天津市培杰中学2022-2023学年高三年级上册期末数学试题（解析版）

2022-2023学年高三上学期期末数学学情调查

一、单选题

1.已知集合。={-2，」，。，1，2},4={。},5斗所+-2<。},则”

A.{-1}B.{1}C.{-1,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】

化简集合8,根据补集和交集的概念运算可得结果.

【详解】gA={—2,—1』,2},8={加一2<%<1},

©A）8={-1

故选：A

2.“苏<〃2"是"]nzn《ln九”（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用充分条件、必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由In7〃<In”，

可得0<加<〃，

故根2</成立；

NP7<n2，

得帆<w，

当机<0,〃<0时，

lnzn<ln〃不成立；

所以“加2<是"]口相<111〃”必要不充分条件.

故选：B.

2sinx

3.函数f(x)=在［-匹»I的大致图象是（）.

e八%+Ie八一%

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性排除C、D,根据％6（0,万）时，函数值的符号排除B,故选A.

2sinx2sin(-x)_2sinx

【详解】因为/（%）=，所以〃r）==-7（%）,所以/（X）为［—»,»］上

,+e

的奇函数，其图象关于原点对称，故C、D不正确;

当^^（0,不）时，sinx>0,所以/（x）>0,故B不正确;

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用函数的性质排除不正确选项是解题关键.

4.已知等比数列｛%｝满足q=2,〃3,〃5=44，则。3的值为（

1

A.-BC.1D.2

4-I

【答案】C

【解析】

【分析】

根据%•%=4尺，利用等比数列的性质求得小,再利用通项公式求解.

【详解】在等比数列｛4｝中，4=2,%-%=4d，

所以aj=4aA，

所以/=：,/=彳，

42

所以4=%/=1,

故选：C

5.已知正方体ABC。-的所有顶点都在球。的表面上，若球。的体积为36乃，则正方体

ABC。—a4Goi的体积为（）.

A.2A/3B.373C.126D.2473

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出球。的半径，再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系，求出正方体的棱长，即可求出正方体的

体积.

【详解】解：球。的体积为36"，

4二

即一TTP=36%,

3

解得：R=3,

设正方体ABC。—44GR的棱长为。，

由题意知：2尺='/+片+片,

即6=A/3«>

解得：a=26

二正方体ABC。—A4C[O]的体积V=（2=245/3.

故选：D.

A-0-8

08

6.设。=（,沙=3叫c=log07-,则a,b,c的大小关系为（）.

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指数函数与对数函数的性质，即可得出仇c的大小关系.

【详解】解：4==308>3°=1,

.2=3°9>3°-8=。>1，

0807

又，C=log07-<log07-=1,

:.c<a<b.

故选：D

22

19-VY

7.已知抛物线%/=丁的焦点户与双曲线2T——=1(a>0,z?>o)的一个焦点重合，且点尸到双

曲线的渐近线的距离为4,则双曲线的方程为()

22222222

A,土-乙=1B,土-乙=1c.U1D.匕-j

91616414116916

【答案】D

【解析】

【分析】

由抛物线=求得歹(0,5),得到c=5,再由焦点厂(0,5)到渐近线的距离为4,求得6=4,进而

得到a=Jc2—炉=9,即可求得双曲线的标准方程，得到答案.

【详解】由题意，抛物线4-必=丁可化为必=20>,可得焦点坐标为尸(0,5),

即双曲线三—

=1的焦点坐标为歹(0,5),即c=5,

矿

又由双曲线之―*=1的一条渐近线的方程为y=-x,即ax—力=0,

5b

所以焦点尸(0,5)到依—勿=。的距离为一=4A,

2—2

所以6=4，又由Q=Jc?-=>/54=9,

所以双曲线的方程为工-土=1.

916

故选：D.

【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和

抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5TT11IT

8.设函数/(x)=2sin((yx+。)，xeR,其中力＞0,|。|〈乃.若/(k)=2,/(—)=0,且人B的

88

最小正周期大于27，则

271211K111K17万

A.co=一,(D——B.CD=—,cp=------C.0)=-(P-------D.CD——,(D----

312312324324

【答案】A

【解析】

、①兀八,n

-------\-(P—2k、7i-\—

812422万

【详解】由题意〈,其中心左2£Z,所以口=—(42—2勺)一一,又T=——>2"，所

Won733

-------\-(p-1兀CD

21IIn

以0<GV1,所以啰=耳，夕=2%］兀+兀，由乃得0=故选A.

【考点】求三角函数的解析式

【名师点睛】有关y=Asin(s+°)问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象

的最高点或最低点确定A,再根据周期■周期或小期求出。，最后再利用最高点或最低点坐标满足解

析式，求出满足条件的。值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的

坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求。或。的值或最值或范围等.

