自动控制原理与应用课件

第1章概述

在許多工業生產過程或生產設備運行中，為了保證正常的工作條件，往往需要對某些物理量(如溫度、壓力、流量、液位、電壓、位移和轉速等)進行控制，使其儘量維持在某個數值附近或按一定規律變化。要滿足這種需要，就應該對生產機械或設備進行及時的操作，以抵消外界干擾的影響。這種操作通常稱為控制，用人工操作稱為人工控制，用自動裝置來完成稱為自動控制。階段1自動控制概念的提出任務1自動控制與自動控制系統階段2自動控制系統的基本組成任務1自動控制與自動控制系統自動控制系統根據被控對象和具體用途的不同，可以有各種不同的結構形式。如圖所示是一個典型自動控制系統的方框圖。圖中，每一個方框代表一個具有特定功能的元件。除了被控對象外，控制裝置通常是由給定元件、測量元件、比較元件、放大元件、執行機構和校正元件組成的。這些功能元件分別承擔相應的職能，共同完成控制任務。階段2自動控制系統的基本組成任務1自動控制與自動控制系統階段2自動控制系統的基本組成任務1自動控制與自動控制系統（1）被控對象一般是指生產過程中需要進行控制的工作機械、裝置或生產過程。描述被控對象工作狀態的、需要進行控制的物理量就是被控量。（2）給定元件主要用於產生給定信號或控制輸入信號。（3）測量元件用於檢測被控量或輸出量，產生回饋信號。如果測出的物理量屬於非電量，一般要轉換成電量以便處理。階段2自動控制系統的基本組成任務1自動控制與自動控制系統（4）比較元件。

用來比較輸入信號和回饋信號之間的偏差。它可以是一個差動電路，也可以是一個物理元件（如電橋電路、差動放大器和自整角機等）。（5）放大元件。

用來放大偏差信號的幅值和功率，使之能夠推動執行機構調節被控對象，如功率放大器等。階段2自動控制系統的基本組成任務1自動控制與自動控制系統（6）執行機構。

用於直接對被控對象進行操作，調節被控量，如閥門和伺服電動機等。（7）校正元件。

用來改善或提高系統的性能。常用串聯或回饋的方式連接在系統中，如RC網路和測速發電機等。階段3自動控制系統的分類任務1自動控制與自動控制系統按給定信號的形式不同，可將系統劃分為恒值控制系統和隨動控制系統兩種。（1）恒值控制系統。

輸入量一經設定，就維持不變，希望輸出量維持在某一特定值上。（2）隨動控制系統。

若給定信號的變化規律是事先不能確定的、隨時間變化的信號，則稱該系統為自動跟蹤系統；若給定輸入是預先設定的、按預定規律變化的信號，則稱相應系統為程式控制系統。上述兩種系統稱為隨動控制系統。階段3自動控制系統的分類任務1自動控制與自動控制系統按系統參數是否隨時間變化，可以將系統分為定常系統和時變系統兩種。其中，如果控制系統的參數在系統運行過程中不隨時間變化，則稱為定常系統或者時不變系統。否則，稱為時變系統。按系統是否滿足疊加原理，可將系統分為線性系統和非線性系統兩種。本課程重點研究線性定常系統。如果一個系統在輸入r1(t)的作用下產生輸出c1(t)，在輸入r2(t)的作用下產生輸出c2(t)，若在輸入a1r1(t)+a2r2(t)的作用下，系統輸出為a1c1(t)+a2c2(t)，其中r1(t)，r2(t)是任意的輸入信號；a1,a2是任意的常數，那麼該系統滿足疊加原理，是線性系統，否則是非線性系統。階段3自動控制系統的分類任務1自動控制與自動控制系統按系統信號是連續信號還是離散信號，可將系統分為連續系統與離散系統兩種。其中，若系統中所有信號都是連續信號，則稱為連續系統；若系統中有一處或幾處的信號是離散信號（脈衝序列或數字編碼），則稱為離散系統（包括採樣系統和數字系統）。按照輸入信號和輸出信號的數目，可將系統分為單輸入單輸出(SISO)系統和多輸入多輸出(MIMO)系統。其中，單輸入單輸出系統通常稱為單變數系統，這種系統只有一個輸入(不包括擾動輸入)和一個輸出；多輸入-多輸出系統通常稱為多變量系統，有多個輸入和多個輸出。階段1開環控制任務2開環控制與閉環控制如圖(a)所示的他激直流電動機轉速控制系統就是一個開環控制系統。它的任務是控制直流電動機以恒定的轉速帶動負載工作。在本系統中，直流電動機是被控對象；電動機的轉速ω是被控量，或稱系統的輸出量或輸出信號；參考電壓ur通常被稱為系統的給定量或輸入量。階段１開環控制任務2開環控制與閉環控制如圖（b）所示是直流電動機轉速開環控制系統的方框圖。階段1開環控制任務2開環控制與閉環控制一般來說，開環控制系統結構比較簡單，成本較低。開環控制系統的缺點是控制精度不高，抑制干擾能力差，而且對系統參數的變化比較敏感。一般用於可以不考慮外界影響或精度要求不高的場合，如洗衣機、步進電機控制及水位調節等。階段2閉環系統任務2開環控制與閉環控制開環控制系統精度不高和適應性不強的主要原因是缺少從系統輸出到輸入的回饋回路。若要提高控制精度，必須把輸出量的資訊回饋到輸入端，通過比較輸入值與輸出值，產生偏差信號，該偏差信號以一定的控制規律產生控制作用，逐步減小以至消除這一偏差，從而實現所要求的控制性能。階段2閉環系統任務2開環控制與閉環控制在圖(a)所示的直流電動機轉速開環控制系統中，加入一臺測速發電機，並對電路稍作改變，便構成了如(a)所示的直流電動機轉速閉環控制系統。階段2閉環系統任務2開環控制與閉環控制如圖（b）所示是直流電動機轉速閉環控制系統的方框圖。這種通過回饋回路使系統構成閉環，並按偏差產生控制作用，用以減小或消除偏差的控制系統，稱為閉環控制系統，或稱為回饋控制系統。而把從系統輸入量到輸出量之間的通道稱為前向通道；從輸出量到回饋信號之間的通道稱為回饋通道。階段2閉環系統任務2開環控制與閉環控制閉環控制系統工作的本質是：將系統的輸出信號引回到輸入端，與輸入信號相比較，利用所得的偏差信號對系統進行調節，達到減小偏差或消除偏差的目的。這就是負回饋控制原理，它是構成閉環控制系統的核心。閉環控制是最常用的控制方式，通常所說的控制系統，一般都是指閉環控制系統。閉環控制系統是本課程討論的重點。另外，也可將閉環控制與補償控制相結合，形成複合控制。任務3對自動控制系統的性能要求由於實際物理系統一般都含有儲能元件或慣性元件，因而系統的輸出量和回饋量總是遲於輸入量的變化。因此，當輸入量發生變化時，輸出量從原平衡狀態變化到新平衡狀態總是要經歷一定時間。在輸入量的作用下，系統的輸出變數由初始狀態達到最終穩態的中間變化過程稱為動態過程，又稱瞬態過程。動態過程結束後的輸出回應稱為穩態過程。系統的輸出回應由動態過程和穩態過程兩部分組成。任務3對自動控制系統的性能要求不同的控制對象、不同的工作方式和控制任務，對系統的性能要求也往往不相同。一般來說，對系統性能的基本要求可以歸納為三個字：穩、准、快。任務3對自動控制系統的性能要求（1）穩：是指系統的穩定性。穩定性是系統重新恢復平衡狀態的能力。任何一個能夠正常工作的控制系統，首先必須是穩定的。穩定是對自動控制系統的最基本要求。（2）准：是對系統穩態（靜態）性能的要求。對一個穩定的系統而言，動態過程結束後，系統輸出量的實際值與期望值之差稱為穩態誤差，它是衡量系統控制精度的重要指標。穩態誤差越小，表示系統的準確性越好，控制精度越高。（3）快：是對系統動態性能（瞬態過程性能）的要求。描述系統動態性能可以用平穩性和快速性加以衡量。其中，平穩是指系統由初始狀態運動到新的平衡狀態時，具有較小的超調量和振盪性。動態性能是衡量系統品質高低的重要指標。任務3對自動控制系統的性能要求由於被控對象的具體情況不同，各種系統對3項性能指標的要求應有所側重。例如，恒值系統一般對穩態性能的限制比較嚴格，隨動系統一般對動態性能的要求較高。對於同一個系統，上述3項性能指標之間往往是相互制約的。提高過程的快速性，可能會引起系統強烈振盪；改善了平穩性，控制過程又可能很遲緩，甚至使最終精度也很差。分析和解決這些矛盾，將是本課程討論的重要內容。階段1自動控制的發展任務4自動控制的發展及本課程的要求自動控制理論是在人類征服自然的生產實踐活動中孕育、產生，並隨著社會生產和科學技術的進步而不斷發展、完善起來的。自動控制理論研究的是如何按被控對象和環境特徵，通過能動地採集和運用資訊施加控制作用，使系統在變化或不確定的條件下正常運行，並具有預定功能。它是研究自動控制共同規律的技術科學，其主要內容涉及被控對象、環境特徵、控制目標和控制手段以及它們之間的相互作用。階段1自動控制的發展任務4自動控制的發展及本課程的要求隨著自動化技術的發展，人們力求使設計的控制系統達到最優的性能指標，為了使系統在一定的約束條件下，其某項性能指標達到最優而實行的控制稱為最優控制。控制理論目前還在向更縱深、更廣闊的領域發展，無論是在數學工具、理論基礎，還是在研究方法上都產生了實質性的飛躍，在資訊與控制學科研究中注入了蓬勃的生命力，啟發並擴展了人的思維方式，引導人們去探討自然界更為深刻的運動機理。階段2本課程的研究內容任務4自動控制的發展及本課程的要求自動控制原理是一門研究自動控制共同規律的工程技術科學，是研究自動控制技術的基礎理論。自動控制系統雖然種類繁多，形式不同，但所研究的內容和方法卻是類似的。階段2本課程的研究內容任務4自動控制的發展及本課程的要求本課程的研究內容主要分為系統分析和系統設計兩個方面。1．系統分析系統分析是指在控制系統結構參數已知、系統數學模型建立的條件下，判定系統的穩定性，計算系統的動態和靜態性能指標，研究系統性能與系統結構、參數之間的關係。階段2本課程的研究內容任務4自動控制的發展及本課程的要求本課程的研究內容主要分為系統分析和系統設計兩個方面。

