重庆市永川中学2023-2024学年高一年级上册半期考试数学模拟题四含解析

重庆市永川中学高2026届高一上期半期考试

数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.)

1.若全集°={123,4}且e"={1},则集合A的真子集共有()

A.3个B.5个C.7个D.8个

【答案】C

【解析】

【分析】先利用补集求得集合4进而得到真子集的个数.

【详解】解:因为全集。={1,2,3,4}且e4={1},

所以A={2,3,4},

所以集合A的真子集共有23-1=7，

故选：C

2.如图，阴影部分所表示的集合为()

A.B.

C.科(BeA)D.g(AS)

【答案】B

【解析】

【分析】先分析出阴影部分所在范围，再根据集合的交、并、补的意义即可得答案.

【详解】解：由题意可得，阴影部分不在集合A内，所以一定在为入内；

又因为阴影部分在集合8内，

所以阴影部分所表示的集合为(2A)c3.

故选：B.

3.已知/(%)是定义在可上的函数，那么""％)在［a,b］上单调递减”是“函数/(%)在［a,b］上的最小

值为/e)”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的单调性与最值的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由函数〃%)在［a,可上单调递减，则函数“力在［a,句上的最小值为/(%)1111n=/(竹，

所以充分性成立；

反之：函数/(%)在可上的最小值为了(与，但函数"%)在句上不一定为单调递减函数，所以必

要性不成立，

所以函数九)在［a,可上单调递减是/(%)在［a,句上单调递减的充分不必要条件.

故选：A.

4.下列函数中，值域为［1,+刈的是()

A.y=y/x-1+2xB.y―-

x+1

2尤1

C.y=-......(x>0)D.y=x——+1(%>1)

x+1x

【答案】D

【解析】

分析】分别利用换元，分离常数，上下同除结合基本不等式，函数单调性求解各选项对应函数值域即可

得答案.

【详解】A选项，令GTqO*=l+〃，则y=2『+/+2=2"+；)+?,

则函数y=2产+/+2在［0,+。)上单调递增，则y=口万+2%22,故A错误；

B选项，y==----------=1——则故B错误；

X+1X+1X+1

2x212

V—-----=-----------I1］

C选项，因X>O,则y>0,又注意到.x2+lV上1C「万，当且仅当x=—nx=l时取

x2f--x

等号,

2Y

则丁=〒彳6(0,1],故C错误.

JC十J.

D选项，注意到函数y=x+l,y=-L均在[1,+8)上单调递增，则了=*—工+121,故D正确.

XX

故选：D

5.已知函数/(2x—l)=4x+3,且/Q)=6,则f=()

illl

A.-B.-C.-D.一

2345

【答案】A

【解析】

【分析】由换元法求出函数f(x)的解析式，令函数值为6,解出/值即可.

【详解】令2x—1=〃，则》=整，

2

由/(2x—l)=4x+3,

可得/(M)=4X-^+3=2ZZ+5,

贝Uf(t)=2t+5=6,

解得%=L

2

故选：A.

【点睛】本题考查函数解析式的求法，属于基础题.

6.函数y=x—5在(_],+8)上单调递增，则a的取值范围是()

X—CL—2

A.a=—3B.a<3

C.aW—3D.—3

【答案】C

【解析】

ct—3a—3<0

【分析】分离参数可得y=l+-------,根据反比例函数的单调性可得〈,解不等式即可的结

x-a-2[a+2<-l

果.

X—5a—3

【详解】y=-------=1+-------由函数在(一1,+8)上单调递增，

x-ct—2x—a—2

I,3■0

有''解得aW—3,故选C.

hl2W—1,

【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确

定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间可上是单调的，则该函数在此区

间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式/'(x)WO或/'(力20恒成立问题求参数范围.

7.已知必＞0,M4«2-ab+b2-c=Q＞当工取最小值时，a+2Z?-c的最大值为()

ab

7131925

A.—B.—C.—D.—

6121824

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式得到6=2。时，£取最小值，此时消元得到a+2Z?-c=-6a2+5a，配方得到

ab

最大值；

【详解】因为4a2—"+/—c=0，所以。=4/,

“2c4a2-ab+b24ab八八4ab1「

ababba\ba

4〃h

当且仅当上=—,即b=2a时等号成立，

ba

所以a+2)-c=a+2x2a-J4a2-ax2a+(2a)-=-6a2+5a

525

当。=一时，a+2b—c取得最大值，最大值为一.

