云南专升本数学（常微分方程）模拟试卷1（共192题）

云南专升本数学（常微分方程）模拟试卷1（共7套）（共192题）云南专升本数学（常微分方程）模拟试卷第1套一、单项选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、下列哪组函数是线性相关的()A、e2x，e－2xB、e2＋x，ex－2C、D、标准答案：B知识点解析：e2＋x／ex－2＝e4是常数，故B项的函数是线性相关的；而，都不是常数，故A、C、D项的函数都是线性无关的．2、已知y是关于x的函数，则微分方程y2dx－(1－x)dy＝0是()A、一阶齐次线性微分方程B、一阶非齐次线性微分方程C、可分离变量微分方程D、二阶线性微分方程标准答案：C知识点解析：将该微分方程整理可得dy／y2＝dx／(1－x)，所以该微分方程是可分离变量微分方程．3、设y1，y2是一阶非齐次线性微分方程y’＋p(x)y＝g(x)的两个特解，若存在常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是该方程对应的一阶齐次线性方程的解，则()A、λ＝1／2，μ＝1／2B、λ＝－1／2，μ＝－1／2C、λ＝2／3，μ＝1／3D、λ＝2／3，μ＝_2／3标准答案：A知识点解析：将解λy1＋μy2代入方程y’＋p(x)y＝q(x)，得λ[y1’＋p(x)y1]＋μ[y2’＋p(x)y2]＝q(x)．①将解λy1－μy2代入方程Yy’＋p(x)y＝0，得λ[y1’＋p(x)y1]－μ[y2’＋p(x)y2]＝0．②又y1’＋p(x)y1＝q(x)．y2’＋p(x)y2＝q(x)，代入①、②式中，得λ＋μ＝1，λ－μ＝0，解得λ＝1／2，μ＝1／2，故选A．4、已知函数y＝y(x)在任意点x处的增量△y＝y△x／(1＋x2)＋α，且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)＝π，则y(1)＝()A、2πB、πC、eπ／4D、πeπ／4标准答案：D知识点解析：由题意可得则得y’＝y／(1＋x2)，即dy／dx＝y／(1＋x2)，分离变量得dy／y＝dx／(1＋x2)，两边积分并整理得y＝Cearctanx，把y(0)＝π代入y＝Cearctanx得C＝π，则y＝πearctanx．当x＝1时，y(1)＝πeπ／4．5、已知某二阶常系数齐次线性微分方程的两个特征根分别为r1＝－1，r2＝－3，则该微分方程为()A、y”－4y’＋3y＝0B、y”＋4y’＋3＝0C、y”＋4y’＋3y＝1D、y”＋4y’＋3y＝0标准答案：D知识点解析：由特征根的值可知微分方程对应的特征方程为(r＋1)(r＋3)＝r2＋4r＋3＝0，所以对应的二阶常系数齐次线性微分方程为y’＋4y’＋3y＝0．6、微分方程y”－2y’＝x的特解可设为y*＝()A、AxB、Ax＋BC、Ax2＋BxD、Ax2＋Bx＋C标准答案：C知识点解析：该二阶齐次微分方程对应的特征方程为r2－2r＝0，得特征根为r1＝0，r2＝2．因为f(x)＝x中，λ＝0是特征方程的单根，于是特解应设为y’＝(Ax＋B)x＝Ax2＋Bx．7、设y＝y(x)是微分方程y”＋(x－1)y’＋x2y＝ex满足y(0)＝0，y’(0)＝1的解，则＝()A、不存在B、0C、1D、2标准答案：C知识点解析：由于y＝y(x)是方程的解，从而y(x)有二阶连续导数，因为y(0)＝0，y’(0)＝1，则y”(0)－1＝1，即y"(0)＝2，从而二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)8、若微分方程的解中含有独立的任意常数的个数与该微分方程的________相同，则该解叫作微分方程的通解．标准答案：阶数知识点解析：由微分方程通解的定义可知，通解中任意常数的个数与微分方程中的未知函数的最高阶导数的阶数即方程的阶数一致．9、微分方程xy’－y＝0的通解为y＝________．标准答案：Cx知识点解析：方程可化为dy／dx＝y／x，分离变量得dy／y＝dx／x，两边积分得ln｜y｜＝ln｜x｜＋ln｜C｜，即y＝Cx．10、方程(xy2＋x)dx＋(y－x2y)dy＝0满足y｜x＝0＝1的特解为________．标准答案：(1＋y2)／(1－x2)＝2知识点解析：方程分离变量得xdx／(x2－1)dx＝ydy／(1＋y2)，两边积分得ln｜x2－1｜／2＝ln(y2＋1)／2＋ln｜C／2，所以x2－1＝C(y2＋1)．又y｜x＝0＝1，故C＝－1／2，则方程的特解为(1＋y2)／(1－x2)＝2．11、已知曲线C通过原点，且其上任一点(x，y)处的法线都经过点(1，0)，则曲线C的方程为________．标准答案：(x－1)2＋y2＝1知识点解析：由题意可得－1／y’＝(y－0)／(x－1)，分离变量得(x－1)dx＝－ydy，两边积分并整理得(x－1)2＋y2＝C1，将点(0，0)代入得C1＝1，故曲线C的方程为(x－1)2＋y2＝1．12、微分方程xy”－3x3＝0的通解为________．标准答案：y＝x4／4＋C1x＋C2知识点解析：方程整理得y”＝3x2，等式两边积分得y’＝x3＋C1，两边再次积分得方程通解为y＝x4／4＋C1x＋C2．13、微分方程y”－2y’＋5y＝0的通解是________．标准答案：y＝ex(C1sin2x＋C2cos2x)知识点解析：特征方程为r2－2r＋5＝0，得特征根为r1,2＝1±2i，故通解为y＝ex(C1sin2x＋C2cos2x)．14、设y1＝x，y2＝ex，y3＝e－x是y"＋py’＋qy＝f(x)(其中p、q都是常数)的三个特解，则该方程的通解为________．标准答案：y＝x＋C1(ex－x)＋C2(e－x－x)知识点解析：y1＝x，y2＝ex，y3＝e－x是y”＋Py’＋qy＝f(x)的三个特解，且线性无关，则ex－x，e－x－x是y”＋py’＋qy＝0的解，且ex－x，e－x－x线性无关，故C1(ex－x)＋C2(e－x－x)是y”＋Py’＋qy＝0的通解，所以y“＋py’＋qy＝f(x)的通解为y＝C1(ex－x)＋C2(e－x－x)＋x．三、计算题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、求微分方程(ex＋y－ex)dx＋(ex3y＋ey)dy＝0的通解．标准答案：方程可化为ex(ey－1)dx＋ey(ex＋1)dy＝0，分离变量得[ey／(ey－1)]dy＝－exdx／(ex＋1)，两边积分得∫eydy／(ey－1)＝故原方程通解为(ey－1)(ex＋1)＝C．知识点解析：暂无解析16、求微分方程满足初始条件y｜x＝0＝0的特解．标准答案：方程分离变量得两边积分有即将初始条件y｜x＝0＝π／2代入得C＝2，则方程的特解为知识点解析：暂无解析17、求方程(x2＋3)y’＋2xy－e2x＝0的通解．标准答案：将原方程改写成则通解为知识点解析：暂无解析18、求微分方程(y＋x3)dx－2xdy＝0满足y｜x＝1＝5／6的特解．标准答案：原微分方程整理得y’－y／2x＝x2／2，此方程为一阶非齐次线性微分方程，则其通解为把y｜x＝1＝6／5代入通解得C＝1，所以特解为y＝x3／5＋．知识点解析：暂无解析19、已知可导函数f(x)满足f(x)＝∫03xf(t／3)dt＋e2x，求f(x)．标准答案：等式两端对x求导并整理得f’(x)－3f(x)＝2e2x，利用通解公式得f(x)＝e∫3dx(∫2e2xe－∫3dxdx＋C)＝e3x(∫2e－xdx＋C)＝e3x(－2e－x＋C)＝Ce3x－2e2x，又f(0)＝0＋1＝1，代入通解中得C－2＝1，解得C＝3，故f(x)＝3e3x－2e2x．知识点解析：暂无解析20、已知可导函数f(x)满足∫01f(tx)dt＝f(x)／3＋x，求f(x)．标准答案：将所给方程两边同乘以x得∫01f(tx)d(tx)＝xf(x)／3＋x2，令u＝tx，则上式变为∫0xf(u)du＝xf(x)／3＋x2，两边对x求导得f(x)＝f(x)／3＋xf’(x)／3＋2x，即f’(x)－2f(x)／x＝－6．由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得知识点解析：暂无解析21、求微分方程y"－(y’)2＝0满足初始条件y｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝－1的特解．