2．系統設計系統設計是在給出被控對象及其技術指標要求的情況下，尋求一個能完成控制任務、滿足技術指標要求的控制系統。在控制系統的主要元件和結構形式確定的前提下，設計任務往往是需要改變系統的某些參數，有時還要改變系統的結構，選擇合適的校正裝置，計算、確定其參數，加入系統之中，使其滿足預定的性能指標要求。這個過程稱為系統的校正。階段2本課程的研究內容任務4自動控制的發展及本課程的要求設計問題要比分析問題更為複雜。首先，設計問題的答案往往並不唯一，對系統提出的同樣一組要求，往往可以採用不同的方案來滿足；其次，在選擇系統的結構和參數時，往往會出現相互矛盾的情況，需要進行折中，同時必須考慮控制方案的可實現性和實現方法；最後，設計時還要通盤考慮經濟性、可靠性、安裝工藝和使用環境等各個方面的問題。

(1)根據系統的具體工作情況，確定系統或元部件的輸入變數和輸出變數。

(2)從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據各變數所遵循的物理（或化學）定律，列寫出各元部件的動態方程，一般為微分方程組。

(3)消去中間變數，寫出輸入、輸出變數的微分方程。

(4)將微分方程標準化，即將與輸入有關的各項放在等號右側，與輸出有關的各項放在等號左側，並按降冪排列。階段1系統或元部件微分方程的建立步驟任務1微分方程的建立及分析下麵舉例說明建立微分方程的步驟和方法。

RLC無源網路如圖21所示，試列寫輸入電壓ur與輸出電壓uc之間的微分方程。階段2線性系統或線性元部件微分方程的建立任務1微分方程的建立及分析控制系統的微分方程是在時間域描述系統動態性能的數學模型，在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統輸出回應的全部時間資訊。經典控制理論中，廣泛應用的根軌跡法和頻域分析法就是以傳遞函數為基礎建立起來的，因此，傳遞函數是經典控制理論中最基本也是最重要的數學模型。階段1傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析

1． 傳遞函數的定義傳遞函數是指在零初始條件下，線性定常系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。線性定常系統的微分方程一般形式為andnc(t)dtn+an-1dn-1c(t)dtn-1+…+a1dc(t)dt+a0c(t)=bmdmr(t)dtm+bm-1dm-1r(t)dtm-1+…+b1dr(t)dt+b0r(t)（1）式中，c(t)為輸出量；r(t)為輸入量；an,an-1，…，a0及bm，bm-1,…,b0均為由系統結構、參數決定的常係數。階段1傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析

1． 傳遞函數的定義

C(s)R(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0零初始條件有兩方面含義：一是指輸入作用是在t=0以後才作用於系統，因此，系統輸入量及其各階導數在t≤0時均為零；二是指輸入作用於系統之前，系統是“相對靜止”的，即系統輸出量及各階導數在t≤0時的值也為零。大多數實際工程系統都滿足這樣的條件。零初始條件的規定不僅能簡化運算，而且有利於在同等條件下比較系統性能。階段1傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析２．傳遞函數的性質（１）傳遞函數是複變數s的有理分式，它具有複變函數的所有性質。因為實際物理系統總是存在慣性，並且能源功率有限，所以實際系統傳遞函數的分母階次n總是大於或等於分子階次m，即n≥m。（２）傳遞函數只取決於系統的結構參數，而與外作用無關。（３）傳遞函數與微分方程有直接聯繫。階段1傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析２．傳遞函數的性質（４）傳遞函數的拉氏反變換即為系統的脈衝回應，因此傳遞函數能反映系統的運動特性。由於單位脈衝函數的拉氏變換式為1（即R(s)=L［δ(t)］=1），因此有L-1［G(s)］=L-1C（s）R（s）=L-1［C(s)］=k(t)階段1傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析不同的自動控制系統，其物理結構可能差別很大，但若從系統的數學模型來看，一般可將其看作由若干個典型環節所組成。研究和掌握這些典型環節的特性有助於對系統性能的瞭解。

1.比例環節具有比例運算關係的元部件稱為比例環節。其輸出量按一定比例複現輸入量，無滯後、失真現象。比例環節的傳遞函數為G(s)=C(s)R(s)=K階段2常用控制元件的傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析比例環節的方框圖如圖

