打卡第一天-冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）解析版

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通

用）

新高考真题限时训练打卡第一天

一、单选题

1.（2020•山东・统考高考真题）设集合A={x|lSE3},B={x|2<x<4},则AUB=（）

A.{x|2K3}B.{x|2<r<3}

C.{x\l<x<4}D.{x|l<x<4}

【答案】C

【分析】根据集合并集概念求解.

【详解】AU8=U,3]U（2,4）=U,4）故选：C

【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.

2.（2020・山东•统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1

个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种

C.60种D.30种

【答案】C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有屐；

然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C；；最后剩下的3名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有=6x10=60种.故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

3.（2020・海南・高考真题）日皆是中国古代用来测定时间的

仪器，利用与唇面垂直的唇针投射到唇面的影子来测定时

间.把地球看成一个球（球心记为。），地球上一点A的纬

度是指。4与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面

是指过点4且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日皆，

若唇面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°,

则辱针与点A处的水平面所成角为（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

【答案】B

【分析】画出过球心和暑针所确定的平面截地球和悬面的截面图，根据面面平行的性质定

理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A处的纬度，计算出唇针与点A处的水

平面所成角.

【详解】画出截面图如下图所示，其中8是赤道所在平面的截线；/是点A处的水平面的

截线，依题意可知04，/；AB是唇针所在直线.〃?是唇面的截线，依题意依题意，唇面和赤

道平面平行，劈针与唇面垂直，

根据平面平行的性质定理可得可知m//CD、根据线面垂直的定义可得ABLm..

由于NAOC=40。,W/C£>,所以NO4G=NAOC=40°,

由于NQ4G+NG4£=+NG4£=90。，

所以N3AE=NOAG=40。，也即遇针与点A处的水平面所成角为N84£=40。.故选：B

【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂

直的性质，属于中档题.

4.(2020・海南・高考真题)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或

游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生

数占该校学生总数的比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件B,贝心该中学

学生喜欢足球或游泳”为事件A+8,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件48,然

后根据积事件的概率公式P(A♦8)=P(A)+P(B)-P(A+B)可得结果.

【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件B,则“该中学

学生喜欢足球或游泳”为事件A+8,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A-B,

贝”(A)=0.6,P(8)=0.82,P(A+B)=0.96,

所以P(A•8)=P(A)+P(B)-P(A+8)=0.6+0.82-0.96=0.46

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.

【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.

5.(2020・山东・统考高考真题)基本再生数及与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.

基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在

新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/⑺=e”描述累计感染病例数/⑺随时间f(单位：

天)的变化规律,指数增长率r与R。,「近似满足Ro=l+，Z有学者基于已有数据估计出&=3.28,

h6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2R.69)

()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【分析】根据题意可得/(/)=6"=外猫，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加

1倍需要的时间为4天，根据=2^38,，解得八即可得结果.

[详解]因为q=3.28,7=6,&=[+,7,所以「=^11=0.38,所以/(0=6'，=*3出，

6

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为4天，

贝！I所以滑3跖=2,所以0.3甑=ln2,所以4=鉴=僵名1.8天.故选：B.

0.380.38

【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.

6.(2020.海南•高考真题)若定义在R的奇函数兀r)在(Y°，0)单调递减，且穴2)=0,则满足

犷*-1)20的尢的取值范围是()

A.[-1.1JB”)B.[-3,-1][0,1]

C.[-l,0]u[l,+a>)D.[-1,0]^[1,3]

【答案】D

【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数/(x)在相应区间上的符号，再根据两个

数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】因为定义在R上的奇函数Ax)在(TO,0)上单调递减，且/(2)=0,

所以/(x)在(0,+8)上也是单调递减，且/(-2)=0,/(0)=0,

所以当了€(-0,-2)=(0,2)时，/(x)>0,当xe(-2,0)(2,­)时，/(x)<0,

所以由4Xx-IRO可得:

或x=0

-2<x-l<00<x-l<2

解得TWxWO或14x43,所以满足对Xx-DNO的x的取值范围是【T01WL3],故选:

【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法,

属中档题.

二、多选题

7.（2020・山东・统考高考真题）已知曲线。:如2+江=］.（）

A.若标>心0,则。是椭圆，其焦点在y轴上

B.若〃2=〃>0,则C是圆，其半径为册

其渐近线方程为丫=±招X

C.若〃。<0,则C是双曲线,

D.若/n=0,n>0,则C是两条直线

【答案】ACD

【分析】结合选项进行逐项分析求解，机>〃>0时表示椭圆，〃2=〃>0时表示圆，<0时

表示双曲线，机=0,〃>0时表示两条直线.

