2023届九江二模数学试题及答案

九江市2023年第二次高考模拟统一考试

数学试题(文科)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笛把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.

第I卷(选择题60分)

一、选择题：本大题共12冰题，每小题5分|共6)分-在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求在I，

1,已知更数Z满足力=近+1刀则z?=(C)

22

叵

A.+乌」+乌

222222

解:•.”=!-3i,.•.z2=-1-3i,故选C.

2222

2.已知集合Z={x|xNO},8={xR=ln(Y-3}，则Q/)n8=(A)

X

A.(—1,0)B.(-oo,0)C.(—2,-1)D.(—oo,-1)

解：；q4={x|x＜0},8={*|-1＜丫＜0或丫＞1},，(44)03邑{*|二1之¥有力故选A.

x+2yNl

3.已知实数x,y满足条件x-y/I,则z=3x-4y的最大值为(D)

J-14。

A.-7B.1

C.2D.3

x+2y>}

解:作出不等式组<x-y41表示的平面区域，如图所示，

y-l<0

平移直线%:3x-4y=0,当过点4(1,0)时，zmox=3,故选D.

4.已知命题p:玉GR.X2+2X+2，-OVO,若〃为假命题，则实数4的取值范围为(D)

A.(1,+^c)B.[l.ix)6.(oo,l)D.(-oo,I]

解：依题意，，得4=4-4(2-0)40,故选D.

5.正方体中，M是8G的中点，则直线与4c的位置关系是(B)

A.异面垂直B.相交垂直C.异面不垂直D.相交不垂直

D\Ci

解:连接BZ),C[D,易知J.平面8g,.%C,

连接4。，B。，则4。〃弊7,•••”是BG的中点，是的中点,

.♦.直线。W与4c相交.故选B.C

4095

6.执行右边的程序框图，如果输入的是〃=1,5=0,输出的结果为■；；二

4096

则判断框中“O”应填入的是⑹

A./?<13B.Ji>12

C.n<12D.il11

解：当i时，

~2

=1-甘=糠故选c/输出s/

，y2

7.已知双曲线。：\-4=1(26>0)的左右焦点分别为片，耳，“是双曲线。左支上一点,

ab

且孙_LM^,点片关于点M对称的点在J，轴上，则C的离心率为(A)

A.V3+1B.-j2+\C.V5+1D.

解：设点片关于点河对称的点为P,连接尸£,则△即居为旧角形,

.♦.4^耳=30。.又|用引=勿，；.“|=4;,鹏"任］曲双曲线

的定义知2。=解得e=£=-y3—=JJ+L故选A.

aV3-1

8.已知数列｛%｝的通项为名=——1—,则其前8项和为(D)

(〃+1)—1

二5829

A，BC.—Dn.一

w4545

解:％=—?—=-(-一一—)，:数列｛%｝的前〃项和为

n(n+2)2n〃+2

11学1113

X▲

++、/-\

-一=-(

2^22\227

。

4#-X十

311

^-=2-9故选

2O-D.

S1045

9.定义在RjsfiS奇函数/(x)在(0,+8)上单调递增，且/(-1)=0,则关于x的不等式切(x)<0的解集

为(A)

A.(-1,O)U(O,1)B.(-oo,-l)U(0,l)C.(-oo,-l)U(l,-H»)D.(-l,0)U(L+8)

解：因为/(x)为奇函数，且/(-1)=0,则/(I),又/(*)在(0,+8)上单调递增，则/(x)在(-8,0)

上单调递增，且当xwQoo,-1)11(0,1)时,/(x)<0；当xw(-l,0)U(L+8)时，/(x)>0.

产或卜<。，

xf(x)<0<^.•.XG(-1,0)U(0,1).故选A.

10.己知函数/(X)=5m(*+7)七|5出(*-2)|,贝U下列结论正确的是(B)

44

A./(x)周期为叫在隹,2］上单调递减B./(X)周期为2兀，在代，型］上单调递减

2424

C./a)周期为兀，在成，手］上单调递增D.7(x)周期为2兀，在成，,］上单调递增

解；,.,/(不+九)=一sin(x+2)+|sin(x—二)|=/(x),/(jf+2K)=sin(x+—)+1sin(^f--)|=f(x)>

4444

••・/(。周期为2兀.