标准答案：令y’＝p，则y”＝dp／dy．dy／dx＝pdp／dy，代入方程得pdp／dy－p2＝p(dp／dy－p)＝0，当p＝0时，y’＝0，与已知条件不符，所以dp／dy－p＝0，即dp／p＝dy，两边积分得p＝C1ey，把y｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝－1代入得C1＝－1，所以dy／dx＝－ey，即e－ydy＝－dx，两边积分得－e－y＝－x＋C2，把y｜x＝0＝0代入得C2＝－1，所以－e－y＝－x－1，即方程特解为e－y＝x＋1．知识点解析：暂无解析22、设y＝f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点．点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点．若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为x3／6＋1／3，求f(x)的表达式．标准答案：根据题意可得图，有(x／2)[1＋f(x)]＋∫x1f(t)dt＝x3／6＋1／3，两边关于x求导得[1＋f(x)]／2＋xf’(x)／2-f(z)－f(x)＝x2／2．当x≠0时，得f’(x)－f(x)／x＝(x2－1)／x，故＝x(x＋1／x＋C)＝x2＋1＋Cx．由于x＝1时，f(1)＝0，故有2＋C＝0，从而C＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2．知识点解析：暂无解析23、设质量为m的物体在高空中静止下落，空气对物体运动的阻力与物体的速度成正比，比例系数为k，求物体下落的速度v与时间t的关系，再求物体下落的距离S与时间t的关系．标准答案：物体重力为W＝mg，阻力为R＝－kv，其中g是重力加速度．由牛顿第二定律得mdv／dt＝mg－kv，从而得线性方程dv／dt＋kv／m＝g，v｜t＝0＝0，知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)24、求微分方程y”＋13y’－30y＝0的通解．标准答案：微分方程的特征方程为r2＋13r－30＝0，解得r1＝－15，r2＝2，故原方程的通解为y＝C1e－15x＋C2e2x．知识点解析：暂无解析25、求微分方程y”＋4y’＋29y＝0满足初始条件y(0)＝0，y’(0)＝15的特解．标准答案：微分方程的特征方程为r2＋4r＋29＝0，解得特征根为r1＝－2＋5i，r2＝2－5i，则原方程的通解为y＝e－2x(C1cos5x＋C2sin5x)，则y’＝[(－5C1－2C2)sin5x＋(5C2－2C1)cos5x]e－2x，将初始条件y(0)＝0，y’(0)＝15代入得C1＝0，C2＝3，故原方程的特解为y＝3e－2xsin5x．知识点解析：暂无解析26、求方程y”－2y’－3y＝3x＋1的一个特解．标准答案：方程对应的二阶齐次方程的特征方程为r2－2r－3＝0，其特征根为r1＝－1，r2＝3．由于f(x)＝3x＋1中λ＝0不是特征根，所以设特解为y*＝Ax＋B，则(y*)’＝A，(y*)”＝0．把y*，(y*)’，(y*)”代入原方程，得－3Ax－2A－3B＝3x＋1，利用对应项系数相等得A＝－1，B＝1／3，于是求得方程的一个特解为y*＝－x＋1／3．知识点解析：暂无解析27、求微分方程y”－y＝e2x(sinx－cosx)的通解．标准答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2－1＝0，解得r＝±1，所以对应的齐次方程的解为＝C1e－x＋C2ex，λ±ωi＝2±i，不是特征方程的根，故设原方程的特解为Y＝e2x(Asinx＋Bcosx)，则Y’＝e2x[(2A－B)sinx＋(A＋2B)cosx]，Y”＝e2x[(3A－4B)sinx＋(4A＋3B)cosx]，代入原方程得e2x[(3A－4B)sinx＋(4A＋3B)cosx]－e2x(Asinx＋Bcosx)＝e2x(sinx－cosx)，解得A＝－1／10，B＝－3／10，故原方程的通解为y＝C1e－x＋C2ex－e2x(sinx＋3cosx)／10．知识点解析：暂无解析云南专升本数学（常微分方程）模拟试卷第2套一、单项选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、已知函数y＝x3／6－x2／2＋x＋C和微分方程y”＝x－1，则下列说法正确的是()A、y是该微分方程的通解B、y是该微分方程满足初始条件y｜x＝0＝1的特解C、y是该微分方程的特解D、y是该微分方程的解标准答案：D知识点解析：方程为二阶微分方程，则通解中应含有两个独立的任意常数，因此y＝x3／6－x2／2＋x＋C显然不是方程的通解．又y＝x3／6－x2／2＋x＋C时，y’＝x2／2－x＋1，y”＝x－1，故可知y＝x3／6－x2／2＋x＋C是y”＝x－1的解，因为含有任意常数，则不是特解，故选D．2、下列可以作为微分方程xlny．y’＝ylnx的解的是()A、y＝exB、y＝lnxC、ln2x＋ln2y＝1D、In2x＝In2y标准答案：D知识点解析：微分方程分离变量得lnydy／y＝lnxdx／x，两边积分得ln2y／2＝ln2x／2＋C1，即ln2y＝ln2x＋C，取C＝0，得方程的一个解为ln2x＝ln2y，故选D．3、．微分方程y’＋y／x＝1／[x(x2＋1)]的通解是y＝()A、arctanx＋CB、(arctanx＋C)／xC、arctanx／x＋CD、1／x＋arctanx＋C标准答案：B知识点解析：所求方程为一阶非齐次线性微分方程，故由通解公式可得4、求微分方程y’＋x2y”＝y”的通解时，可()A、设y’＝p，则有y”＝p’B、设y’＝p，则有y”＝dp／dyC、设y’＝p，则有y”＝pdp／dxD、设y’＝p，则有y”＝p’dp／dx标准答案：A知识点解析：对于可降阶方程中的y”＝f(x，y’)型，需令y’＝P，则y”＝p’，故选A．5、已知y＝e－3x是微分方程y”＋4y’＋ay＝0的一个解，则常数a＝()A、1B、－1C、3D、－1／3标准答案：C知识点解析：因为y＝e－3x，则y’＝－3e－3x，y”＝9e－3x，将y，y’，y”代入原方程有9e－3x－12e－3x＋ae－3x＝0，由于e－3x≠0，则有9－12＋a＝0，a＝3．故选C．6、方程y”－2y’＋y＝ex的一个特解的形式可设为y*＝()A、Aex＋BB、AxexC、AexD、Ax2ex标准答案：D知识点解析：方程对应的二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2－2r＋1＝0，所以r1＝r2＝1，又有f(x)＝ex，则可知λ＝1是该特征方程的二重根，所以特解形式为y*＝Ax2ex．故选D．7、下列方程中，具有待定特解形式为y＝ax＋b＋Bex的微分方程是()A、y”＋y’－2y＝2x＋exB、y”－y’－2y＝4x－2exC、y”－2y’＋y＝x＋exD、y”－y’＝x＋2ex标准答案：B知识点解析：根据特解形式以及选项中等式右端的式子可知，λ＝0，λ＝1不是二阶齐次线性微分方程的特征根，分别求解四个选项对应的二阶齐次线性微分方程的特征根，可知只有B选项满足条件，故选B．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)8、微分方程xy’’’＋2(y’)5＋3y4＝0的阶数为________．标准答案：3知识点解析：题中含有的未知函数y的最高阶导数为y”，故该微分方程的阶数为3．9、方程dy／dx＝满足初始条件y(1)＝0的特解是________．标准答案：＝x－1知识点解析：方程分离变量得＝dx，两边积分得＝x＋C，将y(1)＝0代入得C＝－1，所以满足初始条件的方程的特解为＝x－1．10、微分方程y’＋3x2y＝的通解是_______．标准答案：y＝(x2／2＋C)知识点解析：由通解公式得y＝11、设可导函数f(x)满足∫0xf(t)dt＝ex－f(x)，则f(x)＝________．