陕西省咸阳市2023届高三高考模拟（三）文科数学试题（含答案解析）

陕西省咸阳市2023届高三高考模拟（三）文科数学试题

学校:.姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.设集合A={xeN*|-l<x43},则集合A的真子集个数是（）

A.6B.7C.8D.15

2-3i

2.已知复数2=二一，则复数Z的虚部是（）

1

A.-2B.-2iC.2D.3

3.如图，在ABC中，点。为边的中点，0为线段AD的中点，连接CO并延长交

于点E,设A8=a,AC=b，则CE=()

4.已知方程sina+2cosa=0,则cos?sinorcoscu=()

4

D.

5

5.已知函数/（x）的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（)

B./(%)=—

COSX

C./(x)=excosxD./(x)=e，sinx

6.已知正三棱锥A-8CD的所有棱长均为2,点N分别为棱AD和3c的中点，点

E为棱AB上一个动点，则三角形MEN的周长的最小值为（）

A.3B.2+72C.1+72+73D.4+忘

x-y>t

7.若实数x,y满足<2x-yW4,,则无+y+l的取值范围为（）

y>0,

A.[1,5]B.(1,5)C.(2,6)D.[2,6]

8.已知函数/（x）=2sin[0x-£[0>0）,对任意xeR,恒有,且/（x）在

上单调递增，则下列选项中不正确的是（）

A.。=2

B.函数的对称轴方程为％*+]（左=）

C.丁=/1%+己）为奇函数

D./（龙）在-9，：上的最大值为无

144」2

9.已知实数%,丁40,2],任取一点（x,y）,则该点满足/+丁222的概率是（）

A.-B.1--

84

C.1--D.-

84

11

10.已知〃=天而，/?=e-l^t,Jos逅,则（）

2侬2023

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.a>c>b

H.已知等差数列｛4｝,他,｝的前〃项和分别为加7,,若（2〃+3电=可，则2=（）

D5

A.-B.-C.—D.—

732525

12.已知抛物线y=[x2（yV8）,把该抛物线绕其对称轴旋转一周得到一个几何体，在

该几何体中放置一个小球，若使得小球始终与该几何体的底部相接，则小球体积的最大

值为（）

二、填空题

13.若一数列为2,7,14,23,…，则该数列的第8个数是.

14.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若acosC+ccosA=3,

试卷第2页，共4页

且a?+c2=9+ac，则8=.

15.已知/'(x)是定义在R上的偶函数，当无20时，f(x)=ex-cosx,则不等式

/U-D-l<eK的解集是.

22

16.已知耳，工是双曲线c：土-匕=1的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上

54

一点，设/，G分别为谯的内心和重心，若/G与y轴平行，贝1]岬•9=

17.从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份，分别统计出这些试卷总分，由总

分得到如图所示的频率分布直方图.

八频率

组距

0.024-----------------

0.015_________________________

0.014----------..

0.010----------------------------

0.008-------I-------------------------

0.004------------------------------------

0.002-―

(9^5565758595105115125135145

(1)求这100份数学试卷的样本平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)在样本中，按照分层抽样从数学成绩不低于125分的试卷中抽取6份，再从抽取的试

卷中随机抽取出2份试卷进行答卷分析，求至少有一份试卷成绩不低于135分的概率.

18.如图，三棱柱A8C-44cl的侧面88。。是边长为1的正方形，侧面88。。，侧

面AB=4,Z^B]B=60°,G是4蜴的中点.

(1)求证：平面G3CL平面8旦GC；

(2)若尸为线段BC的中点，求三棱锥A-PBG的体积.

19.已知数列｛%｝满足。“+「2%="-1,且%=1.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵数列｛■的前〃项和为S,,若5“<2023,求"的最大值.

20.已知椭圆C:=+《=l(a>b>0)的左，右焦点分别为F2,离心率为且，M为

ab2

椭圆c上的一个动点，且点M到右焦点工距离的最大值为2+g.

⑴求椭圆C的方程；

(2)已知过点F2的直线/交椭圆C于A,2两点，当的面积最大时，求此时直线/

的方程.

21.已知函数/(无)+xlnx-ax,g(x)=ae~2x+x2.

⑴当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

⑵若函数/⑴和g(x)有相同的极值点X。,求实数a的值.

22.直线(f为参数)，圆C:0=20sin(e+。(极轴与x轴的非负半轴重

合，且单位长度相同).

