2023年全国甲卷高考文科数学试题解读及答案详解

2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）

适用省份

四川、广西、贵州、西藏

J试卷总评

2023年高考数学全国卷全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析

等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥出数学学科在

人才选拔中的重要作用。

一、题型与分值分布

题型：（1）单选题12道，每题5分共60分；（2）填空题4道，每题5分共20分；（3）解答题5

道，每题12分共60分；（4）选做题2道，每题10分。

二、题目难度和复杂度

难度级别具体试题总分值整体评价

★☆☆☆☆第1题、第2题、25分

第4题、第13题、

第15题

★★☆☆☆第3题、第5题、42分

第6题、第14题、整体试卷难度偏

第17题、第22题、易，整体复杂度

第23题不高，综合知识

★★★☆☆第7题、第8题、44分点大多都是2个

第9题、第10题、左右

第18题、第19题

★★★★☆第11题、第20题、29分

第21题

★★★★★第12题、第16题10分

三、知识点覆盖详细情况说明

知识点题型题目数量总分值整体评价

集合单选题1个15分

复数单选题1个15分

平面向量单选题1个15分

程序框图单选题1个15分主干知识考查

数列单选题1个210分全面，题目数

填空题1个量设置均衡；

三角函数单选题1个217分与课程标准保

解答题1个持了一致性。

概率与统计单选题1个217分

解答题1个

立体几何单选题1个322分

填空题1个

解答题1个

圆锥曲线单选题2个322分

解答题1个

函数与导数单选题2个427分

填空题1个

解答题1个

极坐标与参数方程选做题1个110分

不等式填空题1个215分

（线性规划问

题）

选做题1个

四、高考试卷命题探究

2023年高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，通过对阅读题的分析，可以发现今年的高考命题在

