机械工程测试技术测量误差分析与处理

传感器与测试技术第8章测量误差分析与处理学习导航8.1误差的基本概念（ErrorBasicConcept）8.2随机误差（RandomError）8.3系统误差（SystemError）8.4间接测量中的误差计算（ErrorCalculationinDirectMeasurement)8.5测试数据测量及表示方法（MeasurementandRepresentationofTestData）8.1误差的基本概念测量误差与精度真值（truevalue）基本误差源（sourcesofelementalerror）基本误差分类：标定误差、数据采集误差、数据处理误差。按性质及产生原因，误差可分为：

系统误差：重复性测量条件下，对同一被测量进行多次测量结果的平均值与被测量真值之差。

随机误差：单次测试结果与在重复性条件下对同一被测量进行多次测量结果的平均值之差。

粗大误差：一种明显超出统计规律预期范围的误差。测量误差与精度准确度(justness):也称正确度(correctness),测量数据的平均值偏离真实值的程度，是系统误差的反映。精密度(precision):在进行某一量的测量时，各次测量的数据彼此接近的程度，是随机误差的反映。精确度(accuracy):简称为精度，指测量数据集中于真实值附近的程度。a)高准确度，低精密度情形b)低准确度，高精密度情形c)高准确度、高精密度情形8.1误差的基本概念8.1误差的基本概念误差的表示方法误差(error):也称绝对误差(absoluteerror)，是测量值与其真值之差。相对误差(relativeerror)

:测量误差与真值之比。引用误差(quotederror):绝对误差与仪表的满量程值A之比。8.2随机误差随机误差分布规律正态分布式中，

测量值（随机变量）；

被测量的平均值，表征测量值平均水平或集中趋势的参数；

被测量的标准差，表征测量值相对于其中心位置的离散程度。标准正态分布将一般正态分布化为标准正态分布，令随机误差分布规律则

的概率密度函数为：误差落在区间的概率为：其中，

称为置信系数，

称为置信限，

称为置信区间，概率P称为置信水平。表8-1列出了典型置信区间与相应置信水平之间的关系。8.2随机误差随机误差统计分析中心趋势的度量平均值：中位数：位于序列中间数据的值，或位于中间的两个数据的平

均值（若序列中元素的数量为偶数）。众数：出现概率最大的随机变量的值。8.2随机误差随机误差统计分析分散性的度量每次测量的偏差：平均偏差：总体的标准差：样本标准差：8.2随机误差随机误差统计分析总体均值的区间估计在估计总体平均值时，将其表示为或(8-17)

其中，δ是误差，

是样本平均值。区间（

，

）为关于均值的置信区间。分别称

、

为关于均值的置信下限和置信上限。置信区间取决于置信水平，平均值落入较大区间的置信水平比落入较小区间的置信水平高。置信水平一般通过显著性水平（levelofsignificance）表示：(8-18)8.2随机误差随机误差统计分析(1)大样本（n＞30）事件总体均值的区间估计直接应用中心极限定理估计置信区间。因为是正态分布的，所以可以使用统计量:（8-20）其中，当足够大时，根据中心极限定理，的标准差：由（8-18），有（8-21）也可以写成：

（当置信水平为）8.2随机误差随机误差统计分析 (2)小样本(

)事件总体均值的区间估计由于标准差的误差，小样本情况下，可以使用分布统计量:（8-23）与正态分布不同，分布取决于样本量。由（8-18），有（8-26）也可以写成：

（当置信水平为）

8.2随机误差随机误差统计分析总体方差的区间估计总体方差的最佳估计是样本方差，对于正态分布的总体，可以应用统计量估计置信区间。设随机变量的平均值为μ，标准差为σ，则有：（8-28）变量被定义为：（8-29）联立式(8-28)和(8-29)，有（8-30）8.2随机误差随机误差统计分析

是随机变量，在正态分布总体的情况下不同自由度的概率密度函数曲线如右图所示。变量在任意两个值之间的取值概率等于曲线下这两值之间的面积：（8-32）为显著性水平，按式（8-29）得：（8-33）则总体方差的置信区间为：（8-34）8.2随机误差可疑数据的取舍莱茵达准则（3σ准则）若测量值只含有随机误差，且按正态分布，则测量数据落在置信区间以外的概率只有0.27%。莱茵达准则规定，如果实测数据的误差满足以下条件