X'

【详解】对于A,若则必2+•2=1可化为|

mn

因为/%>〃>（）,所以一<一,

mn

即曲线c表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

对于B,若〃2=〃>0,贝（jinx?+=1可化为f+丫2=,

n

此时曲线C表示圆心在原点，半径为正的圆，故B不正确；

n

9■）

三+T=i

对于C,若团九<0,贝（jm%2+相>2=1可化为］1,

mn

此时曲线C表示双曲线，

由y2+=0可得y=±J_竺X,故C正确；

对于D,若m=0,〃>0,贝（］，皿2+〃>2=1可化为丁=一，

n

y=±'，此时曲线。表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.

n

【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧

重考查数学运算的核心素养.

8.（2020・山东•统考高考真题）已知办0,h>0,且“+b=l,则（）

A.a2+b2>-B.2-">1

22

C.log2a+log2b>-2D.4a+>fb<\/2

【答案】ABD

【分析】根据“+b=l,结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】对于A,a2+h2=a2+(l-a)2=2a2-2a+\

当且仅当a=〃=g时，等号成立，故A正确；

对于B,a-b=2a-\>-\,所以2"">2一|=：,故B正确；

对于C,log2a4-log2b=log2ab<log21-I=log2—=-2,

当且仅当a=Z,=g时，等号成立，故C不正确；

对于D,因为(&+扬)=1+2\[ab<1+6/+^=2,

所以&+扬4近,当且仅当4=6=3时，等号成立，故D正确；故选：ABD

【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，

侧重考查数学运算的核心素养.

三、填空题

9.(2020•海南•高考真题)斜率为6的直线过抛物线C：丫2=叙的焦点，且与C交于A,B

两点，则|A8卜.

【答案】y

【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方

程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定

义将焦点弦长转化求得结果.

【详解】•.•抛物线的方程为V=4x,.•.抛物线的焦点F坐标为尸(1,0),

又,••直线AB过焦点F且斜率为6，.,.直线AB的方程为：y=6(x-l)

代入抛物线方程消去y并化简得3/-10x+3=0,

解法一：解得XI=g,电=3

所以IABI=VI7F।与一々卜ViTi13-g|=?

解法二：A=100-36=64>0

设A(x,y),B(x?,%)，则%+/=,

过分别作准线4-1的垂线，设垂足分别为G0如图所示.

|481=|AF\+\BFHACI+IBDhx.+l+^+l=x,+x2+2=—

【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础

题.

10.（2020•海南・高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O

为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧A8与直线AG的切点，B是圆弧48与直线

3

8c的切点，四边形。EFG为矩形，8C_L£>G,垂足为C,tanZODC=-,BH//DG,EF=\2cm,

DE=2cm,A到直线QE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积

为cm2.

【答案】4+^

【分析】利用tanNODC=1求出圆弧居所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB

的面积，求出直角皿的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆

的面积求得.

【详解】设。8=。4=厂，由题意AM=4V=7,EF=\2,所以NF=5,

因为AP=5,所以NAGP=45",因为BH〃DG,所以N44O=45°,

因为AG与圆弧A3相切于A点，所以Q4_LAG,

即△04/7为等腰直角三角形；在直角△。。。中，0Q=5-［r,DQ=7-^r,

因为tanNOOC=盥=g,所以21-宏1-25-辿r,解得r=2收；

DQ522

等腰直角△04H的面积为，=gx2应x20=4；

扇形AOB的面积邑=；x,x（2夜丫=3乃，

所以阴影部分的面积为E+S2-g〃=4+予.故答案为：4+券.

【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳

动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.

四、解答题

11.（2020・海南•高考真题）在①比=g,②csinA=3,③。：血这三个条件中任选一个，

补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求。的值；若问题中的三角形不存在，说明理

由.

问题：是否存在.ABC,它的内角A民C的对边分别为。，。，c,且sinA=V5sin8,C=g,

6

________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】详见解析

【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根

据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求

【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理

由sinA=GsinB可得：*=8,不妨设。=百机力,

则：c2=a2+/?2-2cibcosC=3ni2+z??2-2xy/3mxm旦而即c=m.

2

若选择条件①：

据此可得：ac=y/3mxm=>/3m2=x/3,/.m=1,此时c=m=l.

若选择条件②：

据此可得：8"=飞1nv+m2-3m1_1

2ne~~2

=此时：贝!

则：sinA=fcsinA=mx—^-=3,hc=m=2\/3.

22

若选择条件③:

可得5=%=1，。="，与条件C=G〃矛盾，则问题中的三角形不存在.

bm

［方法二］:正弦定理

TT

由C=2,A+B+C=7,^A=--B.

66

由sinA=6sin8,得sin（¥-81=石sinB,即，cosB+且sin8=Gsin8,

16）22

tanB=—.由于0<B<%,得5=g.所以6=°,4=4.

363

若选择条件①：

解得C=6=1M=6.所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=l.