素材使用方面，对文字数量加以控制，阅读理解难度也有所降低；在抽象数学问题方面，力图设置合理的

思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题

要求层次与考生认知水平的契合与贴切。

一是创设现实生活情境。数学试题情境取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，具有现实意义，

具备研究价值。如第4题，取材于学校文艺活动，贴近考生，贴近生活，意在引导学生积极参加文艺活动，

全面发展。

二是设置科学研究情境。科学研究情境的设置不仅考查数学的必备知识和关键能力，而且引导考生树

立理想信念，热爱科学，为我国社会主义事业的建设作出贡献。如第19题，研究臭氧环境对小白鼠生长的

影响，将小白鼠随机分配到试验组和对照组，利用成对数据制成列联表，进行独立性检验。

2

五、高考复习建议

高考数学复习应突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，注重考查学科知识的综合应

用能力，在日常试题训练中应合理控制难度，力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接，促进考

教衔接，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效的学习。针对高三新一轮的复习，主要有以下几点

建议。

一是突出基础性要求。高考数学试卷在选择题和填空题部分均设置多个知识点，全面考查集合、复数、

平面向量、排列组合、三角函数的图像和性质、几何体的体积、直线和圆等内容，实现对基础知识的全方

位覆盖。同时，在解答题部分深入考查基础，集中体现在考查考生对基础知识、基本方法的深刻理解和融

会贯通的应用。如第5题，全面考查等差数列的概念与性质，以主干知识考查理性思维素养和运算求解能

力。如第13题，全面考查等比数列的概念与性质，以主干知识考查理性思维素养和运算求解能力。

二是彰显综合性要求。如第14题，是函数、三角函数的综合题，深入考查函数的奇偶性、三角函数的

奇偶性，可通过函数、三角函数奇偶性的定义求解。

三是体现创新性要求。如第12题，将三角函数的图像和直线方程相结合，考查两者交点的个数，展示

函数图象在解决问题过程中的重要作用。

2023年高考数学全国卷全面贯彻党的二十大报告精神，落实高考内容改革的要求，严格依据高中课程

标准，深化基础性和综合性，聚焦学科核心素养，精选试题情境，加强关键能力考查，促进学生提升科学

素养，引导全面发展，助推高中育人方式改革。

例|考情分析

题号分值题型考查内容考查点

15单选题集合有限集合中，求补集，求并集

25单选题复数复数的四则运算

35单选题平面向量平面向量坐标运算，向量的加、减法、数量积的

坐标运算，求向量的夹角

45单选题概率古典概率的概率公式，组合问题

55单选题等差数列等差数列的通项公式，前n项和公式

65单选题算法与程序框图程序框图模拟运行

75单选题圆锥曲线椭圆的焦点三角形面积公式

85单选题导函数导数的切线问题

95单选题圆锥曲线双曲线的离心率与渐近线的关系，圆心到直线的

距离及圆半径，求弦长

3

105单选题立体几何证明平面PEC找高，分割体积法求体积

115单选题函数指数函数的单调性及二次函数的性质，利用作差

法比较自变量的大小

125单选题三角函数与函数三角函数平移的性质，画图，判断三角函数与一

次函数交点数量

135填空题等比数列等比数列的前n项和公式，通项公式

145填空题函数与三角函数函数的奇偶性判断，三角函数的奇偶性

155填空题线性规划线性规划"截距”型最值问题

165填空题立体几何正方体的外接球、球的内接正方形

1712解答题三角函数(1)余弦定理；

(2)面积公式以及恒等变换.

1812解答题立体几何(1)线面、面面垂直问题

(2)体积问题

1912解答题概率与统计(1)直接根据均值定义求解；

(2)(i)列联表；

(ii)独立性检验的卡方计算进行检验

2012解答题函数与导数(1)判断单调性：

(2)隐零点问题

2112解答题圆锥曲线(1)求抛物线方程

(2)直线与抛物线相交，最值问题.

2210选做题极坐标与参数方程(1)直线参数方程的几何意义；

(2)直角坐标方程与极坐标方程的转化.

2310选做题不等式(1)解含参的绝对值不等式，分类讨论

(2)将绝对值函数写成分段函数，画草图，根据

面积列式，求参.

备考指津

1、强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效

的学习。

2、学生应认识到低效的学习方式只会带来无效的压力和负担，讲究备考复习时效性，不断巩固阶段性

复习成果。

4

3、合理控制试题难度，科学引导中学教学，力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接。

4、不管命题方向趋势如何，重视对基础概念的理解和掌握永远是最重要的。不论题型、题量、难度如

何，透彻、全面地理解基础概念，能够用最基础、朴素的方式使用基础概念分析解决问题是一切的基础，

是能做对所有送分的基础题的基础，是能着手分析难题的基础，也是未来学习大学的专业知识和高等知识

的基础。

5、不管命题方向趋势如何，逻辑分析推理能力也是非常重要的。现在的难题几乎根本不会出现非常套

路化、模板化的陈年旧题，总是在想方设法地推陈出新。就算有旧题型，往往也都是简单的题目，不需要

什么特殊的方法也能做出来。

等5真题解读

2023年高考全国甲卷数学（文）真题

一、单选题

1.设全集。={123,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则77°（加知）=（）

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}

【命题意图】

本题考察有限集合中，求补集，求并集，难度：容易

【答案】A

【详解】因为全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},所以={2,3,5},

又％={2,5},所以Nu（Cu"）={2,3,5}

【知识链接】

I、集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图等；

2、集合的类型：有限集、无限集：

3、根据元素的特征判断集合所表示的含义；

4、应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系及Venn图.

25（1+。

,（2+i）（2-i）-

A.—1B.1C.1—iD.1+i

【命题意图】

本题考察复数的四则运算，难度：容易

【答案】C

5

«、*以f、5(1+尸)5(l-i)

【详解】_V——Z_=_\_Z=i-i

(2+i)(2-i)5

【知识链接】

复数的四则运算

设zi=。+历,Z2=c+di(a也c,d6R),我们规定:

zi+z2=(q+0i)+(c+di)=(a+c)+(0+J)i;

Z2-zi=(c+di)・(a+〃i)=(c-〃)+(d-〃)i.

z卜Z2=m+/?i)(c+di)=(qc/刈+(〃0+〃力；

£1a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bdbc-ad

2222i(c+t/i/O).