•・•当2版-九MxM2H+后wZ时，sin(x-马MO,・・・/(r)=sin(K+')-sin(x-.)=V^cosK,

44444

此时/(X)在［2桁一空,2E］,〃GZ上单调递增，［2/m,2ht+-］,%eZ上单调递减，

44

•・•当2H+工«不<24兀+2，时，sin(x-2)Z0»・、/'(«¥)J61n(k十二)十空)K>/isin4,

44444

此时/(x)在［2加+:,2碗+1］,无GZ上单调递1跖f2hc+^.2/nt+^J,AGZ上单调递减，

•\/(x)在［］,今］上单调递减，故选及

11.青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉

下彩谎.如图为青花饶大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近

似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相

等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切

点为P,盘子的中心为。，筷子与大椭圆的两交点为43,点“关于O

的对称点为C.给出下列四个命题:①两椭圆的焦距长相等；②两椭圆的离心率相等；③|"|=|08|；

④BC与小椭圆相切.其中正确的个数是(B)

A.1B.2C.3iD.4

解:设大小椭圆的长轴区之比与短轴长划t均为a">1)

P(XoJo)，X(x,,3L)，包X■.必y.

建立如图空间直角坐标系，设小椭圆的方程为4+A=i(。=二F),

卜

j-22

则大椭圆的方程为当■+4v=2.

a2b2

①大椭圆的焦距长为=2，互＞2c,两椭圆的焦距长不相等，①错误;

②大椭圆的离心率e=〃。二92=£,两椭圆的离心率相等，②正确:

a

③直线收货罟=L

M+警=i,4

由?描去J,整理得S+空一竺算X+噂一;1«262=0,

2%

...*+丫=云==以：争=2%,即三将=%,线段48的中点即为点P,

22222

,.ay0+dx0crb2

?41=|尸81,③正确.

④当尸(0,与时，则/(JI=8(-71二la,6),C(MZTa,—6)、若；U2,则刀。与小椭圆不相

切，④错误.

故选B.

12.设a=sin二,5=6-1,c=ln-,则a,6,c的大，b^<^(B)

22

A.a>b>cB.b>a>cQb>c>aD.c>b>a

解:将g用变量x替代，则。=011》，Z>=ex-1,c=ln(x+l),其中xe(0』)，

易证屋-l>x>sinx,.,.6>a,

1

令/(x)=sinx-ln(x+l),则/'(x)=cosx———,/"(x)=-sinx+

x+1(X+l)2

易知/"(x)在(0,1)上单调递也且.7"(-0)=1>0,,HD=1-sinl<0,.\3,r0e(0,1),使得f\x0)=0,

当xe(0,4)时，7"(x"0r/'伙)单蠲递增；当xe(£0,l)时,f\x)<Q,/'(x)单调递减.

又/'(0)=0,/'(l)=cosl-g>0,.♦./'(劝>0,.•./(X)在(0,1)上单调递增,

/(x)>/(0)=0,即sinx>In(x+l),:.a>c,

综上，b>a>c,故选B.

第II卷(非选择题90分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,

学生根据要求作答.

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知向量a,b满足«=。,2),且。1(盘-3),则5.

解：由a知a(a-b)0)A=a2=|«|2=1:+22=5.

14.从垃长为1的正内边形的各个顶点中，任取两个连成线段，则该线段长度为2的概率为/•

解:连接正六边形的任意两个顶点,共可连成15条线段,其中长度为2的线段有3条，故其概率为卷=1.

15.函数/(x)=4sin^x-\x-\\的所有零点之和为6.

解：令/(x)=0,得4sin?x=|x-l|,问题等价于函数歹=4sin'x与y=|x-l|图象的所有交点的横

22

坐标之和，・.♦两函数的图象关于直线1=1对称，且有且仅有6个交点(片,必),(三,必),…,(吨,乂)，

6

/.y',xl=3x2=6.

16.’2据祖唯原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任可行于这两个平面的平面所截，如果两

个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图L所示'一个容播是半径为次的半球，另一个容器

是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为夫的圆锥，这两个容器的容积相等.若将这两容

器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同.如图2,一个圆柱形容器的底面半径为4cm,

高为10cm,里面注入高为1cm的水，将一个半径为4cm的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端

解:设铁球沉到容器底端时，水面的高度为人由图2知，容程内水的体积加上球在水面下的部分体积等

于圆柱的悻梯由图1知相翊I台白斛枳加上球在水面下的部分体积也等于相应圆柱的体积，故容器内水

的体积等于相■应圆台的体积.•容器内水的体枳为％<=兀*42*1=16兀，相应圆台的体积为

1,2,164U（4-/J）3TI64n（4-A）3TC..„,

-xnx4x4一一XJCX（4-万）-x（4-力）=-------------,，16兀=--------------,解得A

333333

/z=4—7i6=4-2^«4-2xl.26=1.48cm.

