微积分（第三版）课件：导数与微分

线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分导数与微分第一节导数的概念第二节求导法则第三节高阶导数第四节隐函数与参数方程导数第五节微分第六节导数在经济上应用导数与微分一、速度与切线二、导数的概念三、函数可导性与连续性的关系四、函数变化率与边际模型第一节导数概念第一节导数的概念问题导言——微分学产生的历史背景

十七世纪人类创建了微积分.微积分的创建是人类精神的最高胜利.它对自然科学的发展产生了深远影响.

在此期间,在自然科学领域发生了几件重大事件：

★1608年望远镜的发明,引起了天文学研究的高潮,推动了光学研究的发展.

★1619年开普勒经过观测研究,提出了行星运动三大定律,引起了全世界的关注.

在此阶段,人们提出了一系列与物体运动速度、加速度,曲线的切线相关联的问题.

这些问题将其概括为两类：

(1)变速直线运动物体的瞬时速度问题.(2)平面曲线的切线问题.★1638年伽利略建立了自由落体定律与动量守恒定律的数学表达式,激起人们用数学求解问题的热情.

这两类问题尽管内容和提法不同,但从思想方法上看都有一个共同的特征就是研究变量的变化程度及其相互关系.研究的代表人物是科学大师牛顿与莱布尼茨.一、速度与切线

例设物体作自由落体运动,其运动方程为.其中s表示位移,t表示时间.求时刻的瞬时速度

分析对瞬时速度的理解

速度:用来描述物体运动快慢的物理量称为速度.这里的速度是与时间间隔相关联的,它是距离与时间之比,它反映的是该段时间间隔内的平均速度.即

瞬时速度:物体运动中某一时刻的速度.在此无时间间隔、无法运动、无法体现速度,构成矛盾体.为了确定瞬时速度就要给出数学上瞬时速度的定义.问题解决的思想方法：欲求瞬时速度平均速度（当很小时）其平均速度为问题的求解过程：当时间很小时,在此越小,

越接近v,当小得不能再小时

当时间在取得增量时,位移有增量数据观察：时随的变化情况9.319.7519.79519.799519.799951[0.9,1][0.99,1][0.999,1][0.9999,1][0.99999,1]-0.1-0.01-0.001-0.0001-0.0000110.299.8499.80499.800499.800049[1,1.1][1,1.01][1,1.001][1,1.0001][1,1.00001]0.10.010.0010.00010.00001时间区间时间区间由极限概念知,瞬时速度为平均速度的极限

设物体作变速直线运动,其运动方程为s=s(t).其中s表示位移,t表示时间.求时刻的瞬时速度则在t0到这段时间内的平均速度为

当时间在取得增量时,则在到的时间段内,位移有增量1.变速直线运动的瞬时速度当越小时,平均速度将越接近瞬时速度,当无限趋近于零时,平均速度也将无限趋近瞬时速度.为此,瞬时速度为平均速度当时的极限,即

在此,平均速度称为位移s在t0到时间段内的平均变化率,而瞬时速度则称为位移s在时间t=t0的(瞬时)变化率.变速直线运动的速度概括以匀代变，运用极限实现匀与变的转化.思想方法变速直线运动自由落体运动

瞬时速度

平均速度

方程2.平面曲线的切线斜率

圆的切线:与圆只有一个接触点的直线称为圆的切线.

对于一般曲线而言与曲线只有一个接触点的直线未必为曲线的切线.

莱布尼茨曾把曲线的切线定义为连接曲线上无限接近的两点的直线.Ｍ附近另取C上一点N,作割线ＭN.