Z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+d

3.已知向量a=(3,l),b=(2,2),则

1B.叵

A.cD

1717-f-¥

【命题意图】

本题考察平面向量坐标运算，向量的加、减法、数量积的坐标运算，求向量的夹角，难度：较易

【答案】B

【详解】因为a=(3,1),6=(2,2),所以a+0=(5,3),a-6=(l,—l),

则1+*6+32=后，卜/_6卜7171=&,(a+Z?).(a-/?)=5xl+3x(-l)=2,

(a+b).(a-Z?)2___V17

所以cos(a+8,a-〃)

〃+目卜-0-A/34X5/2-17'

【知识链接】

1、平面向量的坐标运算

设a=（x，yj，否=&，乂），则a+g=（%+W，y+必），0-^=（^-x2,y,-y2）

外。=（疝1，肛），Hlx；+yj.

2、平面向量的数量积

（1）定义:已知两个非零向量£与1,它们的夹角为8,则数量。•方・cos。叫作£与3的数量积（或内积）,

记作，即a・1=a•3・cos。.规

定零向量与任一向量的数量积为0,即。G=o

（2）向量的夹角

①定义:已知两个非零向量［和1，如右图，作殖=［，0B=a.则NAOB=8（0%ewl80。）

--ct'b

cos。=cos<a,b>=1J

叫作「与3的夹角，记作〈靛》.H-H

6

②当0=0。时，［与3同向；当8=180。时，「与否反向；当9=90。时，Z与各垂直

3、平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量々=(工］,%)，芯=(工2，%>。为向量〃与3的夹角，则

(1)=|tz|•|^|•cos0=x}x2+yxy2；

(2)COS。=cos<a^b>=r^T=I%也+产

棉M7•后K

4.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则

这2名学生来自不同年级的概率为()

【命题意图】

本题考察古典概率的概率公式，组合问题，难度：容易

【答案】D

【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C；=6件，其中这2名学

生来自不同年级的基本事件有C；C；=4,

所以这2名学牛.求自不同年级的概率为4;=：2.

63

【知识链接】

1、古典概型

具有以下特征的试验叫作古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称占典概型.

⑴有限性:样本空间的样本点只有有限个；

(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.

2、古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Q包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A

的概率尸依尸

nn(n)

其中,“(4)和〃(。)分别表示事件A和样本空间Q包含的样本点个数.

3、概率的性质

性质1:对任意的事件A,都有O<P(A)<1.

性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即尸(Q)=1,P(0)=O.

性质3:如果事件A与事件B互斥,那么尸(AU8)=P(A)+P(B).

性质4:如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=l-P(B).

性质5:如果AU8,那么尸(A)WP(8),由该性质可得，对于任意事件4,因为0UAUQ,所以gP(A)Wl.

性质6:设A.B是一个随机试验中的两个事件，有尸(AUB)=P(A)+P(B)孑(AC8).

4、排列与组合

名称定义

排列烈个个号M并按照一定的顺序排成一列，叫作从〃个元素中取出，〃个元素的一个排

取出皿用9)个兀

7

素歹lj

绢A

作为一组,叫作从〃个不同元素中取出"7个元素的一个组合

①从n个不同元素中取出皿〃区〃）个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列

数,用符号A霓表示.

②从“个不同元素中取出，"（，%〃）个元素的所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合

数,用符号C£表示.

5.记S,为等差数列｛q｝的前〃项和.若4+4=1。，44=45,则55=（）

A.25B.22C.20D.15

【命题意图】

本题考察等差数列的通项公式，前n项和公式，难度：较易

【答案】C

【详解】方法一：设等差数列｛见｝的公差为d，苜项为4,依题意可得，

/+4=4+4+q+5d=1。，即4+3d=5,又％&=（4+3d）（4+7d）=45,

5x4

解得：d=],a,=2,所以邑=54+-y-xd=5x2+10=20.

【知识链接】

等差数列的基本问题

1.定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，

这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母"表示，定义的表达式为研-斯=4

2.通项公式:如果等差数列｛斯｝的首项为0,公差为d,那么通项公式为

推导方法（累加法）:。”=（%-册|）+（如一1-斯-2）+…+（42-。1）+。1.

3.等差中项:如果aA,b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，且4=孚

4.前〃项和公式为S“=”0+誓d=巴/迎.推导方法:倒序相加法.

5.用函数观点认识等差数列:（1）m=血+30（类似于一次函数）;（2）5,=，72+弧_9〃（类似于常数项为零的二次

函数）.

