分类加法计数原理和分步乘法计数原理（教师版）

************************************************************************************************************-1-6.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理目☯知识清单☯1、分类计数原理（1）定义：做一件事情，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法。分类将完成这件事的方法分成若干类（2）解题思路：分类将完成这件事的方法分成若干类计数计数求出每一类的方法数求出每一类的方法数结论结论将每一类的方法数相加得出结果将每一类的方法数相加得出结果2、分步计数原理分类（1）定义：做一件事情，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法。分类将完成这件事的方法分成若干类（2）解题思路：将完成这件事的方法分成若干类分类分类将完成这件事的方法分成若干类将完成这件事的方法分成若干类分类将完成这件事的方法分成若干类分类将完成这件事的方法分成若干类（3）分步两个条件：①步骤互相独立，互不干扰②步与步确保连续，逐步完成3、两个计数原理的关系（1）两个计数原理的联系与区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加，关键是“分类”分步相乘，步步相乘，关键是“分步”分类完成一件事，每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性。分类计数原理可利用“并联”电路来理解。分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事，要注意“步”与“步”之间的连续性。分步计数原理可利用“串联”电路来理解。运用加法运算运用乘法运算注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整（2）利用两个计数原理解决应用问题的一般思路：①弄清完成一件事是做什么；②确定是先分类后分步，还是先分步后分类；③弄清分步、分类的标准是什么；④类要做到不重不漏。☯典型例题☯母题1：分类计算原理分类计数原理解题思路分类计数原理解题思路1.根据题目特点恰当选择一个分类标准。2.分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复。3.分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏。漏设椭圆＋＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1，2，3，4，5}，b＝{1，2，3，4，5，6，7}，则满足上述条件的椭圆个数为()A．20 B．24 C．12 D．11【答案】A【解析】当a＝1时，b＝2，3，4，5，6，7，有6个.当a＝2时，b＝3，4，5，6，7，有5个.当a＝3时，b＝4，5，6，7，有4个.当a＝4时，b＝5，6，7，有3个.当a＝5时，b＝6，7，有2个.由分类加法计数原理得6＋5＋4＋3＋2＝20(个).故选：A如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个.【答案】40【解析】满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8个；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32个，所以满足条件的三角形共有8＋32＝40个.故答案为：40算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字(如图2中算盘表示整数)．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为()A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，拨动三枚算珠，有种拨法：①个位拨动三枚，有种结果：、；②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有种结果：、、、；③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有种结果：、、、；④十位拨动三枚，有种结果：、．综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为．故选：C.从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）A．8 B．6 C．5 D．2【答案】A【解析】由题意分两种情况讨论：一是从甲地经过乙地到丙地，因为从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，所以从甲地到丙地的走法有种，二是从甲地不经过乙地到丙地，因为从甲地不经过乙地到丙地有2条所以从甲地到丙地的走法有2种，故从甲地到丙地的走法共有种，故选：A从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为()A．64 B．56 C．53 D．51【答案】C【解析】由于1只能作为真数，则以1为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0，从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成个对数式，其中，，，，，重复了4次，所以得到不同对数值的个数为.故选：C母题2：分步计算原理（（1）利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事。（2）分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成。从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则最多形成不同的直线的条数为()A．18 B．20 C．25 D．10【答案】A【解析】第一步，给A赋值有5种选择，第二步，给B赋有4种选择，由分步乘法计数原理可得：5×4＝20(种).又因为A＝1，B＝2，与A＝2，B＝4表示同一直线.A＝2，B＝1与A＝4，B＝2，也表示同一直线.∴形成不同的直线最多的条数为20－2＝18.故选：A一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有()A．6种B．8种C．36种D．48种【答案】D【解析】如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48(种)不同的参观路线．故选：D为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有______种.【答案】36【解析】由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选1种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选1种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选1种有6种选法，根据分步乘法计数原理，共有种不同的选取方法.故答案为：36洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数(图中白圈为阳数，黑点为阴数).现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：(从左往右数)第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数有___________个【答案】120【解析】据题意，阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数可以的组合有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)共有6种选择，根据分步乘法计数原理，这样的四位数共有个.故答案为：某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演，原节目单上有10个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有（）种A．165 B．286 C．990 D．1716【答案】D【解析】第一步：10个节目空出11个位置，加入1个新来的节目，所以加入一个新节目有11种方法，第二步：从排好的11个节目空出的12个位置中，加入第2个新节目，有12种方法，第三步：从排好的12个节目空出的13个位置中，加入第3个新节目，有13种方法，所以由分步乘法计数原理得，加入3个新节目后的节目单的排法有（种）.故选：D母题3：两个计数原理的综合运用两种计数原理选择思路两种计数原理选择思路①分清要完成的事情是什么；②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制；④检验是否有重复或遗漏。现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人.(1)选1人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每组选1名组长，有多少种不同的选法？(3)推选2人发言，这2人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？【答案】(1)34；(2)5040；(3)431【解析】(1)分四类：第一类，从一组中选1人，有7种选法；第二类，从二组中选1人，有8种选法；第三类，从三组中选1人，有9种选法；第四类，从四组中选1人，有10种选法.所以不同的选法共有(种)；(2)分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四组中选1名组长，所以不同的选法共有(种)；(3)分六类：从一、二组中各选1人，有种不同的选法；从一、三组中各选1人，有种不同的选法；从一、四组中各选1人，有种不同的选法；从二、三组中各选1人，有种不同的选法；从二、四组中各选1人，有种不同的选法；从三、四组中各选1人，有种不同的选法.所以不同的选法共有(种).某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)任选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？(2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？(3)选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？【答案】(1)21；(2)336；(3)146.【解析】(1)分三类：第一类，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二类，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第三类，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，由分类加法计数原理，知共有种不同的选法；(2)分三步：第一步，从高一年级选1个班，有6种不同的选法；第二步，从高二年级选1个班，有7种不同的选法；第三步，从高三年级选1个班，有8种不同的选法，由分步乘法计数原理，知共有种不同的选法；(3)分三类，每类又分两步：第一类，从高一，高二两个年级中各选1个班，有种不同的选法，第二类，从高一、高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法，第三类，从高二，高三两个年级中各选1个班，有种不同的选法，由分类加法计数原理，知共有种不同的选法．假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如下图所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天（4月24日～4月29日）内选择一天出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，乙不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这三人出游的不同方法数为________.【答案】85【解析】若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数；若甲不选择周一出游，则三人出游的不同方法数.故这三人出游的不同方法数.故答案为：85已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲乙丙丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合种数共________种．【答案】20【解析】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有种方法，当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有种方法，综上，共有种方法.故答案为：20.己知六个函数:①;②;③;④;⑤;⑥,从中任选三个函数,则其中既有