结构力学位移法

关于结构力学位移法要求：熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物理意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。

熟记一些常用的形常数和载常数。

掌握利用对称性简化计算。掌握荷载作用下超静定结构的计算，

位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和直接平衡方程法。第2页,共82页，2024年2月25日，星期天

满足基本假设的几何不变体系在一定外因作用下内力和位移的物理关系是一一对应的；力满足平衡条件；位移满足协调条件。

当以多余未知力为基本未知量作为突破口时采取的方法就是力法；当以某些结点位移作为基本未知量作为突破口时采取的方法就是位移法。超静定结构计算的总原则：欲求超静定结构先取一个基本体系，然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。超静定结构计算第3页,共82页，2024年2月25日，星期天●

位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种：

以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移——力法。第二种：

以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力——位移法。结构在外因作用下产生内力变形内力与变形间存在关系第4页,共82页，2024年2月25日，星期天第一节位移法的基本概念●

位移法是以结点的位移作为的未知量的。●位移法是以力法作为基础的。下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。

结点位移与杆端位移分析

BD伸长：DA伸长：

DC伸长：

杆端位移分析由材料力学可知：杆端力与杆端位移的关系D结点有一向下的位移FPABCD45o45o第5页,共82页，2024年2月25日，星期天建立力的平衡方程由方程解得：

位移法方程把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力：由结点平衡：

第6页,共82页，2024年2月25日，星期天③由结点平衡或截面平衡，建立方程；

⑤结点位移回代，得到杆端力。总结一下位移法解题的步骤：①确定结点位移的数量；②写出杆端力与杆端位移的关系式；

④解方程，得到结点位移；第7页,共82页，2024年2月25日，星期天位移法未知量的确定

●

位移法是以结点的位移作为的未知量的。●

结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点

●

杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。

●

为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形，B结点只有B结点有一个转角和水平位移ABCABC例1：例2：第8页,共82页，2024年2月25日，星期天例3：

有四个刚结点E、F、D、C，由于忽略轴向变形，此四点的竖向位移均零，因此该结构的未知量为：例4：

有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形，B、C点的竖向位移为零，B、C点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：结论：

刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。第9页,共82页，2024年2月25日，星期天

有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形及B、C点的约束，B、C点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未知量为：

桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个结点有两个线位移。该结构的未知量为：

ABCD例5：ABCD例6：第10页,共82页，2024年2月25日，星期天

排架结构，有两个铰结点A、B，由于忽略轴向变形，A、B两点的竖向位移为零，A、B两点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：

EA=∞ABCD例7：

EA=∞ABCDEFG例8：

第11页,共82页，2024年2月25日，星期天该题的未知量为

对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。ABCDEABCDE例9：第12页,共82页，2024年2月25日，星期天

刚架在均布荷载作用下，产生如图曲线所示的变形。第二节等截面直杆的转角位移方程

刚结点B处：两杆杆端都发生了角位移；杆长为：L未知量为：qABCEIEIqBCEI对于BC杆：其变形及受力情况与：一根一端固定一端铰结的单跨超静定梁，在均布荷载q以及在固定端B处有一角位移作用下的情况相同，其杆端力可以用力法求解。BC杆第13页,共82页，2024年2月25日，星期天

对于BA杆：其变形与受力情况相当于：一根两端固定的单跨超静定梁，在B端发生了角位移的结果,其杆端力也可以用力法求解。

结论：在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。BABA杆为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。第14页,共82页，2024年2月25日，星期天剪力与轴力的规定没变。

正弯矩：对杆端是顺时针转的，对结点是逆时针转的。

下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。弯矩的正负规定：绕杆端顺时针旋转为正，逆时针旋转为负，但对结点与支座，逆时针旋转为正。转角和侧移都是以顺时针为正。第15页,共82页，2024年2月25日，星期天如下图所示，两端固定的杆AB,发生如图所示的支座位移，求杆AB的杆端弯矩。MBAMABBA杆端力和杆端位移的正负规定：①杆端转角θA