标准答案：(ex＋e－x)／2知识点解析：等式两边同时对x求导并整理得f’(x)＋f(x)＝ex，则通解为f(x)＝e－x∫e2x＋C)＝e－x(e2x／2＋C)＝ex／2＋Ce－x．又当x＝0时，f(0)＝1，代入通解可得C＝1／2，故f(x)＝(ex＋e－x)／2．12、微分方程xy”＋3y’＝0的通解为________．标准答案：y＝C1／x2＋C2知识点解析：令y’＝P，则y”＝P’，原方程可化为xp’＋3p＝0，分离变量可dp／p＝－3dx／x，两边积分得∫(1／p)dp＝－∫(3／x)dx，即p＝y’＝C／x3．分离变量可得dy＝Cdx／x3，两边积分得∫dy＝Cdx／x3，故方程通解为y＝C1／x2C2(C1＝－C／2)．13、已知y＝eex，y＝xeex是某二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为________．标准答案：y”－2ey’＋e2y＝0知识点解析：由已知条件可得所求微分方程有两个相等的实根为r＝e，则特征方程为(r－e)2＝r2－2er＋e2＝0，故微分方程为y”－2ey’＋e2y＝0．14、方程y”－2y’＋5y＝exsin2x的特解可设为y*＝________．标准答案：xex(Asin2x＋Bcos2x)知识点解析：方程对应的齐次方程的特征方程为r2－2r＋5＝，解得特征根为r1,2＝1±2i，而原方程的非齐次项为exsin2x，λ＝1±2i是特征根，因此其特解可设为y*＝xex(Asin2x＋Bcos2x)．三、计算题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、求微分方程xy’－ylnx／(1＋y2)＝0的通解．标准答案：程分离变量得两边积分有则方程的通解为2ln｜y｜＋y2－In2x＝C．知识点解析：暂无解析16、求微分方程xcos(y／x)dy＝[ycos(y／x)－x]dx的通解．标准答案：方程化为dy／dx＝y／x－sec(y／x)，令y／x＝u，则y＝xu，dy／dx＝u＋xdu／dx，代入上式再分离变量得cosudu＝－dx／x，两边积分得sinu＝－ln｜x｜＋C，将u＝y／x代入得通解为sin(y／x)＝－ln｜x｜＋知识点解析：暂无解析17、求微分方程dy／dx＝1／(x＋y)的通解．标准答案：方程两端同时取倒数得dx／dy＝x＋y，即dx／dy－x＝y，此方程可看作未知函数为x的一阶非齐次线性微分方程，其中P(y)＝－1，Q(y)＝y，故通解为x＝e－∫P(y)dy[∫Q(y)e∫P(y)dydy＋C]＝e－∫－1dyldy(∫ye∫－1dydy＋C)＝ey(∫ye－ydy＋C)＝ey(－∫yde－y＋C)＝－y－1＋Cey．知识点解析：暂无解析18、求微分方程(x2－1)dy＋(2xy－cosx)dx＝0满足初始条件y｜x＝0＝1的特解．标准答案：原方程可化为，此一阶非齐次线性微分方程的通解为由y｜x＝0＝1得C＝－1l，故满足初始条件的特解是y＝(sinx－1)／(x2－1)．知识点解析：暂无解析19、设可导函数f(x)满足f(x)cosx＋2∫0xf(t)sintdt＝x＋1，求f(x)．标准答案：等式两端对x求导得f’(x)cosx＋f(x)sinx＝1，整理可得f‘(x)＋f(x)tanx＝secx．则通解为f(x)＝e－∫tanxdx(∫secxe∫tanxdxdx＋C)＝cosx(∫sec2xdx＋C)＝cosx(tanx＋C)＝sinx＋Ccosx．又f(0)＝1，所以C＝1，故f(x)＝sinx＋cosx．知识点解析：暂无解析20、求y”＝xex的通解．标准答案：y”＝∫xexdx＋C1＝(x－1)ex＋C1，y’＝∫[(x－1)ex＋C2]dx＋C2＝(x－2)ex＋C2x＋C2，y＝∫[(x－2)ex＋C1x＋C2]dx＋C3＝(x－3)ex＋Cx2＋C2x＋C3(C＝C1／2)．知识点解析：暂无解析21、求微分方程yy”＋(y’)2＝0满足初始条件y｜x＝0＝1，y’｜x＝0＝1／2的特解．标准答案：令y’＝p，则y”＝pdp／dy，原方程可化为p(ydp／dy＋p)＝0．因为y’｜x＝0＝1／2÷，所以p≠0，此时有ydp／dy＋p＝0，解得p＝C1／y．把代入p＝C1／y中得C1＝1／2，即y’＝1／2y．分离变量并对等式两边积分可解得y2＝x＋C2，把y｜x＝0＝1代入得C2＝1，故所求特解为y2＝x＋1．知识点解析：暂无解析22、设y＝y(x)在[0，＋∞)内可导，且在任意点x＞0处的增量△y＝y(x＋△x)－y(x)满足△y＝y△x／(4＋x)＋α，其中α是当△x→0时△x的等价无穷小，又y(0)＝2，求y(x)．标准答案：由题意可得△y／△x＝y／(4＋x)＋α／△x，因为△x→0时，α是△x的等价无穷小，所以取△x→0的极限得dy／dx＝y／(4＋x)＋1，从而y＝y(x)可看作是一阶线性方程y’－y／(4＋x)＝1满足条件y(0)＝2的特解，由通解公式可得将y(0)＝2代入通解可得C＝1／2－2ln2，故y＝(4＋x)[ln(4＋x)＋[ln(4＋x)＋1／2－2ln2]．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)23、求微分方程的通解．标准答案：微分方程的特征方程为4r2－20r＋25＝0，其特征根为r1＝r2＝5／2，故原方程的通解为x＝(C1＋C2t)e5t／2．知识点解析：暂无解析24、设函数f(x)满足f”(x)－3f’(x)＋2f(x)＝0，且在x＝0处取得极值1，求函数f(x)的表达式．标准答案：原微分方程的特征方程为r2－3r＋2＝0，解得特征根为r1＝1，r2＝2，所以通解为f(x)＝C1ex＋C2e2x，则f’(x)＝C1ex＋2C2e2x．又f(x)在x＝0处取得极值1，所以f(0)＝C1＋C2＝1，f’(0)＝C1＋2C2＝0，解得C1＝2，C2＝－1，故f(x)＝2ex－e2x．知识点解析：暂无解析25、求y”－2y’＋y＝ex的一个特解．标准答案：方程对应的齐次方程的特征方程为r2－2r＋1＝0，解得r＝1为二重根，由于f(x)＝ex，故λ＝1是特征方程的重根，故应设特解为y＝Ax2ex，则y’＝A(x2＋2x)ex，y”＝A(x2＋4x＋2)ex，代入原方程得2Aex＝ex，则A＝1／2，故特解为y＝x2ex／2．知识点解析：暂无解析26、已知函数y＝(x＋1)ex是一阶线性微分方程y’＋2y＝f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y”＋3y’＋2y＝f(x)的通解．标准答案：根据题意得y’＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，f(x)＝y’＋2y＝(x＋2)ex＋2(x＋1)ex＝(3x＋4)ex．下面求微分方程y”＋3y’＋2y＝(3x＋4)ex的通解，对应的齐次方程的特征方程为r2＋3r＋2＝0，求得r1＝－1，r2＝－2，所以y”＋3y’＋2y＝0的通解为Y＝C1e－x＋C2e－2x，因为f(x)＝(3x＋4)ex中λ＝1不是特征方程的根，所以设y*＝(Ax＋B)ex为方程y”＋3y’＋2y＝(3x＋4)ex的一个特解，则把(y*)’＝(Ax＋A＋B)ex，(y*)”＝(Ax＋2A＋B)ex代入原方程得6Ax＋5A＋6B＝3x＋4，比较系数得A＝1／2，B＝1／4，所以微分方程y”＋3y’＋2y＝(3x＋4)ex的通解为y＝Y＋y*＝C1e－x＋C2e－2x＋(x／2＋1／4)ex．知识点解析：暂无解析云南专升本数学（常微分方程）模拟试卷第3套一、单项选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、微分方程(y’)3＋＝x＋y4的阶数为()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数称为该微分方程的阶，所给方程中最高阶导数为，故此微分方程的阶数为2．2、设C是任意常数，则下列以y＝Cex为解的二阶微分方程是()A、y”＝0B、y”－3y’－4y＝0C、y”－4y’＋3y＝0D、y”＋4y’＋3y＝0标准答案：C知识点解析：将y＝Cex，y’＝Cex，y”＝Cex分别代入到四个选项的方程中，只有C项成立，故选C．