1224

故选：D.

8.已知定义在R上的奇函数y=/(x),当X20时，f(x)^\x-a2\-a2,若对任意实数尤有

/(X-a)守(尤)成立，则正数。的取值范围为()

A.『,+臼B,+=0)C.(0,1]D.(0,£

【答案】C

【解析】

【分析】由于/(%)=卜一片卜片有绝对值，分情况考虑和％＜/,再由y=/(x)是奇函数画出图

象，再根据于(x-。)可(x)考虑图象平移结合图形可得答案.

【详解】由题得，当时，/(%)=|%-«2|-«2,故写成分段函数

-X+Cli-x,0<x<a2

f(x)=<222化间得f(X)=<

x—a—a，尤〉〃x-2ca2,x>、a2

又y=/(x)为奇函数，故可画出图像:

又/(%-〃)可看出y=/(x)往右平移。个单位可得，若了(尤-。)守(x)恒成立，贝"22a?-2〃)，即

府又"为正数’故解得

故选：C.

【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.

二.多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符

合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.)

9.下列说法正确的是()

A.集合Af={-2,3x2+3x-4>x2+x-4},若则％=-2或x=l

B.设全集为R,若403,则翻三RA

C.集合{乂x=3〃+1,〃£Z}={乂x=3〃-2,〃£Z}

D.“x和y都是无理数”是“％+y是无理数”的必要不充分条件

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A：由2e〃，得出3/+3x—4或f+x—4等于2,分别求解，然后验证互异性即可判

断为错；对于B：由集合间的包含关系和补集的概念判断正确；对于C：令集合｛x[x=3"-2,"eZ｝中

的〃=G+l#eZ,即可判定为正确；对于D,取特值即可判定为错误.

【详解】对于A：由2eM,

若3x2+3x—4=2=>为2+%—2=0=>x=—2或1，

当x=l时，必+x—4=一2不满足互异性，舍去，当天=—2时，％2+%_4=—2,不满足互异性，舍

去;

若X+x—4=2=>%2+%—6=0=>%=—3或2,

当x=2时，3%2+3x-4=14合题意，当％=—3时，3x2+3%-4=14，合题意,

故1=—3或2,A错误；

对于B：若AgB,则野口RA,B正确；

对于C：令集合{乂X=3"-2,〃eZ}中的力=左+1,左eZ,得

{x|x=3“一2,"eZ}={尤［x=3左+1,左eZ}={X尤=3"+1,“eZ},故C正确；

对于D：户后片-白今彳+股。不是无理数，若x+y=6+1为无理数，可取％=6,y=1,x和y不

都是无理数，故"x和>都是无理数”是“％+丁是无理数”的既不充分也不必要条件，故D错.

故选：BC.

10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数

jlx为有理数

/(%)=54上田.，称为狄利克雷函数，则关于/(%),下列说法正确的是()

0,尤为无理数

A."%)的值域为［0』B./(%)的定义域为R

C.VXGR,/(/(%))=1D./(%)为偶函数

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据函数解析式结合函数定义域、值域和奇偶性逐一判断即可.

fl尤为有理数

【详解】因为函数/"(>)=：»工丁用蛇，所以函数的定义域为R，值域为{0,1},故A错误，B正

0,x为无理数

确；

因为/(x)=0或/(x)=l且0与1均为有理数，所以/(/(力)=/(。)=1或==故

C正确；

函数上加［：巧詈3］：叱?黑故山)为偶函数，D正确.

［0,-x为无理数［0,x为无理数

故选：BCD

11.函数=/c、，且/■(ah/XaH/aXavbvc),则()

J—

A./(%)的值域为［0,+")B.不等式/(x)21的解集为(—8,0］

Ca+b=2D.a+b+ce[6,7)

【答案】CD

【解析】

【分析】作出函数y=/(x)的图像，即可看出函数的值域；求出/(九)=1时的解，即可根据图像写出不

等式的解集；令=/仅)=/(c)=心根据函数的零点即可求出零点的关系和取值范围，从

而判断各选项的正误.