9.已知函数/(%)={2_,若函数g(x)=/(—x)+/(x)有且只有四个不同的零点，则实数上

的取值范围是().

A.(-co,-4)B.(4,+oo)

C.(-oo,0)(4,+oo)D.(-00,4)(4,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

判断可得g(x)为偶函数，所以g(x)在(0,+8)上有且仅有2个不同的零点，求出g(x)在(0,+8)上的解析

式，根据二次函数知识列式可得解.

【详解】因为g(x)=/(—x)+/(x),所以g(—%)=/(%)+/(—无)=g(无)，所以g(x)为偶函数,

因为g(无)有且只有四个不同的零点，

所以g(x)在(0,+co)上有且仅有2个不同的零点，且g(O)=2/(O)=YkwO,即左wO,

当x>0时，一九<0,f(-x)=k(-x+3),J(x)=x2-2k,

所以g(x)=k(-x+3)+x2-2k=/一位；+左在(0,+oo)上有且仅有2个不同的零点,

g(0)〉0

所以一E〉°,解得左>4・

2

A=k2-4k>0

故选：B

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解

二、填空题

(I2•

10.己知i是虚数单位，则一-=

【答案】l+4z

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算法则可得结果.

5+3/(5+30(1+02+8,

【详解】=l+4z,

1-/(1-0(1+02

故答案为：1+4九

6

11.二项式2x-的展开式中常数项为.

【答案】60

【解析】

【分析】求出二项式的通项公式，再令X对应的幕指数为。即可求解

【详解】二项式"x—十］的展开式的通项公式为&］=禺(2x)6-1—十］=禺26一(—1)46后,令

3

6-1r=0,解得r=4,所以该二项式展开式中常数项为或•26-4(—1)4=60,

故答案为：60

【点睛】本题考查二项式中常数项的求解，属于基础题

12.圆Y+y2+2x—2y+a=0截直线尤+y+2=0所得弦的长度为4,则实数。的值是.

【答案】-4

【解析】

【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径"，利用点到直线的距离公式，算出圆心到直线/

的距离，再根据截得弦的长度为4,得到关于〃的方程，解出即可

【详解】由圆/+y?+2x-2_y+a=0可得(尤+1)一+—=2-a

二圆心为(—1」)，半径r=《2-a*a<)

直线方程为％+y+2=0

二圆心到直线的距离d=1=72

Vi2+i2

截得弦的长度为4

.-.(V2)2+22=2-a,解得a=T

故答案为T

【点睛】结合弦长的长度求出圆的标准方程，只需将圆化为标准方程，然后运用弦长公式的求法求出参量

即可

13.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教

学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为.

9

【答案】记

【解析】

【分析】

先列出从5种教学软件中随机选取3种的所有情况，然后计算出甲、乙、丙至多有2种的情况，再利用古

典概型公式计算即可.

【详解】解：从甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件随机选取3种，

共有以下10种等可能的情况：

甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊,

其中甲、乙、丙至多有2种被选取的有以下9种情况：

甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，

9

即所求概率为一,

9

故答案为：—.

10

14.已知正数b满足ab=l,则3+2里的最小值为.

ba

【答案】4

【解析】

【分析】

由己知得^-+^-=-+-+a+b,然后利用基本不等式求最值即可.

baba

【详解】由题可知，a>0,b>0,且就=1,所以

a+1b+1aba+bab..\ab_r_T,

---------1---------=—Hb----------—+—+a+b>2A--------+27ab=4,

babaabba\ba

当且仅当a=3=1等号成立，

故答案为：4.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

27r

15.在菱形ABCQ中，NBAD=——,AB=2,点N分别为BC,边上的点，且满足

3

\BM\|CN|—.-,

7^77=77右，则AM•AN的取小值为______________•

ICD\

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】

IBMIICNI

设匕个=需=L0</<1,将40和AN用A3、AD表示，再根据向量数量的运算律进行求解可

IBC\|CD\

得结果.

\BM\8”

【详解】设0<t<l,

VBC\\CD\

AM=AB+BM=AB+tBCAB+tAD>

UUU1UUUUUIUUUIU

AN=AB+BC+CN=AB+BC+tCD=AB+AD-tAB=(l-t)AB+AD,

所以AM,AN=(AB+%AD)((1—%)AB+AD)

=—+MD+(1+t2)AB-AD

1

=4(1-^)+4z+(1+^-9)x2x2x(--)

—2t2—21+2，

13..3

因为所以当方=5时，2产一21+2取得最小值万，即AM-AN的最小值为

3

故答案为：—

2

【点睛】关键点点睛：将AM和AN用A3、AO表示，再根据向量数量的运算律进行求解是解题关键.