6.执行下边的程序框图，则输出的8=（）

8

i

«区1

A.21B.34C.55D.89

【命题意图】

本题考察程序框图模拟运行，难度：较易

【答案】B

【详解】当左=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A=l+2=3,3=3+2=5,氏=1+1=2；

当k=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，4=3+5=8,5=8+5=13,々=2+1=3；

当&=3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A=8+13=21,8=21+13=34,火=3+1=4；

当％=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出5=34.

【知识链接】

1、程序框图基本概念：

程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算

法的图形。

2、构成程序框的图形符号及其作用

程序框名称功能

/\表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不

起止框

可少的。

X__________________

表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法

输入、输出框

中任何需要输入、输出的位置。

赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公

—

处理框式等分别写在不同的用以处理数据的处理框

内。

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明

判断框

“是”或“Y”：不成立时标明“否”或“N”。

9

3、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构

7.设耳,工为桶圆c：5+y2=i的两个焦点，点P在c上，若尸耳•尸片=0,则|尸/讣忸玛|=()

A.1B.2C.4D.5

【命题意图】

本题考察椭圆的焦点三角形面积公式，求出△PZ玛的面积，难度：一般

【答案】B

【详解】方法一：因为尸个尸g=0,所以%=90,

从而S小=〃tan45=i=^x\PFt\-\PF2\,所以归/讣归周=2.

方法二：

2

因为P%PE=0,所以NFqg=90,由椭圆方程可知，C=5-1=4^C=2,

所以「耳『+|尸周2=山鸟「=42=]6,又归川+|尸段=2"=2百，平方得：

归用2+|也『+2归用户用=16+2归用归周=20,所以仍用忖闾=2.

【知识链接】

1、椭圆的标准方程和几何性质

椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形的问题常利用椭圆的定义、正弦定

理和余弦定理.

22

在以椭圆0+匚=1(。乂＞0)上一点P(xo,y))(y/O)和焦点B(-c,0),B(c,0)为顶点的△尸中，若则

a2b2

10

(l)|PB|=a+exo,|P危|=止"。((焦半径公式,e为椭圆的离心率)JPQI+-人1=2。；

(2)4C2=|PFI|2+|PF2|2-2|PFI|-|PF2|'COS(9;

1n

(3)与「&七=初川『川sin相c|泗匚夕ta%当|如|=4即P为短轴端点时5Ap&Fz取得最大值最大值为be;

(4)焦点三角形的周长为2(a+c).

1

3、中线的向量公式：若P为线段AB的中点Q为平面内任一点，则而=-(6?+而).

2

8.曲线y=M在点(I，])处的切线方程为()

A.y=—xB.y=—xC.=-x+—D.y=-x+—

■424424

【命题意图】

本题考察导数的切线问题，难度：一般

【答案】C

【详解】设曲线y=三在点]总处的切线方程为=

AvvX

e,e(x+l)-eXQ,eeez

因为y=j，所以y=(尔所以上=yIE=5所以X_|

x+l(x+l)(x+1)424

所以曲线》=工在点处的切线方程为y=[x+；.

x+1<2J44

【知识链接】

求解过曲线外某点处的切线问题的步骤

第一步:设出切点坐标PUi/xi)).

第二步:写出过点P'(x就M))的切线方程y^xi)=f(A-i)(.r-xi).

第三步:将点P的坐标(私阿代入切线方程求出XL

第四步将.0的值代入方程月3)=F(M>(XR),可得过点P(xo,yo)的切线方程.

9.已知双曲线£-[=1(。>0/>0)的离心率为不，其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=l交于A,B两

a-b-

点，则|AB|=()

A.正B.孚「3石

L(-----口•竽

55

【命题意图】

本题考察双曲线的离心率与渐近线的关系，圆心到直线的距离及圆半径，求弦长，难度：一般

【答案】D

11

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

【详解】由e=5则4=之生=1+与=5,解得2=2,所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x,则圆

a~a-a

心(2,3)到渐近线的距离d=I2231

Vf?+"l=—5,

所以弦长IAB|=2J以-相=2

【知识链接】

1、圆的定义和圆的方程

定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）

标准方程(x-a)2+=,(r>0)圆心:（a力），半径:「

2

一般x+)?+Dx+Ey+F=0,圆心

方程即(x+：)2+(y+：)二口+：-竺(p2+E2_4F>0)半径）D2+E2-4F

2、直线被圆截得的弦长

弦心距状弦长/的一半?及圆的半径，•构成一直角三角形.且有百解+（粉二

3、双曲线的标准方程和几何性质

x2y2

标准方程---^1(^0,Z»0)l(a>0,b>0)

