高考数学（新高考版）一轮复习教师用书 第二章 第八讲 函数模型及其应用

第八讲函数模型及其应用

1.［改编题］下列说法正确的是（）

A.函数y=2*的函数值比y=x2的函数值大

B.不存在Xo,使谈。<x^VogoXo

C.在（0,+8）上，随着x的增大,y=r（a>l）的增长速度会超过并远远大于片x°（a>0）的增长速度

D."指数爆炸”是对指数型函数y=a"+c（gO,b>O,bxl）的增长速度越来越快的形象比喻

2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的

一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是（）

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y=2x2B.y--（x21）C.y=log2XD.y=logix

3.下列函数中，随着x的增大,y也增大，且增长速度最快的是（）

x

A.y=0.001eB.y=lOOOInxCy=xioooD.y=l000-2*

4.某商场销售4型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下

表所示：

销售单元45678910

日均销售量/件400360320280240200160

请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的销售单价应为（）

A.4B.5.5C.8.5D.10

5.［2017北京高考］根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普

通物质的原子总数N约为108。.则下列各数中与?最接近的是（）

（参考数据:1g3-0.48）

33537393

考法1利用函数图象刻画实际问题

示例»［2017全国卷HI］某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了

2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位:万人）的数据，绘制了如图281所示

的折线图.

图281

根据该折线图，下列结论错误的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

解析〉根据折线图可知,2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少,

所以A错误.

答案》A

S拓展变式乜［2015北京高考］汽车的"燃油效率"是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.图2

82描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）

图282

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以801米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/H寸.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

考法2已知函数模型求解实际问题

餉2候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的

飞行速度v（单位:m/s）与其耗氧量Q之间的关系为：v=a+blog3糸其中a,b是实数）.据统计，该种

鸟类在静止的时候耗氧量为30个单位，而耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1m/s.

（1）求出。力的值;

⑵若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位？

（1）|根据已知列出方程组円解方程组求5b的值

⑵|由⑴列出不薪IT解不等式求。的最小值

解析〉⑴由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s,此时耗氧量为30个单位，则

a+blog3y^=0,fiPa+b=0;

当耗氧量为90个单位时,速度为1m/s,则o+blog3柒1,整理得a+2b=l.

解方程组｛雷得忆；’

⑵由⑴知,v=a+blog35=1+log3M

所以要使飞行速度不低于2m/s,则02,

所以1+嗨奈2,即logs系3,解得票27,即Q>270.

所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要270个单位.

s拓展变式？2.[2015四川高考]某食品的保鲜时间y（单位:时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数

关系y=ek"b（e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,

在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是

______小时.

考法3构造函数模型求解实际问题

命题角度1构造一次函数、二次函数、分段函数模型

示例E某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池

又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120倔吨（04424）.

⑴从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？

⑵若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，则在一天的24小时内，有几小时出现

供水紧张现象.

思维导引K1）根据题意，先设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，写出蓄水池中的存水量的函数

表达式，再利用换元法求此函数的最小值即可;（2）根据题意列不等式求解.

解析>（1）设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，

则y=400+60f120V6t,

2

令倔=x，则x2=6t,即t=±，所以y=400+10x2120x=10（x6）2+40...............................

6

所以当x=6,即t=6时,y取得最小值,ymm=40,

即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少,最少存水量是40吨.

(2)由(1)及题意得400+10x2i20x<80,即x212x+32<0,

解得4<x<8,即4<V6t<8,|<t<y.

因为牛一沁所以每天有8小时出现供水紧张现象.

IS拓展变式）3.据气象中心观察和预测:发生于沿海M地的台风一直向

正南方向移动，其移动速度v（单位:km/h）与时间t（单位:h）的函数图象如

图283所示，过线段。C上一点T（t,0）作横轴的垂线/,梯形0ABe在

图2-8-3

直线/左侧部分的面积即为时间t内台风所经过的路程s(单位:km).

⑴当t=4时，求s的值.

(2)将S随t变化的规律用数学关系式表示出来.

(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km,试判断这场台风是否会侵袭到N城，如果会,

在台风发生后多长时间将侵袭到N城？如果不会,请说明理由.

命题角度2构造片模型

因加某养殖场需定期购买饲料,已知该养殖场每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为

1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，每次购买饲料需支付运费300元.求

该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.

题中信

对接方法

息

定期购

买，想到设元，平均每天支付的总费用为y

支付费元,X天购买一次.

用

数量关

想到构建函数模型，列出y与x的关系式.

系

费用最想到解数学模型，利用基本不等式或函数

少性质求解.

解析〉设该养殖场x(xGN*)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元.

因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200*0.03=6(元)，所以x天饲料的保管费与其他

费用共是6(xl)+6(x2)+...+6=(3x23x)(元).

从而有y=?3x23x+300)+200xl.8=^+3x+357>2月石+357=417,

当且仅当単=3x,即x=10时,y取得最小值.故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付

的总费用最少.

IS拓展变式）4.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为

60。（如图284）,考虑防洪堤的坚固性及石块用料等因素,设计其横断面面积为

9VI平方米，且高度不低于百米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长（梯形的上底

线段BC与两腰长的和）为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周

长最小），则防洪堤横断面的腰长为米.

命题角度3构造指数函数、对数函数、幕函数模型

示例比2016四川高考］某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年

投入研发资金130万元在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投

入的研发资金开始超过200万元的年份是

（参考数据:1g1.12=0.05,1g1.3=0.11,lg2=0.30）

年年年年

解析〉设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130（1+12%）、>200,即

I2

1.12^=>x>-^=镖厶号等=3.8,所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的

1.3lgl.12lgl.120.05

年份是2019年

答案中

IS拓展变式）5.某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监

测，服药后每毫升血液中的含药量y（单位:微克）与时间t（单位:时）之间近似满足如图

285所示的曲线.

⑴写出第一次服药后y与t之间的函数关系式图2-8-5

⑵据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一

次后治疗疾病有效的时间.

1.C当x=2时，函数y=2"的函数值与y=x2的函数值相等，排除A;当a=x0=；,〃丄时,不等式成立,

24

排除B;"指数爆炸”是对指数型函数y=a-b，+c（a>0力>1）的增长速度越来越快的形象比喻，排除D.

选C.

2.B由题中表格可知函数在（0,+8）上是增函数，且y随x的增大而增大，且增长速度越来越快,

分析选项可知B符合，故选B.

3.A在对数函数、暴函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B,C；指数函数中,

当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，故选A.

4.C由题意可设销售单价为x元,利润为y元,则片(x3)[40040(x4)]=40(x2+17x42),

故当x=8.5时,y取得最大值，故选C.

361

5.D因为lg3=361x|g3=361x0.48=173,所以“之如払,则*=需=1093,故选D

1.D对于A选项，从题图中可以看出乙车的行驶速度大于40km/h时的燃油效率大于5km儿

故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误.对于B选项，由题意可知，以相同

速度行驶相同路程,燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最少.对于C选项，甲车

以80km/h的速度行驶时的燃油效率为10km/L,故行驶1小时的路程为80千米，消耗8L汽

油，所以C错误.对于D选项，最高限速为80km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃

油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确.

2.24由题意得f即_1所以该食品在33℃的保鲜时间是

y=e33k+b=(eiM)3.et>=g3x]92=24.

3.(1)由图象可知，线段OA所在直线的方程是i/=3t(0<t<10).

当匕4时,v=12,所以s=|X4xl2=24.

(2)当0<t<10时得Xtx3t=¥；

当10<长20时,5=；xl0x30+(t10)x30=30t150；

当20<仁35时，线段8c所在直线的方程是v=21+70(20(号35).

$=150+300+1x(f20)x(2t+70+30)=t2+70t550.

综上可知,5=(301-150,te(10,20],

2

ct+70t-550,te(20,35].

(3)会，在台风发生30h后将侵袭到N城.

2

当tG[0,10]Ut,smax=|