三、解答题

16.在ABC中，角A、B、。所对的边分别为mb,c,且Z?—c=l,cosA=；，一ABC的面积为2近.

(1)求q,b,c的值；

(2)求cos(2C+A)的值.

【答案】(1)a=3,b=3,c=2

23

(2)

27

【解析】

【分析】（1）由cosA=1求出sinA,再由三角形的面积列方程可求得物'=6,再结合已知条件解方程

3

组可求得b,c的值，再利用余弦定理可求出a，

（2）利用正弦定理求出sinC=生色，再求出cos。，然后利用三角函数恒等变换公式可求得结果

【小问1详解】

*/cosA=-,且Aw(0,»),

・・・的面积为2企，

・S17•/*172拒6

・・S=—bcsmA=—bex-----=2,2,

223

bc-6,

又b—c=\,：.b=3,c=2,

由余弦定理知，a?=/+02-2Z?ccosA=9+4-2x3x2x—=9，

3

:・a=3,

综上，a-3,b-3,c-2.

【小问2详解】

3_2

ac—；=~=-----

由(1)及正弦定理-----=-----，知2Asine,

sinAsinC-----

解得sinC=32

9

■:c〈b,cosC=Vl-sin2C=—

9

/.sin2C=2sinCcosC=2x^lx-=^^,cos2C=2cos2C-l=—

998181

/.cos(2C+A)=cos2CcosA—sin2CsinA=Ux』—x

81381327

17.如图，在四棱锥尸-ABC。中，B4_L平面ABC。，AB±ADf5C〃AD,点M是棱尸。上一点，且A3=

BC=2,AZ)=B4=4.

p

(1)若PM：M£)=1：2,求证：尸8〃平面ACM；

(2)求二面角A-CD-P正弦值；

(3)若直线AM与平面PC。所成角的正弦值为亚，求的长.

3

【答案】(1)证明见解析；(2)Y5；(3)2夜.

3

【解析】

【分析】(1)以A为原点，AB为x轴，为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能证明尸8〃

平面ACM.

(2)求出平面尸的法向量和平面AC。的法向量，利用向量法能求出二面角A-C。-尸的正弦值.

(3)求出平面CDP法向量，由直线AM与平面PC。所成角的正弦值为亚，利用向量法能求出的

3

长.

【详解】(1)证明：：在四棱锥尸-A8CD中，

E4J_平面ABC。，ABLAD,BC//AD,

.•.以A为原点，为x轴，A。为y轴，AP为z轴，

建立空间直角坐标系，

M

•・•点M是棱尸。上一点，PM：MD=1：2,

AB=BC=2,AD=PA=^.

：.P(0,0,4),A(0,0,0),B(2,0,0),

4

C(2,2,0),M(0,*

PB=(2,0,-4),启=(2,2,0),AM=(0,

设平面ACM的法向量〃二(羽y,z),

n-AC=2x+2y=0

则《48取x=2,得(2,-2,1),

n-AM=—y+—z=0rb-

33

:港：=4-4=0,P8C平面ACM,.,.尸8〃平面4cM.

(2)D(0,4,0),pC=(2,2,-4),无=(0,4,-4),

设平面CD尸的法向量2_(a,b,c),

，，l-

m-PC=2〃+2b-4c=0

则《取b=l,得(1,1,1),

m-PD=4Z?-4c=0rn-

平面AC。的法向量7=(0,0,1),

设二面角A-CD-P的平面角为e,

1PM1

则性产丽=耳,

，二面角A-CD-P的正弦值为‘1一(耳)=-y-

(3)设0M=2PD,(OW%Wl),

则-4)=(0,4尢-42),

xl=0,%=4尢Z[=4-42,；.M(0,42,4-42),

AM=(0,42,4-42),平面COP的法向量〃z=(1,1,1),

：直线AM与平面PCD所成角的正弦值为亚，

3

IAM-m|4a

解得力=《，

：.MD=-PD=-xy/42+42=2y/2.

