1(26))________考点7正多边形与圆中心角θ＝eq\f(360°,n)设正n边形的边长为a边心距r＝eq\r(R2－（\f(a,2)）2)周长C＝na面积S＝eq\f(1,2)nar＝eq\f(1,2)lr真题演练命题点与圆周角、圆心角有关的计算1.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝()A.20°B.40°C.50°D.80°第1题图2.如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1,则⊙O的直径为()第2题图A.eq\r(3)B.2eq\r(3)C.1D.23.同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是________．教材原题到重难考法与圆基本性质有关的证明及计算例如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，∠BAD和∠BCD之间有什么关系？为什么？例题图变式题连接BD，结合角平分线如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB.(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；(2)若AB＝eq\r(2)，AD＝1，求CD的长度．第1题图2.线段AC未经过圆心，结合线段相等如图，AD与△ABC的外接圆交于点D，设DB与AC交于点E，若DA＝DE，∠ADB＝∠BDC，⊙O的半径为5，BC＝6，求BE的长．第2题图基础过关1.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为()A.95°B.100°C.105°D.110°第1题图2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°第2题图3.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是()A.eq\r(674)寸B.25寸C.24寸D.7寸第3题图4.如图，已知点A，B，C在⊙O上，点C为的中点，若∠BAC＝35°，则∠AOB等于()A.140°B.120°C.110°D.70°第4题图5.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为()A.32°B.42°C.48°D.52°第5题图6.如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是()A.25°B.30°C.35°D.40°第6题图7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝()A.25°B.50°C.60°D.65°第7题图8.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图，是⊙O的一部分，点D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为()A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm图①图②第8题图9.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝()A.60°B.54°C.48°D.36°第9题图10.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6.(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求点O到AC距离及sin∠ACD的值．第10题图综合提升11.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB.(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．第11题图12.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器__________台．第12题图圆的基本性质1.60°，60°，60°，＝，AB＝CD.2.(1)，；(2)2，eq\f(10,3).【解析】如解图，连接OD，∵OC＝OD，OE⊥CD，∴点E是CD的中点，∴CE＝DE＝2，设OC＝r，∴AO＝r，∵AE＝6，∴OE＝6－r，∵AE⊥CD，∴在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋EC2，即r2＝22＋(6－r)2，解得r＝eq\f(10,3).第2题解图3.70°，40°，20°.【解析】∵＝，∴∠CAD＝∠CBD＝70°，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA＝70°，∴∠AOC＝40°，∵＝，∴∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC＝20°.4.(1)52；【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝128°，∴∠DCE＝180°－∠BCD＝52°.(2)80.5.32【解析】如解图，连接OA，则OA＝OC＝5，∵圆心O恰好在中线CD上，∴AB＝2AD，CD⊥AB，设AD＝x，则CD＝AB＝2x，OD＝CD－OC＝2x－5，在Rt△OAD中，OD2＋AD2＝OA2，∴(2x－5)2＋x2＝52，解得x＝4，∴CD＝AB＝2x＝8，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)×8×8＝32.第5题解图6.(1)30°；【解析】如解图，连接OB，∵六边形ABCDEF是正六边形，∠AOB＝eq\f(360°,6)＝60°，∴∠ADB＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)×60°＝30°.第6题解图(2)3.