若选择条件②:

24

由csinA=3,csin—=3,解得c=2G，贝！U=c=2&・

由二二二，得;2乃.乃，得。=+c=6.

sinAsinCsm-sin-"

3o

所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=2百.

若选择条件③：

由于c=&与b=c矛盾，所以，问题中的三角形不存在.

【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得”,仇。的关系，再根据选择的条件即

可解出，是本题的通性通法,也是最优解；

方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A,可求出角8,从而可得

b=c,A-,B=C=^,再根据选择条件即可解出.

36

12.(2020•海南•高考真题)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量

进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO?浓度(单位：gg/m'),得下表：

[0.50](50,150](150,475]

PM25

[0.35]32184

*5,75]6812

(75,115]3710

(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率;

(2)根据所给数据，完成下面的2x2列联表：

[0,150](150,475]

[0,75]

(75,115]

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO,

浓度有关？

附：犬=——强但——,

(a+b)(c+d)(o+c)(b+d)

?(£2>%0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)0.64；(2)答案见解析；(3)有.

【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；

（2）根据表格中数据可得2x2列联表；

（3）计算出K'结合临界值表可得结论.

【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不

超过150的天数有32+6+18+8=64天，

所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150的概率为

64

=0.64；

loo

（2）由所给数据，可得2x2列联表为:

so2

[0,150](150,475]合计

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合计7426100

（3）根据2x2列联表中的数据可得

=〃(久/一历)2_100x(64x10-16x10)23600

k2«7.4844>6.635,

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)80x20x74x26481

因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PA/2.5浓度与SO?浓度有关.

【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善2x2列联表，考查了独立性检验，

属于中档题.

13.（2020・海南•高考真题）已知函数。（x）=aeJnx+lna.

（1）当。=e时，求曲线y=/（x）在点（1,/。））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

（2）若不等式/（x）Nl恒成立，求〃的取值范围.

7

【答案】（1）高（2）[1,-HX））

【分析】（D利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，

最后根据三角形面积公式得结果；

⑵方法一：利用导数研究函数“X）的单调性，当a=l时，由/'⑴=0得/⑺9=〃1）=1,

符合题意；当a>i时，可证rd）r⑴<o,从而尸（x）存在零点%>。，使得

a

r(x0)=a*T-'=O,得到/(XL,,利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用

基本不等式可以证得了(x)21恒成立；当0<。<1时，研究/⑴.即可得到不符合题意.综合可

得a的取值范围.

【详解】(1)Q/(x)=ev-lnx+l,:.fXx)=ex--,:.k=f'(y)=e-\.

x

Q/(l)=e+l,切点坐标为(1,1+e),

二函数/(x)在点(l,f(l)处的切线方程为y-e-l=(e_l)(x-l),即y=(e-l)x+2,

・••切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(二,0),

e-\

1_?2

...所求三角形面积为:x2X|.

2e-1e-1

(2)［方法一］：通性通法

Qf(x)=aex~'-\nx+\naf'(x)=aex~'--,且a>0.

x

设g(x)=f'(x)，则g'(x)=ae*T+4>0,

x

...g(x)在(0,+8)上单调递增，即广(X)在(0,物)上单调递增，

当。=1时,尸⑴=0,f(%=41)=1,二“X)21成立.

1।12-|

当时，一<，⑴ci(ea〃

a>la1,・•・7&a11.•/'(—)=—1)(—1)<0,

・•.存在唯一%>0,使得/'(/)=t一，=0,且当xw(0,%)时八幻<0,当x£(%,+8)时

九0

］

fM>0,/.ae^~=—,In6z+xo-l=-lnxo,因此/(1/足=/(%)=碇拓々—ln%+lna

xo

=---FIna+尤0—1+Ina221n〃—1+2—x0=21na+1f(x)>1,/./(x)21恒成立；

玉)\/

当0va<1时，f(l)=a+lna<a<l9.\f(l)<l,f(x)>1不是恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是［l,+oo).

［方法二］【最优解】：同构

lna+xln

由/(工)之1得ae'T-Inx+lna21,BPe-4-ln^+x-l>lnx+x,而lnx+x=』，+lnx,所

lna+x

以e-'+lna+x-l>*'+Inx.

令h(m)=em+m,则h\m)=em+l>0,所以h(ni)在R上单调递增.

由即a+xT+lna+x一lNd"十］nx,可知力(Ina+x-1)之力(Inx),所以lna+x—1Nlnx,所以

InaNanx-x+Da.

令尸(x)=lnx—x+l,贝!|F，(X)=L-1=3.

XX

所以当xe(0,1)时，F'(x)>0,尸(x)单调递增；

当xe(l,”)时，F'(x)<0,F(x)单调递减.

所以［F(x)］皿=F6=0,J8!|lna>0,即心1.

所以a的取值范围为aNl.

［方法三］：换元同构

由题意知a>0,x>0,令