割线的极限位置ＭT是指:当点N沿曲线C趋于Ｍ时,弦长,且夹角∠MCTN切线的定义：设有平面曲线C及C上一点Ｍ,当点N沿曲线C趋于Ｍ时,如果割线ＭN直线ＭT就称为曲绕点Ｍ旋转而趋于极限位在点置ＭT.线C在点Ｍ处的切线.平面曲线的切线斜率M

为曲线上一点,N为M附近当时,割线斜率的极限值就是切线的斜率.T

MNx0x0+

xyOx

L

x

yy=f(x)

割线斜率为设平面曲线y=f(x),一点,作割线M

N.瞬时速度与曲线的切线斜率对比概括运用极限实现匀与变、直与曲的转化.瞬时速度切线斜率平均变化率与变化率结构特征二、导数的概念

定义设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，属于该邻域,记若极限即存在,则称其极限值为y=f(x)在点x0

处导数,记为或记为即即函数在x0的导数值等于其导函数在x0的函数值.

定义设y=f(x)在(a,b)内每个点都可导,则称为y=f(x)在(a,b)内的导函数,简称导数.或记为给定点的导数与导函数之间关系说明：导数也可表示为y=f(x)在(a,b)内可导.若

,则称

若在点M处函数可导则其切线方程为导数的几何意义

导数的几何意义是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线斜率.T

MNx0x0+

xyOx

L

x

yy=f(x)

单侧导数左导数右导数或

定理函数y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在x=x0

的左、右导数存在且相等.

例讨论函数

在x=0处的可导性.解所以y=f(x)在x=0可导,且三、可导性与连续性的关系设f(x)在x=x0可导,即此时即有则由极限定理知所以,若f(x)在x=x0处可导，则f(x)在x=x0

处连续.反之,若f(x)在x=x0处连续，则f(x)在x=x0处不一定可导.例讨论f(x)=|x|在点x=0处的连续性与可导性.因此f(x)=|x|在x=0连续.因此f(x)=|x|在点x=0处不可导.解所以解因此在点x=0处连续，但因此在点x=0处不可导.(极限不存在).综上所述,若y=f(x)在点x0处可导,则y=f(x)在点x0

处连续,反之不然.例讨论f(x)=在点x=0处的连续性与可导性.连续关系概念导数可导一定连续；连续未必可导连续但不可导函数图形特征xyoxyoxyo四、函数变化率与边际模型

设函数y=f(x)在点x处可导,则比值表示区间长度为的区间上y对x的平均变化率.而平均变化率的极限称为函数y=f(x)在点x处的变化率.它反映函数y=f(x)在点x处的变化快慢程度.经济学中的边际问题

在经济学中的边际问题就是变化率模型.设经济变量是可导的，则称其变化率为边际经济变量，亦称边际函数.在点处的变化率称为在点处的边际函数值.

设某产品产量为单位时成本函数为，收益函数为，利润函数为，则有下述边际函数.产量增加一个单位时所增加的利润

边际利润销量增加一个单位时所增加的收益

边际收益产量增加一个单位时所增加的总成本

边际成本经济含义边际函数边际成本、边际收益与边际利润函数五、求导数举例

利用定义求函数导数步骤：（1）求增量（2）算比值（3）求极限（4）得导数例

求(C为常数）的导数解(1)求增量(2)算比值(3)求极限所以例

求的导数.解(1)求增量(2)算比值(3)求极限所以例

求的导数.解所以一般地例

求的导数解(1)求增量(2)算比值(3)求极限所以所以解由导数概念得例

求的导数几个常用的基本初等函数导数公式对数函数三角函数幂函数常函数基本初等函数导数基本初等函数解因为，从而M0点的切线斜率

例求曲线在点处的切线方程和法线方程.y－1=3(x－1),即

y=3x－2.所以过点M0的切线方程为法线斜率1.导数的定义：3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;左右导数是否存在且相等.内容概括2.可导的充要条件导数与微分一、和差积商的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、求导公式第二节求导法则（C为常数，）一、函数的和、差、积、商的求导法则

定理设函数u=u(x),v=v(x)可导,则u(x),v(x)的和、差、积、商也可导,且有（1）（2）（3）第二节求导法则（C为常数）特别地特别地证设变量x取得增量,相应函数u,v有增量（1）因此（2）所以（3）所以例解例解例证明解同理解例二、反函数的求导法则

定理设函数在某区间内严格单调、可导，且，则其反函数y=f(x)在相应区间内也严格单调且可导，且有

证因为严格单调连续,其反函数也严格单调连续.所以

解因内严格单调可导，所以例

求函数导数同样可得或有同样也可得

解因在内严格单调可导，所以例

求函数导数例

求函数导数.