比例環節的實例如圖

階段2常用控制元件的傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析２.慣性環節慣性環節的微分方程是一階的,且輸出回應需要一定的時間才能達到穩態值，故稱為一階慣性環節。此環節中含有一個獨立的儲能元件，以致對突變的輸入來說，輸出不能立即複現，存在時間上的延遲。慣性環節的傳遞函數為G（s）=C（s）R（s）=KTs+1當R（s）=1s時，C（s）=KTs+1•1s,在單位階躍信號作用下的回應為c（t）=K（1-e-tT）階段2常用控制元件的傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析慣性環節的方框圖如圖

慣性環節的實例如圖

階段2常用控制元件的傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析

3．積分環節符合積分運算關係的環節稱為積分環節。在動態過程中，輸出量的變化速度和輸入量成正比。積分環節的傳遞函數為G(s)=C(s)R(s)=1Ts上式稱為積分環節的標準式。下圖所示為積分環節方框圖。

當R(s)=1s時，C(s)=1Ts•1s=1Ts2，積分環節的單位階躍回應為c(t)=1Tt階段2常用控制元件的傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析

4．微分環節符合微分運算關係的環節稱為微分環節。在動態過程中，輸出量正比於輸入量的變化速度。微分環節的傳遞函數為G(s)=C（s）R（s）=Ts理想微分環節的方框圖如圖所示。其單位階躍回應為c(t)=Tδ(t)階段2常用控制元件的傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析

4．微分環節近似理想微分環節的實例如圖所示。

實際中，微分特性總是含有慣性的，具有這種特性的微分環節稱為實用微分環節。其單位階躍回應的拉氏變換式為C（s）=TsTs+1•1s=1s+1T階段2常用控制元件的傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析

5．振盪環節振盪環節是由二階微分方程描述的系統。它包含兩個獨立的儲能元件，當輸入量發生變化時，兩個儲能元件的能量進行交換，使輸出帶有振盪的性質。振盪環節的傳遞函數為G(s)=C(s)R(s)=1T2s2+2ξTs+1振盪環節的方框圖如圖所示。階段2常用控制元件的傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析

6．時滯環節時滯環節也稱延遲環節。其輸出波形與輸入波形相同，但延遲了時間。時滯環節的存在對系統的穩定性不利。時滯環節的傳遞函數為G(s)=C(s)R(s)=e-τs=1eτs時滯環節的方框圖如圖所示。階段2常用控制元件的傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析

6．時滯環節時滯環節也稱延遲環節。其輸出波形與輸入波形相同，但延遲了時間。時滯環節的存在對系統的穩定性不利。時滯環節的傳遞函數為G(s)=C(s)R(s)=e-τs=1eτs時滯環節的方框圖如圖所示。階段2常用控制元件的傳遞函數任務2傳遞函數的建立及分析傳遞函數通常表示成有理分式，根據系統分析的需要，也常表示成首1標準型或尾1標準型。

1．首1標準型（零、極點形式）將傳遞函數的分子、分母最高次項（首項）係數均化為1，表示為G(s)=K*∏mj=1（s-zj）∏ni=1（s-pi）的形式，稱為首1標準型。因式分解後也稱為傳遞函數的零、極點形式。式中，z1，z2，…，zm為傳遞函數分子多項式等於零的根，稱為傳遞函數的零點；p1，p2，…,pn為傳遞函數分母多項式等於零的根，稱為傳遞函數的極點。階段3傳遞函數的標準形式任務２傳遞函數的建立及分析

2．尾1標準型（典型環節形式）將傳遞函數的分子、分母最低次項（尾項）係數均化為1，表示為G(s)=K∏m1k=1(τks+1)∏m2l=1(τ2ls2+2ξτls+1)sv∏n1i=1(Tis+1)∏n2j=1(T2js2+2ξTjs+1)的形式，稱為尾1標準型（簡稱尾1型）。因式分解後也稱為傳遞函數的典型環節形式。式中，每個因數都對應一個典型環節，這裏，K稱為系統增量。K與K*的關係為K=K*∏mj=1｜zj｜∏ni=1｜pi｜階段3傳遞函數的標準形式任務3傳遞函數的建立及分析微分方程和傳遞函數都是系統的數學模型。在求微分方程和傳遞函數時，都需要用消元的方法消去中間變數，這不僅是一項乏味費時的工作，而且消元之後只剩下系統的輸入和輸出兩個變數，不能直觀地顯示出系統中其他變數間的關係以及信號在系統中的傳遞過程。而動態結構圖是系統數學模型的另一種形式，用它來表示控制系統，不僅能簡明地表示出系統中各變數之間的數學關係及信號的傳遞過程，也能根據下述的等效變換原則，方便地求出系統的傳遞函數。階段1動態結構圖的建立任務3動態結構圖的建立及分析繪製動態結構圖的一般步驟為：

(1)確定各元件或環節的傳遞函數。

(2)繪出各環節的動態方框圖，方框中標出其傳遞函數，並以箭頭和字母標明其輸入量和輸出量。

(3)根據信號在系統中的流向，依次將各方框圖連接起來。階段1動態結構圖的建立任務3動態結構圖的建立及分析

【例】如圖所示，ur，uc分別是RC無源網路的輸入、輸出電壓，試建立相應的電路結構圖。解:根據基爾霍夫定律，可寫出以下方程

Ur(s)-Uc（s）=U1（s）

I（s）=U1（s）R1/（Cs）R1+1/（Cs）=1+R1CsR1U1（s）

Uc（s）=R2I（s）階段1動態結構圖的建立任務3動態結構圖的建立及分析根據各方程可繪出相應的子結構圖，分別如圖（a）(b)和（c）所示；按信號的傳遞順序，將各子結構圖依次連接起來，便得到RC無源網路的結構圖，如圖（d）所示。階段1動態結構圖的建立任務3動態結構圖的建立及分析結構圖是從具體系統中抽象出來的數學結構圖形，當只討論系統的輸入、輸出特性，而不考慮它的具體結構時，完全可以對其進行必要的變換，當然，這種變換必須是“等效的”，應使變換前、後輸入量與輸出量之間的傳遞函數保持不變。下麵依據等效原理推導結構圖變換的一般法則。階段2動態結構圖的等效變換任務3動態結構圖的建立及分析

1．串聯環節的等效變換圖（a）表示兩個環節串聯的結構。圖（b）所示為其等效結構圖。

所以兩個環節串聯後的等效傳遞函數為G(s)=C(s)R(s)=G2(s)G1(s)上述結論可以推廣到任意個環節串聯的情況，即環節串聯後的總傳遞函數等於各個串聯環節傳遞函數的乘積。階段2動態結構圖的等效變換任務3動態結構圖的建立及分析

2．並聯環節的等效變換圖（a）表示兩個環節並聯的結構。圖（b）所示為其等效結構圖。

所以兩個環節並聯後的等效傳遞函數為G（s）=G1（s）±G2（s）上述結論可以推廣到任意個環節並聯的情況，即環節並聯後的總傳遞函數等於各個並聯環節傳遞函數的代數和。階段2動態結構圖的等效變換任務3動態結構圖的建立及分析

3．回饋連接的等效變換圖(a)所示為回饋連接的一般形式。圖（b）所示為其等效結構圖。

所以回饋連接後的等效（閉環）傳遞函數為Φ（s）=G（s）1G（s）H（s）當回饋通道的傳遞函數H(s)=1時，稱相應系統為單位回饋系統。此時，閉環傳遞函數為Φ(s)=G(s)1G(s)階段2動態結構圖的等效變換任務3動態結構圖的建立及分析