【解析】∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵∠OAB＝60°，∴∠ADB＝30°，∴AB＝eq\f(1,2)AD＝3，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴BC＝AB＝3.广东近6年真题1.B【解析】∵AB是⊙O直径，∠BAC＝50°，∴∠ACB＝90°，∠B＝180°－50°－90°＝40°，∵eq\x\to(AC)＝eq\x\to(AC)，∴∠D＝∠B＝40°.2.B【解析】如解图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝1.∵AD＝AC－CD＝3－1＝2，∴在Rt△ADE中，sinA＝eq\f(DE,AD)＝eq\f(1,2)，∴∠A＝30°，在Rt△ABC中，AB＝eq\f(AC,cosA)＝eq\f(3,cos30°)＝2eq\r(3).第2题解图3.50°【解析】∵所对的圆心角是100°，∴所对的圆周角为eq\f(1,2)×100°＝50°.教材原题到重难考法例解：∠BAD＋∠BCD＝180°，理由如下：∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAD＋∠BCD＝360°－(∠ABC＋∠ADC)＝180°.1.解：(1)△ABC为等腰直角三角形．证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°.∵∠ADB和∠ACB为同弧所对的圆周角，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形；(2)由(1)知△ABC为等腰直角三角形，∵AB＝eq\r(2)，∴AC＝eq\r(2)AB＝eq\r(2)×eq\r(2)＝2，∵在Rt△ACD中，AD＝1，∴CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).2.解：如解图，连接OB，OC，设OB交AC于点F，∵∠ADB＝∠BDC，∴＝，∴OB⊥AC，OB＝OC＝5，设OF＝x，则BF＝5－x，∴CF2＝52－x2＝62－(5－x)2，解得x＝eq\f(7,5)，∴OF＝eq\f(7,5)，BF＝eq\f(18,5)，在Rt△OCF中，CF＝eq\r(OC2－OF2)＝eq\r(52－（\f(7,5)）2)＝eq\f(24,5)，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA.∵∠DAC＝∠DBC，∠DEA＝∠BEC，∴∠BEC＝∠DBC，∴EC＝BC＝6，∴EF＝EC－CF＝6－eq\f(24,5)＝eq\f(6,5)，在Rt△BEF中，BE＝eq\r(EF2＋BF2)＝eq\r(（\f(6,5)）2＋（\f(18,5)）2)＝eq\f(6\r(10),5).第2题解图知识逐点过①圆心②∠ACB③圆心④∠AOB⑤圆心⑥垂直⑦平分⑧相等⑨相等⑩⑪CD⑫相等⑬∠COD⑭相等⑮⑯一半⑰相等⑱直角⑲直径⑳垂直平分线eq\o(○,\s\up1(21))各顶点的距离相等eq\o(○,\s\up1(22))互补eq\o(○,\s\up1(23))180°eq\o(○,\s\up1(24))180°eq\o(○,\s\up1(25))内对角eq\o(○,\s\up1(26))∠A基础过关1．D【解析】根据圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝110°.2.B【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，BD经过圆心O，∴∠BCD＝90°.∵∠BDC＝∠BAC＝40°，∴∠DBC＝90°－∠BDC＝50°.3.C【解析】∵BD是圆的直径，∴∠BCD＝90°.∵BD＝25，CD＝7，∴在Rt△BCD中，由勾股定理得BC＝eq\r(252－72)＝24(寸).4.A【解析】如解图，连接OC.∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝70°.∵点C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝70°，∴∠AOB＝140°.第4题解图5.A【解析】∵∠A＝48°，∠APD＝80°，∴∠C＝80°－48°＝32°，∴∠B＝∠C＝32°.6.A【解析】∵四边形ABCD为圆内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ADC＝115°，∴∠ABC＝180°－∠ADC＝65°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°－65°＝25°.【一题多解】如解图，连接OC.∵∠ADC＝115°，∴所对的圆心角为2×115°＝230°，∴∠BOC＝230°－180°＝50°，∴∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝25°.第6题解图7.D【解析】如解图，连接OB.∵＝，∠C＝25°，∴∠AOB＝2∠C＝50°.∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝eq\f(1,2)×(180°－∠AOB)＝65°.第7题解图8.A【解析】∵点D是的中点，OD是⊙O的半径，∴OD垂直平分AB，∵AB＝24，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝12cm.设OA＝rcm，则OC＝(r－8)cm，在Rt△AOC中，由勾股定理得r2＝122＋(r－8)2，解得r＝13，即半径OA的长为13cm.9.D【解析】由题意得∠BAE＝eq\f(（5－2）×180°,5)＝108°，∠COD＝eq\f(360°,5)＝72°，∴∠BAE－∠COD＝108°－72°＝36°.10.解：(1)作AC的垂线如解图所示；【作法提示】分别以点A，C为圆心，大于eq\f(1,2)AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P，Q两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O.(2)如解图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝1