2023届宜春市重点中学高考数学试题全真模拟卷

2023届宜春市重点中学高考数学试题全真模拟卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.执行如图所示的程序框图，则输出的5=（）

A.2B.3

2.已知椭圆三+/=1（。＞匕＞0）的右焦点为尸，左顶点为A,点尸椭圆上，且PE_LAF,若tan/PAF=；,则

椭圆的离心率e为（）

2

D.

3

3.已知函/(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,xe-，则/(x)的最小值为()

A.2-夜B.1C.（）D.-V2

4.a〃。力〃民。//夕，则，，与匕位置关系是（）

A.平行B.异面

C.相交D.平行或异面或相交

5.过抛物线丁=2*（〃＞0）的焦点作直线交抛物线于AB两点,若线段AB中点的横坐标为3,且|A到=8,则

抛物线的方程是（）

A.y2-lxB.y1=4xC.y2=8xD.y2-lOx

6.一辆邮车从A地往8地运送邮件，沿途共有〃地，依次记为4，…A.（4为A地，A“为8地）.从4地出

发时，装上发往后面〃-1地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各

地的邮件各1件，记该邮车到达A1,4,…A“各地装卸完毕后剩余的邮件数记为处伙=1,2,…则4的表达式为

（）.

A.左(〃一人+1)B.k(n-k-V)C.n(n-k)D.k(n-k)

7.MBC中，BC=2A/5,。为8C的中点，ZBAD=-,AD=\,则AC=（）

4

A.2x/5B.272C.6-逐D.2

8.等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若。“>0,q>\,%+4=20，44=64,则5$=（）

A.48B.36C.42D.31

9.已知椭圆C的中心为原点。，户（一2行,0）为。的左焦点，P为C上一点,满足尸I且|PE|=4,则椭圆

C的方程为（）

A.—+^-=1B.三+片=1C.—+—=1D.-+^-=\

255361630104525

10.在（x—」-尸的展开式中，/的系数为（）

2x

A.-120B.120C.-15D.15

11.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）

控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正

方形ABC。，在点E,尸处各放一个目标球，表演者先将母球放在点4处，通过击打母球，使其依次撞击点E,尸处

的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,ZAEF=ZCFE=6Q°,则该正方形的边长为（）

A.50y/2cmB.40cmC.50c/nD.20cm

22

12.已知双曲线C:二-4=1（。>0/>0）的右焦点为尸，若双曲线C的一条渐近线的倾斜角为g,且点尸到该渐近

a~b~3

线的距离为由，则双曲线C的实轴的长为

A.1B.2

8A/5

c.4D.

5

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在AABC中，已知A8-4C+284-8C=3C4-C8，贝UcosC的最小值是.

14.若函数/(x)=a"(a>0且存1)在定义域[如，”上的值域是n2](l</n<n),则a的取值范围是.

15.设等比数列｛凡｝的前〃项和为S.，若S,+S6=S9,则数列｛为｝的公比夕是.

x+.y-3<0

16.若函数y=logzX的图像上存在点(x,y),满足约束条件2x-y+220,则实数加的最大值为

y>m

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(犬)=|工一”一仅+27司的最大值为3,其中加>0.

(1)求实数加的值；

(2)若a,/?eR,>0,1+方2=加求证:---1>i.

ba

18.(12分)设函数/(X)=6COS2J-百sin2x.

(1)求哈T的T值;

(2)若xe,求函数/(x)的单调递减区间.

19.(12分)如图，在四棱锥B4BCO中，Ri_L平面A5cO,N48C=NA4O=90。，AD=AP=4,AB=BC=2,M为

PC的中点.

(1)求异面直线AP,所成角的余弦值；

4

(2)点N在线段AO上，且AN=2,若直线MN与平面尸8c所成角的正弦值为二，求2的值.

20.(12分)在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在

数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点。为极点,

x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为。=l-sin。(046<2肛。>0),

M为该曲线上的任意一点.

3

(1)当|OM|=Q时，求M点的极坐标；

(2)将射线0M绕原点。逆时针旋转^与该曲线相交于点N,求的最大值.

21.(12分)已知数列｛4｝的前〃项和为S,,且满足2S“=”-〃2(〃GN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(/?二2左一1)

(2)设〃,=2(〃=24JeN*)，数列也｝的前〃项和。.若凡—对

2n+2

〃eN*恒成立，求实数。，人的值.