4．比較點和引出點的移動在結構圖簡化過程中，當系統中出現信號交叉時，需要移動比較點或引出點的位置，這時應注意保持移動前後信號傳遞的等效性。下表彙集了結構圖等效變換的基本規則，可供查閱。階段2動態結構圖的等效變換任務3動態結構圖的建立及分析

【例】簡化圖所示系統的結構圖，求系統的閉環傳遞函數Φ(s)=C(s)R(s)。解:這是一個多回路系統。可以有多種解題方法，這裏從內回路到外回路逐步化簡。第一步，將引出點a後移，比較點b後移，即將圖簡化成圖（a）所示結構。階段2動態結構圖的等效變換任務3動態結構圖的建立及分析第二步，對圖（a）中H3（s）和G2（s）G4（s）串聯後與H2（s）並聯，再和串聯的G3（s）,G4（s）組成回饋回路，進而簡化成圖（b）所示結構。第三步，對圖（b）中的回路再進行串聯及回饋變換，成為圖（c）所示形式。最後可得系統的閉環傳遞函數為階段2動態結構圖的等效變換任務3動態結構圖的建立及分析對於一些結構複雜的系統，採用結構圖化簡的方法求系統的傳遞函數是較麻煩的。而採用梅遜(Mason)增益公式，則可以不作任何結構變換，只要通過對信號流圖或動態結構圖的觀察和分析，就能直接寫出系統的傳遞函數。階段3梅遜增益公式任務3動態結構圖的建立及分析計算任意輸入節點和輸出節點之間傳遞函數G（s）的梅遜增益公式為G（s）=1Δ∑nk=1PkΔk式中，Δ——特徵式，其計算公式為Δ=1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…；

n——從輸入節點到輸出節點間前向通路的條數；

Pk——從輸入節點到輸出節點間第k條前向通路的總增益；

Δk——第k條前向通路的餘子式，即把特徵式中與該前向通路相接觸回路的回路增益置為零後，所餘下的部分。階段3梅遜增益公式任務3動態結構圖的建立及分析

【例】試求圖所示系統的傳遞函數C（s）R（s）。

解:本系統有三條前向通路，其增益分別為：P1=G1G2G3G4，P2=G5G3G4和P3=G1G6。其中只有L2和L3兩回路互不接觸，故特徵式為Δ=1-（L1+L2+L3）+（L2L3）=1+G1G2G3G4H2+G1G6H2+G3H1+G1G3G6H1H2由於各回路均與前向通路P1，P2接觸，故餘子式Δ1=Δ2=1。前向通路P3與回路L3不接觸，所以餘子式Δ3=1-L3=1+G3H1。階段3梅遜增益公式任務3動態結構圖的建立及分析在圖中，為了便於分析系統，常常在H（s）的輸出端，即在回饋點處，“人為”地斷開系統的主回饋通路。將前向通路的傳遞函數與回饋通路的傳遞函數的乘積稱為系統的開環傳遞函數，用G（s）H（s）表示。它等於系統的回饋信號B（s）與偏差信號E（s）之比，即G（s）H（s）=B（s）E（s）=G1（s）G2（s）H（s）

階段1系統的開環傳遞函數任務4回饋控制系統的傳遞函數

1．給定輸入作用下的閉環傳遞函數當只研究系統在控制輸入作用時，令N（s）=0，可求出系統輸出C（s）對輸入R（s）的閉環傳遞函數Φ（s）為Φ(s)=C(s)R(s)=G1(s)G2(s)1+G1(s)G2(s)H（s）

2．擾動輸入作用下的閉環傳遞函數當只研究系統在擾動輸入作用時，令R（s）=0，可求得輸出C（s）對擾動N（s）作用的傳遞函數Φn（s）=C（s）N（s）=G1(s)G2（s）1+G1（s）G2（s）H（s）階段2閉環系統的傳遞函數任務4回饋控制系統的傳遞函數

1．控制輸入作用下的誤差傳遞函數在N（s）=0的情況下，可求出系統的誤差傳遞函數，即Φe(s)=E(s)R(s)=11+G1(s)G2(s)H(s)

2．擾動輸入作用下的誤差傳遞函數令R(s)=0，可求出誤差對擾動作用的閉環傳遞函數，簡稱擾動誤差傳遞函數，即Φen(s)=E(s)N(s)=-G2(s)H(s)1+G1(s)G2(s)H(s)階段3閉環系統的誤差傳遞函數任務4回饋控制系統的傳遞函數

3．控制輸入和擾動同時作用下系統的總誤差可求出系統在控制輸入和擾動輸入同時作用下系統的總誤差為E(s)=R(s)1+G1(s)G2(s)H(s)+-G2(s)H(s)N(s)1+G1(s)G2(s)H(s)不難發現，4種閉環傳遞函數Φ(s)，Φn(s)，Φe(s)和Φen(s)具有相同的分母，即1+G1(s)G2(s)H(s)=1+G(s)H(s)任務4回饋控制系統的傳遞函數階段3閉環系統的誤差傳遞函數

【例】已知系統結構圖如圖所示，試求傳遞函數Φ(s)和Φn(s)的運算式。

解:首先求系統的閉環傳遞函數Φ（s），這時令干擾信號N(s)=0。由圖可見，從輸入到輸出有兩條前向通路、兩個回路，沒有互不接觸回路，所有回路均與前向通路相接觸。因此有P1=G1G2G3G4P2=G0G2G3G4Δ1=1Δ2=1L1=-G3G4HL2=-G1G2G3G4H（s）+G1（s）G2（s）G3（s）G4（s）任務4回饋控制系統的傳遞函數階段3閉環系統的誤差傳遞函數要確定系統性能的優劣，就要在同樣的輸入條件激勵下比較系統的行為。為了在符合實際情況的基礎上便於實現和分析計算，時域分析法中一般採用表中的典型輸入信號。階段1時域法常用的典型輸入信號任務1控制系統的性能指標

階段1時域法常用的典型輸入信號任務1控制系統的性能指標時域分析法中的典型輸入信號穩定是控制系統正常運行的基本條件。只有系統穩定，其回應過程才能收斂，研究系統的性能（包括動態性能和穩態性能）才有意義。實際物理系統都存在慣性，輸出量的改變是與系統所存儲的能量有關的。系統所存儲的能量的改變需要一個過程。在外作用激勵下系統從一種穩定狀態轉換到另一種穩定狀態需要一定的時間。一個穩定系統的典型階躍回應如圖所示。回應過程分為動態過程（也稱為過渡過程）和穩態過程，系統的動態性能指標和穩態性能指標就是分別針對這兩個階段定義的。階段2系統的時域性能指標任務1控制系統的性能指標階段2系統的時域性能指標任務1控制系統的性能指標系統的典型階躍回應及動態性能指標

1．動態性能系統的動態性能是以系統階躍回應為基礎來衡量的。一般認為階躍輸入對系統而言是比較嚴峻的工作狀態，若系統在階躍函數作用下的動態性能滿足要求，那麼系統在其他形式的輸入作用下，其動態性能也應是令人滿意的。階段2系統的時域性能指標任務1控制系統的性能指標動態性能指標通常有如下幾項：（1）延遲時間td：階躍回應第一次達到終值h(∞)的50％所需的時間。（2）上升時間tr：階躍回應從終值的10％上升到終值的90％所需的時間。對於有振盪的系統，也可定義為從0到第一次達到終值所需的時間。（3）峰值時間tp：階躍回應越過終值h(∞)達到第一個峰值所需的時間。（4）調節時間ts：階躍回應到達並保持在終值h(∞)±5％誤差帶內所需的最短時間；有時也用終值的±2％誤差帶來定義調節時間。除非特別說明，本書以後所說的調節時間均以±5％誤差帶定義。（5）超調量σ％：峰值h(tp)超出終值h(∞)的百分比，即σ％=h(tp)-h(∞)h(∞)×100％階段2系統的時域性能指標任務1控制系統的性能指標