3、微分方程y’＝e3x－2y满足初始条件y｜x＝0＝0的特解为()A、e2y／2＝e3x／3＋1／6B、e2y＝e3x／2＋1／3C、ey／2＝ex／3＋1／6D、2e2y＝3ex－1标准答案：A知识点解析：对方程分离变量可得e2ydy＝e3xdx，两边积分得e2y／2＝e3x／3＋C，代入初始条件y｜x＝0＝0，得,1／2＝1／3-＋C，所以C＝1／6，故所求特解为e2y／2＝e3x／3＋1／6．4、已知可导函数f(x))满足f(x)＝4∫0x／2f(2f)dt＋ln2，则f(x)＝()A、exln2B、e2xln2C、ex＋ln2D、e2x＋ln2标准答案：B知识点解析：由题意可得f’(x)＝4f(x)．(1／2)，令y＝f(x)，即y’＝2y，分离变量得dy／y＝2dx，两边积分得ln｜y｜＝2x＋C1。故通解为y＝Ce2x．又当x＝0时，f(0)＝ln2，所以C＝ln2，故f(x)＝e2xln2．5、下列方程中，可用p＝y’，y”＝p’代换将方程降为关于p的一阶微分方程的是()A、d2y／dx2＋xy’－x＝0B、d2y／3dx2＋yy’－y2＝0C、d2y／dx2＋x2y’－y2x＝0D、d2y／dx2＋ydy／dx＋x＝0标准答案：A知识点解析：可降阶方程中的y”＝f(x，y’)型可用p＝y’，y”＝p’代换，观察四个选项，只有A项是y”＝f(x，y’)型，故选A．6、微分方程y”＋2y’＋y＝0的通解为()A、y＝C1e－x＋C2exB、y＝C1e－x＋C2xe－xC、y＝C1cosx＋C2sinxD、y＝C1ex＋C2xex标准答案：B知识点解析：微分方程对应的特征方程为r2＋2r＋1＝0。解得特征根为r1＝r2＝－1，则方程的通解为y＝(C1＋C2x)e－x＝C1e－x＋C2xe－x，故选B．7、已知函数y1＝1，y2＝ex，y3＝2ex，y4＝ex＋3均为某个二阶常系数齐次线性微分方程的解，则下列说法错误的是()A、y＝C1y1＋C2y2是方程的通解B、y＝C1y2＋C2y3是方程的通解C、y＝C1y3＋C2y4是方程的通解D、该方程为y”－y’＝0标准答案：B知识点解析：由于y2＝ex，y3＝2ex不是两个线性无关的解，故y＝C1y2＋C2y3不是微分方程的通解．y1＝1与y2＝ex线性无关，y3＝2ex与y4＝ex＋3线性无关，则选项A、C正确．由y1＝1与y2＝ex可得微分方程的特征方程为r(r－1)＝0，故方程为y”－y’＝0，经验证y3，y4也为该方程的解．8、11．设方程y”－2y’－3y＝f(x)有特解y*，则它的通解为()A、y＝C1e－x＋C2e3x＋y*B、y＝C1e－x＋C2e3xC、y＝C1e－x＋C2e3x＋y*D、y＝C1ex＋C2e－3x＋y*标准答案：A知识点解析：y”－2y’－3y＝0的特征方程为r2－2r－3＝0，所以r1＝－1，r2＝3，得y”－2y’－3y＝0的通解为＝C1e－x＋C2e3x，所以原方程的通解为y＝C1e－x＋C2e3x＋y*．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、微分方程(1＋x)ydx＋(1－y)xdy＝0的通解为________．标准答案：y＝ln｜xy｜＋x＋C知识点解析：方程分离变量得[(1＋x)／x]dx＝[(y－1)／y]1dy，两边积分得x＋ln｜x｜＋C＝y－ln｜y｜，即通解为y＝x＋In｜xy｜＋C．10、已知微分方程y’＋ay＝ex的一个特解为y＝xex，则常数a＝________．标准答案：－1知识点解析：把y＝xe2x，y’＝ex＋xex代入微分方程可得y’＋ay＝ex＝(1＋a)xex＋ex，利用对应系数相等解得a＝－1．11、已知可导函数f(x)满足y(x)＝1＋∫1x(4／s)y(s)ds，则y(x)＝________．标准答案：x4知识点解析：将方程两边同时对x求导得y’(x)＝4y(x)／x，则y’(x)／y(x)＝4／x，两边积分得∫y’(x)／y(x)dx＝∫(4／x)dx，解得ln｜y(x)｜＝lnx4＋C1，即y(x)＝Cx4．又由题意可知y(1)＝1，代入解得C＝1，故y(x)＝x4．12、微分方程y”－16y’＋64y＝0的通解是________．标准答案：y＝(C2＋C2x)e8x知识点解析：方程对应的特征方程为r2－16r＋64＝0，解得特征根r1＝r2＝8，故通解为y＝(C1＋C2x)e8x．13、以y＝e2x(C1cosx＋C2sinx)为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为________．标准答案：y”－4y’＋5y＝0知识点解析：由通解可知该方程的特征根为r1＝2＋i，r2＝2－i，从而可得特征方程为(r－2)2＋1＝r2－4r＋5＝0，故此二阶常系数齐次线性微分方程为y”－4y’＋5y＝0．14、已知二阶常系数非齐次微分方程y”＋4y＝cosx，它的一个特解可设为________．标准答案：y*＝Acosx＋Bsinx知识点解析：方程对应的二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2＋4＝0，所以r1,2＝±2i，f(x)＝cosx，则±i不是该特征方程的特征根，所以特解形式可设为y*＝Acosx＋Bsinx．三、计算题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)15、求微分方程y’＝4x／e2x的通解．标准答案：方程分离变量得dy＝4xe－2xdx，两边积分，得通解为y＝∫4xe－2xdx＝－∫2xd(e－2x)＝－2xe－2x＋2∫e－2xdx＝－2xe－2x－e－2x＋C．知识点解析：暂无解析16、求方程xsecydx＋(1＋x2)dy＝0满足初始条件y｜x＝0＝π／2的特解．标准答案：方程分离变量得xdx／(1＋x2)＝－dy／secy，即[x／(1＋x2)]dx＝－cosydy两边积分有＝－∫cosydy，即ln(1＋x2)／2＝－siny＋C，代入初始条件y｜x＝0＝π／2得C＝1，则方程的特解为siny＋＝1．知识点解析：暂无解析17、求微分方程y’＋ycosx－e－sinxlnx＝0的通解．标准答案：由通解公式得y＝e－∫cosxdx(∫ejisinxlnx．e∫cosxdxdx＋C)＝e－sinx(∫lnxdx＋C)＝[x(lnx－1)＋C]e－sinx．知识点解析：暂无解析18、求微分方程y2dx＋(x－2xy－y2)dy＝0的通解．标准答案：原方程变形为其中P(y)＝(1－2y)／y2，Q(y)＝1，代入通解公式得知识点解析：暂无解析19、已知一曲线y＝y(x)通过原点，且曲线上任意一点(x，y)处的切线斜率均等于2x＋y，求该曲线方程．标准答案：由题意得y’＝2x＋y，即y’－y＝2x，故通解为y＝e∫dx(∫2xe∫－1dxdx＋C)＝ex(∫－2xde－x＋C)＝ex(－2xe－x＋∫2e－xdx＋C)＝－2x－2＋Cex．又因为曲线通过原点，将y(0)＝0代入通解得C＝2，故所求曲线的方程为y＝2x－2＋2ex．知识点解析：暂无解析20、求解方程∫0x(x－s)y(s)ds＝sinx＋∫0xy(s)ds，其中y为可导函数．标准答案：∫0x(x－s)y(s)ds＝x∫0xy(s)ds－∫0xsy(s)ds＝sinx＋∫0xy(s)ds，方程两边对x求导得∫0xy(s)ds＝cosx＋y(x)，且y(0)＝－1，上式再次对x求导并整理得y’－y＝sinx，为一阶非齐次线性微分方程，其中P(x)＝－1，Q(x)＝sinx，故通解为y＝e∫dx(∫sinxe－∫dxdx＋C)＝ex(∫sinxe－xdx＋C)＝ex[－e－x(cosx＋sinx)／2＋C]＝Cex－(sinx＋cosx)／2．又y(0)＝－1，代入通解中得C＝－1／2，故原方程的解为y(x)＝－(ex＋sinx＋cosx)／2．知识点解析：暂无解析21、求y”＝y’／x＋xex的通解．标准答案：令y’＝p，则y"＝p’，代入方程得p’－p／x＝xex，因此即y’＝xex＋Cx，分离变量后再积分得微分方程的通解为y＝(x－1)ex－C1x2＋C2(C1＝C／2)．