22.(10分)已知函数/(£)=卜一1|,不等式/(x)+.f(x—l)＜5的解集为卜何＜》＜〃｝.

(1)求实数加，«的值；

(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证：x+y>9xy.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

运行程序，依次进行循环，结合判断框，可得输出值.

【详解】

起始阶段有i=l,S=3,

第一次循环后S=」=—《，j=2,

1-32

A0=----1---=一2

第二次循环后

1+13,i=3,

2

q=_L=a

第三次循环后I2一°,i=4,

3

第四次循环后5=丁1=-[j=5,

1-32

所有后面的循环具有周期性，周期为3,

当i=2019时，再次循环输出的S=3,1=2020,此时2020>2019,循环结束，输出S=3,

故选：B

【点睛】

本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.

2、C

【解析】

/,2\]

不妨设P在第一象限，故Pc,—,根据=q得到l—e—2e?=0,解得答案.

I42

【详解】

（b2}£

不妨设在第一象限，故一,,即Y一，

PpGatanZPAF=ua=—1,ac,-2c2=0

[）a+c2

即l—e-2e2=0,解得e=[,e=-l（舍去）.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.

3、B

【解析】

TTTT37r

f(x)=5/2sin(2xH—)+2,x€----,一="2、+了"彳利用整体换元法求最小值.

444

【详解】

由已知,/(x)=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=V2sin(2x+—)+2,

又工<芷，故当色=—工，即无=—时，

£<2%+2%+2/«in=l.

44444444

故选：B.

【点睛】

本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.

4、D

【解析】

结合图(1),(2),(3)所示的情况，可得a与5的关系分别是平行、异面或相交.

yzZy—z

----*八4

x~7yy7

(I)(2>0)

选D.

5、B

【解析】

利用抛物线的定义可得,IA81=1Ab|+||=玉+T+/+々，把线段A5中点的横坐标为3,|AB|=8代入可得p值,

然后可得出抛物线的方程.

【详解】

设抛物线V=2px(p>0)的焦点为F,设点A(x„y,),B(x2,y2),

由抛物线的定义可知|48|=|4/|+|5/|=%+5+々+5=(%+9)+〃，

线段AB中点的横坐标为3,又|AB|=8,.•.8=6+〃，可得〃=2,

所以抛物线方程为y2=4x.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.

6、D

【解析】

根据题意，分析该邮车到第k站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，该邮车到第女站时，一共装上了5+2)+……(〃-%)=(2〃-l「Z)xZ件邮件,

需要卸下1+2+3+……(fc-l)=件邮件，

(2n-1-k)xkZx(A-l)

贝ni％l=------2--------三一-=k(n-k),

22

故选：D.

【点睛】

本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题.

7、D

【解析】

在AARD中，由正弦定理得sin8=亚；进而得8544。。N05(2+8〕=且，在AWC中，由余弦定理可得

10^4J5

AC.

【详解】

ADBDr—'厂

在△/隹/)中，由正弦定理得而万=—T,得sin8=Y!Q，又BD>AD，所以B为锐角,所以cosB=3"，

smz1010

cosZADC-cosf—+E>\->

(4)5

在AADC中，由余弦定理可得AC?=4)2+。。2一2AD.OCCOSNADC=4，

AC=2.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.

8、D

【解析】

试题分析：由于在等比数列｛%｝中，由a2a6=64可得：a3a5=a2a6=64,

又因为%+%=20,

所以有：%，%是方程V—20x+64=0的二实根，又。“>0,q>l,所以％<%，

故解得：。3=4,%=16,从而公比4=JF=2,4=1；

25-1

那么既=>^=31，

故选D.

考点：等比数列.

9、B

【解析】

由题意可得c=26，设右焦点为F，，由|OP|=|OF|=|OF，|知，

ZPFF^ZFPO,NOFANOPF，，

所以NPFF'+NOF'P=NFPO+NOPF',

由NPFF，+NOPP+NFPO+NOPF，=180。知，

NFPO+NOPF，=90。，即PF_LPF<

在RtAPFF，中，由勾股定理，得|PF1=JFT2_PF2=“4鬲匚3=8，

由椭圆定义，得|PF|+|PF1=2a=4+8=12,从而a=6,得a?=36,

于是b2=a2-c2=36-（2A/^）2=16，

22

所以椭圆的方程为土+二=1.

