重难点突破：专题15 一元一次不等式（解析版）

专题15一元一次不等式重点了解一元一次不等式的概念，会解一元一次不等式，并能将其解集在数轴上表示出来，在实际问题中建立不等关系，并根据不等关系列出不等式难点一元一次不等式的解法；在实际问题中如何建立不等关系，并根据不等关系列出不等式易错在解一元一次不等式的过程中，因为去分母、去括号、移项等出现错误；利用不等式解决实际问题时，忽略问题的实际意义，在取特殊值时易出现问题一、一元一次不等式的概念确定一个不等式是否为一元一次不等式必须满足两个条件：①经化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1，系数不为0；②不等式两边都是整式.【例1】下列各式中，是一元一次不等式的是（

）A．5+4>8 B．2x-1C．2x≤5 D．2x+y>7【答案】C【解析】∵5+4>8中，没有未知数，∴不是一元一次不等式，A不符合题意；∵2x-1，没有不等号，∴不是一元一次不等式，B不符合题意；∵2x≤5是一元一次不等式，∴C符合题意；∵2x+y>7中，有两个未知数，∴不是一元一次不等式，D不符合题意；故选C．【例2】已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，∴，∵关于的不等式的解集为，∴，且，∴，解得：，∵，∴，∴，∵，∴，即，∴．故选：C．二、一元一次不等式的解法一元一次不等式是不等式的一种类型，我们可以利用不等式的性质来求解不等式，求不等式的解集的过程叫做解不等式.解一元一次不等式可按下列步骤进行：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（特别要注意不等号方向的改变问题）．【例3】若的解集是，则必须满足是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：的解集是，，不等式的解集为：＜，∴，∴＜故选：【例4】已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．以上都不正确【答案】C【解析】解：，，，，解得，对于不等式，当a＞0时，x＜6a，则x＜6a的解不全是的解，不合题意，当a＜0时，x＞6a，则，解得，∴，故选：C．三、列一元一次不等式解决实际问题列一元一次不等式解决实际问题，应根据问题中的不等关系列出不等式，把实际问题转化为数学问题，再通过解不等式得到问题的答案．【例5】现有甲、乙两种运输车将46吨物资运往A地．甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，每种车都不能超载．已安排甲种车5辆，要一次性完成该物资的运输，则至少安排乙种车（

）辆．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】解：设乙种车安排了x辆，4x+5×5≥46解得x≥．因为x是正整数，所以x最小值是6．则乙种车至少应安排6辆．故选：B．【例6】随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小聪同学想乘公交车，他走到A、B两站之间的C处，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为700m（如图），此时他有两种选择：（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．假设公交车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（

）A．240m B．260m C．280m D．300m【答案】A【解析】解：设小聪的速度是xm/分，则公交车速度是6xm/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为ym，到A公交站：xt＋6xt＝700，解得xt＝100，则6xt＝6×100＝600，

到B公交站，由小聪不会错过这辆公交车可得解得y≤240．符合题意故A，B两公交站之间的距离最大为240m．故选：A．一、单选题1．不等式的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：3x>6，系数化为1，得x>2．故选：C．2．用不等式表示如图的解集，其中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由数轴可知，表示解集射线方向右，从数字2出发，且为实心点，故x的值大于等于2，故选：C．3．不等式的非正整数解有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个【答案】C【解析】解：系数化成1得：x＞-3．则非正整数解是：-2，-1，0共3个．故选：C．4．如果关于的不等式的解集是，那么数应满足的条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：关于的不等式的解集是，，解得，故选：B．5．不等式组的解表示在数轴上，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：解不等式组得，所以在数轴上表示为故选D．6．某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分，小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（）A．10x﹣5（19﹣x）≥90 B．10x﹣5（19﹣x）＞90C．10x﹣（19﹣x）≥90 D．10x﹣（19﹣x）＞90【答案】B【解析】解：设他答对了x道题，根据题意，得10x-5（19-x）＞90．故选：B．二、填空题7．不等式的自然数解是_________．【答案】0，1【解析】解：，∴，解得：，自然数的解是、．故答案为：0；18．已知不等式的解集为，则a的值为______．【答案】12【解析】解：解不等式：，得到，又不等式的解集为：，∴，解得a=12，故答案为：12．三、解答题9．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，见解析．【解析】解：，，，，．把解集在数轴上表示出来如下：10．为共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买2个甲种纪念品和3个乙种纪念品共需35元，购买1个甲种纪念品和4个乙种纪念品共需30元．(1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元？(2)若要购买这两种纪念品共100个，投入货金不多于900元，最多买多少个甲种纪念品？【答案】(1)购买一个甲种纪念品需10元，一个乙种纪念品需5元．(2)80个【解析】(1)设购买一个甲种纪念品需x元，一个乙种纪念品需y元，依题意得：，解得：答：购买一个甲种纪念品需10元，一个乙种纪念品需5元．(2)设购买m个甲种纪念品，则购买（100−m）个乙种纪念品，依题意得：10m＋5（100−m）≤900，解得：m≤80．答：最多买80个甲种纪念品．一、单选题1．在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：∵﹣1≤x＜3，∴在数轴上表示为：故选：D．2．已知，且，则下列结论成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，．故选D．3．在某校举行的冬季篮球赛中，选手王娜在第六、第七、第八、第九场比赛中分别得了23分、14分、11分和20分．她的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩，如果她的前十场的平均成绩高于18分，那么她的第十场的成绩至少为（