知识点解析：暂无解析设F(x)＝f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(－∞，＋∞)内满足条件：f’(x)＝g(x)，g‘(x)＝f(x)，f(0)＝0，且f(x)＋g(x)＝2ex22、求F(x)所满足的一阶微分方程；标准答案：由题意可知F’(x)＝f’(x)g(x)＋f(x)g’(x)＝g2(x)＋f2(x)＝[f(x)＋g(x)]2－2f(x)g(x)＝(2ex)2－2F(x)，可见F(x)所满足的一阶微分方程为F’(x)＋2F(x)＝4e2x；知识点解析：暂无解析23、求出F(x)的表达式．标准答案：由一阶微分方程通解公式得F(x)＝e－∫2dx[∫4e2x．e∫2dxdx＋C]＝e－2x[∫4e4xdx＋C]＝e2x＋Ce－2x．将F(0)＝f(0)g(0)＝0代入上式。得C＝－1，于是F(x)＝e2x－e－2x．知识点解析：暂无解析24、在宏观经济研究中，知道某地区的国民收入y，国民储蓄S和投资I均是时间t的函数，且在任一时刻t，储蓄S(t)为国民收入y(t)的1／10，投资额f(t)是国民收入增长率dy／dt的1／3．设t＝0时国民收入为5(亿元)，假定在时刻t的储蓄全部用于投资，试求国民收入函数．标准答案：由题意可得S＝y／10，I＝(1／3)．(dy／dt)，S＝I，则dy／dt＝3y／10，分离变量得dy／y＝3dt／10，解之得通解y＝Ce3t／10，将y｜t＝0＝5代入通解得C＝5，所以国民收入函数为y＝5e3t／10．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)25、证明x4－2x2y2＝8是微分方程(x2－y2)dx－xydy＝0满足y(2)＝1的特解．标准答案：把y(2)＝1代入x4－2x2y2＝8中，方程成立；x4－2x2y2＝8两边同时微分得4x3dx－4xy2dx－4x2ydy＝0，整理可得(x2－y2)dx－xydy＝0，所以x4－2x2y2＝8是微分方程(x2－y2)dx－xydy＝0满足y(2)＝1的特解．知识点解析：暂无解析26、求微分方程y”－8y’＋20y＝0的通解．标准答案：微分方程的特征方程为r2－8r＋20＝0，其特征根为r1,2＝4±2i，故原方程的通解为y＝(C1sin2x＋C2cos2x)e4x．知识点解析：暂无解析27、求满足微分方程y”－12y’＋36y＝0的曲线，使其在点(0，1)处与直线y＝5x＋1相切．标准答案：原方程的特征方程为r2－12r＋36＝0，即(r－6)2＝0，解得特征根为r1＝r2＝6，故原方程的通解为y＝(C1＋C2x)e6x，则y’＝C2e6x＋6(C1＋C2x)e6x，又由题意可知y(0)＝1，y’(0)＝5，所以可得C1＝1，C2＝－1，故曲线为y＝(1－x)e6x．知识点解析：暂无解析28、求y”＋y’－12y＝(x＋2)e－x的通解．标准答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2＋r－12＝0，解得r1＝－4，r2＝3，所以对应的齐次方程的通解为Y＝C1e－x＋C2e3x，又f(x)＝(x＋2)e－x中λ＝－1不是特征方程的根，故设原方程的特解为y*＝e－x(Ax＋B)，则(y*)’＝e－x(－Ax－B＋A)，(y*)”＝e－x(Ax＋B－2A)，代入原方程得e－x(Ax＋B－2A)＋e－x(－Ax－B＋A)－12e－x(Ax＋B)＝(x＋2)e－x，解得A＝－1／12，B＝－23／144，故原方程的通解为y＝Y＋y*＝C1e－4x＋C2e3x－e－x(x／12＋23／144)．知识点解析：暂无解析云南专升本数学（常微分方程）模拟试卷第4套一、单项选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、下列方程是二阶线性微分方程的是()A、(y’)2＋5yy”＋xy＝0B、x2y’’’＋2y’＋y＝0C、y”＋x2y’＋y2＝0D、xy’＋2y”＋x2y＝0标准答案：D知识点解析：由二阶线性微分方程的定义可知D项正确．A、C项是非线性的微分方程，B项是三阶的微分方程．2、已知y＝x／lnx是微分方程y’＝y／x＋φ(x／y)的解，则φ(x／y)＝()A、－y2／x2B、y2／x2C、－x2／y2D、x2／y2标准答案：A知识点解析：y＝x／lnx，y’＝(lnx－1)／ln2x代入y’＝y／x＋φ(x／y)，得(lnx－1)／ln2x＝1／lnx＋φ(lnx)，即φ(lnx)＝(lnx－1)／ln2x－1／lnx＝－1／ln2x，令lnx＝u，则φ(u)＝－1／u2，所以φ(x／y)＝－y2／x2．3、下列方程是可分离变量微分方程的是()A、(y’)2＋xy’＝xB、yy’－2y＝xC、2y’／x＋2y／x2＝0D、y”－y’＋3xy2＝cosy标准答案：C知识点解析：C项整理可得dy／y＝－dx／x，是可分离变量微分方程，其他三项的方程均不能整理成g(y)dy＝f(x)dx的形式．4、已知函数y＝f(x)是微分方程2y’＝y满足初始条件y｜x＝4＝1的特解，则f(16)＝()A、1B、eC、e2D、0标准答案：C知识点解析：微分方程分离变量可得，两边积分得In｜y｜＝＋C1，即y＝，代入初始条件y｜x＝4＝1，可得C＝e－2，故方程特解为y＝f(x)＝当x＝16时，f(16)＝e2，故选C．5、微分方程dy／dx＝y／x＋2(y／x)2满足y｜x＝1＝－1／2的特解为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令u＝y／x，则y＝xu，dy／dx＝u＋xdu／dx，代入方程得u＋xdu／dx＝u＋2u2，分离变量得du／2u2＝dx／x，两边积分得－1／2u＝ln｜x｜＋C，即－2y／x＝1／(ln｜x｜＋C)．令x＝1，y＝－1／2，得C＝1．因此所求特解为y＝－x／[2(1＋ln｜x｜)]．6、设二阶常系数齐次线性微分方程y”＋py’＋qy＝0的特征方程有两个相等的实根r1＝r2＝r，则方程的通解是y＝()A、C1cos(rx)＋C2sin(rx)B、C1erx＋C2xerxC、C1erx＋C2e－rxD、x(C1erx＋C2erx)标准答案：B知识点解析：由二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的根的情况可得该方程的通解为y＝C1erx＋C2xerx．7、已知曲线y＝y(x)经过原点，且在原点处的切线平行于直线2x－y＋5＝0，而y(x)满足微分方程y”－6y’＋9y＝0，则此曲线方程为y＝()A、sin2xB、x2e3x／2C、2xe3xD、2e3x标准答案：C知识点解析：微分方程的特征方程为r2－6r＋9＝(r－3)2＝0，其特征根为r1＝r2＝3，所以二阶齐次方程的通解为y＝(C1＋C2x)e3x，y’＝(3C2x＋3C1＋C2)e3x．由题意可得y’(0)＝2，y(0)＝0，代入可得C1＝0，C2＝2，故所求曲线方程为y＝2xe3x．8、设y＝y(x)是二阶常系数微分方程y”＋Py’＋qy＝e3x满足初始条件y(0)＝y’(0)＝0的特解，则()A、不存在B、等于1C、等于2D、等于3标准答案：C知识点解析：由y”＋py’＋qy＝e3x得y”(x)在x＝0处连续，且y"(0)＝－py’(0)－qy(0)＋1＝1，则二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)9、微分方程dy／dx＝ex／(2y＋4y3)的通解为________．标准答案：y2＋y4＝ex＋C知识点解析：方程分离变量得(2y＋4y3)dy＝exdz，两边积分得∫(2y＋4y3)dy＝∫exdx，所以通解为y2＋y4＝ex＋C．10、微分方程eyy’－＝0满足y｜x＝0＝0的特解为________．标准答案：4ey＝＋3知识点解析：方程分离变量得eydy＝xdx，两边积分有∫eydy＝∫xdx，即ey＋C．将初始条件y｜x＝0＝0代入得C＝3／4，则方程的特解为4ey＝＋3．11、已知曲线y＝f(x)过点(0，－1／2)，且其上任一点(x，y)处的切线斜率均为xln(1＋x2)，则f’(x)＝________．标准答案：(1＋x2)[ln(1＋x2)－1]／2知识点解析：由题意可知y’＝xln(1＋x2)，即dy＝xln(1＋x2)dx，等式两端积分得y＝∫xln(1＋x2)dx＝(1／2)ln(1＋x2)d(1＋x2)＝＝(1／2)(x2＋1)ln(1＋x2)－x2／2＋C．