3616

故选B.

点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定

点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在.

10、C

【解析】

写出。一3）1°展开式的通项公式&1=C；O（-3卬°必，令10-2r=4,即r=3,则可求系数.

2x2

【详解】

1

（1一--）"'的展开式的通项公式为&1=弓0/°-「（一2-）'=。；0（-3入82「，令10-2r=4,即尸=3时，系数为

2x2x2

Go（-|）3=-15.故选C

【点睛】

本题考查二项式展开的通项公式，属基础题.

11、D

【解析】

过点做正方形边的垂线，如图，设NAEM=a,利用直线三角形中的边角关系，将A6,8。用a表示出来，根

据钻=BC,列方程求出a,进而可得正方形的边长.

【详解】

过点旦尸做正方形边的垂线，如图，

设ZA£M=a,则NCFQ=a,ZMEF=ZQFE=60-a,

则AB=AM4-MN4-NB=AEsina+EFsin（60-a）+ECsina

（3.V3\

50sina+40sin（60-a）+30sina=40—sina+——cosa

22

7

CB=BP+PC=AEcosa+FCcosa-EFcos（60一。）

3

二50cosa+30cosa-40cos（60-a）=40—COS6Z-

22

\

f3也3

因为AB=CB,则40—sina+——cosa40一cosa-——sina,

2J

22\2

整理化简得岂吧=2—6,又si^a+cos2a=1，

cosa

得2与…

2V22y/2

/lB=4of-sina+—cosa\3V3-1V373+1

40x-X------Y=-H-------x------产=20瓜

22722V222V2

即该正方形的边长为20V6cm.

故选：D.

【点睛】

本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.

12、B

【解析】

双曲线C的渐近线方程为卜=±2%,由题可知2=tan£=6.

aa3

设点F(C,O),则点/到直线y=后的距离为=丛,解得c=2,

«厨+(-1)2

所以02=/+从=/+3/=4/=4,解得“=1,所以双曲线C的实轴的长为2。=2,故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、—

3

【解析】

分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：bccosA+2accosB=3abcosC,然后再结合余弦定理整理为

a2+2b2=3c2＞再由cosC的余弦定理得到a,b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.

详解：已知A8-AC+2B/VBC=3CA-CB，可得bccosA+2accosB=3a6cosC,将角A,B,C的余弦定理代入得

21,

222222a2+b22也'当a=b时取到等号,故cosC的最小值为孝.

a+2b=3c,*r_«+^-f_33

2ab2ab3。

点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化48・4。+284-8。=3(748是解题关

键.属于中档题.

2

14、(1,靛)

【解析】

/(x)=优在定义域M，〃]上的值域是["落”2],等价转化为f(x)=a'.y=x2的图像在(I,+8)上恰有两个交点,

考虑相切状态可求O的取值范围.

【详解】

由题意知：/'(x)=优与y=/的图像在(1,+«。)上恰有两个交点

考查临界情形：》=《；与.丫=》2切于%,

22

ao°=X0

<=>。0=6,.

a；。\na=2x0

故答案为：(],/),

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，把已知条件进行等价转化是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.

15、±1.

【解析】

当q=l时，S3+邑=3〃]+6q=9al=Sg.

•«*S3+§6=Sg、~q)£q)=~4-2-q3-qb=1-八.(/_i)2(/+1)=o

当4W1时,\-q\-q\-q

・・.4=-1,所以q=±l.

16、1

【解析】

x+y-3W0,

由题知x>0,且满足约束条件2x-y+2N0,的图象为

y>m,

由图可知当y=log2*与y=3-x交于点B（2,D，当直线y=加过B点时，m取得最大值为L

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出

可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、

一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1；（2）证明见解析.

【解析】

Q）利用零点分段法将/（X）表示为分段函数的形式，由此求得/（X）的最大值，进而求得〃?的值.

