高中数学培优讲义练习（必修二）：综合测试卷：必修二全册（基础篇）（教师版）

必修二全册综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023·陕西咸阳·模拟预测）若复数z=3−2i，则z2−2zA．5 B．5i C．−8 【解题思路】先根据复数的运算求得z2【解答过程】由题意，可得z2故z2−2z的虚部为故选：C.2．（5分）（2022秋·上海宝山·高二开学考试）关于直线l、m及平面α、β，下列命题正确的是（

）A．若l//α，α∩β=mB．若l⊥α，l//βC．若l//m，m⊂αD．若l//α，m⊥l【解题思路】根据条件判断各选项即可.【解答过程】对于A，若l//α，α∩β=m，则l//对于B，若l⊥α，l//β，则存在直线b，使得b⊂β，且b∥l，则故α⊥β，故B正确；对于C，若l//m，m⊂α，则l∥α，或对于D，若l∥α,m⊥l，则不一定得到m⊥α，故D错误.故选：B.3．（5分）（2023·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，若AE=A．13a−23b B．2【解题思路】根据向量的运算法则计算得到答案.【解答过程】DE=故选：B.4．（5分）（2023·全国·高一专题练习）一个射手进行射击，记事件A1=“脱靶”，A2=“中靶”，A．A1与A2 B．A1与A3 C．A【解题思路】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答.【解答过程】射手进行射击时，事件A1=“脱靶”，A2=“中靶”，事件A1与A2不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件A1事件A1与A3不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件A1事件A2与A3可以同时发生，即事件A2故选：B.5．（5分）（2023春·安徽·高一开学考试）已知甲，乙两名运动员进行射击比赛，每名运动员射击10次，得分情况如下图所示．则根据本次比赛结果，以下说法正确的是（

）乙射击环数678910频数12223A．甲比乙的射击水平更高B．甲的射击水平更稳定C．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数D．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数【解题思路】计算甲，乙的平均数并比较即可判断A；计算甲，乙的方差并比较即可判断B；求出甲，乙的中位数即可判断C；求出甲，乙的众数即可判断D．【解答过程】甲的平均数x乙的平均数x∵x1<x甲的方差S乙的方差S∵S12<甲的射击成绩由小到大排列为：5,7,8,8,8,9,9,9,9,10，位于第5、第6位的数分别是8,9，所以甲的中位数是8+92乙的射击成绩由小到大排列为：6,7,7,8,8,9,9,10,10,10，位于第5、第6位的数分别是8,9，所以乙的中位数是8+92故甲射击成绩的中位数与乙射击成绩的中位数相等，故C错误；甲的众数为9，乙的众数为10，故D错误.故选：B.6．（5分）（2023·福建厦门·统考二模）厦门山海健康步道云海线全长约23公里，起于东渡邮轮广场，终于观音山沙滩，沿线申联贸鸟湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”．市民甲计划从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率为（