、θB位移Δ，都以顺时针为正。

②杆端弯矩都以顺时针为正。三次超静定结构，只能用力法求解，需解除三个约束。第16页,共82页，2024年2月25日，星期天1、确定基本体系2、确定基本方程第17页,共82页，2024年2月25日，星期天3、确定系数与自由项第18页,共82页，2024年2月25日，星期天4、解方程，求杆端弯矩第19页,共82页，2024年2月25日，星期天第20页,共82页，2024年2月25日，星期天几种不同远端支座的刚度方程（1）远端为固定支座由于θB=0带入方程(a)中得(a)第21页,共82页，2024年2月25日，星期天（2）远端为活动支座(a)由于MBA=0带入方程(a)中得第22页,共82页，2024年2月25日，星期天（3）远端为滑动支座(a)由于,带入方程(b)中得(b)第23页,共82页，2024年2月25日，星期天由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i－i0第24页,共82页，2024年2月25日，星期天由荷载求固端反力固端弯矩与固端剪力：不同杆件在荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力。因为它们是只与荷载形式有关的常数，故又称为载常数注：1）可在载常数表中查到，（此表由力法计算得到）2）三类杆件：两端固定的梁

一端固定、另一端简支的梁

一端固定、另一端滑动支撑的梁3）固端弯矩与固端剪力均以顺时针为正。第25页,共82页，2024年2月25日，星期天单跨超静定梁简图ABqPabbABqABqabABPABPab由外荷载单独作用引起的杆端力称为载常数。第26页,共82页，2024年2月25日，星期天在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：第27页,共82页，2024年2月25日，星期天两端固定单元杆端弯矩表达式：此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有已知支座转角的固定端。第28页,共82页，2024年2月25日，星期天一端固定一端铰结单元杆端弯矩表达式：此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有已知支座转角的固定端。此铰接一般指结构内部杆与杆之间的铰结和与基础连接的铰支端。第29页,共82页，2024年2月25日，星期天一端固定一端滑动单元杆端弯矩表达式：此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有已知支座转角的固定端。此滑动端一般指结构内部杆与杆之间的滑动连接和与基础连接的滑动端。第30页,共82页，2024年2月25日，星期天杆长为：L

BA杆BC杆1.确定未知量未知量为:2.写出杆端力的表达式3.建立位移法方程取B结点，由,得:……①AEIBCEIq第31页,共82页，2024年2月25日，星期天4.解方程，得:5.把结点位移回代，得杆端弯矩6.画弯矩图qL28qL214qL228ABCM图

第32页,共82页，2024年2月25日，星期天先化整为零，再集零为整通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每个杆件由于杆件的形常数和载常数的基础上确立杆端位移和杆端力的关系；通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系位移协调和部件平衡条件建立关于结点的平衡方程;解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。第33页,共82页，2024年2月25日，星期天ll↓↓↓↓↓↓qEI=常数ABCβAθAF1F1=0F1Pql2/12ql2/12ABCθAF11ql2/12F1P施加约束锁住结点，将结构变为两根超静定杆，求荷载作用的弯矩图。人为施加力偶，使结点产生角位移，求单杆弯矩图。qABC↓↓↓↓↓↓qABC↓↓↓↓↓↓位移法计算思路的引入第34页,共82页，2024年2月25日，星期天ABCql2/245ql2/48ql2/48qABCR1Pql2/12ql2/12ABCF11因此，位移法分析中应解决的问题是:①确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。②确定结构独立的结点位移。③建立求解结点位移的位移法方程.