⑴求圆心C到直线/的距离；

⑵若直线/被圆c截得的弦长为平，求。的值.

23.已知定义在R上的函数/(x)=|x-l|+|x+2］的最小值为，

⑴求P的值；

222

(2)设a,",ceR,a+2b+3c=2P,求证：\a+2b+3c\<6.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】由题意列举出集合A中的元素，再用真子集个数公式2"-1为集合中元素个数)

计算即可.

【详解】因为A={xeN*,

所以A={1,2,3},

所以集合A的真子集个数是23-1=7,

故选：B.

2.A

【分析】根据复数的除法运算求解z,即可得结果.

【详解】由题意可得：z=U=笆尤=-3-2i,

ii

所以复数z的虚部是-2.

故选：A.

3.C

【分析】设=再根据平面向量基本定理分别表示CO,C石，进而根据向量共线设

2=-

CE=〃CO,代入向量可得:，进而得到CE.

ju=—

r3

【详解】设AE=/IA3，则。£=4£一4。=几4-6，又

11111O1Q

CO=-CA+-CD=——AC+-(AB-AC\=-AB——AC=-a——b,

2224、^4444

设CE=RCO,贝I」一Z?=，

\_AL_1

A,——zt——

43

故a，即

,3〃4

14〔尸3

-41

i^CE=-CO=-a-b.

故选：C

4.B

【分析】由已知可得tanc=-2,cos?a-sinacosa用齐次式方法处理后得上等之，将

tana+1

答案第1页，共16页

tana值代入即可得出答案.

【详解】方程sina+2cosa=0,化简得tana=-2,

cos2a-sinacosacos2a-sinacosa

贝!Jcos2a-sinacosa=

1sin2cr+cos2a

cos2-sinercosa_1-tana

分子分母同时除以cos2a可得:

sin2a+cos2atan2cr+l

2.1-tantz1-(-2)=3

将tana=_2代入可得cosa-smacosa=

tan2a+1(0+15

故选：B.

5.D

【分析】利用排除法，结合函数图象，利用函数的定义域和导数研究函数的单调性，依次判

断选项即可.

【详解】由图象可知，函数/(x)的定义域为R.

A：〃x)=工，函数/⑴的定义域为卜|尤所以A不符题意；

sinx

B：f(x}=^—,函数/(x)的定义域为尤wg+E,左ez］,所以B不符题意；

cosx〔2J

C：当0<%<兀时，y(x)=ex-cosx,则/'(%)=e”-05工一6”,sinx=e”(cos%-sinx),

TTTT

当0<x〈2时，f'(x)>0,当2<x<兀时，［(无)<0,

44

所以/(x)在上递增，在“上递减，所以是函数的极大值,

结合图形，/不是极大值，故C不符题意；

D：当0<%<兀时，/(x)=ex-sinx,

则/'(%)-e"-cosx+ex-sinx=ex(cosx+sinx),

当0<%<一时，f\x)>0,当一<了<兀时，f\x)<0,

44

所以/")在上递增，在(1,兀］上递减，结合图形，D符合题意；

故选：D.

6.B

【分析】将侧面ABC和侧面4町展开为一个平面，求出ME+NE最短时的长度，再计算出

MN的长度即可.

【详解】根据题意，将正三棱锥A-BCD的侧面ABC和侧面4犯展开为一个平面，如图所

答案第2页，共16页

不，

当点M,N,E在同一直线上时，ME+NE最短,

因为正三棱锥A-BCD的所有棱长均为2,

所以==即四边形AD3c为菱形,

又因为点M,N分别为棱AD和BC的中点，

所以四边形AAWC为平行四边形，

所以也N=AC=2,

下面求MN的长；

连接。N,过点A和点N作40,平面ABC,MP,平面ABC,垂足为点。和点尸,

因为三棱锥A-BCD为正三棱锥,

所以点。和点尸在底面ABC的中线DV上，且点。为等边三角形ABC的中心，

贝ljCN=/c=l,DN=1C»-CN。=42。-f=超，

所以NP=DO=乙DN=空,

33

因为AO_L平面ABC,MP_L平面ABC,QDu平面ABC,

所以AO//MP,AO1OD,则MP_LOD,

又因为点“为AD中点，所以“尸=：A。，

2

在RtAOD中，AO=《AD二帅=一（当了=当,则=

在Rt^MPN中,MN^^JMP2+NP2

所以三角形MEN的周长的最小值为NE+ME+MN=2+0,

故选：B.