【详解】解：作出函数y=/(x)的图像如下图所示：

当/(九)=1时，有|无一1|=1或5—尤=1,解得玉=0,x2=2,x3=4,

所以，不等式/(x)21的解集为(―,0]u[2,4],B选项错误；

令/(a)=/(〃)=/(c)=f(a<〃<c),由图可知。，6关于1=1对称，

所以*=1,即。+/,=2,C选项正确；

2

因为有三个零点，所以ce[4,5),而a+Z?=2,

所以a+/?+ce[6,7),D选项正确；

故选：CD.

12.已知正数满足。+2/?=2"，则下列说法一定正确的是()

A.a+2b>4B.a+b>A

22

C.ab>2D.a+4b>S

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知等式可得，+£■=1,由a+2/?=(〃+26)(一■H——|,〃+/?=(〃+/?)(—H——|,结合基

本不等式可知AB正误；利用基本不等式可直接验证CD正误.

【详解】由〃>0,b>0,a+2b=2ab得:—I----=1；

a2b

对于A,a+2b=（a+2b）[-+—]=2+—+—>2+2l---=4（当且仅当且=生，即

2bJ2ba\2ba2ba

a=2,b=l时取等号），A正确；

对于B,a+b=（a+b）[-+^-]=-+—+->-+2^^-=-+yf2（当且仅当乌=々，即

\\a2b）22ba2\2ba22ba

1+V|B错误；

22

对于C,a+2匕22亿F（当且仅当a=25,即a=2,Z?=l时取等号），

2ab>2y/2^b，解得：ab>2（当且仅当a=2,沙=1时取等号），C正确；

22

对于D,a+4b>4ab（当且仅当a=2b,即a=2,3=1时取等号），

由C知：ab>2（当且仅当a=2,5=1时取等号），

：,cr+4b->8（当且仅当a=2,b=l时取等号），D正确.

故选：ACD.

三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）

13.己知函数y=/（3x—2）的定义域为[―2,3],则函数y=的定义域为.

【答案】（-5,7]

【解析】

【分析】先根据y=/（3x-2）的定义域求出y=/（x）的定义域，结合解析式的特征可得答案.

【详解】因为y=/（3x—2）的定义域为[―2,3],所以3x-2«-8,7],即y=/（x）的定义域[―8,7]；

因为1+5>0,所以尤>—5,所以y=的定义域为（一5,7].

，冗+5

故答案为：（-5,7].

++1xK0

14.已知函数/'（x）={2'一，满足/（/（a））=T的。的值为________.

-X",x>0

【答案】0或一2

【解析】

【分析】根据题意，由分段函数解析式可得/(。)=1,则/(a)=(a+1)2=1,然后代入计算，即可得到

结果.

【详解】因为函数/'(x)=［x：2"+1,”40,

当xVO时，/(%)=x2+2x+l=(x+l)2>0,

当尤>0时，f(x)=—x2<0,

若f(f(a))=-l,必有/(a)>0,则“/1(©)=—Ra)］、-!,解得/(a)=l,

若=必有aW0,则/(a)=(a+iy=1,解得a=-2或a=0.

故答案为：0或—2

15.已知幕函数/(%)=(1+3加—9)x"i在(0,+oo)上是减函数，meR.若(2-“向〉(2”一1向，

则实数。的取值范围为

【答案】(1,2)

【解析】

11

【分析】根据幕函数的定义与单调性得加的值，从而可得不等式为(2-a)%〉(2a-1)。，设函数

1

g(%)=3］，结合幕函数的性质列不等式即可得实数。的取值范围•

【详解】由函数/(九)="+3机—9)产1为募函数得病+3加—9=1，解得加=2或机=—5,又

函数在(0,+8)上是减函数，则加一1<0,即机<1,

所以机=—5,所以/("=%-6=二；

X

11

所以不等式为(2-a”〉(2a-1尹，

设函数g(x)=H，则函数g(x)的定义域为(0,+。)，且函数g(x)在(0,+。)上单调递减，

2-a>0

所以2a-1〉0,解得1<”2,所以实数。的取值范围是(1,2).