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓第35页,共82页，2024年2月25日，星期天第三节确定独立结点位移结构的结点位移独立结点线位移独立结点角位移

确定未知量总原则：在原结构的结点上逐渐增加附加约束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁为止。未知量个数要最少。

独立角位移个数等于位移未知的刚结点个数；独立结点线位移个数等于结构铰化后为使铰结体系几何不变所要加的最少链杆数。

在结点上施加附加约束以消除独立位移即得位移法的基本结构，对应独立角位移处施加限制转动的刚臂；对应独立线位移处施加限制平移的链杆支座。第36页,共82页，2024年2月25日，星期天第三节确定独立结点位移刚架在荷载作用下结构发生了变形，结点C、D发生了转动和移动。为了阻止结点移动，在结点D(或结点C)上加一附加链杆(其作用是阻止结点线位移而不限制结点转动)。在原结构上，凡属各杆互相刚结的结点(包括组合结点)，都应加入一附加刚臂，而全铰结点不需附加刚臂，故只需清点刚结点的数目。位移法的基本结构是单跨梁系第37页,共82页，2024年2月25日，星期天第三节确定独立结点位移

刚架铰化以判断加附加链杆的个数刚架变成铰结体系，该体系需增加两根链杆才能组成几何不变体系。原结构加上这两个链杆后各结点就不能移动了.第38页,共82页，2024年2月25日，星期天第三节确定独立结点位移

寻找刚架刚结点数以判断加附加刚臂的个数在结点线位移固定的情况下，刚架各刚结点上附加刚臂后就形成单跨梁系的基本结构了。第39页,共82页，2024年2月25日，星期天第三节确定独立结点位移

寻找刚架刚结点数以判断加附加刚臂的个数为了得到基本结构，有些情况并不需要把所有结点都变成不动结点。如图(a)所示结构中，对联结CD与DE杆而言，结点D为刚结点，也有转角位移。又如图(b)所示结构中，EF附属部分为一静定简支梁。

第40页,共82页，2024年2月25日，星期天第三节确定独立结点位移【例题】确定所示结构的位移法基本结构。【解】在结点F加一个附加链杆，这时结点F不能移动。F、B二结点不移动，结点E也就不移动了。E、A二结点不移动，结点D也就不移动了。可见，只要加一个支杆，一排结点就都不移动了，不管梁是水平的，还是斜的。在刚结点D、E处加入二个附加刚臂。位移法基本结构如图示。第41页,共82页，2024年2月25日，星期天第三节确定独立结点位移【例题】确定所示结构的位移法基本结构。【解】化为铰结体系(未画出)不难看出，需加入两根附加支杆才能使其形成几何不变体系。在刚结点B、C、D处加入三个附加刚臂。位移法基本结构如图示。第42页,共82页，2024年2月25日，星期天第三节确定独立结点位移【例题】确定所示结构的位移法基本结构。【解】该结构为一阶形梁，若用位移法计算，应将变截面处取为一个结点。铰结体系如图(b)所示，容易看出结点C能上下移动，需加入一附加支杆(图(c))。此外，还应在结点C处加入一附加刚臂。位移法基本结构如图(d)所示。第43页,共82页，2024年2月25日，星期天第四节建立位移法基本方程用位移法计算图(a)所示刚架时，首先要将其变为位移法基本结构。1.典型方程法由于原结构只有结点B能转动，故需在结点B上加一刚臂1，以阻止其转动。第44页,共82页，2024年2月25日，星期天第四节建立位移法基本方程修改的结构变成了两个两端固定梁BA和BC组成的位移法基本结构。1.典型方程法基本结构与原结构的差别表现为：无转角，给结点施加了一个反力矩。欲消除其差别，需将刚臂1即结点B转动一个应有的即实际的角度Z。第45页,共82页，2024年2月25日，星期天第四节建立位移法基本方程刚臂转到应有角度时，结构恢复了附加刚臂前的自然状态，去掉刚臂，也会停留在原处，而不会再转动，即使不去掉刚臂，刚臂也不会起作用，即此时刚臂的反力矩R1=0由原结构变为基本结构，再由基本结构恢复为原结构的过程为：先加刚臂，固定结点后，加上荷载，此时刚臂产生反力矩。然后，转动刚臂，放松结点。转动一点，刚臂的反力矩就减少一点，转动到应有位置时，刚臂的反力矩就变为零了。1.典型方程法

结构受两种作用，由叠加原理可分解为结点位移和杆中荷载两种情况。只有外力作用而无转角Z1的影响的杆和只有杆端位移影响的杆。可用形常数和载常数求得。第46页,共82页，2024年2月25日，星期天1.典型方程法FPEI=常数ABCFP基本体系基本方程基本未知量基本结构与原结构有两点区别：消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零。