则将作为异常数据处理。注：根据统计学原理，莱因达准则不适用于测量次数的场合。8.2随机误差可疑数据的取舍肖维纳准则肖维纳准则也是以正态分布为前提，规定在n次测量中，某一误差可能出现的次数小于半次就被认为是过失误差。设任一次测量值的误差落在区间

的概率为α，则误差落在置信区间

之外的概率为对于n次测量，令随机误差落在置信区间

之外的次数等于1/2，则有于是8.2随机误差可疑数据的取舍则由式（8-10）得：若已知测量次数

，则可求出满足肖维纳准则的

，再由积分表查得置信系数

。根据肖维纳准则，若某次测量所得误差绝对值大于相应的置信限

，应予舍弃。8.2随机误差可疑数据的取舍格拉布斯准则格拉布斯法假定测量结果服从正态分布，根据顺序统计量来确定可疑数据的取舍。进行n次重复试验，试验结果为

，且

服从正态分布。为了检验

中是否有可疑值，可将其值由小到大顺序重新排列，根据顺序统计原则，给出标准化顺序统计量g：当最小值

可疑时，则：当最大值

可疑时，则：8.2随机误差可疑数据的取舍根据格拉布斯统计量的分布，在给定的显著性水平α（一般α=0.05）下，查得判别可疑值的临界值

，见表8-4。该检验的拒绝域为：即标准化顺序统计量大于其临界值，即可认为其相应数据为粗大误差影响的可疑数据。利用格拉布斯准则每次只能舍弃一个可疑值，若有两个以上的可疑数据，应该一个一个数据地判断。即舍弃第一个数据后，试验次数由n变为n-1，以此为基础再判别第二个可疑数据。8.2随机误差可疑数据的取舍t检验准则

检验准则是将测量列的

个测得值中可疑的测得值先剔除，然后按余下的个数据计算算术平均值和标准差值，再判断数据是否含有粗大误差。（不含）（不含）根据测量次数和所选取的显著度α，从表8-5中查得k值。若所怀疑的数据

满足下式：则可认为为可疑数据，应予以剔除。8.2随机误差8.3系统误差任何测量过程首先要注意发现与减小系统误差，确保把它限制在允许的范围内。对于在实验中无法补偿的系统误差，应对测量结果进行修正。系统误差有恒值系统误差和变值系统误差。恒值系统误差（固定系统误差）是在整个测量过程中的大小和符号都不变的误差。变值系统误差是指在测量过程中大小和符号都可能变化的误差，变化规律可分为三种：1)线性变化－测量过程中误差值随某些因素作线性变化。2)周期性变化－系统误差的数值或符号随某些因素按周期规律变化。例如，轧辊有偏心，轧制时的精度误差。3)复杂规律变化－按复杂规律，例如按指数规律变化。

系统误差对测量结果的影响恒值系统误差对测量结果的影响如果在多次重复测量时存在恒值误差，则一组测量值

中的每一个都含有恒值系统误差

。于是，不含系统误差的测量值应为其算术平均值为由偏差的定义，有恒值系统误差只影响一系列重复测得值的算术平均值

，对测得值的偏差

没有影响，即不影响随机误差的分散性及精度参数。8.3系统误差系统误差对测量结果的影响变值系统误差对测量结果的影响变值系统误差对每个测量值有不同的影响，但有规律，不是随机性的。设有一系列测得值

，并含有变值系统误差

，则不含系统误差的测量值为其平均值为如果测量中含有变值系统误差，它将以算术平均值的形式影响测量结果，应在消除或校正后，以

作为测量结果。在偏差

的计算中有偏差

受变值系统误差的影响，即变值系统误差影响测量结果的精确度。8.3系统误差系统误差的识别与修正恒值系统误差判别方法（1）对比检定法在确认没有明显变值系统误差的前提下，可以改用更理想的测量条件，进行检定性测量。以此两种不同的测量条件对同一量值进行次数相同的重复测量，求出两者算术平均值之差，则该差值即为被判断的测量条件下的定值系统误差。（2）均值与标准差比较法对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情况下进行两组（或多组）测量。由于