2—a<2〃—1

故答案为：(1,2).

16.已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①X/xeR,/(-%)=/(%)；②

V^,x2e(O,4w),当玉片/时，都有‘(/)―/(%)>o；③/(—1)=0.则下列命题成立的是

x2-x1

⑴"3)<〃T

(2)若/(加一1)</(2),贝！1772G(—,3)

(3)若^^〉0，贝i|xe(—l,0)U(L+co)

X

(4)VxeR,mMeR，使得

【答案】⑴⑶(4)

【解析】

【分析】根据函数的单调性、奇偶性对命题进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由条件①得八％)是偶函数，条件②得了(%)在(0,+。)上单调递增,

所以〃3)</(4)=/(T),故⑴对,

若“加―1)</(2),则忸一1|<2,得—1〈根<3,故⑵错,

若/(司〉0x>0fx<0

石----->U,或4

Xy（x）>o1[f（x）<o

因为/(T)=/(l)=。，所以尤>1或一1(尤<0,故(3)正确.

因为定义在R上函数/(%)的图象是连续不断的，且在(0,+")上单调递增,

所以/(XU=〃°)，所以对VxeR,只需MW"0)即可，故(4)正确.

故答案为：⑴(3)(4)

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.分别计算下面两题

1

1

+2-73

【答案】(1),

a

(2)7

【解析】

【分析】利用根式转化为分数指数塞，以及分数指数幕的运算方法，即可化简;

【小问1详解】

_i_i_

n3b2.2.〃3-----——[1

京式=15=a3260236=qT=-.

1-(2

a6-b6

【小问2详解】

原式=+2+

=—x9—A/3+1+2+y/3=7.

18.已知/[L+l]=e—1

IxJx

(1)求函数的解析式；

(2)若g(x)是定义在R上的奇函数，且xwo时，g(x)=/(x)-x3-%2+2x,求函数g(x)的解析

式；

(1—2九2、1

(3)求关于x的不等式g------<--g(x).

\xJ8

【答案】(1)/(X)=X2-2X(X^1)

(2)g(x)=-x3,xeR

(3)^^或0<%〈

3

【解析】

【分析】(1)利用凑配法，求函数的解析式；

(2)设x>0,则—九<0,再利用函数的奇函数，求函数的解析式;

-tr\2

(3)首先不等式变形为g<--<?(%)=.?--x,再利用函数单调递减，解不等式.

、XJ8\L)

【小问1详解】

/(工+1]=；1=卜11—2卜1],令r=(+l,twl,

：.f(t)=t2-2t,即函数八％)的解析式为：/(X)=X2-2X(X^1).

【小问2详解】

当尤40时，g(X)=/(X)-X3-X2+2x=-x3,且g(x)为R上的奇函数.

.,.当x>0时，_1<0,g(x)=_g(-x)=_[_(-x)〔=_x3

二函数g(%)的解析式为:g(x)=-x3,xeR

【小问3详解】

由g----«_7g(x)=g|且g(x)R上单调递减

、xJ8\2/

,C,,l-2x212-3x2

••-----1—x------->0

x2x22x

2x(3x2-2)40且%w0

不等式的解集为<XX<—g或0<x<，［

19.某种出口产品的关税税率为7,市场价格”单位：千元)与市场供应量。(单位：万件)之间近似满足关

系式：〃=2(-成x-4,其中左/均为常数.当关税税率,=75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量

约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件.

(1)试确定左涉的值.

(2)市场需求量4(单位：万件)与市场价格》(单位：千元)近似满足关系式：q=t：当P=4时，市场

价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.

【答案】(1)k=l,b=5；(2)500%.

【解析】

【分析】(1)将关税税率f=75%,市场价格x=5代入p=2(-H)e4中，列出关于左与b的方程组求

解；

(2)利用2=4,将，表示成关于x的函数，然后确定r的最大值.