22

18.已知点尸为椭圆［+?=1(a>Z?>0)的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点,

椭圆上任意一点到点尸距离的最大值为3,最小值为1.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM〃直线8N,直线4V、的斜率分别为％和％2,求

证：ki'ki=e2--1(e为椭圆的离心率)*

【答案】(1)—+^=1(2)证明见解析

43

【解析】

【分析】

a+c=3

(1)根据椭圆上任意一点到点尸距离的最大值为3,最小值为1,则有｛1求解.

a-c=l

(2)由(I)可知，A(2,0),B(0,—石)，分别设直线AM的方程为y=A(x-2),直线3N的方程为

y=kx-y/3,与椭圆方程联立，用韦达定理求得点N的坐标，再利用斜率公式代入心哝2求解.

a+c=3[a=2

【详解】(1)由题意可知，〈一解得〈।

a-c=l[c=l

b2=a1-c2=3,

22

...椭圆的标准方程为：土+匕=1;

43

(2)由(1)可知，A(2,0),B(0,一百),

设直线AM的斜率为左，则直线BN的斜率也为左,

故直线AM的方程为y=k(x-2),直线BN的方程为y=kx-百,

3》2+4/=12

得（3+4F）X2-16Fx+16F-12=0,

y=^（x-2）

.c1642—12.8左2—6_-12k

••2%=乎丁

、/弘2-6-12）

/.M------------------,

（3+4左23+4左2J

22

f3x+4y=12（…厂

由《•广得：（3+4左2）三—8®x=0,

y=kx-有、'

._8®_4百左2—3百

•.马=17病，＞N=3+4H，

/8以4限2_3疔

13+4/'-3+4F-,

4辰2-3括「、

_3+442二石（44—3）

广〉出以4左2—4辰+3）

842一6—2（4左2-3）'

3+442

_0（4左2—3）百（4左2—4辰+3）3

—2（4j_4®+3）2（44_3）~~4

:•ki，kz=0~1.

【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

19.己知等比数列｛。“｝满足%-。2=1°，。14。3=125.

(1)求数列｛4｝的前〃项和S“

⑵若数列也｝满足4=1，MA+—+-++4=%1—K〃eN*),

23n

①求也｝的通项公式：

_n

②求X。也I•

Z=1

【答案】(1)3(3"—1)⑵①句=〃②3("—1)义3"+』

633

【解析】

【分析】

(1)根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据等比数列的求和公式可得结果；

(2)根据错位相减法可求得结果.

【详解】(1)设等比数列｛4｝的公比为4，

(21八份=3

aq-aq=10

则""23,解得5，

qqgy=125a=—

、x3

所以_q(l—q")_3(1—3")=9(3"—1).

Sn=~rr=~^6

bbA

(2)①因4+上+4++—=&„-l(neN*),

123nn+l+1

所以九22时，伪+%+%++^-=bn-1,

23n-1

bb〃+1

两式相减得」=优+i—〃，即n+言｝=—(n>2),

nbnn

b.2

又4=%-1，且4=1,所以4=2,—

力1

所以.=3(〃EN*),即媪=%，

bnnn+1n

hhh

所以数列｛」｝是常数数列，所以」='=1，即2=〃.

nn1

②由⑴知/=弓/-1=|义3"-1,

_n

令T"=E=她+。2b3+a3b5++anb2n_x,

i=l

即4=1X：X3°+3X；X31+5X；X32++(2H-1)X|X3"-1,

即7；=£1+3x31+5x32++(2〃-1)X3"T),

所以31,=£1x3+3x32+5x33++(2〃-1)x3"),

所以—27；=|[l+2(3'+32+33++3n-1)-(2n-l)x3"],

所以—27；=：l+2x型]答—(2“—1)x3",

所以—2看][(2—2〃)x3“—2],

S5n55

所以〈=5_l)x3"+z，即Za，4，T=W("—l)x3〃+w

33i=i33

【点睛】关键点点睛：掌握等比数列的求和公式以及错位相减法是解决本题的关键.

20.已知函数/(%)=/-2双一1,g(x)=2aln(x+l),a^R.

(1)若“X)在点(0"(0))处的切线倾斜角为5,求。的值；

(2)求“力的单调区间；

(3)若对于任意xe[0,+oo),/(x)+g(x)2x恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)0；(2)当aW0时，/a)的单调递增区间为R；当a>0时，/⑺的单调递减区间是(-a),ln(2«)),

单调递增区间是(ln(2a),+oo)；(3)-co,1

【解析】

【分析】

⑴根据在点(0"(0))处的切线倾斜角为5,得到/'(。)=1，对“X)进行求导，再求解即可；

(2)对函数进行求导，对参数进行分类讨论，即可求得函数的单调区间；

⑶构造函数0(x)=/(x)+g(x)_%,将原式化为：对于任意xe[0,+oo),0()加恒成立，再利

用dNx+l进行适度放缩，从而判断0(x)的单调性，找到对应的参数范围即可.

【详解】⑴由题意知：f'(x)=ex-2a,

.•.r(0)=e°-2a=1-2