2．穩態性能穩態誤差是指當時間趨於無窮時系統的實際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統控制精度或抗干擾能力的一種度量。穩態誤差有不同定義，通常在典型輸入下進行測定或計算。應當指出，系統性能指標的確定應根據實際情況而有所側重。例如，民航客機要求飛行平穩，不允許有超調；殲擊機則要求機動靈活，回應迅速，允許有適當的超調；對於一些啟動之後便需要長期運行的生產過程（如化工過程等），則往往更強調穩態精度。階段2系統的時域性能指標任務1控制系統的性能指標一階系統的典型結構如圖所示

一階系統典型結構圖因此，單位階躍回應h(t)=L-1［C(s)］=1-e-tT階段1瞭解典型輸入下一階系統的回應任務2一階系統的時域分析一階系統的單位階躍回應如圖所示，回應是單調的指數上升曲線。依調節時間ts的定義有h（ts）=1-e-tsT=0.95解得ts=3T階段2一階系統動態性能指標的計算任務2一階系統的時域分析一階系統的單位階躍回應時間常數T是一階系統的重要特徵參數。T越小，系統極點越遠離虛軸，過渡過程越快。圖給出了一階系統的單位階躍回應隨時間常數T變化的趨勢。一階系統單位階躍回應隨T變化的趨勢階段2一階系統動態性能指標的計算任務2一階系統的時域分析用同樣方法討論一階系統的脈衝回應和斜坡回應，可將系統典型輸入回應列成下表。一階系統典型輸入回應階段3典型輸入信號下的一階系統回應任務2一階系統的時域分析從表中容易看出，系統對某一輸入信號的微分/積分的回應，等於系統對該輸入信號的回應的微分/積分。這是線性定常系統的重要性質，對任意階線性定常系統均適用。階段3典型輸入信號下的一階系統回應任務2一階系統的時域分析

【例】某溫度計插入溫度恒定的熱水後，其顯示溫度隨時間變化的規律為h(t)=1-e-1Tt。實驗測得，當t=60s時溫度計讀數達到實際水溫的95％，試確定該溫度計的傳遞函數。解:依題意，溫度計的調節時間為ts=60=3T可得T=20，則有h(t)=1-e-1Tt=1-e-120t由線性系統的性質k(t)=h′(t)=120e-120t由傳遞函數的性質Φ(s)=L［k(t)］=120s+1階段3典型輸入信號下的一階系統回應任務2一階系統的時域分析常見二階系統的結構圖如圖所示。其中K，T、為環節參數。系統的閉環傳遞函數為Φ(s)=KT1s2+s+K

二階系統的閉環特徵方程為D（s）=s2+2ξωns+ω2n=0其特徵根為λ1，2=-ξωn±ωnξ2-1階段1二階系統傳遞函數的標準形式及分類任務3二階系統的時域分析若系統阻尼比ξ的取值範圍不同，則特徵根的形式不同，回應特性也不同，由此可將二階系統分類，見表。二階系統{按阻尼比)分類表階段1二階系統傳遞函數的標準形式及分類任務3二階系統的時域分析系統的單位階躍回應為h(t)=1+e-tT1T2T1-1+e-tT2T1T2-1t≥0過阻尼二階系統的單位階躍回應是無振盪的單調上升曲線。由式可知，令T1/T2取不同值，可分別求解出相應的無量綱調節時間ts/T1s2+2ξωns+ω2n=（s+1/T1）（s+1/T2）可解出ξ=1+（T1/T2）2T1/T2。階段2過阻尼二階系統動態性能指標的計算任務3二階系統的時域分析

【例】某系統閉環傳遞函數Φ(s)=16s2+10s+16，計算系統的動態性能指標。

過阻尼二階系統的調節時間特性階段2過阻尼二階系統動態性能指標的計算任務3二階系統的時域分析

【例】某系統閉環傳遞函數Φ(s)=16s2+10s+16，計算系統的動態性能指標。解:Φ(s)=16s2+10s+16=16(s+2)(s+8)=ω2n(s+1/T1)（s+1/T2）T1=12=0.5T2=18=0.125T1/T2=0.5/0.125=4ξ=1+(T1/T2)2T1/T2=1.25＞1查圖可得，tsT1=3.3，計算得ts=3.3T1=3.3×0.5=1.65s階段2過阻尼二階系統動態性能指標的計算任務3二階系統的時域分析

1．欠阻尼二階系統極點的兩種表示方法欠阻尼二階系統的極點可以用如圖所示的兩種形式表示。

（1）直角坐標表示λ1,2=σ±jωd=-ξωn±j1-ξ2ωn（2）“極”座標表示｜λ｜=ωn

cosβ=ξ∠λ=β

sinβ=1-ξ2階段3欠阻尼二階系統動態性能指標的計算任務3二階系統的時域分析

2．欠阻尼二階系統的單位階躍回應系統的單位脈衝回應為k(t)=h′(t)=L-1［Φ(s)］=L-11-ξ2ωn（s+ξωn）2+(1-ξ2)ω2n•ωn1-ξ2=ωn1-ξ2e-ξωntsin1-ξ2ωnt

階段3欠阻尼二階系統動態性能指標的計算任務3二階系統的時域分析

2．欠阻尼二階系統的單位階躍回應典型欠阻尼二階系統的單位階躍回應如圖示。

階段3欠阻尼二階系統動態性能指標的計算任務3二階系統的時域分析

3．欠阻尼二階系統動態性能指標的計算（1）峰值時間tp：根據峰值時間的定義，可得tp=π1-ξ2ωn（2）超調量σ%：h(tp)=1+e-ξπ/1-ξ2σ％=h(tp)-h(∞)h(∞)×100％=e-ξπ/1-ξ2×100％可見，典型欠阻尼二階系統的超調量σ％只與阻尼比ξ有關。（3）調節時間ts：ts=-ln0.05+12ln(1-ξ2)ξωn≈3.5ξωn（0.3＜ξ＜0.8）階段3欠阻尼二階系統動態性能指標的計算任務3二階系統的時域分析【例34】控制系統結構圖如圖所示。（1）當開環增益K=10時，求系統的動態性能指標。（2）確定使系統阻尼比ξ=0.707的K值。階段3欠阻尼二階系統動態性能指標的計算任務3二階系統的時域分析解:（1）當K=10時，系統的閉環傳遞函數為Φ(s)=G(s)1+G(s)=100s2+10s+100ωn=100=10,ξ=102×10=0.5tp=π1-ξ2ωn=π1-0.52×10=0.363σ%=e-ξπ/1-ξ2=e-0.5π/1-0.52=16.3%ts=3.5ξωn=3.50.5×10=0.7