【详解】⑴由已知得：

2

1=2(L)(5的J1—0.75左)(5—0)2=0

2=2(「°-75*乂7⑹2，寸10_0.754)(7-Z?)2=1

解得b=5,k=\.

(2)当Q=4时，9~)*5)2=z*,

x1

所以(1T)(%_5)2=_X,则/=+(^7=1+至_o

X

设/(x)=x+上25，则/(无)在(0,4]上单调递减，

所以当x=4时，/\有最小值4亍1，

故当x=4时，关税税率的最大值为500%.

【点睛】本题考查函数实际应用问题，考查学生分析问题、处理问题的能力，数学建模的能力，难度

一般.解答时，要灵活运用题目所给条件，建立函数模型然后求解.

20.已知函数/⑺满足/(x+y)=/(x)+/(y)—l(x,ywR),当中y时，/⑴-/⑴成立,且

x-y

/⑴=2.

(1)求/(0)，并证明函数g(x)=/(x)T的奇偶性;

(2)当xe[0,9],不等式/(x)+/(根—2五)43恒成立，求实数9的取值范围.

【答案】(1)/(0)=1,证明见解析；

(2)m<—2.

【解析】

【分析】⑴令x=y=o,可得/(o)=i,令丁=一"/(%)+/(-%)=2,从而即可证明；

(2)由已知条件，可得/(幻为增函数，又原不等式等价于/'(x+根-恒成立，贝u

x-2«+根<1在xe[0,9]上恒成立，令gt，分离参数机即可求解.

【小问1详解】

解：令x=y=0,可得/(0)=1,

令,=_%,则/(x—x)=/(%)+/(r)T,所以/(x)+/(-x)=2,

所以g(r)+g(x)=/(x)T+/(r)T=O,

所以g(x)为奇函数；

【小问2详解】

解：/(x)+/(m-2^)<3,即/(x)+/(w—2&)—1K2,

所以/1+根_2&)</(1),

又当XXy时，"‘)一"」)〉0成立,所以Ax)为增函数,

x-y

所以x-2G+机＜1在xe[0,9]上恒成立,

令G=t,可得1—7〃2产-2/在te[0,3]上恒成立，

又＞=产—2八Ze[0,3],所以当/=3时，(『—2。=3,

所以1一根23,即根V-2.

21.已知函数八％)的定义域是[1,2],值域是1,3

g(x)=〃x)-总,

//(%)=^ax2-(a+2)x+2(aeR),g(x)的定义域和值域分别为A,B,可尤)的定义域为M.

(1)求A,B；

(2)若“xwA3”是的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

QQ

【答案】(1)A=[l,2],B=

(2)[2,+oo)

【解析】

【分析】⑴通过函数〃％)的定义域即可直接得到g(x)的定义域，通过求g(x)的单调性即可求出其值

域；

(2)先求出AC8的范围，推出可龙)的定义域为M所包含的区间，通过对a的分类讨论，求出各种情况

下的网力定义域，看是否包含AC8，即可求出实数。的取值范围.

【小问1详解】

由题意在函数/(%)中，定义域是[1,2],值域是1,3

；，3

-小J-)e31.3

在g(x)=/(x)-/亍中,

定义域为A=[1，W，

设"％)=根£—,3,h(m\=m---,

3m

设，机2£一，3且叫〈生

/z(叫)-〃(叫)=叫-----rn2H------=叫-m2H-------------=叫-啊+—=(叫-叫)1H---------<0

仍叫m2mlm1m2(m1m2J

・・・函数/z(加)单调递增

QQ

g(x)的值域为8=-J,J

【小问2详解】

~88-

由题意及(1)得A=[l,2],B=,

5=[1,2]

在/z(x)="犬-(a+2)x+2(aeR)中,人(龙)的定义域为M

V44xeA|3”是“兀€河”的充分不必要条件

“x目1,2]”是“％eM”的充分不必要条件

.•"(%)的定义域包括[1,2]

当。=0时，h(x)=J-2x+2,—2x+2>0,解得：x<l,不符题意，舍去

当a/0时，A(x)=yjax2-(a+