和

是服从正态分布的随机变量，故其差值

也服从正态分布（其分布的平均值为零，方差为

）。因此，可用区间的概率估计原理来判断是否有恒值系统误差，即8.3系统误差系统误差的识别与修正在给定置信概率

时，若无定值系统误差，则

应不超过

；如果超出，则可认为

与

的差异不只是受随机误差影响，而且还有恒值系统误差存在。这样判断的置信概率为

。8.3系统误差系统误差的识别与修正变值系统误差判别方法（1）偏差观察法偏差观察法是将一系列等精度测量值，按测量的先后顺序把测得值及其偏差值列表，观察其偏差数值及其符号的变化规律。若偏差数值有规律的递增或递减，并且在测量开始和结束时偏差符号相反，则可判定该测量列含有线性系统误差。若在某一测量条件时，偏差基本上保持相同符号，当变为另一测试条件时偏差均变号，则表明测量中含有随测量条件而变的恒值系统误差。若偏差的符号有规律地由正变负，再由负变正，或循环交替变化多次，则可判定该测量序列含有周期性误差。8.3系统误差系统误差的识别与修正（2）偏差核算法将测得值按测量先后顺序排列，并将其分为前半组k个和后半组k个，两组分别求和后相减，有当测量次数n足够多时，，所以上式表明前后两部分偏差和的差值取决于系统误差，因线性系统误差前后两组的符号相反，则

值将随n的增大而增大。因此，若

值显著不为零，则说明测量列中含有线性系统误差。

8.3系统误差系统误差的识别与修正（3）阿贝

赫梅特判据阿贝

赫梅特判据为：只要测量列满足下式，就认为该测量列有周期性系统误差存在。

8.3系统误差系统误差的识别与修正系统误差的修正（1）恒值系统误差的修正方法代替法；相消法；对换法。

8.3系统误差系统误差的识别与修正（2）线性变化系统误差的修正方法例如测量电阻，

为被测电阻，

为已知电阻。设回路电流

随时间线性降低，可用对称测量法修正该线性误差，方法如下：第一次测

两端电压为：第二次测

两端电压为：第三次测

两端电压为：

8.3系统误差系统误差的识别与修正因电流下降是线性变化的，所以从上式可看出，因电流变化而引起的系统误差已被修正。

8.3系统误差系统误差的识别与修正（3）周期性变化系统误差的修正只要读取相隔半周期的两次测量值，然后取平均值为测量结果，即可修正周期性变化的系统误差。这是因为根据周期性变化系统误差的变化规律，有：变化半周期即

时，有取

和

的算术平均值，有

8.3系统误差系统误差的识别与修正系统误差修正准则如果系统误差或偏差代数和的绝对值不超过测量结果总误差绝对值最后一位有效数字的一半，就认为系统误差已被修正。测量结果的总误差，一般只用一位或两位有效数字表示，可用公式来表达上述准则。设测量结果的总误差绝对值为

，残余系统误差的代数和为

。当

用两位有效数字表示时当

用一位有效数字表示时只要满足上述条件，就可认为已修正系统误差对测量结果的影响。

8.3系统误差消除系统误差的措施从产生误差根源上消除系统误差从产生误差根源上消除误差是最根本的方法，它要求测量人员对测量过程中可能产生系统误差的环节作仔细分析，并在测量前就将误差从产生根源上加以消除。用修正方法消除系统误差预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同、符号相反的值作为修正值。

8.3系统误差8.4间接测量中的误差计算间接测试参量的估计值间接测量量

一般可以表示为相互独立的直接测量量

的函数：由于各直接测得的参量

都是随机变量，间接测量量

是随机变量的函数，其分布参数（均值和标准差等）通常需要根据其自变量的分布参数计算。计算随机变量函数分布参数的常用方法是矩法。在各随机变量

的均值处做泰勒级数展开，有：上式即为间接测量量均值的近似估计。

间接测量误差计算间接测量参数为

与各直接测量参数为

，二者之间的函数关系为

，进行微分运算有令

，并用增量代替微分，有：的可能最大误差为：的最佳估计为：的相对误差为：

8.4间接测量中的误差计算8.5误差分析与测试数据处理系统误差和随机误差成分分析随机误差一般通过重复测量某一变量来测定，可用测得的数据计算测量样本标准差。在误差分析中，随机误差反映为精密度指数