解

三、复合函数的求导法则

定理设u=g(x)在x可导,y=f(u)在相应点u=g(x)可导则复合函数y=f(g(x))在x可导，且有

推论若y=f(u),u=g(v),v=h(x),

则只要满足相应的条件,复合函数y=f(g(h(x)))就可导,且有复合函数的求导法则一般称为链式法则.证由得到当时，由u=g(x)可导知u=g(x)连续，此时必有或者.因而总有.所以注：在此仅给出时的证明.例求函数的导数.（1）写出中间变量对复合函数求导法则的运用,分三个过程来掌握.（2）在过程中体现中间变量（3）将中间变量记在心里一步完成求导解例求函数，的导数.令令解（1）写出中间变量例证明证令例求函数；的导数.解（2）在过程中体现中间变量解例求函数的导数.例求函数的导数.解例求导数解（3）将中间变量记在心里一步完成求导例求导数解基本初等函数求导公式初等函数的求导举例例求下列函数的导数解例求下列函数的导数解（1）因为由复合函数求导法则例若可导，求下列函数的导数解例设存在，求的导数解所以导数与微分一、高阶导数概念二、高阶导数举例第三节高阶导数

一、高阶导数的概念第三节高阶导数

设物体的运动方程为，则物体运动的速度为，加速度为

即加速度是速度函数的导数，是路程函数的导函数的导数，这就产生了高阶导数概念.

定义若函数的导函数在点可导，则称在点的导数为函数在点的二阶导数，记作，即

如果函数在区间I上的导数仍是x的可导函数，则称的导数为函数的二阶导函数，简称二阶导数，记作类似地,可定义三阶导数、四阶导数、n阶导数.即

若y=f(x)的n阶导数存在,则称

y=f(x)为n阶可导函数,此时意味着都存在.

二阶或二阶以上的导数称为高阶导数.相应地称为一阶导数.

求高阶导数的基本原则是逐阶求导.即先求一阶导数，再求二阶导数，以此下去，直到求到所求的阶数为止.例设解例设解

二、高阶导数的求导举例例设解例设

求n阶导数的通常方法是先逐阶求导,从各阶导数中寻找共有的规律.从中归纳出n阶导数的表达式.解所以当然，我们也可以从：中归纳出下面的规律：例设解以此类推例设解以此类推依此类推，可得导数与微分一、隐函数求导法二、参变量函数求导法第四节隐函数与参变量函数导数

问题导言：函数的常见表达形式主要有显函数形式、隐函数形式和参变量函数形式.第四节隐函数与参变量函数导数

例如：圆心在原点半径为1的上半圆周可表示为（1）显函数形式（2）方程形式（3）参数方程形式xy问题：如何确定隐函数和参变量函数的导数？一、隐函数的求导法则

如果变量x与y满足方程，在一定条件下，对于x取值区间内的任一值，都有满足方程的惟一的y值存在，则称由方程确定了一个隐函数.设方程F(x,y)=0确定了隐函数y=f(x),求导数

求导步骤：（1）方程两边对变量x求导（注意y是x的函数）；（2）解出导数例设y=y(x)由确定求.解方程两边对x求导，得解得

例求椭圆曲线处的切线方程.切线斜率切线方程为解方程两边对x求导，得

例

求由方程所确定的隐函数的二阶导数.