把(0，－1／2)代入上式，得C＝－1／2，故f(x)＝(1＋x2)[ln(1＋x2)－1]／2．12、设函数f(x)在(－∞，＋∞)内可导，且满足f’(x)＝xf(x)／(1＋x2)，f(0)＝m，如果xf(x)dx＝3，则m＝________．标准答案：9／26知识点解析：方程分离变量得而df(x)／f(x)＝xdx／(1＋x2)，两边积分得ln｜f(x))｜＝ln(1＋x2)／2＋C1，即f(x)＝C(1＋x2)1／2．又f(0)＝m，则C＝m，故f(x)＝m(1＋x2)1／2，则所以m＝9／26．13、已知某二阶常系数齐次线性微分方程的通解为y＝C1e－x＋C2e2x，则该微分方程为________．标准答案：y”－y’－2y＝0知识点解析：由该二阶齐次线性微分方程的通解可知该方程对应的特征方程的特征根为r1＝－1，r2＝2，所以对应的特征方程为(r＋1)(r－2)＝r2－r－2＝0，故该微分方程为y”－y’－2y＝0．14、微分方程y”＋9y＝0的通解是________．标准答案：y＝C1cos3x＋C2sin3x知识点解析：特征方程为r2＋9＝0，解得特征根为r1，2＝±3i，故通解为y＝C1cos3x＋C2sin3x．15、设二阶常系数齐次线性微分方程y”＋ay’＋by＝0的通解为y＝C1ex＋C2e2x，那么可得非齐次微分方程y”＋ay’＋by＝1的一个特解为________．标准答案：y*＝1／2知识点解析：二阶常系数齐次线性方程对应的特征方程为r2＋ar＋b＝0，又由通解可得特征根r1＝1，r2＝2，即(r－1)(r－2)＝r2－3r＋2＝0，故a＝－3，b＝2，所以非齐次微分方程为y”－3y’＋2y＝1．由于λ＝0不是特征方程的根，因此设特解y*＝A，则(y*)’＝0，(y*)”＝0，代入可得A＝1／2，所以y*＝1／2．三、计算题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)16、求微分方程ysin(x／2)dx－cos(x／2)dy＝0的通解．标准答案：方程分离变量得dy／y＝，两边积分有ln｜y｜＝－2ln｜cos(x／2)｜＋ln｜C1｜，故方程通解为y＝知识点解析：暂无解析17、求方程(1＋x2)ydy＋(1＋y4)dx＝0满足y｜x＝0＝1的特解．标准答案：方程分离变量得两边积分有，即rctany2／2＝－arctanx＋C，将初始条件y｜x＝0＝1代入得C＝π／8，则方程的特解为arctany2＋2arctanxπ＝π／4．知识点解析：暂无解析18、求微分方程secx．y’＋tanx．y＝ecosx的通解．标准答案：将原方程改写成y’＋ysinx＝cosxecosx，则通解为y＝e－∫sinxdx(∫cosxecosxe∫sinxdxdx＋C)＝ecosx(∫cosxdx＋C)＝ecosx(sinx＋C)．知识点解析：暂无解析19、求微分方程xy’＋2y＝xlnx满足y(1)＝－1／9的特解．标准答案：方程xy’＋2y＝xlnx两边同时除以x，得y’＋2y／x＝lnx，此为一阶非齐次线性微分方程，则利用通解公式得又因为y(1)＝－1／9，所以－1／9＋C＝－1／9，解得C＝0，从而得特解y＝xlnx／3－x／9．知识点解析：暂无解析20、已知可导函数f(x)满足∫0xtf(t)dt＝x2＋f(x)，求函数f(x)的表达式．标准答案：等式∫0xtf(t)dt＝x2＋f(x)两端对x求导得xf(x)＝2x＋f’(x)，即f’(x)－xf(x)＝－2x，则通解为等式∫0xtf(t)dt＝x2＋f(x)中，令x＝0，得f(0)＝0，代入通解中得C＝－2，故f(x)＝2－知识点解析：暂无解析21、设f(x)为连续函数，且满足f(x)＝∫0xf(t)dt＋2∫01tf2(t)dt，求f(x)．标准答案：令∫01tf2(t)dt＝a≥0，则f(x)＝∫0xf(t)dt＋2a．上式两边同时对x求导，得f’(x)＝f(x)，解得f(x)＝Cex．又由已知条件可知f(0)＝2a，所以C＝2a，从而f(x)＝2aex．再将f(t)＝2aet代入∫01tf2(t)dt＝a中，得4a2∫01te2tdt＝a，可解得a＝0或1／(e2＋1)，所以f(x)＝0或2ex／(e2＋1)．知识点解析：暂无解析22、求y”＝3y2／2满足条件y(3)＝1，y’(3)＝1的特解．标准答案：方程不显含x，因此令y’＝p，则y”＝pdp／dy，将其代入原方程并分离变量得2pdp＝3y2dy，两边积分得p2＝y3＋C1．由y｜x＝3＝1，y’｜x＝3＝1得C1＝0，p＝y3／2(因为y’｜x＝3＝1＞0，所以取正号)，即y－3／2dy＝dx，两边积分得－2y－1／2＝x＋C2．将y｜x＝3＝1代入得C2＝－5，所以特解为y＝4／(x－5)2．知识点解析：暂无解析23、假设：(1)函数y＝f(x))(0≤x＜＋∞)满足条件f(0)＝0和0≤f(x)≤ex－1；(2)平行于y轴的动直线MN与曲线y＝f(x)和y＝ex－1分别相交于点P1和P2；(3)曲线y＝f(x)、直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度．求函数y＝f(x)的表达式．标准答案：根据题意可得图设直线MN对应的横坐标为x，则由已知条件可知∫0xf(t)dt＝ex－1－f(x)两端分别对x求导得f(x)＝ex－f’(x)，即f’(x)＋f(x)＝ex，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得f(x)＝(∫ex．e∫dxdx＋C)e－∫dx＝(∫ex．exdx＋C)e－x＝Ce－x＋ex／2．由f(0)＝0得C＝－1／2，因此所求函数为f(x)＝(ex－e－x)／2．知识点解析：暂无解析人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比．24、如果经过4小时的细菌数为原细菌数x0的2倍，那么经过12小时应有多少细菌?标准答案：设t时刻的细菌数为x(t)，由题意可知dx／dt＝kx(k为比例系数)，得x＝Cekt，又t＝0时，x＝x0，则x＝x0ekt．又t＝4时，x(4)＝x0e4k＝2x0，则ek＝21／4，x(t)＝x0．2t／4，故t＝12时，x(12)＝x0．212／4＝8x0；知识点解析：暂无解析25、若在3小时的时候，有细菌数104个，在5小时的时候有4×104个，那么在开始时有多少个细菌?标准答案：x(t)＝x0ekt，则解得x0＝1250，即开始时有1250个细菌．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)26、求微分方程y”－4y’＋4y＝0满足初始条件y(0)＝3，y’(0)＝9的特解．标准答案：微分方程的特征方程为r2－4r＋4＝0，其特征根为r＝2(二重根)，故原方程的通解为y＝(C2x＋C2)e2x，则y’＝(2C1x＋2C2＋C1)e2x，将初始条件y(0)＝3，y’(0)＝9代入得C1＝3，C2＝3，故原方程的特解为y＝3(x＋1)e2x．知识点解析：暂无解析27、已知函数y＝e3x是微分方程y”－2y’＋ay＝0的一个特解，求常数a的值，并求该微分方程的通解．标准答案：把y＝e3x，y’＝3e3x，y”＝9e3x代入微分方程y”－2y’＋ay＝0中，得(3＋a)e3x＝0，所以a＝－3，故方程为y”－2y’－3y＝0；微分方程y”－2y’－3y＝0的特征方程为r2－2r－3＝0，可求得方程的特征根为r1＝3，r2＝－1，故原微分方程的通解为y＝C1e3x＋C2e－x．知识点解析：暂无解析28、求y”＋4y’－12y＝xe2x的通解．标准答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2＋4r－12＝0，解得r1＝2，r2＝－6，所以对应的齐次方程的通解为y＝C1e2x＋C2e－6x，又f(x)＝xe2x中λ＝2是特征方程的单根，故设原方程的特解为y*＝xe2x(Ax＋B)，则(y*)’＝[2Ax2＋(2A＋2B)x＋B]e2x，(y*)”＝[4Ax2＋(8A＋4B)x＋2A＋4B]e2x，代入原方程得(16Ax＋2A＋8B)e2x＝xe2x，解得A＝1／16，B＝－1／64，故原方程的通解为y＝C1e2x＋C2e－6x＋xe2x(x／16－1／64)．