答案第3页，共16页

A

7.D

【分析】根据不等式组作出可行域，如图，当直线z=x+y+l经过点3时，z取得最小值,

当经过点A时，z取得最大值，求出点A、2的坐标即可求解.

【详解】由不等式组，作出可行域，如图，

令2=工+,+1,贝ljy=x+l_z,作直线y=x,

平移直线'=无，当直线经过点8时，z取得最小值，

当直线经过点A时，z取得最大值，

又8(1,0),此时z=2,

[V=x—1

由c,，解得X=3,y=2,即A(3,2),此时z=6,

[y^2x-4

所以2=尤+丁+1的取值范围为[2,6].

故选：D.

【分析】根据三角函数的对称性和单调性求得。=2,进而求得〃x)=2sin12xqj,利用

整体代换法，结合奇偶函数的定义和三角函数的最值依次判断选项即可.

【详解】A：由题意，X/xeR,恒有,

所以x=方是函数f(x)的一个最高点，即—B=W+

3362

得①=2+3k,keZ.

答案第4页，共16页

又函数/（九）在上单调递增，则0。<:=>[3-总+/卜一.

又函数y=sin犬的单调递增区间为1-、+2E,]+2E：Z£Z,

所以（一宗,：0一e）口（_5+2版,]+2而）/€2,

--+2^<--k<-

266，左

即<,keZ,解得eZ,

兀、兀71

—+2kit>—a)——

.24683

当％=0时，a）=2,止匕时一-—,符合题意；

126

,71,

当左=1时，60=5,止匕时二不成立，故不符合题忌,

246

所以。=2.所以〃x）=2sin]2x-".故A正确；

7rlp7TK

B：令2%——=—+E,左wZ,解得兀=—+—兀,左eZ,

6232

TTk

即函数的/（X）的对称轴为X=1+万兀水£Z,故B正确;

71I...|71]71_..令(无)=/[

C：fxH----=2sin21xH--------=2sin2x,gx+^|=2sin2x,

In[n6

TT

贝|g(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=­g。)，即函数“x+0)为奇函数，故C正确;

_71712兀7171

D：——<x<—=>------<2x——<—,

44363

2兀717171

因为函数、=5也》在上单调递减，在上单调递增,

T，-2

所以函数/⑴在C上，-2</（x）<^,即函数小）的最大值为6,故D错误.

故选：D.

9.C

【分析】根据几何概型的方法，求出x,V=[。,2]表示的区域中满足Y+y222的面积所占

的比例即可.

【详解】设。={（x，y）[0<x〈2,0VxV2},则在平面直角坐标系中画出平面区域。，如图所

不，

则平面区域。的面积为：2x2=4,

圆Y+y2=2的圆心为（0,0）,半径为&,

答案第5页，共16页

则在。中满足Xf士的面积为…诉2=4?

,71

则。中的点满足尤2+^22的概率p_一万一%,

48

故选：c.

【分析】构造函数/⑺=e*r7,利用导数分析单调性即可得出a<b；由0<cos/<1,

1

cos------

可得C1,进而求解.

2023<------=a

20232023

【详解】设/（x）=e--1,

所以尸(x)=e，—l,令/(x)<0nx<0,令r(x)>0nx>0,

所以函数Ax）在（-%0）上单调递减，在（。,+s）上单调递增,

贝1]/(x)2/(0)=0,即e'-x-lNO,得e'Nx+1.

202220221I

所以b=e2023>-------+1二——a,即。<Z?；

20232023

1

cos------

又0<cos<1,所以20231,即C<〃，

2023<------=a

20232023

所以CVQV/?.

故选：B.

11.A

S,n

【分析】由（2〃+3电=叫，得于2〃+3,再根据等差中项的性质及等差数列前n项和公

式进行计算即可.

n

【详解】由（2〃+3电=忆,吟=

2n+3

答案第6页，共16页

9（q+。9）

a5_2a5_o1+a9_2_S9_9_3

故兀一匹-bt+b9~9(4+%)~7^~2x9+3-7

2

故选：A.

12.C

【分析】要使球的体积取到最大值，球需接触到抛物线旋转所形成的的曲面上，设此时球与

平面xOy的交点为球心为。一半径为广，利用导数的几何意义求出尸处的切线方

程，利用点到直线的距离公式、两直线垂直斜率之积为-1计算化简，求出厂，结合题意和球

的体积公式即可求解.