(2)由Φ(s)=10Ks2+10s+10K得ωn=10Kξ=10210K令ξ=0.707，得K=100×24×10=5階段3欠阻尼二階系統動態性能指標的計算任務3二階系統的時域分析高階系統的傳遞函數一般可以表示為Φ(s)=M(s)D(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0式中，K=bm/an，由於M(s),D(s)均為實係數多項式，故閉環零點zi、極點λj只能是實根或共軛複數。設系統的閉環極點均為單極點，則系統單位階躍回應的拉氏變換可表示為C（s）=Φ（s）•1s=K∏mi=1（s-zi）s∏nj=1(s-λj)=M(0)D(0)•1s+∑nj=1M（s）sD′(s)s=λj•1s-λj階段4高階系統的單位階躍回應任務3二階系統的時域分析可見，除了常數項M(0)/D(0)外，高階系統的單位階躍回應是系統模態的組合，組合係數即部分分式係數。模態由閉環極點確定，而部分分式係數與閉環零點、極點分佈有關，所以，閉環零點、極點對系統動態性能均有影響。當所有閉環極點均具有負的實部，即所有閉環極點均位於左半s平面時，隨時間的增加所有模態均趨於零（對應瞬態分量），系統的單位階躍回應最終穩定在M(0)/D(0)。很明顯，閉環極點負實部的絕對值越大，相應模態趨於零的速度越快。在系統存在重根的情況下，以上結論仍然成立。階段4高階系統的單位階躍回應任務3二階系統的時域分析對上述分析總結如下。（1）高階系統的時域回應是由慣性環節和二階振盪環節的回應函數所組成。其中，穩態分量由輸入控制信號所引起，瞬態分量的形式取決於傳遞函數的極點。（2）極點的實部絕對值越大，在s左半平面上離虛軸越遠，則相應的瞬態分量衰減越快；反之，在s左半平面上離虛軸很近的極點，其對應的瞬態分量衰減就很慢，它在總的瞬態分量中佔據主導地位。階段4高階系統的單位階躍回應任務3二階系統的時域分析對上述分析總結如下。（3）如果系統中有一個極點或一對共軛複數極點離虛軸最近，且其附近沒有零點，其他極點離虛軸的距離比這一個或這一對極點離虛軸的距離大5倍以上，則稱這一個或這一對極點為主導極點。因為主導極點所決定的瞬態分量不僅持續時間長，而且初始幅值也大，故可將系統的回應近似地看作由主導極點所產生。（4）一個實際的高階系統，其結構參數是確定的，不一定存在主導極點。但往往可以通過加入校正裝置，改變其結構參數，使整個系統具有一對合適的共軛複數極點，因為此時系統的動態性能比較理想。階段4高階系統的單位階躍回應任務3二階系統的時域分析如果在擾動作用下系統偏離了原來的平衡狀態，當擾動消失後，系統能夠以足夠的準確度恢復到原來的平衡狀態，則系統是穩定的。否則，系統不穩定。線性系統的穩定性是其自身的屬性，只取決於系統自身的結構、參數，與初始條件及外作用無關。系統的輸出回應為c（t）=A0+A1es1t+…+Aiesit+…+Anesnt階段1明確系統穩定的概念及充要條件任務4控制系統的穩定性分析式中，第一項為由輸入引起的輸出穩態分量，其餘各項為系統輸出的瞬態分量。顯然，一個穩定的系統，其輸出瞬態分量應均為零。由上式可知，要做到這一點，必須滿足limesit→0。所以，系統穩定的充分必要條件是：系統所有特徵根的實部小於零，即其特徵方程的根都在s左半平面。階段1明確系統穩定的概念及充要條件任務4控制系統的穩定性分析

1877年，勞斯提出的穩定性判據能夠判定一個多項式方程中是否存在位於複平面右半部的正根，而不必求解方程。當把這個判據用於判斷系統的穩定性時，又稱為代數穩定判據。設系統的特徵方程為D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0an＞0階段2勞斯穩定判據任務4控制系統的穩定性分析

1．系統穩定的必要條件系統穩定的必要條件是ai＞0(i=0,1,2，…，n)滿足必要條件的一、二階系統一定穩定，滿足必要條件的高階系統未必穩定，因此高階系統的穩定性還需要用勞斯判據來判斷。階段2勞斯穩定判據任務4控制系統的穩定性分析

2．勞斯判據勞斯判據指出：系統穩定的充要條件是勞斯表中第一列係數都大於零，否則系統不穩定，而且第一列係數符號改變的次數就是系統特徵方程中正實部根的個數。階段2勞斯穩定判據任務4控制系統的穩定性分析

【例】設系統的特徵方程為D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0，試判定系統的穩定性。解:列勞斯表勞斯表的第一列係數符號改變了兩次，所以系統有兩個根在s右半平面，系統不穩定。階段2勞斯穩定判據任務4控制系統的穩定性分析

3．勞斯判據特殊情況的處理

(1)某行第一列元素為零，而該行元素不全為零。用一個很小的正數代替第一列的零元素參與計算，表格計算完成後再令ε→0。

(2)某行元素全部為零時。利用上一行元素構成輔助方程，對輔助方程求導得到新的方程，用新方程的係數代替該行的零元素繼續計算。當特徵多項式包含形如(s+σ)(s-σ)或(s+jω)(s-jω)的因數時，勞斯表會出現全零行，而此時輔助方程的根就是特徵方程根的一部分。階段2勞斯穩定判據任務4控制系統的穩定性分析

【例】已知系統的特徵方程D(s)=s3-3s+2=0，判定系統s右半平面中的極點個數。解:D(s)的係數不滿足穩定的必要條件，系統必然不穩定。列勞斯表

勞斯表第一列係數符號改變了兩次，所以系統有兩個根在s右半平面。階段2勞斯穩定判據任務4控制系統的穩定性分析

4．勞斯判據的應用勞斯判據除了可以用來判定系統的穩定性外，還可以確定使系統穩定的參數範圍。階段2勞斯穩定判據任務4控制系統的穩定性分析

【例】某單位回饋系統的開環零、極點分佈如圖所示，判定系統是否可以穩定。若可以穩定，請確定相應的開環增益範圍；若不可以，請說明理由。解:由開環零、極點分佈圖可寫出系統的開環傳遞函數G（s）=K（s-1）（s/3-1）2=9K（s-1）（s-3）2

階段2勞斯穩定判據任務4控制系統的穩定性分析

【例】某單位回饋系統的開環零、極點分佈如圖所示，判定系統是否可以穩定。若可以穩定，請確定相應的開環增益範圍；若不可以，請說明理由。解:閉環系統的特徵方程為D(s)=(s-3)2+9K(s-1)=s2+(9K-6)s+9(1-K)=0對於二階系統，特徵方程的係數全部大於零就可以保證系統穩定。由9K-6＞0，1-K＞0，可確定使系統穩定的K值範圍為23＜K＜1。由例題可以看出，閉環系統的穩定性與系統開環是否穩定之間沒有直接關係。

階段2勞斯穩定判據任務4控制系統的穩定性分析控制系統的穩態誤差是系統控制精度的一種度量，是系統的穩態性能指標。控制系統結構圖一般可用圖（a）的形式表示，經過等效變換可以化成圖（b）的形式。

(1)按輸入端定義的誤差，即把偏差定義為誤差E（s）=R(s)-H(s)C(s)

(2)按輸出端定義的誤差E′(s)=R(s)H(s)-C(s)階段1誤差與穩態誤差任務5控制系統的穩態誤差分析按輸入端定義的誤差E(s)通常是可測量的，有一定的物理意義，但其誤差的理論含義不十分明顯；按輸出端定義的誤差E′(s)是“期望輸出”R′(s)與實際輸出C(s)之差，比較接近誤差的理論意義，但它通常不可測量，只有數學意義。兩種誤差定義之間存在如下關係：E′(s)=E(s)/H(s)階段1誤差與穩態誤差任務5控制系統的穩態誤差分析