三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小威满分12分）

九江市正在创建第七届全国文明城市，某中学为了增强学生对九江创文的了解和重视，组织全校高三学生

进行了“创文知多少”知识竞赛（满分100）,现从中随机抽取了文科生、理科生各100名同学，统计他

们的知识竞赛成绩分布如下：

[0,60)[60.70)f70..B0)[80,90)[90.100]

文科生116234416

理解生92427328

合计1040507624

（1）在得分小于80分的学生样本中,按文理科类分层抽样抽取5名学生.

①求抽取的5名学生中文科生、理科生各多少人：

②从这5名学生中随机抽取2名学生,求抽取的2名学生中至少有一名文科生的概率.

（2）如果得分大于等于80分可获“创文竞赛优秀奖”，能否有99.9%的把握认为获“创文竞赛优秀奖”与

文理科类有关？

参考数据：

PgNk。)0.100.050.010.0050.001

上02.7063.8416.6357.87910,828

snigd-bc）1廿一,,

K'=-----------------------------,其中〃=a+A+c+d.

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

解：（1）①得分小于80分的学生中，文科生与理科生人数分别为：40和60,比例为2：3...........2分

所以抽取的5人中，文科生2人，理科生3人......3分

②这5名学生有2人是文科生，记作力,生，3人是理科生，记作仇,仇,4,随机抽取两名同学可能的情况

有10种：（%,/）,（4,4）,（%也）,（%也）,（a向,（生也）,（%”），（4,4）,屹也），（4，与）

..........4分

其中至少有一名文科生情况有7种：（a,生），（4”|）,（4也），@也），（生，幻，（生，区），（。2也）

...........5分

7

因此抽取的2名耀至少有〒名文科生的概率为P=—..........6分

10

（2）由题中数据可得如下2x2列联表:

创文竞赛优秀奖未获优秀奖总计

文科生6040100

理科生4060100

总计100100200

..........9分

片=一幽强—=200(60x60-40x40)2=&<知用28………11分

(a+b)(c+cf)(a+c/b+d)100x100x100x100

所以没有99.9%的把握认为获“创文竞赛优秀奖”与文理科类有关.....12分

18.(本小题满分42分)

在锐相△49C中，角48c所对的边为％6,c,已知(a-6+c)(a-6-c)+，6=0,

6csinC=：3ccosA^-3acosC,

⑴求C：

(2)求a+6的取值范围.

解：⑴由(a~~b+c)(a-b-c)+ab=0,+b2-c2=ab...........2分

"2a.A-_ai

由余弦定理得cosC==-..........3分

2ab2

冗

•.•Ce(0,7t),•••C=y..........4分

由正弦定理及bcsinC=3ccosX+3acosC,得csinBsinC=3sinCcos4+3sin4cosc=3sin8

..........5分

vsinB^O,/.csinC=3,又。=四，J.csinZ=3,解得。=2宕.....6分

33

(2)由正弦定理可得一一=」一=，一=竺=4,即。=4sin4,5=4sin5..........7分

sin力sin3sinCJ3

T

10分

0<A<-\

2r

9,.吟<妹，，./十部/，金-J.sin(/i+》€(丁刀....n分

0<等_.4J6263362

32

：.a+be(6,4y/3]......12分

19.(本小题满分12分)

如图，在三棱柱48。一4与G中，4c，平面的“，4网=女,

AB=1,AC=AA,=2,。为梭的中点.

⑴求证：4DJ•平面4G。：

(2)若E为棱3C的中点，求三棱维E-4G。的体积.

证明：⑴C_L平面4。f平面44声声，，47_140,

.........1分

vAC//A<CX,?.A^CX1AD.........2分

由已知得48=80=1,_4BDe-,：.-ADB=~,同理可得4|。4='........3分

336

7T

NAD4.斗71=QADB+“D&)=万,即血，％。.....4分

又［。，，平面，工平面分

n4G=4404GE4GoAD1A1CXD........5

解：⑵连接典，•••//姐用=5，45=1,BBi=2,：.ABX1AB,且〃4=JJ

.........6分

・・・4。1平面4状3,・・・4。144,

vACQAB=A,平面⑷3C,，典J•平面的C........咛分

vAB=1,AC=2,AB1.AC,

B

：.三棱柱ABC-4耳G的体积P=；x/Sx力。x，=；X1义2x6=6........8分

•••D,E分别为B4，BC的中点，匕校侬一.。=看产.....9分

3321

9s校惟。―a4比D4校椎J—即I"B4X3'2"10分

七枝财-/WC=/.........11分

•0-V--=tXr=^-2...........12、分

•“三枝®?-dqc>_y复'2644止

20.(本小趣湖分12分)

已知P是抛物线芯4-='2/沙Cp>0)上一动点，。(0,3)是圆":5-1『+3-⑼2=1上一点，|PQ|的

最小值为2亚.