解将方程两边对x求导，得（1）式两边再对x求导，得将式代入得

根据隐函数求导法，还可以得到一个简化求导运算的方法——对数求导法．对数求导法的步骤：

对数求导法适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数及幂指函数的求导.（1）对函数取绝对值；（2）对绝对值函数取对数；（3）利用隐函数求导法求导;（4）解出导数表达式.解等式两边取绝对值，再取对数，得例方程两边对x求导，得所以注：解题时为了方便起见，取绝对值可以略去．解

函数两边取对数得例

求导数

例

求函数的导数．解对函数取对数，得方程两边对x求导，得所以一般地，对于幂指函数有二、由参数方程确定的函数的导法设参数方程确定函数则其导数为证明由复合函数与反函数的求导法则，有例设解例设解例求曲线在t=e处的切线方程.所以切线斜率当t=e时，x=e，y=e.解故切线方程为导数与微分一、微分概念的提出二、微分的概念三、微分的几何意义四、微分公式与运算法则五、用微分作近似计算第五节微分第五节微分问题导言——研究函数改变量的意义

函数改变量对于研究函数的局部特征,函数在此点周围的性态具有重要意义.微积分的许多重要概念都与其密切相关.连续概念导数概念

对于函数改变量的研究,不仅要考虑其极限特征,还要考虑其结构特征.微分概念就是由此提出的.

解设此薄板的边长为x,面积为

,则边长由变到面积改变量为一、微分概念的提出

例正方形的金属薄板受热后边长由变到试确定其面积改变量.其结构特征分析：

的线性主部高阶无穷小当很小时可由线性主部代替改变量

例自由落体运动.求当时间由变到时路程的改变量.

解

当时间由变到时,路程改变量为当很小时可由线性部分代替改变量（以匀速代替变速）问题函数改变量主要部分具体实例面积问题落体运动概括函数将上述讨论概括如下：

由此引出微分概念.二、微分的概念

定义设y=f(x)在点的某邻域内有定义，属于该邻域.若其中A与无关，而是关于的高阶无穷小，则称y=f(x)在可微，而称为y=f(x)在点处的微分，记为

问题:

函数改变量在什么条件下可以表达成且当很小时

设在处可导,则有由极限性质，得即反之,若则所以

定理

y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导,且有.

由于，即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比，因此导数也称微商.(1)若则即规定则微分可以表达为微分概念说明：(2)函数的微分与导数是等价的.(3)当很小时可以用微分dy作为函数改变量的近似代替量.三、微分的几何意义微分代表曲线y=f(x)在点处的切线的纵坐标的增量.

设函数的图形是一条曲线，是曲线上点处的切线，设的倾角为，切线的斜率为.当自变量x有改变量时，得到曲线上另一点，x0x0+

xyOxL

xdyy=f(x)MNQP四、微分的基本公式五、微分的运算法则

定理

设u=u(x)，v=v(x)可微，则有复合函数微分运算法则

若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，总有，这就是微分形式的不变性.利用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分.

设y=f(u),u=g(x)

都可微，则复合函数y=f(g(x))也可微，此时有求函数y=f(x)微分的基本方法：1.利用导数求微分①求导数②写微分２.利用微分基本公式与微分运算法则求微分例设解例设y=xtanx－sinx，求dy.解也可以直接用公式求微分.例设解如果不引入中间变量u，则可例设解例设解例设y=y(x)由确定求.解方程两边求微分，得解得

解面积增量与微分分别为六、微分在近似计算中的应用(1)计算函数改变量的近似值

由微分概念可得当很小时，函数改变量的近似计算公式

例半径为r的金属圆片加热后,半径增长了Δr试写出其面积的改变量与微分.，

设y=f(x)在可导，当自变量从变到x，即取得增量，则有当x很接近时，即很小时，有近似公式即

当容易计算时，就可以用上述的近似公式来计算附近点的函数值.(2)计算函数值的近似值特别地，在公式可以证明下述公式取得公式例解例解练习：求函数值的近似值导数与微分一、边际分析二、弹性分析第六节导数与微分在经济学上的简单应用第六节导数与微分在经济学上的简单应用一、边际分析

定义设函数是一个经济函数，其导数称为的边际函数，称为在点的边际函数值.

的经济意义是：当时，x改变一个单位，y改变个单位.

经济分析中，常用的边际函数有边际成本、边际收益、边际利润等.

对于经济函数