(1)按輸入端定義的誤差，即把偏差定義為誤差E（s）=R(s)-H(s)C(s)

(2)按輸出端定義的誤差E′(s)=R(s)H(s)-C(s)按輸入端定義的誤差E(s)通常是可測量的，有一定的物理意義，但其誤差的理論含義不十分明顯；按輸出端定義的誤差E′(s)是“期望輸出”R′(s)與實際輸出C(s)之差，比較接近誤差的理論意義，但它通常不可測量，只有數學意義。兩種誤差定義之間存在如下關係：E′(s)=E(s)/H(s)階段1誤差與穩態誤差任務5控制系統的穩態誤差分析計算穩態誤差一般方法的實質是利用終值定理，它適用於各種情況下的穩態誤差計算，既可以用於求輸入作用下的穩態誤差，又可以用於求干擾作用下的穩態誤差。具體計算分三步進行。

(1)判定系統的穩定性。穩定是系統正常工作的前提條件，當系統不穩定時，求穩態誤差沒有意義。另外，計算穩態誤差要用終值定理，終值定理應用的條件是除原點外，sE(s)在s右半平面及虛軸上解析。當系統不穩定，或R(s)的極點位於虛軸上以及虛軸右邊時，該條件不滿足。階段2穩態誤差的一般計算方法任務5控制系統的穩態誤差分析

(2)求誤差傳遞函數。Φe(s)=E(s)R(s),Φen（s）=E（s）N（s）

(3)用終值定理求穩態誤差。ess=lims→0s［Φe(s)R(s)+Φen(s)N(s)］階段2穩態誤差的一般計算方法任務5控制系統的穩態誤差分析

【例】控制系統結構圖如圖314所示。已知r(t)=n(t)=t，求系統的穩態誤差。解:控制輸入r(t)作用下的誤差傳遞函數Φe(s)=E(s)R(s)=11+Ks(Ts+1)=s(Ts+1)s(Ts+1)+K系統的特徵方程D(s)=Ts2+s+K=0階段2穩態誤差的一般計算方法任務5控制系統的穩態誤差分析設T＞0，K＞0，保證系統穩定。則控制輸入下的穩態誤差為essr=lims→0sΦe(s)R(s)=lims→0s•s(Ts+1)s(Ts+1)+K•1s2=1K干擾n(t)作用下的誤差傳遞函數為Φen(s)=E(s)N(s)=-KnTns+11+Ks(Ts+1)=-Kns(Ts+1)(Tns+1)［s(Ts+1)+K］干擾n(t)作用下的穩態誤差為essn=lims→0sΦen(s)N(s)=lims→0s•-Kns(Ts+1)(Tns+1)［s(Ts+1)+K］•1s2=-KnK由疊加原理ess=sssr+essn=1-KnK階段2穩態誤差的一般計算方法任務5控制系統的穩態誤差分析由案例可以得出以下結論：系統的穩態誤差與系統自身的結構參數、外作用的類型（控制量、擾動量及其作用點）以及外作用的形式（階躍、斜坡或加速度）有關。階段2穩態誤差的一般計算方法任務5控制系統的穩態誤差分析在系統分析中經常遇到計算控制輸入作用下穩態誤差的問題。分析研究典型輸入作用下引起的穩態誤差與系統結構參數及輸入形式的關係，找出其中的規律性，是十分必要的。控制輸入r(t)作用下的誤差傳遞函數為Φe(s)=E(s)R(s)=11+G(s)H(s)=11+KsvG0(s)階段3靜態誤差係數法任務5控制系統的穩態誤差分析

(1)位置輸入時，r(t)=A•1(t)essp=A1+Kp

(2)速度輸入時，r(t)=A•tKv=lims→0sG(s)H(s)=lims→0Ksv-1

(3)加速度輸入時，r(t)=A2t2essa=Aka階段3靜態誤差係數法任務5控制系統的穩態誤差分析綜合以上討論可以列出下表。

應用靜態誤差係數法要注意其適用條件：系統必須穩定；誤差是按輸入端定義的；只能用於計算典型輸入時的終值誤差，並且輸入信號不能有其他的前饋通道。階段3靜態誤差係數法任務5控制系統的穩態誤差分析【例】系統結構圖如圖所示。已知輸入r(t)=2t+4t2，求系統的穩態誤差。解:系統的開環傳遞函數為G(s)=K1(Ts+1)s2(s+a)又因開環增益K=K1a，系統類別v=2，則系統的閉環傳遞函數為Φ(s)=K1s2(s+a)+K1(Ts+1)由特徵方程D(s)=s3+as2+K1Ts+K1=0，列勞斯表判定系統的穩定性。階段3靜態誤差係數法任務5控制系統的穩態誤差分析

解：設參數滿足穩定性要求，利用表計算系統的穩態誤差。當r1(t)=2t時，ess1=0當r2(t)=4t2=8×12t2時，ess2=AK=8aK1故得ess=ess1+ess2=8aK1階段3靜態誤差係數法任務5控制系統的穩態誤差分析現在用一個RC電路來說明什麼是頻率特性，如圖所示。設電路的輸入、輸出電壓分別為ur(t)和uc(t)，電路的傳遞函數為G(s)=Uc(s)Ur(s)=1Ts+1

可對頻率特性定義如下：線性定常系統(或元件)的頻率特性是零初始條件下穩態輸出正弦信號與輸入正弦信號的複數比。階段1頻率特性的定義任務1頻域特性的基本概念和圖示法用G(jω)表示，則有G(jω)=A(ω)ejφ（ω）=A(ω)∠φ(ω)頻率特性描述了在不同頻率下系統(或元件)傳遞正弦信號的能力。階段1頻率特性的定義任務1頻域特性的基本概念和圖示法設系統的輸入信號、輸出信號分別為x(t)和y(t)，其拉氏變換分別為X(s)和Y(s)，則系統的傳遞函數可以表示為G(s)=Y(s)X(s)=M(s)(s+p1)(s+p2)…(s+pn)則有ys（t）=A(ω)Xej［ωt+φ(ω)］-ej［ωt+φ(ω)］2j=A(a)Xsin［ωt+φ(ω)］=Ysin［ωt+φ(ω)］階段2頻率特性和傳遞函數的關係任務1頻域特性的基本概念和圖示法根據頻率特性的定義，由上式可直接寫出線性系統的幅頻特性和相頻特性，即YX=A(ω)=｜G（jω）｜ωt+φ(ω)-ωt=φ(ω)=∠G(jω)則頻率特性和傳遞函數的關係為G(jω)=G(s)s=jω即傳遞函數的複變數s用jω代替後，就相應變為頻率特性。頻率特性和前幾章介紹過的微分方程、傳遞函數一樣，都能表徵系統的運動規律。所以，頻率特性也是描述線性控制系統的數學模型的形式之一。階段2頻率特性和傳遞函數的關係任務1頻域特性的基本概念和圖示法當用頻率法分析、設計控制系統時，常常不是從頻率特性的函數運算式出發，而是將頻率特性繪製成一些曲線，借助於這些曲線對系統進行圖解分析。因此必須熟悉頻率特性的各種圖形表示方法和圖解運算過程。階段3頻率特性的圖形表示方法任務1頻域特性的基本概念和圖示法（1）頻率特性曲線頻率特性曲線包括幅頻特性曲線和相頻特性曲線兩種。階段3頻率特性的圖形表示方法任務1頻域特性的基本概念和圖示法（2）幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線又稱奈奎斯特(Nyquist)曲線，在複平面上以極座標的形式表示。階段3頻率特性的圖形表示方法任務1頻域特性的基本概念和圖示法（3）對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線又叫伯德(Bode)曲線。它由對數幅頻特性和對數相頻特性兩條曲線組成，是頻率法中應用最廣泛的一組圖線。階段3頻率特性的圖形表示方法任務1頻域特性的基本概念和圖示法採用對數座標圖的優點較多，主要表現在以下幾個方面。①由於橫坐標採用對數刻度，從而相對展寬了低頻段(低頻段頻率特性的形狀對於控制系統性能的研究具有較重要的意義)，相對壓縮了高頻段，進而可以在較寬的頻段範圍中研究系統的頻率特性。②由於對數可將乘除運算變成加減運算，當繪製由多個環節串聯而成的系統的對數座標圖時，只要將各環節對數座標圖的縱坐標相加減即可，從而簡化了畫圖的過程。階段3頻率特性的圖形表示方法任務1頻域特性的基本概念和圖示法③在對數座標圖上，所有典型環節的對數幅頻特性乃至系統的對數幅頻特性均可用分段直線近似表示。這種近似具有相當的精確度。若對分段直線進行修正，則可得到精確的特性曲線。④若將實驗所得的頻率特性數據整理後並用分段直線畫出對數頻率特性，很容易寫出實驗對象的頻率特性運算式或傳遞函數。階段3頻率特性的圖形表示方法任務1頻域特性的基本概念和圖示法（4）對數幅相特性曲線對數幅相特性曲線又稱尼柯爾斯(Nichols)曲線。繪有這一特性曲線的圖形稱為對數幅相圖或尼柯爾斯圖。對數幅相特性曲線是由對數幅頻特性和對數相頻特性合併而成的曲線。對數幅相圖的橫軸為相角φ（ω），縱軸為對數幅頻值L（ω）=20lgA(ω)，單位是dB。橫坐標和縱坐標均是線性刻度。階段1頻率特性的圖形表示方法任務1頻域特性的基本概念和圖示法在典型環節或開環系統的傳遞函數中，令s=jω，即可得到相應的頻率特性。