知识点解析：暂无解析云南专升本数学（常微分方程）模拟试卷第5套一、单项选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、下列方程是微分方程的是()A、2y5＋x2＋6xy＝0B、(x－y)2＋(x＋y)2＝16C、(y’)5＋xy(4)－y2＝0D、4x2＋9y2＝36标准答案：C知识点解析：微分方程是表示未知函数、未知函数的导数或微分与自变量之间的关系的方程，故C项为微分方程．2、下列函数可以作为某个二阶微分方程的通解的是()A、y＝CsinxB、y＝C1sin3x＋C22cos3xC、y＝sin3x＋cos3xD、y＝(C1＋C2)cosx标准答案：B知识点解析：二阶微分方程的通解中应含有两个相互独立的任意常数，故排除A、C、D项，选B．3、微分方程3x2＋5x－5y’＝0的通解为()A、y＝x3／4＋x2／3＋CB、y＝x3＋x2＋CC、y＝x3／5＋x2／2＋CD、y＝x3／5＋x2／2标准答案：C知识点解析：微分方程分离变量为dy＝(3x2＋5x)dx，两边同时积分可得y＝x3／5＋x2／2＋C．4、9．设函数y(x)满足微分方程cos2x．y’＋y＝tanx，且当x＝π／4时，y＝0，则当x＝0时，y＝()A、π／4B、－π／4C、－1D、1标准答案：C知识点解析：方程两边同时除以cos2x，得y’＋sec2．y＝tansec2x，此为一阶非齐次线性微分方程，由通解公式可得又当x＝π／4时，y＝0，则C＝0，即y＝tanx－1，所以x＝0时，y＝－1，故选C．5、已知微分方程(ey＋e－y)y”＝2(y’)2，降阶时可令y’＝P，则需将y”转化为()A、dp／dxB、xdp／dxC、pdp／dyD、dp／dy标准答案：C知识点解析：对于可降阶方程中的y”＝f(y，y’)型，需令y’＝p，则y”＝dp／dx＝dp／dy．dy／dx＝pdp／dy，故选C．6、设y＝f(x)是方程y”－3y’＋5y＝0的一个解，若f’(x0)＝0，且f(x0)＞0，则函数f(x)()A、在点x0处取得极大值B、在点x0处取得极小值C、在点x0的某个邻域内单调递增D、在点x0的某个邻域内单调递减标准答案：A知识点解析：由题意可知f"(x)－3f’(x0)＋5f(x0)＝0，结合f(x0)＞0，f’(x0)＝0，可得f"(x0)＝－5f(x0)＜0，由极值的充分条件可知，x＝x0是f(x)的极大值点．故选A．7、已知二阶微分方程y”＋y’－6y＝3e2xsinx，则可设其特解形式为y*＝()A、e2xz(acosx＋bsinx)B、e2x(acos2x＋bsin2x)C、xe2x(acosx＋bsinx)D、xe2x(acos2x＋bsin2x)标准答案：A知识点解析：方程对应的齐次方程的特征方程为r2＋r－6＝0，解得r1＝－3，r2＝2，而λ±iω＝2±i不是特征根，所以y”＋y’－6y＝3e2xsinx的特解形式可设为y*＝e2x(acosx＋bsinx)，故选A．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)8、设函数y＝ae－x＋be5x是某个二阶微分方程满足初始条件y｜x＝0＝3，y’｜x＝0＝9的特解，a，b为常数，则a＝________，b＝________．标准答案：1，2知识点解析：y＝ae－x＋be5x，y’＝－ae－x＋5be5x，将y｜x＝0＝3，y’｜x＝0＝9代入，有解得9、微分方程3extanydx＋(1－ex)sec2ydy＝0的通解是________．标准答案：tany＝C(ex－1)3知识点解析：方程分离变量为(sec2y／tany)dy＝[3ex／(ex－1)]dy，两边积分得ln｜tany｜＝3ln｜ex－1｜＋ln｜C｜，所以方程的通解为tany＝C(ex－1)3．10、微分方程y’－2y／(x＋1)＝(x＋1)5／2的通解是________．标准答案：y＝(x＋1)2知识点解析：由通解公式得微分方程的通解为11、微分方程xy’－xsin(y／x)－y＝0的通解为________．标准答案：csc(y／x)－cot(y／x)＝Cx知识点解析：原方程可化为dy／dx＝sin(y／x)＋y／x，令y／x＝u，即y＝xu，于是dy／dx＝u＋xdu／dx，将上式代入微分方程得u＋xdu／dxdu＝sinu＋u，整理得cscudu＝dx／x，两边积分得ln｜cscu－cotu｜＝In｜x｜＋ln｜C｜，即cscu－cotu＝Cx，将u＝y／x代入上式，得原方程的通解为csc(y／x)－cot(y／x)＝Cx．12、满足方程y”＝x，且在点(0，1)处的切线方程为y＝x／2＋1的曲线方程为________．标准答案：y＝x3／6＋x／2＋1知识点解析：对方程y”＝x两边积分得y’＝x2／2＋C1，再积分得y＝x3／6＋C1x＋C．由曲线过点(0，1)可得C＝1；又曲线在该点处的切线方程为y＝x／2＋1，所以y’(0)＝1／2，则C1＝1／2，故所求曲线方程为y＝x3／6＋x／2＋1．13、微分方程y”－11y’＋10y＝0的通解为________．标准答案：y＝C1ex＋C2e10x知识点解析：特征方程为r2－11r＋10＝0，特征根为r1＝1，r2＝10，故通解为y＝C2ex＋C2e10x．14、已知某二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解y1＝ex，y2＝e2x，则该方程满足初始条件y(0)＝1，y’(0)＝3的解为________．标准答案：y＝－ex＋2e2x知识点解析：y1，y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的特解，所以由线性微分方程解的结构得y＝C1y1＋C2y2＝C1ex＋C2e2x是该方程的通解．又y’＝C1ex＋2C2e2x，将初始条件y(0)＝1，y’(0)＝3代入可得C1＝－1，C2＝2，故所求解为y＝－ex＋2e2x．15、已知二阶常系数非齐次微分方程y”－5y’＋6y＝xe2x，它的一个特解可设为________．标准答案：y*＝x(Ax＋B)e2x知识点解析：方程对应的二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2－5r＋6＝(r－2)(r－3)＝0，所以r1＝2，r2＝3，f(x)＝xe2x中，λ＝2是该特征方程的单根，所以特解形式可设为y*＝x(Ax＋B)e2x．三、计算题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)16、求微分方程y’sinx＝ylny满足初始条件y(π／2)＝e的特解．标准答案：方程y’sinx＝ylny分离变量得，两沩积分得则ln｜lny｜＝ln｜cscx－cotx｜＋ln｜C｜，lny＝C(cscx－cotx)，即通解为y＝eC(cscx－cotx)．将y(π／2)＝e代入通解得C＝1，故原方程的特解为y＝ecscx－cotx．知识点解析：暂无解析17、求微分方程(y2－x2)dx－xydy＝0满足y｜x＝1＝1的特解．标准答案：原方程可化为dy／dx＝(y2－x2)／xy＝y／x－x／y，令u＝y／x，则dy／dx＝u＋xdu／dx，代入上式得u＋xdu／dx＝u－1／u，整理后并分离变量可得－udu＝dx／x，两边积分得－u2／2＝ln｜x｜＋C1，即y2＝y2(C－2ln｜x｜)，又y｜x＝1＝1，所以C＝1，故所求特解为y2＝x2(1－2ln｜x｜)．知识点解析：暂无解析18、求微分方程dy／dx＝y／(2x－y2)的通解．标准答案：当把x看作未知函数时，可以得到线性微分方程dx／dy－2x／y＝－y．于是由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得原方程的通解为知识点解析：暂无解析19、设y＝ex是微分方程xy’＋p(x)y＝x的一个特解，求该微分方程满足条件y(in2)＝0的特解．标准答案：将y＝ex，y’＝ex代入微分方程xy’＋p(x)y＝x得xex＋P(x)ex＝x，从而p(x)＝xe－x－x，微分方程变为xy’＋(xe－x－xz)y＝x。