y\

图形

瓦-

范围迂a或RRj-W-a或)2“

对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点4(-4,0)工2(“,0)Ai(O,-a)A(OM

ba

渐近线V=V-V=v

性

质离心率,ed(l,+oo)，其中c=7dl+炉

线段44叫作双曲线的实轴,它的长1441=2a;线段BR叫作双曲线的虚轴，它的长网员|=

轴

2b.a叫作双曲线的实半轴长力叫作双曲线的虚半轴长

a,h,c

/=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

的关系

10.在三棱锥P-A8C中，ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=6，则该棱锥的体积为（）

A.1B.GC.2D.3

【命题意图】

本题考察证明AB1平面PEC找高，分割体积法求体积，难度：一般

【答案】A

【详解】取AB中点E,连接PECE,如图，

12

IABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,

:.PE1AB,CE1AB,又PE,CEu平面PEC,PE'CE=E,

.•.A3工平面PEC,

XP£=CE=2x—=>/3,PC=«,

2

故PC2=PE2+CE2,即PEICE,

所以V=%-PEC+匕-PEC=gs△.£C.AB=gxgxGxGx2=l

【知识链接】

一、直线与平面垂直

1.定义:如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，那么直线/与平面a垂直.

2.判定定理与性质定理

文字语言符号语言

判a,bua,

定一条直线与一个平面内的两条相交直

定aPlb=0,011a

理线都垂直，则该直线与此平面垂直11a,

11bJ

性

质垂直于同一个平面的两条直线平

定a1a,j

=a"b

理行blaJ

二、柱体、锥体、台体、球的表面积和体积

几何体表面积体枳

柱体（棱柱和圆柱）S表面积=5然+2s底V=S^h

锥体（棱锥和圆锥）S衣面枳=S侧+S底v=gs底h

台体（棱台和圆台）S表面枳=St*+S।+S卜一V=1(SI.+5T+JS}S下吊

球4nR23

5=V=_3-n/?

11.已知函数f(x)=e-"".记+,b=f+,c=f乎，贝！］()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

13

【命题意图】

本题考察指数函数的单调性及二次函数的性质，利用作差法比较自变量的大小，难度：较难

【答案】A

【详解】令g(X)=-(X-1)2,则g(x)开口向下,对称轴为X=l,

因为年一］-1一与=‘Ifo(V6+>/3)2-42=9+6\/2-16=6^-7>0,

而I'J61fi"+64y[6道

所以--1-1---=------------二>()，EP-——1>1--

212yl2222

由二次函数性质知g(乎)<g(乎)，因为乎闾=一产彳,而

（遥+⑸-4?=8+46-16=4百-8=4（百-2）<0,

即日一1<1一堂，所以g(日)>g(*),

综上，g冷<g冷<g(当，又丫=6”为增函数，故a<c<b

即人>c>a.

【知识链接】

1、比较大小的常用方法

(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.

(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.

2、指数函数的图象与性质

y=a”（a>0,且存1）

a>\0<«<1

图象在x轴上方，过定点(0,1)

特征二x逐渐增大时，图象逐渐上为,二上逐渐增大时,图象逐渐下作

定义域R

值域(0,+oo)

2单调性

单调递增单调递减

飞X=0时，y=\

函数值变

当x<0吐0勺<1;当x<0时,y>I;

化规律当x>0时,y>l|当*>0时,0<y<l

12.函数)，=〃x)的图象由y=cos(2x+向的图象向左平移看个单位长度得到，则y=/(x)的图象与直线

14

的交点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【命题意图】

本题考察三角函数平移的性质求得/(x)=-sin2x,再作出"(x)与y=的部分大致图像，考虑特殊点

处/(x)与丫=3*-3的大小关系，从而精确图像，难度：困难

【答案】C

【详解】因为丫=3(21+e)向左平移2个单位所得函数为尸3J兀[九-n].小

2x+—+—=cos2x+—=-sm2x,

I6J6I2)

所以/(x)=-sin2x,

【知识链接】

函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin®x+(p)(A>0,(o>0)的图象的步骤如下:

15

二、填空题

13.记S“为等比数列｛《,｝的前”项和.若8s6=7邑，则｛q｝的公比为.