。可以利用

统计量估计单个测量

的精密度极限:式中，

为置信水平（例如95%）和自由度（

）的函数。变量

的随机误差区间（置信区间）是

。因为用于估计

的样本容量一般较小（

），所以经常采用

分布而不是正态分布。当样本容量大于30，正态分布与

分布基本上是相同的。平均值的标准差

与测量值的标准差

之间的关系为：

系统误差和随机误差成分分析平均值的误差为:平均值的随机误差带（置信区间）表示为

。如果测量条件不变，则系统误差不变。因此，需要用置信区间而不是置信水平来定义准确度误差极限的可信度。通常要求系统误差的置信区间与随机误差的置信水平相对应，例如95%的置信水平用于随机误差，同时95%的置信区间用于系统误差。

a)单次测量测量值误差图b)多次测量均值误差图

8.5误差分析与测试数据处理系统误差和随机误差成分分析在图a中，如果进行了大量的测量，可以预测出正态的频率分布。曲线的顶点在总体均值处，由于系统误差B，该均值不同于x的真值。一个测量读数

偏离总体均值并且存在关于读数的随机误差带。图b显示多次测量的情形。样本均值不同于总体均值，存在随机误差带

。多次测量均值的随机误差带

比单次测量测量值的随机误差带

窄。为了合成随机误差和系统误差，要使用均方根公式:误差的置信水平与的置信水平相同。系统误差带不必是对称的。在不对称情况下，上式必须应用2次，一次获得正方向的综合误差，另一次获得负方向的综合误差。

8.5误差分析与测试数据处理系统误差和随机误差成分分析为了获得测量的系统误差和随机误差，必须合成基本系统误差和随机误差，这个过程如图：各项误差用均方根合成：，

8.5误差分析与测试数据处理系统误差和随机误差成分分析例8.4在估计一个气田的天然气燃烧值过程中，取了10个样本并且用热量计测量每个样本的燃烧值，以kJ/kg为单位测得的值为48530，50210，49860，48560，49540，49270，48850，49320，48680，48980。假设热量计在测量中没有产生任何的系统误差，试用95%的置信水平计算每次测量的随机误差和测量均值的随机误差。

解：若

表示燃烧值，则平均值为

样品的标准差（精密度指数）为

8.5误差分析与测试数据处理系统误差和随机误差成分分析使用置信水平95%的

分布（表8-2）和10-1=9的自由度，可以查得值为：

于是，每个样本的随机误差为：

kJ/kg

由于

，均值的随机误差为：

kJ/kg

8.5误差分析与测试数据处理有效数字及其运算规则有效数字含有误差的任何近似数，如果其绝对误差的绝对值不超过近似数的半个单位，那么这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字（包括零）都叫有效数字。例如取n=3.14159，第一位有效数字为3，共有六位有效位数；又如0.00270，第一位有效数字为2，共有三位有效位数。若近似数的右边带有若干个零，通常把这个近似数写成a

10n形式（1<a<10）。如2.400

103，表示四位有效位数。最末一位有效数字取到哪，是由测量精度来决定的－最末一位有效数字应与测量精度同量级。测量结果应保留的位数原则是，其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。测量误差一般取1-2位有效数字。

8.5误差分析与测试数据处理有效数字及其运算规则数字舍入规则对于位数很多的近似数，当有效位数确定后，其后面多余的数字应予舍去，而保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：:1)若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1,2)若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变。3)若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数－当末位为偶数时末位不变，当末位为奇数时则末加１。

8.5误差分析与测试数据处理有效数字及其运算规则数据运算规则1)在近似数加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。2)在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字，而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。3)在近似数平方或开方运算时，平方相当于乘法运算，开方是平方的逆运算，故可按乘除运算处理。4)在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数表，或用（n+1）位对数表，以免损失精度。5)三角函数运算中，所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多，其对应关系如表8-8所示。

8.5误差分析与测试数据处理测量最终结果的误差单样本测量最终结果的误差结果

是由n个测量变量所组成的函数，即,那么结果的系统误差

和精密度指数

可以由下式计算：偏导数

被称为灵敏度系数，式中，

为

分布值。

8.5误差分析与测试数据处理测量最终结果的误差多样本测量最终结果的误差在一些试验中可能进行多样本试验来确定

。在这些情况下，每次试验可获得结果的值

。然后可以得到

的平均值，并且可以通过测量结果的分散性估计精密度指数和随机误差。结果均值为：式中有

的M组测量值。精密度指数（标准差）可由下式获得：

8.5误差分析与测试数据处理测量最终结果的误差于是结果的随机误差为：系统误差的确定方法与单样本测量相同。最终误差的估计由下式得出：

8.5误差分析与测试数据处理误