原结构在外因作用下有结点位移，而基本结构在外因作用下是无结点位移的；

原结构无附加约束，而基本结构有附加约束。第四节建立位移法基本方程第47页,共82页，2024年2月25日，星期天1.典型方程法FPEI=常数ABCFP基本体系基本方程基本未知量R1是基本体系在结点位移Z1和荷载共同作用下产生的附加约束中的反力（矩），按叠加原理R1等于各个因素分别作用时产生的附加约束中的反力（矩）之和。于是得到位移法典型方程：第四节建立位移法基本方程第48页,共82页，2024年2月25日，星期天1.典型方程法根据线弹性体系的叠加原理可知：约束位移和外因共同作用下基本结构附加约束上产生的总反力等于零。以上各量可由形常数和载常数利用隔离体平衡求得。kij

是与外因无关的反力影响系数，是基本结构的特性。RiP是与基本结构的广义荷载反力。第四节建立位移法基本方程第49页,共82页，2024年2月25日，星期天1.典型方程法注意：

①位移法方程的物理意义：基本体系在荷载等外因和各结点位移共同作用下产生的附加约束中的反力（矩）等于零。实质上是原结构应满足的平衡条件。

②位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的反力（矩）。其中：RiP表示基本体系在荷载作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）,称为自由项。kijZj

表示基本体系在Zj作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）；第四节建立位移法基本方程第50页,共82页，2024年2月25日，星期天1.典型方程法③主系数kii表示基本体系在Zi

=1作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）,kii恒大于零；④付系数kij表示基本体系在Zj

=1作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）；根据反力互等定理有kij=kji

，付系数可大于零、等于零或小于零。⑤由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程，而位移法方程是平衡条件，所以位移法校核的重点是平衡条件（刚结点的力矩平衡和截面的投影平衡）。第四节建立位移法基本方程第51页,共82页，2024年2月25日，星期天等截面直杆的转角位移方程：各种因素共同作用下杆端弯矩的表达式称为转角位移方程。①两端固定梁转角位移方程：q2.直接平衡法第52页,共82页，2024年2月25日，星期天②一端固定一端铰支梁转角位移方程：①两端固定梁转角位移方程：2.直接平衡法第四节建立位移法基本方程q第53页,共82页，2024年2月25日，星期天54/98②一端固定一端铰支梁转角位移方程：③一端固定一端定向支承梁转角位移方程：q④已知杆端弯矩，可由杆件的矩平衡方程求出剪力：2.直接平衡法①两端固定梁转角位移方程：第四节建立位移法基本方程第54页,共82页，2024年2月25日，星期天直接列平衡方程法：位移法方程实质上是静力平衡方程。对于结点角位移，相应的是结点的力矩平衡方程；对于结点线位移，相应的是截面的投影平衡方程。直接由转角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式，在有结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程；在有结点线位移处，建立截面的投影平衡方程。这些方程就是位移法的基本方程。2.直接平衡法第55页,共82页，2024年2月25日，星期天以结点B的转角位移为基本未知量Z。写出相应的杆端刚度方程。利用结点平衡列出方程，进而求杆件内力。2.直接平衡法FPEI=常数ABC第56页,共82页，2024年2月25日，星期天1.典型方程法求解步骤①确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基本体系。②令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和结点位移共同作用下产生的附加约束中的总反力(矩)=0，列位移法典型方程。③绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数和自由项。④解方程，求出结点位移。⑤用公式叠加最后弯矩图。并校核平衡条件。⑥根据M图由杆件平衡求FQ

，绘FQ图，再根据FQ图由结点投影平衡求FN

，绘FN图。第五节计算步骤和举例第57页,共82页，2024年2月25日，星期天2.典型方程法分析举例第五节计算步骤和举例20kN↓↓↓↓↓↓↓ABC3m3m6mii2kN/m1）确定基本未知量Z1=θB；2）确定位移法基本体系；3）建立位移法典型方程；4）画M、MP;由平衡求系数和自由项；例题：用位移法解图示连续梁作弯矩图。Z1=12i4i