【详解】要使球的体积取到最大值，球需接触到抛物线旋转所形成的的曲面上，

设此时球与平面无0y的交点为尸（%％）,球心为。|,半径为厂，

则%=；焉，O,（0,8-r）,

设抛物线在点p处的切线为/,贝in，。7,且a到直线/的距离为广,

>=；尤2=>/=1■无，所以直线/方程为尤-%）,

即（无0尤-y+%-g尤;=0,所以点。1到直线的距离为

]8—F—V

又％Av=T,即不无。.一~~-=-h

ZU-XQ

整理得8-r=2+；*，代入①式,

因为球始终与该几何体的底部相接，所以点尸为原点，即/=。，此时/'=4+4=2,

443?

所以球的最大体积为丫=丁/=y也=寺.

故选：C.

答案第7页，共16页

【分析】根据题意可得数列的通项公式，进而可得结果.

【详解】由题意可得：2=I2+2x1-1,7=22+2x2-1,14=32+2x3-1,23=42+2x4-1,,

可得an=tr+2/i—1.

所以网=8?+2x8-1=79.

故答案为：79.

14.1/600

【分析】如图，根据解三角形可得b=acosC+ccosA,进而5=3,贝。一〃=，结

合余弦定理计算即可求解.

【详解】如图，在ABC中，过3作BOLAC于点D,

得DC+AD=acosC+ccosA,即6=acosC+ccosA,

又acosC+ccosA=3,所以b=3.

由。2+/=9+ac>+c2—b2—ac,

由余弦定理得cosB==—=1,

2ac2ac2

又0<B<180°,所以8=60°.

故答案为：60°.

15.(1-71,l+7t)

【分析】利用导数判断当X20时，/（X）的单调性，结合偶函数解不等式.

答案第8页，共16页

【详解】当xNO时，f(x)=ex-cosx,/,(^)=er+sinx>l+sinj;>O,

则/⑺在［0,+8)上单调递增，

因为fM是定义在R上的偶函数，则/⑺在(—,0］上单调递减，

若/'(x-l)-l<e",即/(Al)<e"+l="7r),

可得,一1|<71,解得1—兀<%<1+兀,

所以不等式/(x-l)-l<e"的解集是(1-兀,1+2.

故答案为：(1一兀,1+兀).

16.68

【分析】由题意，结合图形，根据内切圆的性质和双曲线的定义可得闺A|-|gA|=26、

闺A|+内川=6,进而求得％=加，则%=%,由重心的定义有%=%十°；(-C),求出％,

求得M(3如,4&),利用平面向量数量积的坐标表示计算即可求解.

【详解】由题意知。=6力=2,c=3.

如图，，为月的内切圆，切点分别为A、B、C,设AH%,%),

则国C|=|耳明=区叫,怩"=|鸟到,由双曲线的定义知，

\MF\-\MF^\=2a,即|MC|+闺C|—+|8却)=|耳A|瑞A|=2a=2行，

又|为4|+怩H=2C=6,所以闺A|=3+技国A|=3-石，

得|b=|耳.一c=3+加一3=6,即%=行.

又AMFR的重心G与内心/的连线平行与y轴，即/G_Lx轴于点A,

所以斗=%.

因为%=%+；(一°)4,所以毛=3%=3%=3右，

代入双曲线方程，得(谢解得为=40,即/(3指,4虎),

54

又月(-3,0),耳(3,0),所以孙=(_3—34,-472),9=(3—35-472),

答案第9页，共16页

所以岬•f=(3-3A/5)(-3-3A/5)+(T夜了=68.

故答案为：68.

17.(1)100

⑵|

【分析】（1）根据频率分布直方图，结合求平均数的方法计算即可求解；

（2）由题意设位于［25,135）的4份分别记作A,B,C,D,位于［135,145］的2份分别

记作a,b.利用列举法，结合古典概型的概率公式计算即可.

【详解】（1）由题意，这100份数学试卷的平均分为

60x0.02+70x0.08+80x0.14+90x0.15+100x0.24

+110x0.15+120x0.1+130x0.08+140x0.04=100.