即y’＋(e－x－1)y＝1，此为一阶非齐次线性微分方程，其通解为将y(ln2)＝0代入通解得C＝－e－1／2，故所求特解为y＝ex－知识点解析：暂无解析20、求一个不恒等于零的可导函数f(x)，使它满足f2(x)＝∫0x[f(t)sint／(2＋cost)]dt．标准答案：f2(x)＝∫0xf(t)两边同时对x求导可得2f(x)．f’(x)＝f(x)，因为f(x)不恒等于零，所以令y＝f(x)，解微分方程，分离变量得dy＝两端积分得，所以y＝f(x)＝－ln(2＋cosx)／2＋C，又因为f(0)＝0，可得C＝ln3／2，所以所求函数f(x)＝－ln(2＋cosx)／2＋ln3／2．知识点解析：暂无解析21、求y”＝y’＋x的通解．标准答案：令y’＝p，则y”d2P’，原方程化为p’－p＝x，解此一阶非齐次线性微分方程得p＝e∫dx(∫xe－∫dxdx＋C1)＝ex(∫xe－xdx＋C1)＝C1ex－x－1，即y’＝C1ex－x－1，分离变量后两边积分得通解为y＝C1ex－x2／2－x＋C2．知识点解析：暂无解析22、求方程x2y”＋2xy’＝1满足条件y(1)＝0，y’(1)＝1的特解．标准答案：将原方程改写为y”＋2y’／x＝1／x2，令y’＝p，则y”＝p’，方程可写为p’＋2p／x＝1／x2，则代入y’(1)＝1，得C＝0，即y’＝1／x，分离变量并两边积分得y＝ln｜x｜＋C1，由y(1)＝0得C1＝0，则所求特解为y＝In｜x｜．知识点解析：暂无解析23、设函数f(t)在[0，＋∞)上连续，且满足方程f(t)＝，求f(t)．标准答案：显然f(0)＝1，由于于是f(t)＝解上述关于f(t)的一阶非齐次线性微分方程，得代入f(0)＝1，得C＝1．因此f(t)＝知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)24、求微分方程y”－3y＝0的通解．标准答案：微分方程的特征方程为r2－3＝0，其特征根为r1＝，r2＝－．故原方程的通解为y＝知识点解析：暂无解析25、求微分方程y”－4y’＋13y＝0满足初始条件y｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝3的特解．标准答案：微分方程的特征方程为r2－4r＋13＝0，解得特征根为r1，2＝2±3i，故方程的通解为y＝e2x(C1cos3x＋C2sin3x)，且有y’＝e2x[(2C1＋3C2)cos3x＋(2C2－3C1)sin3x]，代入初始条件得所以所求特解为y＝e2xsin3x．知识点解析：暂无解析26、求微分方程y”－4y’＋8y＝sinx的一个特解．标准答案：方程对应的二阶齐次方程的特征方程为r2－4r＋8＝0，特征根为r1,2＝2±2i，因为f(x)＝sinx中±i不是特征根，所以设特解为y*＝C1sinx＋C2cosx，则(y*)’＝C1cosx－C2sinx，(y*)”＝－C1sinx－C1cosx，代入原方程得解得C1＝7／65，C2＝4／65，所以特解为y*＝7sinx／65＋4cosx／65．知识点解析：暂无解析27、已知二阶可导函数y＝f(x)满足f(x)＝x3＋1－x∫0xf(t)dt＋∫0xtf(t)dt，求f(x)．标准答案：等式两边对x求导得f’(x)＝3x2－∫0xf(t)dt－xf(x)＋xf(x)＝3x2－∫0xf(t)dt，再求导得f"(x)＝6x－f(x)，即f"(x)＋f(x)＝6x，这是二阶非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为r2＋1＝0，所以r1＝i，r2＝－i，故对应二阶齐次微分方程通解为Y＝C1cosx＋C2sinx．因为f(x)＝6x中λ＝0不是该特征方程的特征根，故特解形式为y*＝Ax＋B，(y*)’＝A，(y*)”＝0。代入原方程得Ax＋B＝6x，解得A＝6，B＝0，则y*＝6x，故通解为f(x)＝Y＋y*＝C1cosx＋C2sinx＋6x，则f’(x)＝－C1sinx＋C2cosx＋6．又方程满足f(0)＝1，f’(0)＝0，代入解得C1＝1，C2＝－6，故函数f(x)＝cosx－6sinx＋6x．知识点解析：暂无解析云南专升本数学（常微分方程）模拟试卷第5套一、单项选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、下列方程是二阶线性微分方程的是()A、(y’)2＋5yy”＋xy＝0B、x2y’’’＋2y’＋y＝0C、y”＋x2y’＋y2＝0D、xy’＋2y”＋x2y＝0标准答案：D知识点解析：由二阶线性微分方程的定义可知D项正确．A、C项是非线性的微分方程，B项是三阶的微分方程．2、已知y＝x／lnx是微分方程y’＝y／x＋φ(x／y)的解，则φ(x／y)＝()A、－y2／x2B、y2／x2C、－x2／y2D、x2／y2标准答案：A知识点解析：y＝x／lnx，y’＝(lnx－1)／ln2x代入y’＝y／x＋φ(x／y)，得(lnx－1)／ln2x＝1／lnx＋φ(lnx)，即φ(lnx)＝(lnx－1)／ln2x－1／lnx＝－1／ln2x，令lnx＝u，则φ(u)＝－1／u2，所以φ(x／y)＝－y2／x2．3、下列方程是可分离变量微分方程的是()A、(y’)2＋xy’＝xB、yy’－2y＝xC、2y’／x＋2y／x2＝0D、y”－y’＋3xy2＝cosy标准答案：C知识点解析：C项整理可得dy／y＝－dx／x，是可分离变量微分方程，其他三项的方程均不能整理成g(y)dy＝f(x)dx的形式．4、已知函数y＝f(x)是微分方程2y’＝y满足初始条件y｜x＝4＝1的特解，则f(16)＝()A、1B、eC、e2D、0标准答案：C知识点解析：微分方程分离变量可得，两边积分得In｜y｜＝＋C1，即y＝，代入初始条件y｜x＝4＝1，可得C＝e－2，故方程特解为y＝f(x)＝当x＝16时，f(16)＝e2，故选C．5、微分方程dy／dx＝y／x＋2(y／x)2满足y｜x＝1＝－1／2的特解为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令u＝y／x，则y＝xu，dy／dx＝u＋xdu／dx，代入方程得u＋xdu／dx＝u＋2u2，分离变量得du／2u2＝dx／x，两边积分得－1／2u＝ln｜x｜＋C，即－2y／x＝1／(ln｜x｜＋C)．令x＝1，y＝－1／2，得C＝1．因此所求特解为y＝－x／[2(1＋ln｜x｜)]．6、设二阶常系数齐次线性微分方程y”＋py’＋qy＝0的特征方程有两个相等的实根r1＝r2＝r，则方程的通解是y＝()A、C1cos(rx)＋C2sin(rx)B、C1erx＋C2xerxC、C1erx＋C2e－rxD、x(C1erx＋C2erx)标准答案：B知识点解析：由二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的根的情况可得该方程的通解为y＝C1erx＋C2xerx．7、已知曲线y＝y(x)经过原点，且在原点处的切线平行于直线2x－y＋5＝0，而y(x)满足微分方程y”－6y’＋9y＝0，则此曲线方程为y＝()A、sin2xB、x2e3x／2C、2xe3xD、2e3x标准答案：C知识点解析：微分方程的特征方程为r2－6r＋9＝(r－3)2＝0，其特征根为r1＝r2＝3，所以二阶齐次方程的通解为y＝(C1＋C2x)e3x，y’＝(3C2x＋3C1＋C2)e3x．由题意可得y’(0)＝2，y(0)＝0，代入可得C1＝0，C2＝2，故所求曲线方程为y＝2xe3x．8、设y＝y(x)是二阶常系数微分方程y”＋Py’＋qy＝e3x满足初始条件y(0)＝y’(0)＝0的特解，则()A、不存在B、等于1C、等于2D、等于3标准答案：C知识点解析：由y”＋py’＋qy＝e3x得y”(x)在x＝0处连续，且y"(0)＝－py’(0)－qy(0)＋1＝1，则二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)9、微分方程dy／dx＝ex／(2y＋4y3)的通解为________．标准答案：y2＋y4＝ex＋C知识点解析：方程分离变量得(2y＋4y3)dy＝exdz，两边积分得∫(2y＋4y3)dy＝∫exdx，所以通解为y2＋y4＝ex＋C．10、微分方程eyy’－＝0满足y｜x＝0＝0的特解为________．