）A．13 B．49 C．59【解题思路】利用对立事件，结合古典概型公式，即可求解.【解答过程】11个景点随机选取相邻的3个游览，共有9种情况，选取景点中有“水”的对立事件是在狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山中选取3个相邻的，共有4种情况，则其概率P=49，则11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率故选：C.7．（5分）（2023春·河南安阳·高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinA−csinC=(b−3c)sinB．若D是A．16 B．32−16C．643 D．【解题思路】首先根据题意利用余弦定理得到A=π6，根据D是边BC的中点得到AD=【解答过程】因为asinA−csin所以b2+c因为0<A<π，所以A=因为D是边BC的中点，所以AD=12因为AD=4,∠A=π6，所以所以bc≤64(2−3)，当且仅当所以S△ABC=1故选：B.8．（5分）（2023春·江西吉安·高三阶段练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=2，A．直线AC与直线C1E是异面直线 B．AC．三棱锥E−AA1O的体积为定值 D．【解题思路】根据异面直线的判定判断A；根据线面垂直的性质定理可判断B；确定外接球球心位置，利用三棱锥的体积公式可判断C；将矩形AA1B1B和矩形B【解答过程】对于A，因为点A∉平面BB1C1C，C∈C1E⊂平面BB1C对于B，因为侧棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BC1B1⊂底面ABC，故BB即C1B1⊥A故C1B1⊥平面ABB1A1,故当A1E⊥AB1时，则直线A1E⊥平面AB1C1，对于C，由题意结合以上分析可将三棱柱ABC−A则面AA三棱锥E−AA1O的外接球球心O是直线AC1BB1∥AA1,A故直线BB1∥平面AA1则三棱锥E−AA对于D，将矩形AA1B当点E为AC1与BB1的交点时，故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023春·河北邢台·高三阶段练习）微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK或点赞，某学校为了解学生每周行走的步数，从高一、高二两个年级分别随机调查了200名学生，得到高一和高二学生每周行走步数的频率分布直方图，如图所示．若高一和高二学生每周行走步数的中位数分别为x1，x2，平均数分别为y1，yA．x1>xC．y1>y【解题思路】分别求出满意度评分中位数分别为x1,x【解答过程】由频率分布直方图，∵0.015+0.02×10=0.35，0.005+0.02×10=0.25，则x1∈60,70，xx1−60×0.025+0.15+0.2=0.5x2−70所以满意度评分中位数x1y1y2所以满意度评分平均数y1故选：BD.10．（5分）（2023·山西·校联考模拟预测）设向量a=3,−1，bA．a=b B．a与b的夹角为5π6 C．【解题思路】利用向量的坐标即可计算向量的模长，向量夹角，利用向量坐标与空间位置的关系即可判断出两向量位置关系.【解答过程】a=3+1=2，bcosa,b=a⋅ba⋅2a+b=22a故选：AD.11．（5分）（2023·全国·高一专题练习）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（