）A．27分 B．29分 C．31分 D．33分【答案】B【解析】解：设她的第十场的成绩得分x（分）．第六场−−第九场的平均成绩为（分），超过了前五场的平均成绩．因此，前五场该选手得的总分最多17×5−1＝84（分），但是她的十场的平均成绩高于18分，由题意得x＋（23＋14＋11＋20）＋84≥18×10＋1，解得x≥29．故选：B．4．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗（注：饭碗的大小形状都一样，下同）摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，李老师家的碗橱每格的高度为31cm，则里面一摞碗最多只能放（）A．16只 B．15只 C．14只 D．13只【答案】B【解析】解：设碗底的高度为xcm，碗身的高度为ycm，由题意得：，解得：，设李老师一摞碗能放a只碗，由题意得：5+a≤31，解得：a≤，则一摞碗最多只能放15只，故选：B．5．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有（

）个A．11个 B．12个 C．13个 D．14个【答案】B【解析】解：，，，是正整数，，解得，即只能取1，2，3，当时，，正整数解为：，，，，，，当时，，正整数解为：，，，，当时，，正整数解为：，；综上，它的正整数解有12个．故选择：B．6．①a是正数，用不等式表示为：a≥0；②2不是不等式x+3＞6的解；③如果a＞b，则﹣4a＞﹣4b；④不等式x+3＞﹣1的解集是x＞2．以上四个说法正确的是（）A．①②③④ B．①③④ C．② D．①②【答案】C【解析】解：①a是正数，用不等式表示为：a＞0，原说法错误；②2不是不等式x+3＞6的解，说法正确；③如果a＞b，则﹣4a＜﹣4b，原说法错误；④不等式x+3＞﹣1的解集是x＞﹣4，原说法错误；故选：C．二、填空题7．关于x的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式可以是______．（写出一个符合要求的不等式即可）【答案】x＜-4（答案不唯一）【解析】解：由图示可看出，从-4出发向左画出的折线且表示-4的点是空心圆，表示x<-4；故答案为：x<-4（答案不唯一）8．给出下列不等式：①x＋1＞x－x2；②y－1＞3；③x＋≥2；④x≤0；⑤3x－y＜5，其中属于一元一次不等式的是：___．（只填序号）【答案】②④【解析】①x＋1＞x－x2是一元二次不等式，故选项不符合题意；②y－1＞3是一元一次不等式，故此选项符合题意；③x＋≥2中不是整式，故选项不符合题意；④x≤0是一元一次不等式，故此选项符合题意；⑤3x－y＜5；含两个未知数，故选项不符合题意．故答案为：②④三、解答题9．解不等，并把结果在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析【解析】解：．数轴表示如下：10．“民族要复兴，乡村必振兴”，巴南区积极践行国家乡村振兴战略，大力发展乡村特色产业，丰盛镇脆桃种植基地连续几年产量获得大丰收，该基地采用现场采摘销售和线上销售两种模式．(1)今年该基地脆桃产量为51000千克，全部售出，其中线上销量不超过现场采摘销量的2倍．求现场采摘销量至少多少千克？(