⑴求抛物线E的方程；

(2)可(。,6)是回河内一点，直线/过点N且与直线MM垂直，I与抛物线C相交于％,4两点，与圆”

相交于4,4两点，且国4』=邑4,1，当6取最小值时，求直线/的方程.

解:⑴设P(x0,对，则石=2py0,

I尸。1=Jx；+3。-3)2=J2呼+(为一3)2=Jy；+(2p—6)M+9.....1分

若0vp43,当盟=3—p时，|PQLn广廊二彳*20,解得p=2.....2分

若p>3,、当对，-|P。1nmr3H2应.....T分

二抛物线E的方程为x；=4j....“4分

⑵•••。(0,3)是圆口：(*-1>+3-⑼2=1上一点，.•.(0-1)2+(3-⑼2=],胆=3,.”(],3),

•・・N(a,b)是圆M内一点，，0<a<2,2<b<4.....5分

由园4|=K4I，知线段44的中点与线段44的中点重合，即N为线段44(44)的中点

…2]

..0+6=14—FaNl+=20+1,当且仅当。=逐，6=1+应时取等号.....10分

a

此时N在圆M内，满足题意.....11分

・,•直线/的方程为y-Q+J5)=一1—近),即*一Jiy+2=0.....12分

21.(本小题满分的分)

已知函数/(X)二e-or^sinr,aeR.

(1)当。=0时,证明：/(x)>0；

(2)当a=1时，判断/(x)零点的个数并说明理由.

解：(1)当a=0时，/(x)=ex-x-sinx^ex-r-l--1分

令g(x)=e*-x-l,g，(x)=e=-［.....2分

由g，(x)vO,得x<0；g，(x)>0,得x>0.....3分

:.g(x)在(-00,0)上单调递减，在(0,妙0)上单调递增.....4分

.•.g(x)2g(Q)=Q,由于J./(X)>0-—•呜分

(2)当a=I时，,〃闷弓e'」一*-s诒x.

①当xe(—8,0］时，构造函数〃(x)=x+sinx,〃'(x)=l+cosx20.....6分

:.h(x)在(-co,0］上单调递增，/?(x)W方(0)=0,.-./(x)2>0,/(x)在(-8,0］上无零点

.....7分

②当xw(0,何时，/'(x)=eZ-l—cosx,显然/'(x)在(0,兀］上单调递增，

X/,(0)=e-'-2<0,/'(7t)=eZ>0,.♦.现e(0,兀)，使得了'(Xo)=O.....8分

/./(X)在(0,X。)上单调递减，在(X。,兀)上单调递增，

R

又/(0)=e-i>0,/(7t)=e-'-7I>0,又/(l)=-sinl<0.....。理

所以玉,e(0,1),&e(l㈤使得/($)=/(£)=0,二/㈤在(°，句上有且仅有两个零点.....10分

③当XG(兀,+8)时，/'(x)>eX"-2>0,二/(X)在(兀,+8)上单调递增，

，/(*)>/(n)=e"'1-n>0,：.f(x)在(n,+a>)上无零点.....11分

综上所述，/(x)有且只有两个零点.....12分

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程

-1

在直角坐标系xQy中，己知直线/的方程为45-第"+1=0,曲线C的参数方程为/=嬴£(二为

y=tana

参数).以。为极点，x轴的正坐轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线/的极坐标方程和曲线C的普通方程：

111

(2)设直线歹=日(4>0)与曲线。相交于点48,与直线/相交于点C,求2

Q|2Q8|2\oc\

的最大值.

解：(1)令x=pcos6,y=piinO,^\[2pcos0+yl2ps\n0+l=0,

即直线/的极坐标方程为p------也------，即0=----------!——

2分

2(sine+cos。)2sin(e+：)

1,21sin2a.22,

—：-----tana=—：-----------：—=1,:.x-y'

cosacosacosa

即曲线C的普通方程为卡=1■--------5分

冗

(2)解法一>直线'=去">0)的极坐标方程为。=。(0<«<-)..........6分

设4(01,a),则8(。2,兀+a)，C(p3,n+a)(0<a<^)»

曲线C的极坐标方程为.•.月2=p，=_L_,

cos2acos2a

.•.j+上二+与=2cos2a

7分

|O4|2\0B^月2p2

I]

又03=f--------------r»s"~~2=2(sma+cosa)2=2+2sin2a........-8分

2(sma+cosa)\0C\p；'

,_1______11