所以这100份数学试卷的平均分为100分；

（2）抽查的100份试卷中，成绩位于区间［125,135）的有8份，位于区间［135,145］的有

4份，

共计12份试卷.从中分层抽取6份，

设其中位于区间［25,135）的4份分别记作A,B,C,。，位于区间［135,145］的2份分别

记作a,b.

从6份试卷中任取2份试卷的所有可能情况有

AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,共计15种结果，

且每个结果的发生是等可能的.

至少有一份试卷成绩不低于135分的情况有：Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,ab,

共计9种结果.

93

•••P（至少有一份试卷成绩不低于135分）

答案第10页，共16页

3

即至少有一份试卷成绩不低于135分的概率为

18.（1）证明见解析

⑵在

6

【分析】（1）在，GB超中，由余弦定理求出GB,由勾股定理逆定理得出34，再说明

GB_L平面BBJGC和GBu平面G2C,即可证明；

（2）由匕“BG=%一ABG，说明尸3为三棱锥P—ABG的高，即可求出体积.

【详解】（1）在百中，GB]=；AB=2,BB{=\,ZA1B1B=60°,

则在中，由余弦定理得GB=《GB；+BB；-2GB「BB、cos4414g=上，

因为BB；+GB2=『+（6）2=4=GB；,即GB；=BB；+GB2,

所以G8LB4，

由已知平面BB[C[C_L平面AAtBtB,且平面BB,C,C]平面A41gl8=BBt,

又GBu平面他耳8,故G3_L平面BBGC,

又GBu平面GBC,则平面GBC±平面BBgC.

V

（2）由题意知,VA_PBG=P-ABG，

由（1）知，63，平面33夕。，3。匚平面2百。（，

则BCLGB,

又BCLBBi，且G5BB[=B,GB,2片u平面的台内，

可得8CL平面4448,因此尸2为三棱锥尸-ABG的高，

因为幺4台=60°,ZGBB,=90°,

所以/ABG=30。，

又％4BG=（sinZABGxABx8G=gxgx4xA^=«,

所以%PBG=VPABG=-XSAABGXPB=-X^X-=--

3326

答案第11页，共16页

19.(l)a„=2"-n

⑵10

a^,+n+\,、

【分析】(1)根据题意中的递推公式可得—=2,则数列｛%+"｝是以2为首项，2

为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式即可求解；

(2)由(1),利用分组求和法，结合等差、等比数列前九项求和公式计算可得

S.=21一2-4号2023,求出S1。、S”即可求解.

【详解】(1)<4+1-24=〃一1,且。1=1,

/.an+1+n+\=2an+2n=2(an+n).

由于〃i=1,则％+1=2w0,+〃w0.

+〃+1小

贝IJ3--------=2.

%+〃

；•数列｛%+“｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

得an+〃=2•2"T=2",贝Uan=2"-n,

即数列｛4｝的通项公式为4,=2"-〃.

(2)-：an=2"-n,

...Sn=Q]+a[+〃3++C1rl

=(2-l)+(22-2)+(23-3)++(2”—〃)

=2“+i2〃(z?+l)

一2,

,!+1

Sn<2023,即2-2-<2023,

当〃=10时，2n+1-2-，7(，7+1)^1991；当w=ll时，2向_2/5+D=4028.

22

满足S„<2023的〃的最大值为10.

20.⑴上+y2=i

4

(2)x+岳-石=0或天_岳_石=0.

答案第12页，共16页

【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得工=走、a+c=2+也,结合〃=。2+02求

a2

出。、6即可求解；

（2）设直线/的方程为x=%+6，A（占,％）,B（x2,y2）,联立椭圆方程，利用韦达定理表

示%+%、%%，根据弦长公式表示51川，结合基本不等式计算即可求解.

【详解】（1）椭圆c的离心率为£=走，

a2

又点M到右焦点F2距离的最大值为2+6，即Q+C=2+G，

解得〃=2,C=6.

又由〃2=/+,可得＞=1.

椭圆c的方程为：—+/=1.

4

（2）由题意，设直线/的方程为％=my+6，

---Hy-1,

联立J4得（疗+4）V+2g叫;-1=0,

x=my+^3,

设AU，%),B(x2,y2),

-2\^m1

则X+%=x%=一

m2+4m2+4

%敢=(闺工心-〉2|=括J(y+%)2-4yj%

〈迪一2

一2有

当且仅当g=7七即机=±0时取等号.

・••所求直线I的方程为x+=0或%-加丁-6=0.

答案第13页，共16页

(2)1

【分析】