1.比例環節比例環節的傳遞函數和頻率特性分別為G(s)=KG（jω）=K+j0=Kej0A(ω)=｜G(jω)｜=Kφ（ω）=∠G（jω）=0°階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性比例環節的幅相特性是G平面實軸上的一個點，如圖所示。表明比例環節穩態正弦回應的振幅是輸入信號的K倍，且回應與輸入同相位。顯然，它與頻率無關，其對數幅頻特性和對數相頻特性分別為L(ω)=20lgKφ(ω)=0°階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

2.微分環節 微分環節的傳遞函數和頻率特性分別為G(s)=s，G(jω)=0+jω=ωej90°A(ω)=ω，φ(ω)=90°微分環節的幅值與ω成正比，相角恒為90°。當ω=0→∞時，幅相特性從G平面的原點起始，一直沿虛軸趨於+j∞處，如圖中曲線所示。階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

3.積分環節積分環節的傳遞函數和頻率特性分別為G（s）=1s，G（jω）=0+1jω=1ωe-j90°A（ω）=1ω，φ(ω)=-90°積分環節的幅值與ω成反比，相角恒為-90°。當ω=0→∞時，幅相特性從虛軸-j∞處出發，沿負虛軸逐漸趨於座標原點，如圖中曲線所示。階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

3.積分環節積分環節的對數幅頻曲線在ω=1處通過0dB線，斜率為-20dB/dec；對數相頻特性為-90°直線。特性曲線如圖所示。階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

4.慣性環節慣性環節的傳遞函數和頻率特性分別為G（s）=1Ts+1G（jω）=11+jTω=11+T2ω2e-jarctanTωA(ω)=11+T2ω2φ（ω）=-arctanTω當ω=0時，幅值A(ω)=1，相角φ(ω)=0°；當ω=∞時，A(ω)=0，φ(ω)=90°。可以證明，慣性環節的幅相特性曲線是一個以點(1／2，j0)為圓心、1／2為半徑的半圓。階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

4.慣性環節慣性環節的極點分佈和幅相特性曲線如圖所示。慣性環節（1+jωT）-1的對數幅頻與對數相頻特性運算式為L(ω)=-20lg1+ωω12φ(ω)=-arctanωω1階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

5.一階複合微分環節一階複合微分環節的傳遞函數和頻率特性分別為G(s)=Ts+1G(jω)=1+jTω=1+T2ω2ejarctanTωA(ω)=1+T2ω2φ（ω）=arctanTω一階複合微分環節的幅相特性的實部為常數1，虛部與ω成正比，如圖中曲線①所示。階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

5.一階複合微分環節不穩定一階複合微分環節的傳遞函數和頻率特性分別為G(s)=Ts-1G(jω)=-1+jTωA(ω)=1+T2ω2φ(ω)=180°-arctanTω幅相特性的實部為-1，虛部與ω成正比，如圖中曲線②所示。不穩定環節的頻率特性都是非最小相角的。階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

5.一階複合微分環節一階複合微分環節的對數幅頻與對數相頻特性運算式為L(ω)=20lg1+ωω12φ(ω)=arctanωω1階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

6.二階振盪環節二階振盪環節的傳遞函數為G（s）=1T2s2+2Tξs+1=ω2ns2+2ξωn+ω2n0＜ξ＜1下圖給出了當ξ取不同值時L（ω）的準確曲線和漸近線階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

7.二階複合微分環節二階複合微分環節的傳遞函數和頻率特性分別為G(s)=T2s+2ξTs+1=s2ω2n+2ξsωn+1G（jω）=1-ω2ω2n2+j2ξωωnA(ω)=1-ω2ω2n2+4ξ2ω2ω2nφ（ω）=arctan2ξωωn1-ω2ω2n二階複合微分環節的零點分佈和幅相特性曲線如圖所示。階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

7.二階複合微分環節不穩定二階複合微分環節的頻率特性為G(jω)=1-ω2ω2n-j2ξωωnA（ω）=1-ω2ω2n2+4ξ2ω2ω2nφ(ω)=360°-arctan2ξωωn1-ω2ω2n不穩定二階複合微分環節的零點分佈和幅相特性曲線如圖所示階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

7.二階複合微分環節不穩定二階複合微分環節的頻率特性為G(jω)=1-ω2ω2n-j2ξωωnA（ω）=1-ω2ω2n2+4ξ2ω2ω2nφ(ω)=360°-arctan2ξωωn1-ω2ω2n不穩定二階複合微分環節的零點分佈和幅相特性曲線如圖所示階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

7.二階複合微分環節二階複合微分環節的頻率特性、對數幅頻特性和對數相頻特性分別為G（jω）=1-(ωωn)2+j2ξ(ωωn)L(ω)=20lg1-(ωωn)22+（2ξωωn）2φ（ω）=arctan2ξω/ωn1-（ω/ωn）2式中，ωn=1T，0＜ξ＜1。階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

8.延遲環節延遲環節的傳遞函數和頻率特性分別為G(s)=e-τsG(jω)=e-jτωA(ω)=1φ(ω)=-τω階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性

8.延遲環節如圖所示，其幅相特性曲線是圓心在原點的單位圓，ω值越大，其相角遲後量越大。延遲環節的Bode圖如圖所示。階段1典型環節的幅相、對數特性曲線任務2典型環節與系統的頻域特性當系統的開環傳遞函數中在s右半平面沒有極點或零點，且不包含延時環節時，稱該系統為最小相角系統，否則稱為非最小相