）A．PA=1C．事件A与B互斥 D．事件A与B相互独立【解题思路】采用列举法，结合古典概型概率公式可知AB正确；根据互斥事件和独立事件的定义可知CD正误.【解答过程】对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，其中满足事件A的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件A和事件B同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况，∴PA=2∵事件A与事件B可以同时发生，∴事件A与事件B不互斥，C错误；∵事件A的发生不影响事件B的发生，∴事件A与事件B相互独立，D正确.故选：AD.12．（5分）（2023·高一单元测试）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1B1B是矩形，CB=1，CA．BB1⊥平面AC．三棱锥C−AB1B的外接球的体积为3π2【解题思路】根据线面垂直性质定理可得C1B1⊥A1B1，C1【解答过程】根据题意，因为C1B1⊥平面AA1B1B，A又四边形AA1BC1B1⊂平面A1B1C1，A即A正确；可得平面AB1B，CB1B，又B1C1∥BC，所以直线A1C与所以BCA1C=3设三棱锥C−AB1B的外接球的半径为R所以R=3所以三棱锥C−AB1B的外接球的体积为4所以C正确，D错误.故选：AC.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023春·天津南开·高三阶段练习）已知复数z=1+3i1−i【解题思路】利用复数的四则运算化简复数z，利用复数的模长公式可求得z的值.【解答过程】因为z=1+3i1−故答案为：2.14．（5分）（2022秋·广东佛山·高二阶段练习）某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别12，23，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为78，则p＝【解题思路】由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式即可求解.【解答过程】由题意可知1−1−12故答案为：1415．（5分）（2022春·四川成都·高一期中）如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为6002【解题思路】利用正弦定理即可求解.【解答过程】由题，作出空间图形如下，则有AB=1200m,因为到达B处仰角为45°，所以CB=CD，在△ABC中，∠ACB=180由正弦定理可得CBsin∠CAB=所以CB=CD=6002故答案为:600216．（5分）（2023·高一课时练习）下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形序号是①②．（写出所有符合条件的序号）【解题思路】根据线面平行的判定定理以及面面平行的性质定理即可得到答案.【解答过程】对于①，如图1.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以MN//AC，NP//AD.又BC//AD，所以NP//BC.因为MN⊂平面MNP，AC⊄平面MNP，所以AC//平面MNP.同理可得BC//平面MNP.因为AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，AC∩BC=C，所以平面ABC//平面MNP.又AB⊂平面ABC，所以AB//平面MNP，故①正确；对于②，如图2，连结CD.因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以MP//CD.又AC//BD，且AC=BD，所以，四边形ABDC是平行四边形，所以AB//CD，所以AB//MP.因为MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，所以AB//平面MNP，故②正确；对于③，如图3，连结AC、AD、CD.因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以MP//AC，MN//CD.因为AC⊄平面MNP，MP⊂平面MNP，所以AC//平面MNP.同理可得CD//平面MNP.因为AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，AC∩CD=C，所以平面ACD//平面MNP.显然A∈平面ACD，B∉平面ACD，所以AB⊄平面ACD，且AB与平面ACD不平行，所以AB与平面MNP不平行，故③错误；对于④：如图4，连接GE,EN，因为M,N为所在棱的中点，则MN//故平面MNP即为平面MNEF，由正方体可得AB//而平面ABGE∩平面MNEF=EM，若AB//平面MNP由AB⊂平面ABGE可得AB//故EG//EM，显然不正确，故故答案为：①②.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，若复数z=m2−2m−8+m【解题思路】根据复数的定义与性质根据已知列式得出答案；（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案；（2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案；（3）当复数在y=x的图象上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案.【解答过程】复数z=m2−2m−8+m（1）由题意得m2−2m−8=0，解得m=−2或（2）由题意，得m2−2m−8<0m（3）由已知得m2−2m−8=m18．（12分）（2023秋·辽宁沈阳·高一期末）已知向量a=3,2，b=(1)求a+2(2)若a+kc//【解题思路】（1）利用平面向量的坐标运算可求得a+2（2）求出向量a+kc、2b【解答过程】（1）解：因为a=3,2，b=所以，a+2（2）解：由已知可得a+k2b因为a+kc//2b19．（12分）（2023·全国·高二专题练习）在某校2022年春季的高一学生期末体育成绩中随机抽取50个，并将这些成绩共分成五组：50,60,60,70,70,80,(1)根据样本频率分布直方图求a的值，并估计样本的众数和中位数（中位数精确到个位）；(2)已知50名学生中有22名女生，其中女生体育测试成绩不达标的有8人，那么男生体育测试成绩达标的有多少人？男生体育测试成绩不达标的有多少人？【解题思路】（1）根据各组频率和为1可求出a的值，然后根据众数和中位数的定义求解即可；（2）先根据频率分布直方图求出体育测试成绩不达标和达标的人数，再由50名学生中有22名女生，其中女生体育测试成绩不达标的有8人，可求得结果.【解答过程】（1）由频率分布直方图可得10×(0.004+0.036+0.032+a+0.008)=1，解得a=0.020，由频率分布直方图可知成绩在[60,70)的最多，所以众数为65，因为前两组的频率和为10×(0.004+0.036)=0.4<0.5，前三组的频率和为10×(0.004+0.036+0.032)=0.72>0.5，所以中位数在第三组，设中位数为x，则10×(0.004+0.036)+0.032(x−70)=0.5，解得x=73.125≈73，所以中位数约为73；（2）由频率分布直方图可知体育测试成绩不达标的人数为10×(0.004+0.036)×50=20，则体育测试成绩达标的人数为30人，因为50名学生中有22名女生，其中女生体育测试成绩不达标的有8人，所以男生体育测试成绩不达标的有12人，男生体育测试成绩达标的有16人.20．（12分）（2023秋·山东济宁·高二期末）某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛.(1)求恰好抽到1名男生和1名女生的概率；(2)若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为12，女生乙答对每道题的概率均为23，甲和乙各自回答两道题，且甲､【解题思路】（1）列举法求出古典概率；（2）分别求出甲答对2道题，乙只答对1道题的概率，再根据独立事件概率乘法公式求出答案.【解答过程】（1）记3名男生分别为A1,A则随机抽取2名同学的样本空间为Ω=记事件A=“则事件A=∴PA（2）设事件C1=“甲答对2道题”，事件PC1=∴PC所以甲答对2道且乙只答对1道题的概率是1921．（12分）（2023·湖南·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin(1)求角B的大小；(2)若b=13．且a+c=5，求△ABC【解题思路】（1）由正弦定理和两角差的余弦公式，化简已知等式，求得tanB，可求角B（2）由已知条件利用余弦定理求得ac，根据三角形面积公式求△ABC的面积.【解答过程】（1）在△ABC中，由正弦定理asinA=又由bsinA=acosB−π由sinB=cos可得tanB=3,又因为B∈(0,（2）b=13．且a+c=5