3人31

（2）利用（1）的结论，将幺+幺转化为丁-求得,活的取值范围，利用换元法，结合函数的单调性，证得

baab

—~2ab>\,由此证得不等式成立.

abba

【详解】

(1)m>0

-3m,x>m

f(%)=k_时_k+2制=<-2x—m,-2m<x<m

3m,x<-2m

二当x=2小时，/(x)取得最大值3m.

/.m=\

(2)证明:由(1)得，片+/=1，

a3b3a4+b4(a2+b2)2-2a2b2]

-1-=----=----------=--

haabahab

Qa2+b2>2ah,当且仅当。=匕时等号成立，

:.0<ab<—

2

令0</<—

则/z(x)在上单调递减

/.h(t)>h

二.当0<QZ?K—时,

2

———2ab>1

ab

・•・《+%.

ba

【点睛】

本小题主要考查含有绝对值的函数的最值的求法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.

18>(1)=3+6(2)/(x)的递减区间为—和-^-,71

【解析】

7T

(1)化简函数/(X),代入x=一,计算即可；

12

71

(2)先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合xe乃即可求出.

【详解】

⑴/(x)=6cos2x->/3sin2x=3(1+cos2x)-V3sin2x

=-5/3sin2x+3cos2x+3

=—2VJsin(2x—g)+3,

从而/(A=3+6.

TTTTTC

(2)令一々+2JbrW2x—+2&肛&eZ.

232

冗5万

解得-----\-k7c<x<----卜k兀,keZ.

1212

九5TT

即函数/(X)的所有减区间为一:+k九=+k兀,k&Z,

冗冗5乃1\TC

考虑到XE,取攵=0,1,可得XG---.71

12

几57r1ITT

故f(x)的递减区间为—和丁「",

【点睛】

本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题.

19、(1)—.(2)1

3

【解析】

(1)先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量AP的坐标，再利用线线角的向量方法求解.

(2,由AN=2,设N(0,九0)(09%),则MN=(-1，2—1，-2),再求得平面尸8c的一个法向量，利用直线MN

4IMN-m\I_2-214

与平面P3C所成角的正弦值为二，由Icos(MN，m>1=〔一一I，=71二一,、；一>==求解•

5|MN||m|,5+(4—1)-v55

【详解】

(1)因为总J■平面4BCD,5.AB,ADcYffiABCD,所以/MJL48,PAA.AD.

又因为NA4O=9()。，所以DbAB,AO两两互相垂直.

分别以A8,AD,A尸为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则由A£)=2A5=28C=4,Rl=4可得

A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),尸(0,0,4).

又因为M为PC的中点，所以M(L1,2).

所以助0=(一1，1，2),AP=(。，。，明,

APBM

所以cos〈AP，BM>=

\AP\\BM\

0x(-l)+0xl+4x2布

==T

所以异面直线AP,8M所成角的余弦值为Y5.

(2)因为AN=2,所以N(0,九0)(0<2<4),

则MN=(-L义一1，-2)，BC=(。，2,0),PB=Q,0,-4).

设平面PBC的法向量为加=(x,y,z),

m-BC=0'2y=0

则即《

m-PB=02x-4z=0

令x=2,解得y=0,z=l,

所以加=(2,0,1)是平面P8C的一个法向量.

4

因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为-,

所以|cos<MN，〉=

ml|MN||m|,5+(>-1)~•小5

解得2=1G[O,4],

所以2的值为1.

【点睛】

本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，线面角的求法及应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,

属于中档题.

/37兀\(3［\TCI

20、(1)点时的极坐标为［/,-^-)或［3,7—)(2)5/2+1

【解析】

3

(1)令2=1-sing,由此求得。的值，进而求得点"的极坐标.

2

(2)设出M,N两点的极坐标，利用勾股定理求得|MV|的表达式，利用三角函数最值的求法，求得|MN|的最大值.

【详解】

(1)设点M在极坐标系中的坐标

31

由夕=l-sin。，得一=l-sin。，sinB=——

22

•・・o«e<2»

.•.夕="或。=止，

66

/3q冗\(3］\JL、

所以点M的极坐标为或

(2)由题意可设“3,e),N(P2，］+“.

由夕=1-sin®,得q=l-sine,p2-\-sin+6/^=1-cos0.

\MN\=Jp；+&=^(l-sin0)2+(l-cos^)2

=j3-2(sine+cos。)

=J3—2应sin(6+S