【命题意图】

本题考察等比数列的前n项和的计算，先分析gxl,再由等比数列的前〃项和公式和平方差公式化简即可

求出公比难度：较易

【答案】

【详解】若4=1,贝岫8&=753得8,6q=7-3q,则q=0,不合题意.

所以4=1.当时，因为8s6=7S?,所以8.也二=

\-q\-q

即=即8.(1+/乂1一/)=7《—山),Bp8.[1+^)=7,解得g=_g.

【知识链接】

1、等比数列的有关概念

一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列.这个常

数叫作等比数列的公比，通常用字母q(q，O)表示，定义的表达式为陋1nqg#)).

an

2、等比数列的有关公式

(1).通项公式

(2).前n项和公式:Sn』a“i：3):

aaq

(1-q一

i-q

14.若f(x)=(x-l)2+ar+sin(x+])为偶函数，则°=

【命题意图】

本题考察函数的奇偶性判断，三角函数的奇偶性，难度：容易

【答案】2

【详解】y=x?+(a-2)x+l+cosx为偶函数，定义域为R,

16

根据偶+偶=偶，因为余弦函数y=cosx为偶，所以二次函数丁=/+1一2卜+1为偶

所以a-2=0=a=2

【知识链接】

1、函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

俚米知如果对于函数7U)的定义域内任意一个为都有关于y轴

倘国双大㈤成行，那么函数.小0就叫作偶函数对称

今求知如果对于函数的定义域内任意一个为都有关于原点

旬出数人7)=次》，那么函数4r)就叫作奇函数对称

2、函数奇偶性的几个重要结论

(1处)为奇函数=/)的图象关于原点对称於)为偶函数=/U)的图象关于了轴对称.

⑵如果函数心)是偶函数那么段)=加1).

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即/U)=O,xGR其中定义域D是关于原点对称的非空数集.

(4)奇函数在两个对称的单调区间上具有相同的单调性.偶函数在两个对称的单调区间上具有相反的单调性.

(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对

称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.

(6)设人外名⑷的定义域分别是。那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇，

奇乂奇=偶,偶+偶=偶,偶、偶=偶,奇、偶=奇.

(7)复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇.一偶则偶二

提醒:①(6)中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.

②判断分段函数的奇偶性应分别对每段函数证明次㈤与汽x)的关系，只有当各段上的内都满足相同关系时，才

能判断其奇偶性.

3x-2y43,

15.若x,y满足约束条件,-2x+3yW3,贝Uz=3x+2y的最大值为.

x+y>\,

【命题意图】

本题考察线性规划“截距”型问题，由约束条件作出可行域，求目标函数最值，难度：容易

【答案】15

【详解】作出可行域，如图，/

由图可知，当目标函数过点A时，z有最大值，寸\3/

227、\ZX+3E

(+尸1

17

f-2x+3y=3fx=3

由。°Q可得」,即A（3,3）,

[3x-2y=3[y=3

所以Za=3x3+2x3=15.

【知识链接】

1、线性规划问题

⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：

法一：取点定域法：

由于直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点的坐标代入士+By+C后所得的实数的符号相同.所以，在实

际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（后,%）（如原点），由-+8%+。的正负即可判断出

Ax+By+C>0（或<0）表示直线哪一侧的平面区域.

即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.

法二：根据Ax+5y+C>0（或<0）,观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，Ax+By+C>0（或

<0）表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.

⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共

部分.

⑶利用线性规划求目标函数z=Ar+By（A,B为常数）的最值：

法一：角点法：

如果目标函数z=Ax+为（X、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该

公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应Z值，最大的那个数为目标

函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值

法二：画——移——定——求：

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线4：矽=0,平移直线（据可行域，将

直线4）平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解（x,y）；笫四步，将最优解（x,y）代入目标函数

z=Ax+8量即可求出最大值或最小值.

第二步中最优解的确定方法：

Azz

利用Z的几何意义：y=-]X+1,五为直线的纵截距.

①若B>0,则使目标函数z=Ax+为所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距

最小的角点处，z取得最小值；

②若8<0,则使目标函数z=A