ABC3ik114i

3i

k11=4i+3i=7iM1第58页,共82页，2024年2月25日，星期天第五节计算步骤和举例20kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ABCii2kN/m1）确定基本未知量Z1=θB；2）确定位移法基本体系；3）建立位移法典型方程；4）画M、MP;由平衡求系数和自由项；例题：用位移法解图示连续梁作弯矩图。k11=4i+3i=7i2kN/m20kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ABC15159R1P159R1P=15－9=6MP2.典型方程法分析举例3m3m6m第59页,共82页，2024年2月25日，星期天第五节计算步骤和举例20kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ABCii2kN/mABC16.7211.5795）解方程，求基本未知量；6）按M=∑Mi·Zi+MP

叠加最后弯矩图30M图(kN.m)11.5711.577）校核平衡条件∑MB=0例题：用位移法解图示连续梁作弯矩图。2.典型方程法分析举例第60页,共82页，2024年2月25日，星期天第五节计算步骤和举例例题：用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。↓↓↓↓↓↓↓15kN/m48kN4m4m2miii↓↓↓↓↓↓15kN/m48kN基本体系Z12.典型方程法分析举例2m第61页,共82页，2024年2月25日，星期天第五节计算步骤和举例↓↓↓↓↓↓↓15kN/m48kN202036MP20360F1P=－16F1P+↓↓↓↓↓↓15kN/m48kN基本体系Z1M12i4i3ii4i3iik11=8ik11解之：Z1=－F1P/k11=2/i叠加弯矩图2.典型方程法分析举例例题：用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。第62页,共82页，2024年2月25日，星期天第五节计算步骤和举例↓↓↓↓↓↓↓15kN/m48kN4m4m2m2miii16283030482M图(kN.m)3327+31.5+16.5FS图(kN)2.典型方程法分析举例例题：用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。第63页,共82页，2024年2月25日，星期天ll/2l2EIEIABDC2EIqq基本体系例题：用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。第五节计算步骤和举例基本方程第64页,共82页，2024年2月25日，星期天q第五节计算步骤和举例第65页,共82页，2024年2月25日，星期天例题：用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。4I4I5I3I3Iiii0.75i0.5iiii0.75i0.5iABCDEF5m4m4m4m2m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m第66页,共82页，2024年2月25日，星期天1、基本未知量2、基本体系3、典型方程↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/mABCDEF基本体系例题：用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。第67页,共82页，2024年2月25日，星期天1、基本未知量2、基本体系3、典型方程M1ABCDEF3i4i2i3i1.5iM2ABCDEF3i4i2i2ii4、求系数和自由项第68页,共82页，2024年2月25日，星期天1、基本未知量2、基本体系3、典型方程ABCDEF↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m4041.741.7MPR1P=40－41.7=－1.7R2P=41.75、解方程，求基本未知量；4、求系数和自由项第69页,共82页，2024年2月25日，星期天1、基本未知量2、基本体系3、典型方程5、解方程，求基本未知量；4、求系数和自由项6、叠加绘制内力图ABCDEF5m4m4m4m2m43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)第70页,共82页，2024年2月25日，星期天【例】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图。设EI=常数。解：(1)确定基本未知量数目可以利用对称性取结构的1/4部分进行计算，其基本未知量只有结点A的转角Z1。第71页,共82页，2024年2月25日，星期天(2)选择基本体系c)基本体系d)M1图e)

MP图(kN·m)(3)建立典型方程(4)求系数和自由项(5)解方程，求基本未知量第72页,共82页，2024年2月25日，星期天(6)作最后弯矩图第73页,共82页，2024年2月25日，星期天【例6.4】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图，EI为常数。【解】(1)确定基本未知量数目此刚架的基本未知量为结点B和C的角位移Z1和Z2，即n=2。(2)确定基本体系，如图所示。第74页,共82页，2024年2月25日，星期天第75页,共82页，2024年2月25日，星期天(3)建立典型方程根据基本体系每个